Россия, Челябинск, Южно-Уральский Государственный Университет (НИУ) |
Эквивалентность и порядок. Изоморфизмы
Отношения эквивалентности и порядка
Напомним, что бинарным отношением на множестве называется
подмножество
; вместо
часто пишут
.
Бинарное отношение на множестве
называется отношением эквивалентности,
если выполнены следующие свойства:
- (рефлексивность)
для всех
;
- (симметричность)
для всех
;
- (транзитивность)
для любых элементов
.
Имеет место следующее очевидное, но часто используемое утверждение:
Теорема 11.
(а)
Если множество разбито в объединение непересекающихся
подмножеств, то отношение " лежать в одном подмножестве"
является отношением эквивалентности.
(б) Всякое отношение эквивалентности получается описанным способом из некоторого разбиения.
Доказательство.
Первое утверждение совсем очевидно; мы приведем доказательство
второго, чтобы было видно, где используются все пункты
определения эквивалентности. Итак, пусть - отношение
эквивалентности. Для каждого элемента
рассмотрим его класс эквивалентности - множество
всех
, для которых верно
.
Докажем, что для двух различных ,
такие
множества либо
не пересекаются, либо совпадают. Пусть они пересекаются, то есть
имеют общий элемент
. Тогда
и
, откуда
(симметричность) и
(транзитивность), а также
(симметричность). Поэтому для любого
из
следует
(транзитивность) и
наоборот.
Осталось заметить, что в силу рефлексивности каждый элемент
принадлежит задаваемому им классу, то есть действительно
все множество
разбито на непересекающиеся классы.
78. Покажите, что требования симметричности и транзитивности можно
заменить одним:
(при сохранении требования рефлексивности).
79. Сколько различных отношений эквивалентности существует на множестве ?
80. На множестве задано два отношения эквивалентности,
обозначаемые
и
, имеющие
и
классов
эквивалентности соответственно.
Будет ли их пересечение
отношением эквивалентности? Сколько у него может быть классов?
Что можно сказать про объединение отношений?
81. (Теорема Рамсея)
Множество всех - элементных подмножеств
бесконечного множества
разбито на
классов
(
,
-
натуральные числа). Докажите, что найдется бесконечное множество
, все
- элементные подмножества
которого
принадлежат одному классу.
(При это очевидно: если бесконечное множество разбито
на конечное число классов, то один из классов бесконечен. При
и
утверждение можно сформулировать так:
из бесконечного множества людей можно выбрать либо
бесконечно много попарно знакомых, либо бесконечно много
попарно незнакомых. Конечный вариант этого утверждения - о том,
что среди любых шести людей есть либо три попарно знакомых,
либо три попарно незнакомых, - известная задача для школьников.)
Множество классов эквивалентности называют фактор -
множеством
множества по отношению эквивалентности
.
(Если отношение согласовано с дополнительными структурами
на
, получаются фактор - группы, фактор - кольца и т.д)
Отношения эквивалентности нам не раз еще встретятся, но сейчас наша основная тема - отношения порядка.
Бинарное отношение на множестве
называется отношением
частичного порядка,
если выполнены такие свойства:
(Следуя традиции, мы используем символ (а не букву) как знак
отношения порядка.) Множество с заданным на нем отношением частичного
порядка называют частично упорядоченным.
Говорят, что два элемента частично упорядоченного
множества сравнимы,
если
или
. Заметим,
что определение частичного порядка не требует, чтобы любые два
элемента множества были сравнимы. Добавив это требование, мы получим
определение линейного порядка ( линейно упорядоченного
множества ).
Приведем несколько примеров частичных порядков:
- Числовые множества с обычным отношением порядка (здесь порядок будет линейным).
- На множестве
всех пар действительных чисел можно ввести частичный порядок, считая, что
, если
и
. Этот порядок уже не будет линейным: пары
и
не сравнимы.
- На множестве функций с действительными аргументами и значениями
можно ввести частичный порядок, считая, что
, если
при всех
. Этот порядок не будет линейным.
- На множестве целых положительных чисел можно определить порядок,
считая, что
, если
делит
. Этот порядок тоже не будет линейным.
- Отношение " любой простой делитель числа
является также и делителем числа
" не будет отношением порядка на множестве целых положительных чисел (оно рефлексивно и транзитивно, но не антисимметрично).
- Пусть
- произвольное множество. Тогда на множестве
всех подмножеств множества
отношение включения
будет частичным порядком.
- На буквах русского алфавита традиция определяет некоторый
порядок
(
). Этот порядок линеен - про любые две буквы можно сказать, какая из них раньше (при необходимости заглянув в словарь).
- На словах русского алфавита определен лексикографический
порядок (как в словаре). Формально определить его можно так:
если слово
является началом слова
, то
(например,
). Если ни одно из слов не является началом другого, посмотрим на первую по порядку букву, в которой слова отличаются: то слово, где эта буква меньше в алфавитном порядке, и будет меньше. Этот порядок также линеен (иначе что бы делали составители словарей?).
- Отношение равенства (
) также является отношением частичного порядка, для которого никакие два различных элемента не сравнимы.
- Приведем теперь бытовой пример. Пусть есть множество
картонных коробок. Введем на нем порядок, считая, что
, если коробка
целиком помещается внутрь коробки
(или если
и
- одна и та же коробка). В зависимости от набора коробок этот порядок может быть или не быть линейным.
Пусть - элементы частично упорядоченного
множества
.
Говорят, что
, если
и
. Для этого отношения
выполнены такие
свойства:
![\begin{gather*}
x \not< x;\\
(x< y) \text{ и } (y < z)\ \Rightarrow\ x < z.
\end{gather*}](/sites/default/files/tex_cache/99bce2cc92e2c2d40a50a653daa04790.png)
![x\hm<y](/sites/default/files/tex_cache/7b62ba2b958b2f4120b1ac8745335bc6.png)
![y\hm<z](/sites/default/files/tex_cache/31ea3662484a3318f0c8204e586fa96b.png)
![x\hm\le y](/sites/default/files/tex_cache/2095058908b19d8dfd3ef433a979e462.png)
![x\hm\ne y](/sites/default/files/tex_cache/db33193cf441dbadb5eb0c7ddfcb2467.png)
![y\hm\le z](/sites/default/files/tex_cache/0b839f0a94c27d579806e72f47e1aba1.png)
![y\hm\ne z](/sites/default/files/tex_cache/52766532d814f19d72b312ecadc2e0a4.png)
![x\hm\le z](/sites/default/files/tex_cache/9f3c623766e19fda75ae8e4ccbb1e7ef.png)
![x\hm=z](/sites/default/files/tex_cache/4a94ac8cbe4f82b2354c3530a3c5d1dd.png)
![x\hm\le y\hm\le x](/sites/default/files/tex_cache/40d295d3ea36668c60e7e12813d86e4c.png)
![x\hm=y](/sites/default/files/tex_cache/c192c3d0377b8f00fc7c1f0b6889294b.png)
Терминологическое замечание: мы читаем знак как " меньше
или равно", а знак
- как " меньше", неявно
предполагая, что
тогда и только тогда, когда
или
.
К счастью, это действительно так. Еще одно замечание: выражение
("
больше
") означает,
что
,
а выражение
("
больше или
равно
") означает,
что
.