Россия, Челябинск, Южно-Уральский Государственный Университет (НИУ) |
Эквивалентность и порядок. Изоморфизмы
100. Докажите, что линейно упорядоченные
множества и
(с
описанным выше порядком) не
изоморфны.
101. Будут ли изоморфны линейно упорядоченные
множества и
?
102.Будут ли изоморфны линейно упорядоченные
множества и
?
Отображение осуществляет изоморфизм между
интервалами
и
.
Но уже не так просто построить изоморфизм между
множествами рациональных точек этих интервалов (то есть
между
и
),
поскольку
умножение на
переводит рациональные числа в
иррациональные. Тем не менее изоморфизм построить можно. Для
этого надо взять возрастающие последовательности рациональных чисел
и
, сходящиеся
соответственно к
и
и построить кусочно -
линейную
функцию
, которая переводит
в
и линейна на каждом
из отрезков
(рис.7.1
).
Легко понять, что она будет искомым
изоморфизмом.
103. Покажите, что множество рациональных чисел интервала и
множество
изоморфны. (Указание: здесь тоже
можно построить ломаную; впрочем, у этой задачи есть и другое решение,
которое начинается с того, что функция
переводит
рациональные числа в рациональные.)
Более сложная конструкция требуется в следующей задаче (видимо, ничего проще, чем сослаться на общую теорему 13, тут не придумаешь).
104. Докажите, что множество двоично - рациональных чисел
интервала
изоморфно множеству
. (Число считается двоично - рациональным, если оно имеет вид
, где
- целое число, а
- натуральное.)
Два элемента ,
линейно упорядоченного множества
называют соседними, если
и не
существует элемента между
ними, то есть такого
, что
. Линейно
упорядоченное
множество называют плотным,
если в нем нет соседних
элементов (то есть между любыми двумя есть третий).
Теорема 13. Любые два счетных плотных линейно упорядоченных множества без наибольшего и наименьшего элементов изоморфны.
Доказательство.
Пусть и
- данные нам множества. Требуемый
изоморфизм
между ними строится по шагам. После
шагов у нас есть два
- элементных подмножества
и
,
элементы которых мы будем называть " охваченными", и
взаимно однозначное соответствие между ними, сохраняющее
порядок. На очередном шаге мы берем какой - то неохваченный
элемент одного из
множеств (скажем, множества
) и сравниваем его со всеми
охваченными
элементами
. Он может оказаться либо меньше всех,
либо больше, либо попасть между какими - то двумя. В
каждом из случаев мы можем найти неохваченный элемент в
,
находящийся в том же положении (больше всех,
между первым и вторым
охваченным сверху,
между вторым и третьим
охваченным сверху и т.п.).
При этом мы пользуемся тем, что
в
нет наименьшего элемента, нет наибольшего и нет соседних
элементов, - в зависимости от того, какой из трех случаев имеет
место. После этого мы добавляем выбранные элементы к
и
,
считая их соответствующими друг другу.
Чтобы в пределе
получить изоморфизм между множествами и
, мы
должны
позаботиться о том, чтобы все элементы обоих множеств были рано
или поздно охвачены. Это можно сделать так: поскольку каждое
из множеств счетно, пронумеруем его элементы и будем выбирать
неохваченный элемент с наименьшим номером (на нечетных шагах -
из
, на четных - из
). Это соображение завершает
доказательство.
105. Сколько существует неизоморфных счетных плотных
линейно упорядоченных множеств (про наименьший и наибольший
элементы ничего не известно). (Ответ: .)
106. Приведите пример двух плотных линейно упорядоченных множеств
мощности континуум без наименьшего и наибольшего элементов,
не являющихся изоморфными.
(Указание: возьмите множества и
.)
Теорема 14.
Всякое счетное линейно упорядоченное множество
изоморфно некоторому подмножеству множества .
Доказательство.
Заметим сразу же, что вместо множества можно было взять
любое плотное счетное всюду плотное множество без первого
и последнего элементов, так как они все изоморфны.
Доказательство этого утверждения происходит так же, как и в теореме 13 - с той разницей, что новые необработанные элементы берутся только с одной стороны (из данного нам множества), а пары к ним подбираются в множестве рациональных чисел.
107. Дайте другое доказательство теоремы 14, заметив,
что любое множество изоморфно подмножеству множества
.