Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки? Спасибо! |
Планирование экспериментов
4.6. Точность и количество реализаций модели при определении средних значений параметров
Найдем функциональную связь точности е и достоверности а с количеством реализаций модели, когда в качестве показателей эффективности выступают матожидание и дисперсия некоторой случайной величины (времени, расстояния и т. п.).
4.6.1. Определение оценки матожидания
Найдем искомую связь для случая, когда целью эксперимента является определение оценки матожидания некоторой случайной величины.
В прогонах модели получены независимые значения интересующего нас показателя эффективности:
В качестве оценки матожидания возьмем выборочное среднее (среднее арифметическое):
В последующей теме мы покажем, что оценка такого вида является наилучшей.
Согласно центральной предельной теореме, если значения независимы и имеют конечные дисперсии одного порядка, то при большом числе слагаемых случайная величина имеет практически нормальное распределение с матожиданием и дисперсией соответственно:
где - дисперсия искомой случайной величины
Следовательно, справедливо
где - интеграл вероятности.
В некоторых изданиях под интегралом вероятности понимают несколько иное выражение, поэтому целесообразно пользоваться интегралом Лапласа, который связан с интегралом вероятности
так: . - интеграл Лапласа. Из приведенного следует:
Сравнивая это выражение с выражением (4.1), имеем:
Интеграл Лапласа табулирован, следовательно, задаваясь значением достоверности , определяется аргумент .
Итак, искомая связь между точностью , достоверностью и числом реализаций модели получена:
Из выражений (4.2) следует:
- увеличение точности на порядок (уменьшение ошибки на порядок) потребует увеличения числа реализаций на два порядка;
- число необходимых реализаций модели не зависит от величины искомого параметра а от дисперсии
Достоверность результата указана значением аргумента функции Лапласа . Связь значения с находится из таблицы значений функции (интеграла) Лапласа. Наиболее употребительные соответствия и приведены в табл. 4.3.
0.8 | 0.85 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | 0.995 | 0.999 | |
1.28 | 1.44 | 1.65 | 1.96 | 2.58 | 2.81 | 3.30 |
Чтобы пользоваться формулами (4.2), нужно знать дисперсию . Очень редки случаи, когда значение дисперсии известно до эксперимента, поэтому возможны два способа предварительного определения дисперсии.
Первый способ. Иногда заранее известен размах значений искомой случайной величины:
В предположении нормального распределения случайной величины , можно с использованием "правила трех сигм" получить приближенную оценку :
Второй способ. Надо воспользоваться оценкой дисперсии. Для этого необходимо выполнить предварительный прогон модели в количестве реализаций. С использованием полученного ряда , найдем оценку дисперсии:
Здесь - среднеарифметическое значение по измерениям. И в этом случае формулы (4.2) имеют вид:
Вычисленную дисперсию подставим в формулу для определения . Если окажется то моделирование должно быть продолжено до выполнения реализаций. Если же , то моделирование заканчивается. Необходимая точность оценки случайной величины (искомого показателя эффективности) при заданной достоверности достигнута.
Если в технических условиях задана относительная точность , то формулы (4.3) принимают вид:
Значение определяется на основании прогонов модели. Все дальнейшие расчеты аналогичны только что рассмотренным аналитическим выражениям.
Вышеприведенные рассуждения и выражения были справедливы в предположении нормального закона распределения случайной величины . Если в этом есть сомнение, то для определения связи , и можно воспользоваться неравенством Чебышева П. Ф.:
С учетом направления знаков неравенств получим:
Также как и в предыдущих случаях вместо неизвестной дисперсии следует использовать ее оценку , вычисленную по данным прогонов модели. И еще: обратим внимание, что в данном случае достоверность участвует в формулах в явном виде.
Итак, в выражениях (4.3) мы вместо неизвестной дисперсии используем ее оценку . В этом случае вместо аргумента функции Лапласа надо использовать параметр распределения Стьюдента , значения которого зависят не только от уровня достоверности , но и от числа так называемых степеней свободы . Здесь, как и прежде, - число прогонов модели. Вообще-то, при распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению, но при малом числе прогонов модели заметно отличается от .
Для практических целей значения можно взять из табл. 4.4.
Из табл. 4.4 видно, что при значения и практически совпадают. Но при меньших значениях следует пользоваться величиной .
0.8 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | 0.999 | |
---|---|---|---|---|---|
10 | 1.37 | 1.81 | 2.23 | 3.17 | 4.6 |
20 | 1.33 | 1.73 | 2.1 | 2.85 | 3.73 |
30 | 1.31 | 1.7 | 2.04 | 2.75 | 3.65 |
40 | 1.3 | 1.68 | 2.02 | 2.7 | 3.55 |
60 | 1.3 | 1.67 | 2.0 | 2.67 | 3.41 |
120 | 1.29 | 1.66 | 1.98 | 2.62 | 3.37 |
4.6.2. Определение оценки дисперсии
Мы научились находить оценку матожидания некоторой случайной величины с заданными точностью и достоверностью.
Теперь рассмотрим задачу определения оценки дисперсии случайной величины также с заданными точностью и достоверностью.
Опустим вывод и приведем окончательный вид формул для расчета и :
где - эмпирический центральный момент четвертого порядка:
Неизвестное значение заменяется оценкой , как было рассмотрено ранее.
Если определяемая случайная величина имеет нормальное распределение, то и выражения для и принимают вид:
Как и ранее при малых значениях ( ) следует использовать параметр распределения Стьюдента .
Из сопоставления (4.3) и (4.4) следует, что одно и то же количество реализаций модели обеспечит разное значение ошибки при оценке матожидания случайной величины и ее дисперсии - при одинаковой достоверности. И иначе: одинаковую точность определения оценок матожидания и дисперсии случайного параметра при одинаковой достоверности обеспечит разное число реализаций модели.
Пример 4.5. В результате предварительных прогонов модели определена оценка дисперсии .
Определить число реализаций модели и для определения оценок матожидания и дисперсии случайной величины соответственно с точностью и достоверностью
Решение