Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки? Спасибо! |
Планирование экспериментов
4.6. Точность и количество реализаций модели при определении средних значений параметров
Найдем функциональную связь точности е и достоверности а с количеством реализаций модели, когда в качестве показателей эффективности выступают матожидание и дисперсия некоторой случайной величины (времени, расстояния и т. п.).
4.6.1. Определение оценки матожидания
Найдем искомую связь для случая, когда целью эксперимента является определение оценки матожидания некоторой случайной величины.
В прогонах модели получены независимые значения интересующего нас показателя эффективности:
![a _{1}, a _{2}, \ldots, a_{i}, \ldots, a_{N} .](/sites/default/files/tex_cache/809e1ca7cd4e0803750b7d5e18aaf2fa.png)
В качестве оценки матожидания возьмем выборочное среднее (среднее арифметическое):
![\overline{a}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}{a_i}}{N}](/sites/default/files/tex_cache/1e7c3097ce12a44a1759041760d9cbc2.png)
В последующей теме мы покажем, что оценка такого вида является наилучшей.
Согласно центральной предельной теореме, если значения независимы и имеют конечные дисперсии одного порядка, то при большом числе слагаемых
случайная величина
имеет практически нормальное распределение с матожиданием и дисперсией соответственно:
![M[\overline{a}]=M[a],\,\sigma_{\overline{a}}^2=\cfrac{\sigma_{a}^2}{N},\,\,
\sigma_{\overline{a}}=\cfrac{\sigma_{a}}{\sqrt{N}}](/sites/default/files/tex_cache/1336d862d4218760d8abba06b421cc0b.png)
где - дисперсия искомой случайной величины
Следовательно, справедливо
![P(|\overline{a}-M[a]|< t_a\sigma_{\overline{a}}) = \Phi^*(t_{\alpha}),](/sites/default/files/tex_cache/8ac7cb81b84f252974c8dba41108ddb1.png)
где - интеграл вероятности.
В некоторых изданиях под интегралом вероятности понимают несколько иное выражение, поэтому целесообразно пользоваться интегралом Лапласа, который связан с интегралом вероятности
так: .
- интеграл Лапласа. Из приведенного следует:
![P(|\overline{a}-M[a]|< t_a\sigma_{\overline{a}}) = 2\Phi(t_{\alpha}),](/sites/default/files/tex_cache/db4b470164210b9f29a147a5c9d03b94.png)
Сравнивая это выражение с выражением (4.1), имеем:
![\varepsilon = t_{\alpha}\sigma_{\overline{a}}= t_{\alpha}\cfrac{\sigma_{\alpha}}{\sqrt{N}}=\alpha,\,\,
t_{\alpha}=\Phi^{-1}\left (\cfrac{\alpha}{2}\right )](/sites/default/files/tex_cache/43d4ce8c14900bf187460957b685278d.png)
Интеграл Лапласа табулирован, следовательно, задаваясь значением достоверности , определяется аргумент
.
Итак, искомая связь между точностью , достоверностью
и числом реализаций модели получена:
![\varepsilon = t_{\alpha }\cfrac{\sigma_{\alpha}}{\sqrt{N}},\,\,
N = t^{2}_{\alpha } \cfrac{\sigma_{\alpha}^2}{\varepsilon^2} .](/sites/default/files/tex_cache/9b1294046edb4c111a30bc9487ca2fdc.png)
Из выражений (4.2) следует:
- увеличение точности на порядок (уменьшение ошибки на порядок) потребует увеличения числа реализаций на два порядка;
- число необходимых реализаций модели
не зависит от величины искомого параметра
а от дисперсии
Достоверность результата указана значением аргумента функции Лапласа
. Связь значения
с
находится из таблицы значений функции (интеграла) Лапласа. Наиболее употребительные соответствия
и
приведены в табл. 4.3.
![]() |
0.8 | 0.85 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | 0.995 | 0.999 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() |
1.28 | 1.44 | 1.65 | 1.96 | 2.58 | 2.81 | 3.30 |
Чтобы пользоваться формулами (4.2), нужно знать дисперсию . Очень редки случаи, когда значение дисперсии известно до эксперимента, поэтому возможны два способа предварительного определения дисперсии.
Первый способ. Иногда заранее известен размах значений искомой случайной величины:
![R = \max {a_{i}} -\min{a_i}.](/sites/default/files/tex_cache/0573f45a9f68ecd03b985ee6e447415d.png)
В предположении нормального распределения случайной величины , можно с использованием "правила трех сигм" получить приближенную оценку
:
![\cfrac{R}{2}\approx 3\sigma_{a},\,\,
\sigma_a\approx \cfrac{R}{6},\,\,
\sigma_a^2\approx \cfrac{R^2}{36}](/sites/default/files/tex_cache/4faf1801c8deea742f8760fc6e485e5e.png)
Второй способ. Надо воспользоваться оценкой дисперсии. Для этого необходимо выполнить предварительный прогон модели в количестве реализаций. С использованием полученного ряда
, найдем оценку дисперсии:
![S_{\alpha}^2=\cfrac{1}{N^{*}-1}\sum\limits_{i-1}^N{(a_i-\overline{a})^2},\,\,
S=\sqrt{\cfrac{1}{N^{*}-1}\sum\limits_{i-1}^N{(a_i-\overline{a})^2}}](/sites/default/files/tex_cache/9bc780943753409aa99c0437754cb4d9.png)
Здесь - среднеарифметическое значение по
измерениям. И в этом случае формулы (4.2) имеют вид:
![N=t_{\alpha}^2\cfrac{S^2_{a}}{\varepsilon^2},\,\,
\varepsilon=t_{\alpha}\cfrac{S_a}{\sqrt{N}}](/sites/default/files/tex_cache/56749fd2ff688a98c9fd367e789e8223.png)
Вычисленную дисперсию подставим в формулу для определения
. Если окажется
то моделирование должно быть продолжено до выполнения
реализаций. Если же
, то моделирование заканчивается. Необходимая точность
оценки случайной величины
(искомого показателя эффективности) при заданной достоверности
достигнута.
Если в технических условиях задана относительная точность , то формулы (4.3) принимают вид:
![N=t_{\alpha}^2\cfrac{S^2_{a}}{d^2\overline{a}^2},\,\,
d=t_{\alpha}\cfrac{S_a}{\overline{a}\sqrt{N}}](/sites/default/files/tex_cache/bbc5f1fb291b7d8af5ed9c248771cde1.png)
Значение определяется на основании
прогонов модели. Все дальнейшие расчеты аналогичны только что рассмотренным аналитическим выражениям.
Вышеприведенные рассуждения и выражения были справедливы в предположении нормального закона распределения случайной величины . Если в этом есть сомнение, то для определения связи
,
и
можно воспользоваться неравенством Чебышева П. Ф.:
![P(|\overline{a}-M[a]|\ge \varepsilon) \le \cfrac{\sigma^2_{\alpha}}{N\sigma^2}](/sites/default/files/tex_cache/71632fd910483f7edac1f7072fdf99a7.png)
С учетом направления знаков неравенств получим:
![\cfrac{\sigma^2_{\alpha}}{N\sigma^2}=1-\alpha
\Rightarrow
N = \cfrac{\sigma^2_{\alpha}}{\varepsilon^2(1-\alpha)}
\Rightarrow
\varepsilon =\sqrt{\cfrac{\sigma^2_{\alpha}}{N(1-\alpha)}}](/sites/default/files/tex_cache/30de9bc93a2a358c92389ba323a78e29.png)
Также как и в предыдущих случаях вместо неизвестной дисперсии следует использовать ее оценку
, вычисленную по данным
прогонов модели. И еще: обратим внимание, что в данном случае достоверность
участвует в формулах в явном виде.
Итак, в выражениях (4.3) мы вместо неизвестной дисперсии используем ее оценку
. В этом случае вместо аргумента функции Лапласа
надо использовать параметр распределения Стьюдента
, значения которого зависят не только от уровня достоверности
, но и от числа так называемых степеней свободы
. Здесь, как и прежде,
- число прогонов модели. Вообще-то, при
распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению, но при малом числе прогонов модели
заметно отличается от
.
Для практических целей значения можно взять из табл. 4.4.
Из табл. 4.4 видно, что при значения
и
практически совпадают. Но при меньших значениях
следует пользоваться величиной
.
![]() |
![]() |
||||
---|---|---|---|---|---|
0.8 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | 0.999 | |
10 | 1.37 | 1.81 | 2.23 | 3.17 | 4.6 |
20 | 1.33 | 1.73 | 2.1 | 2.85 | 3.73 |
30 | 1.31 | 1.7 | 2.04 | 2.75 | 3.65 |
40 | 1.3 | 1.68 | 2.02 | 2.7 | 3.55 |
60 | 1.3 | 1.67 | 2.0 | 2.67 | 3.41 |
120 | 1.29 | 1.66 | 1.98 | 2.62 | 3.37 |
4.6.2. Определение оценки дисперсии
Мы научились находить оценку матожидания некоторой случайной величины
с заданными точностью и достоверностью.
Теперь рассмотрим задачу определения оценки дисперсии случайной величины
также с заданными точностью и достоверностью.
Опустим вывод и приведем окончательный вид формул для расчета и
:
![N=t_{\alpha}^2\cfrac{(\mu_4-\sigma^4)}{\varepsilon^2};\,\,
\varepsilon=t_{\alpha}\sqrt{\cfrac{(\mu_4-\sigma^4)}{\varepsilon^2}}](/sites/default/files/tex_cache/0fb2d43b364b2ad636f4b9d3ad22aa14.png)
где - эмпирический центральный момент четвертого порядка:
![\mu_4=\cfrac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}{(a_i - \overline{a})^4}](/sites/default/files/tex_cache/a40fdc85573ff40c1c3af178bafb8d44.png)
Неизвестное значение заменяется оценкой
, как было рассмотрено ранее.
Если определяемая случайная величина имеет нормальное распределение, то и выражения для
и
принимают вид:
![N=t_{\alpha}^2\cfrac{2S^4}{\varepsilon^2};\,\,
\varepsilon=t_{\alpha}\cfrac{S^2\sqrt{2}}{\sqrt{N}}](/sites/default/files/tex_cache/ff1d61339985ee7be5a71b00bf647f32.png)
Как и ранее при малых значениях (
) следует использовать параметр распределения Стьюдента
.
Из сопоставления (4.3) и (4.4) следует, что одно и то же количество реализаций модели обеспечит разное значение ошибки при оценке матожидания случайной величины
и ее дисперсии - при одинаковой достоверности. И иначе: одинаковую точность определения оценок матожидания и дисперсии случайного параметра при одинаковой достоверности обеспечит разное число реализаций модели.
Пример 4.5. В результате предварительных прогонов модели определена оценка дисперсии
.
Определить число реализаций модели и
для определения оценок матожидания и дисперсии случайной величины
соответственно с точностью
и достоверностью
Решение
![N_1=t_{\alpha}^2\cfrac{S^2}{\varepsilon^2}=1.65^2\cfrac{10}{0.1^2}\approx 2720 \\
N_2=t_{\alpha}^2\cfrac{2S^4}{\varepsilon^2}=1.65^2\cfrac{200}{0.1^2}\approx 54450 \\](/sites/default/files/tex_cache/560816bd188c877ad522016dec595ce4.png)