Система с потерями и В-формула Эрланга

Пример 7.5.2: Вычисление EJA) для большого х

Применяя рекурсию, (7.30) мы находим:

Это выражение является обратной вероятностью блокировки В-формулы. При больших значениях х эта формула может быть применена для быстрого вычисления В-формулы, потому что мы можем ограничить сумму, когда ее элементы становятся очень маленькими.

Принципы измерения нагрузки

Когда измеряется нагрузка системы обслуживания, необходимо обеспечить баланс требований уровня обслуживания и экономических ограничений. В этой лекции мы увидим, как это может быть сделано.

В системах телекоммуникации есть несколько показателей, которые характеризуют обслуживание. Самый объемный показатель - Качество обслуживания ( QoS ). Он включает все аспекты соединения, такие, как качество речи, задержка информации, потери, надежность и т.д. Мы рассматриваем только небольшое подмножество этих аспектов: Уровень обслуживания ( GoS ) или сетевые рабочие характеристики включают аспекты, связанные только с емкостью сети.

После публикации формулы Эрланга в 1920 были установлены функциональные отношения между числом каналов, предложенной нагрузкой и уровнем обслуживания (вероятностью блокировки). Таким образом, были установлены показатели по качеству обслуживания нагрузки. Тогда существовали прямые линии между всеми станциями в области Копенгагена по группам направлений.

Если зафиксировать значение потерь нагрузки от блокировки по всем направлениям, то применение В-формулы Эрланга для слежения за нагрузкой по направлениям было бы ограниченным.

Кай Мо (Kai Мое 1893-1949), который был главным инженером Копенгагенской Телефонной Компании, сделал некоторые количественные экономические оценки и издал несколько распоряжений, где он вводил критические соображения по связи коммерческих интересов и блокировок. Сегодня они известны, в математической экономике как принципы Мо. Самуэльсон (Р.А. Samuelson) позже привел подобные соображения в своей известной книге, первоначально изданной в 1947 г.

На основе работ Мо сформулированы фундаментальные принципы измерения нагрузки для телекоммуникационных системах как Принципы Мо (Jensen, 1950 [50]).

Измерение нагрузки с фиксированной вероятностью блокировки

Для хорошей работы система с потерями должна иметь показатели потерь (вероятности блокировок) на достаточно низком уровне. Практически число каналов должно быть выбрано так, чтобы приблизительно было 1 %, чтобы избежать перегрузки из-за многих незаконченных вызовов и повторных попыток вызовов, которые перегружают систему и доставляют неприятности абонентам. [51]

Таблица 7.1 показывает предложенную нагрузку для фиксированной вероятности блокировки Е=1% при некоторых значениях п.

Таблица также дает удельное использование каналов, которое принимает более высокое значение для больших групп. Если мы увеличиваем предложенную нагрузку на 20 % до , то замечаем увеличение вероятности блокировки для всех значений , но больше всего - для больших значений п.

Общая стоимость для данного числа каналов тогда: (а) стоимость кабеля и (б) убытки из-за потерянной нагрузки (упущенный доход):

( 7.32)

Здесь - А предложенная нагрузка, то есть потенциальный запрос на обслуживание нагрузки в рассматриваемой группе. Затраты из-за потерянной нагрузки уменьшаются с увеличением я, тогда как расходы из-за кабеля увеличиваются с увеличением п. Общая стоимость может иметь минимум для некоторого значения п. Практически п - целое число, и мы ищем значение n, для которого имеем (см. рис.7.6):

и

Таблица 7.1. Верхняя часть показывает предложенную нагрузку А, удельное использование каналов в направлении - а и функцию увеличения - (7.16) для фиксированного значения вероятности блокировки Е=1 % и п каналов в направлении. Нижняя часть показывает значения Е, а и F (А), полученные при повышении нагрузки на 20%

n	1	2	5	10	20	50	100
A(E=1%) a	0.010 0.010 0.000	0.153 0.076 0.001	1.361 0.269 0.011	4.461 0.442 0.027	12.031 0.596 0.052	37.901 0.750 0.099	84.064 0.832 0.147
E[%] a	0.012 1.198 0.012 0.000	0.183 1.396 0.090 0.002	1.633 1.903 0.320 0.023	5.353 2.575 0.522 0.072	14.437 3.640 0.696 0.173	45.482 5.848 0.856 0.405	100.877 8.077 0.927 0.617

Таблица 7.2. Для фиксированного значения функции увеличения мы вычислили те же самые значения, как в таблице 7.1

	1	2	5	10	20	50	100
	0.271 0.213 21.29	0.607 0.272 10.28	2.009 0.387 3.72	4.991 0.490 1.82	11.98 0.593 0.97	35.80 0.713 0.47	78.73 0.785 0.29
A{%} a	0.325 24.51 0.245 0.067	0.728 13.30 0.316 0.074	2.411 6.32 0.452 0.093	5.989 4.28 0.573 0.120	14.38 3.55 0.693 0.169	42.96 3.73 0.827 0.294	94.476 4.62 0.901 0.452

Рис. 7.6. Общая стоимость состоит из затрат на кабель и упущенного дохода из-за блокировок нагрузки (7.32).

Минимум общей стоимости получается, когда выполняется неравенство (7.33), то есть когда две функции стоимости имеют тот же самый наклон с противоположными знаками (квант приращения). ( ). Минимум получен для n = 30 каналов

При мы имеем

( 7.33)

( 7.34)

где

( 7.35)

называется значением выигрыша. Заметим, что не входит в условие минимума. Это значение определяет, выгодно ли передавать нагрузку вообще. Мы должны потребовать, что для некоторого положительного значения п выполняется неравенство:

( 7.36)

Pис.7.7 показывает вероятности блокировки для некоторых значений . Отметим, что экономический расчет на прибыль в некотором смысле заложен в значении выигрыша. Практически мы выбираем частично независимо от функции стоимости.

В Дании использовались следующие значения:

для первичных групп каналов;

для обслуживания резервных первичных групп. (7.37);

для групп без альтернативного маршрута.

Рис. 7.7.

Случай, когда размерность вероятности блокировки нагрузки с фиксированным значением значения выигрыша для малых значений предложенной нагрузки становится большим (см. таблицу. 7.2)

Краткие итоги

• В-формула Эрланга основана на модели, которая содержит три элемента: структура, стратегия и нагрузка.
• Мы рассматриваем систему из п идентичных обслуживающих приборов (серверы, каналы, слоты), работающих параллельно.
• Вызов, достигая системы, принимается для обслуживания, если, по крайней мере, один канал свободен. Если все каналы заняты, система переполняется, и попытка вызова блокируется.
• Принимается, что времена обслуживания являются экспоненциально распределенными с интенсивностью . Процесс поступления вызовов - Пуассоновский процесс со скоростью .
• Предполагается, что предложенная нагрузка поступает при бесконечном числе каналов.
• Самые важные показатели уровня обслуживания для систем с потерями - потери по времени Е, потери по вызовам В, и потери по нагрузке С.
• Состояние системы, [i], как число занятых каналов i (i = 0; 1; 2,...). Все состояния системы показаны в виде окружностей и дуг от одного состояния до другого состояния, на которых приведены значения интенсивности.
• Предполагается, что система находится в статистическом равновесии. В статистическом равновесии число в единицу времен переходов в состояние [i] равно числу переходов из состояния [i].
• Будущее развитие диаграммы состояний зависит только от существующего состояния, а не от того, как процесс прибыл в это состояние (марковское свойство).

• Во многих случаях мы можем применять простую структуру диаграммы перехода состояния. Применим фиктивное сечение, например, между состоянием [i-1] и [i] (т.е. выделяем переходы от состояния [0]; [1].... [i-1]). Затем рассматриваем в статистическое равновесие нагрузки от состояния [i-1] к [i] и изменение от состояния [i] к [i-1]
• Число занятых каналов в случайный момент времени подчиняется Пуассоновскому распределению, число вызовов в фиксированном временном интервале также подчиняется Пуассоновскому распределению.
• Усеченное Пуассоновское распределение (первая формула Эрланга) -это такое распределение, для которого пространство состояний ограничено {0; 1,... n}.

• Потери по времени: вероятность, что все п каналов заняты в случайный момент времени.

  Потери по вызовам: вероятность, что случайный вызов будет потерян.

  Потери по нагрузке: разность между предложенной и потерянной нагрузкой.

  Для всех систем с Пуассоновскими потоками вызовов эти характеристики равны.
• Нагрузка, которую несет i - ый канал (использование ), зависит от типа поиска.
• Функция увеличения обозначает увеличение обслуженной нагрузки, когда число каналов увеличено на один от п до п + 1.
• Стандартная процедура моделирования задач посредством применения диаграмм перехода состояния состоит из множества шагов и может быть сформулирована в общих терминах. Эта процедура также применима для многомерных диаграмм перехода состояния.
• Для вычислений формула Эрланга не является удобной: n! увеличивается так быстро, что в компьютере возникает перегрузка, поэтому на практике применяется рекурсивная формула.
• Когда измеряется нагрузка системы обслуживания, мы должны обеспечить баланс требований уровня обслуживания и экономических ограничений.
• Самый объемный показатель - Качество обслуживания, ( QoS ). Он включает все аспекты соединения, такие, как качество речи, задержка информации, потери, надежность и т.д. Уровень обслуживания ( GoS ) или сетевые рабочие характеристики включают аспекты, связанные только с емкостью сети.
• На основе работ Мо сформулированы фундаментальные принципы измерения нагрузки для телекоммуникационных системах как Принципы Мо
• Общая стоимость для данного числа каналов - стоимость кабеля и убыль из-за потерянной нагрузки (упущенный доход).