Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли. Обратная матрица
Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли
![f(t)=a_0+a_1t+...+a_nt^n\in K[t] \text{ -}](/sites/default/files/tex_cache/2057e6f3cc1db85b16c480400494917e.png)
![A\in M_{n}(K)](/sites/default/files/tex_cache/dc799eb93c21da71f118403fa9965d27.png)
![f(A)=a_0E+a_1A+...+a_nA^n\in M_{n}(K),](/sites/default/files/tex_cache/e67a2a878cb13b446439fe411ec5134a.png)
![E=E_n=
\begin{pmatrix}
1 & &
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ & \ddots\\
\lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}}
& & 1
\end{pmatrix} \in M_{n}(K)\text{ -}](/sites/default/files/tex_cache/29b6342a7806e8365396c570bea9ad3a.png)
![(n\times n)](/sites/default/files/tex_cache/db4fde9e52d7de4e91e9cc5b1ed5a930.png)
![f(A)=\sum_{i=0}^{n}a_iA^i,](/sites/default/files/tex_cache/36bfbbba9140d9a19d8b134b4f6d15a2.png)
Пример 8.6.1. Пусть ,
![A=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \in M_{2}( R).](/sites/default/files/tex_cache/d3af491429d19cdd2a2ca2f571430116.png)
![\begin{align*}
f(A) &=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}^2 +
2 \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} ={}
\\ & =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
0 & 2\\
2 & 0
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2 & 2\\
2 & 2
\end{pmatrix}\\
\biggl(
&=
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}^2
=
\left(
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right)^2 =
(g(A))^2\biggr).
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/a90c630196645aa3af7bad81ead902f4.png)
Упражнение 8.6.2. Пусть
![A=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix} \in M_{2}(K)](/sites/default/files/tex_cache/5701ef195598aef8b8653b9fb0f39e85.png)
![\begin{align*}
f(\lambda) &= |A-\lambda E| =
\begin{vmatrix}
a-\lambda & b\\
c & d-\lambda
\end{vmatrix} =
(a-\lambda)(d-\lambda)-bc ={}
\\
&= \lambda^2 -(a+d)\lambda+(ad-bc)\\
( &= \lambda^2-tr A\lambda +|A|)\text{ -}
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/c1ce4f8b7b0a38f871d90f5e23294eb2.png)
![tr A=a+d](/sites/default/files/tex_cache/6b5743f12a861e29d9cfffe1de2025d8.png)
![\begin{align*}
f(A) &= A^2-(a+d)A+(ad-bc)E={}
\\
&=
\begin{pmatrix}
a^2+bc & ab+bd\\
ca+dc & cb+d^2
\end{pmatrix} -
\begin{pmatrix}
(a+d)a & (a+d)b\\
(a+d)c & (a+d)d
\end{pmatrix} +{}
\\ & \quad {}+
\begin{pmatrix}
ad-bc & 0\\
0 & ad-bc
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/04694167acab37ba53c3eef988e23d59.png)
![f(\lambda)=|A-\lambda E|](/sites/default/files/tex_cache/d7dea8cfc722af393c60dc8b8bf8db03.png)
![(2\times 2)](/sites/default/files/tex_cache/fa45935d76880572e9ab48aa0756b33a.png)
Теорема 8.6.3. Пусть K - поле,
![A\in M_{n}(K),](/sites/default/files/tex_cache/30e7b0c0abca6938ca2755ff99ec5962.png)
![\Delta_A: K[t]\to M_{n}(K) \text{ -}](/sites/default/files/tex_cache/74147d7b0d14f595f1046327172d4b41.png)
![\Delta_A(f(t))=f(A)](/sites/default/files/tex_cache/ba8f9b2add149e6292953c3890cd163e.png)
![f(t)\in K[t]](/sites/default/files/tex_cache/58a962cb10c776f2f89e1085ff6cf7e8.png)
-
- гомоморфизм K -алгебр, т. е.
для всех,
;
-
- ненулевой идеал кольца K[t].
-
Пусть f(t) = a0+a1t+...+antn, g(t) = b0+b1t+...+bmtm, где
, и пусть
. Тогда
а) если
, то
(здесь bn=...=bm+1=0 );б) если (fg)(t)=c0+c1t+...+cm+ntm+n, где
тос другой стороны,т. е. (fg)(A)=f(A)g(A) ;в)
-
Если
,
,
, то f(A)=0, g(A)=0, и поэтому
Итак,(т. е.
- идеал K -алгебры K[t] ).
Так как система матриц
линейно зависима в Mn(K) (поскольку), то найдутся (не все нулевые) элементы
, для которых
т. е.Итак,.
Замечание 8.6.4. Более сильное утверждение о том, что
![|A-tE|\in\Ker\Delta,](/sites/default/files/tex_cache/39882aadbac74005af27df57a1ee3d70.png)
![\deg |A-tE|=n](/sites/default/files/tex_cache/e5edb6eed045cb709daf948133495404.png)
Теорема 8.6.5 (теорема Гамильтона—Кэли). Пусть K - поле (или даже коммутативное ассоциативное кольцо с 1 ), ,
- характеристический многочлен квадратной матрицы A,
. Тогда
![p(A)=0\in M_n(K).](/sites/default/files/tex_cache/47a68c789142509044596b718570dee2.png)
![D=A-tE=(d_{ij})\in M_n(K[t]),](/sites/default/files/tex_cache/130d1570e55a16afe9f48211f344305b.png)
![d_{ij}\in K[t]](/sites/default/files/tex_cache/41045669299e2f6b239d2153422fc8f5.png)
![B=(b_{ij})\in M_n(K[t]),](/sites/default/files/tex_cache/e88ba9f65e976eb6229edc6d855cec19.png)
![b_{ij}=D_{ji}\in K[t]](/sites/default/files/tex_cache/bd4ccbfc0b929c383ce1678660a9bca9.png)
![\deg(b_{ij}(t)) \leq n-1](/sites/default/files/tex_cache/9ced3f54eb2baa643796e9610b2be75c.png)
![B_i\in M_n(K)](/sites/default/files/tex_cache/47dd8e01f455f0a64a8ca8a921b5efe6.png)
![c_i\in K](/sites/default/files/tex_cache/b3bc78326417c20fa00f4026bb190c7a.png)
![D\cdot B=|D|\cdot E](/sites/default/files/tex_cache/cfe1256b8160cfb14d6b35f0fe5e1df0.png)
![]() |
( 8.1) |
![0 \leq k \leq n](/sites/default/files/tex_cache/4c238ae98330a7cf7cb3a1124cab0961.png)
![]() |
( 8.2) |
![]() |
( 8.3) |
![M_n(K)\ni 0=p(A).](/sites/default/files/tex_cache/068c31f279b00eebb4472d0cfa93a3cc.png)
Замечание 8.6.6. Отметим, что равенства (8.2) показывают, что матрицы B0,B1,...,Bn-1 являются многочленами от матрицы A, в частности, BiA=ABi, i=0,1,...,n-1. Поэтому можно было подставить в (8.1) вместо переменной t матрицу A, и тогда
![\begin{mult}
M_n(K)\ni 0=(A-AE)(B_0+AB_1+...+A^{n-1}B_{n-1})={}
\\
{}\stackrel{(8.1)}{=} p(A)\cdot E=p(A).
\end{mult}](/sites/default/files/tex_cache/9772fea3864fcf92324e2b94be69157f.png)
Замечание 8.6.7. Очевидное равенство не является доказательством теоремы Гамильтона Кэли.
Упражнение 8.6.8. Аннулирующий многочлен минимальной степени жордановой клетки r -го порядка
![A=
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & ... & 0\\
0 & \lambda & 1 & ... & 0\\
0 & 0 & \lambda & ... & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & ... & \lambda
\end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/c5e51e75a6b474d309f57ee8efb1a736.png)
![\varphi_A(t)=(\lambda-t)^r=|A-tE|.](/sites/default/files/tex_cache/ed2b9a1b8bd27622a92c9b410a6544d3.png)
Упражнение 8.6.9. Если
![A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix},](/sites/default/files/tex_cache/cdf68a11d5946c4c5400cf1670b767aa.png)
![\varphi_A(t)=(1-t)^2,\quad |A-tE|=(1-t)^3.](/sites/default/files/tex_cache/1ccb3dd4cc485018bf553a7a2cd19593.png)