НОУ ИНТУИТ | Теория экономических механизмов. Лекция 6: Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1544 / 82 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00

ISBN: 978-5-9963-0014-3

Темы: Математика, Экономика

Специальности: Математик, Экономист

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Другие доказательства теоремы Эрроу

Доказательство теоремы 6.1 получилось довольно громоздким и техническим. Конечно, на самом деле это идейное доказательство: мы постепенно получали все более и более сильные свойства определяющих наборов, пока не выяснили, что на самом деле среди них есть одноэлементные множества.

Но можно предложить и другие идейные доказательства, например [7]. В этом параграфе, основанном на работе [21], мы рассмотрим три альтернативных (и достаточно коротких) доказательства теоремы Эрроу. Надеемся, их идеи окажутся достаточно различными, чтобы оправдать такой подход. %Рекомендуем читателю по мере разбора этих доказательств по крайней мере отмечать, %где в каждом из них используется, что альтернатив по меньшей мере три.

Первое доказательство теоремы 6.1. Это доказательство тоже будет проведено в несколько шагов, но на этот раз шаги куда быстрее приведут к цели. Правда, по сравнению с исходным доказательством они могут показаться менее очевидными. Основным для доказательства здесь станет доказательство существования ключевого агента (pivotal agent): агента, который может изменением своего решения изменить результат функции социального выбора.

Если в некотором профиле $(\succeq_1,\ldots,\succeq_N)$ некий исход $x\in\mathcal O$ для каждого агента находится на самом верху или в самом низу (то есть $\forall i$ $\forall y\in O y\succeq_i x$ или $\forall y\in O x\succeq_i y$ ), то в результате ранжирования функция социального выбора также должна поместить на одну крайних позиций.
Доказательство очень простое. Предположим, что это не так, то есть $y\succ_f x\succ_f z$ для некоторых $y\neq x$ , $z\neq x$ . Поскольку у каждого находится в одной из крайних позиций, мы можем, не нарушая никаких индивидуальных предпочтений, переместить в предпочтениях каждого агента над (проверьте, что это возможно!). Тогда по транзитивности $y\succ_f z$ , но единогласное решение агентов гласит, что $z\succ y$ . Противоречие.
Для каждого из исходов $x\in\mathcal O$ существует такой ключевой агент , что для некоторого профиля предпочтений, в котором обладает вышеописанным свойством, он может переместить снизу вверх в результате функции социального выбора, изменив только свой профиль.
Пусть каждый агент поставит в самый низ. По анонимности, должен занимать последнюю позицию. Теперь пусть агенты по одному перемещают с самого низа на самый верх. Рано или поздно переместится и, по пункту , переместится сразу на самую верхнюю позицию. Вот последний перед этим профиль предпочтений и соответствующего агента мы и выберем.
Агент является диктатором для каждой пары исходов $y,z\in\mathcal O$ , не включающей в себя
Выберем элемент — один из этой пары — и рассмотрим профиль из пункта , для которого агент может переместить снизу вверх. Пусть теперь изменит свой профиль, переместив на самый верх: $y\succ_{i^*} x\succ_{i^*} z$ . Рассмотрим всевозможные профили других агентов, в которых и меняются местами произвольно, но остается на своих крайних позициях. По свойству попарной независимости, результат на этих профилях должен быть $y\succ_f x$ , потому что относительные позиции и такие же, как в том профиле, когда у был в самом низу, и в результате тоже был в самом низу. Аналогично, в результате должно быть $x\succ_{f} z$ . Соответственно, по транзитивности должно быть $y\succ_f z$ . Но эта конструкция не зависела от относительного расположения и у других агентов! Иными словами, $y\succ_f z$ тогда и только тогда, когда $y\succ_{i^*}z$ .
Агент является диктатором для любой пары исходов $x,y\in\mathcal O.$
Рассмотрим третью возможность , не входящую в эту пару. Для нее должен быть какой-нибудь диктатор . Он должен быть диктатором для каждой пары, не содержащей , например для . Но может изменить судьбу пары , потому что он может при определенных обстоятельствах переместить с самого низа на самый верх. Значит, и — одно лицо.

Второе доказательство теоремы 6.1. Второе доказательство (как, собственно, и третье) тоже будет строить агента-диктатора. Но делать это мы будем уже другим способом. Давайте рассмотрим парадокс Кондорсе и впишем его в профили агентов. Обозначим возможные исходы в алфавитном порядке через $\mathcal O=\{x,y,\ldots, z\}$ . Все агенты в так называемых профилях Кондорсе будут иметь профили одного из $|\mathcal O|$ типов: $\theta_x,\theta_y,\ldots,\theta_z$ . Предпочтения этих типов будут выглядеть так:

$\begin{array}{rcccccccc} \theta_x: & x & \succ & y & \succ & \ldots & \ldots & \succ & z,\\ \theta_y: & y & \succ & z & \succ & \ldots & \ldots & \succ & x,\\ \vdots & \vdots & & \vdots & & & & & \vdots \\ \theta_z: & z & \succ & x & \succ & y & \succ & \ldots & \ldots.\\ \end{array}$

То есть это просто упорядоченная в алфавитном порядке последовательность исходов, сдвинутая циклически так, чтобы в профиле типа $\theta_\alpha$ исход $\alpha$ оказался бы на первом месте.

Если все агенты имеют тип $\theta_x$ , то, по принципу единогласия, $x\succ_f y\succ_f z$ . Рассмотрим все возможные векторы профилей агентов и выберем из них тот, где число агентов типа $\theta_x$ минимально, но результат все равно имеет тип $\theta_x$ . Обозначим этот профиль через $\pi_x$ . Хотя бы один агент i^* , имеющий тип $\theta_x$ , должен существовать в $\pi_x$ , т. к. если никто из агентов не этого типа, то по принципу единогласия $z\succ_f x$ .

Теперь докажем, что i^* может в профиле $\pi_x$ творить вообще все что хочет. Предположим, что исход $\beta$ следует по алфавиту сразу за исходом $\alpha$ , и в профиле $\pi_x$ агент i^* меняет свой тип на $\theta_\beta$ , и в результате получается профиль Кондорсе $\pi_\beta$ . По свойству попарной независимости, все равно в новом профиле $x\succ_f \alpha$ и $\beta\succ_f z$ . Значит, чтобы порядок изменился (а он должен измениться, ведь мы взяли минимальное возможное число агентов типа $\theta_x$ ), нужно, чтобы в результате было верно $\beta \succeq_f \alpha$ (а если $\beta=_f\alpha$ , то по транзитивности должно быть $x\succ_f z$ ).

Пусть i^* изменит свой профиль на $-\theta_x$ , то есть на профиль вида

$z\succ \ldots \succ y \succ x.$

Получится уже не профиль Кондорсе $\pi_{-x}$ . Рассмотрим любые два исхода $\alpha,\beta$ , идущие друг за другом по алфавиту. Тогда $\theta_\beta$ и $\theta_{-\alpha}$ совпадают на паре $\{\beta,\alpha\}$ (в обоих $\beta\succ\alpha$ ) и на паре $\{x,z\}$ (в обоих $z\succ x$ ). Значит, по независимости, на профиле $\pi_{-x}$ $\beta\succeq_f \alpha$ , потому что так было в профиле $\pi_x$ . Но поскольку $\alpha$ и $\beta$ произвольные, то, значит, в профиле $\pi_{-x}$

$z\succeq_f\ldots\succeq_f x.$

Более того, если бы было верно, что $\alpha=_f\beta$ в профиле $\pi_{-x}$ , то они были бы равны и в профиле $\pi_x$ , и, значит, было бы верно, что $x\succ_f z$ в профиле $\pi_\beta$ , а значит, и в профиле $\pi_{-x}$ , что приводит к противоречию. Значит, все неравенства строгие:

$z\succ_f y\succ_f\ldots\succ_f x.$

Теперь покажем, что i^* — диктатор в каждом профиле, не только в $\pi_x$ . Предположим, что в некотором профиле $\pi$ агент i^* является диктатором, то есть при условии, что предпочтения остальных соответствуют профилю $\pi$ , агент i^* может добиться любого желаемого решения. Мы это про агента i^* уже доказали для профиля $\pi_x$ . Изменим тогда $\pi$ на $\pi^\prime$ , позволив ровно одному агенту $i\neq i^*$ поднять ровно одну альтернативу на полшага выше: либо разрешить ничью между $\alpha$ и $\beta$ , либо ее создать, но не то и другое вместе, и других альтернатив менять тоже не позволим. Предположим, что для i^* $\alpha\succ_{i^*} \gamma\succ_{i^*} \beta$ в профиле $\pi$ . Тогда, значит, и в результате профиля $\pi$ $\alpha\succ_f\gamma\succ_f\beta$ (ведь i^* там диктатор). Следовательно, и в $\pi^\prime$ $\alpha\succ_f \gamma$ и $\gamma\succ_f\beta$ , а это значит, что по транзитивности $\alpha\succ_f\beta$ .

А по принципу единогласия это значит, что те полшага, которые сделал агент в профиле $\pi^\prime$ , ничего для изменить не смогли: в $\pi^\prime$ агент i^* является таким же диктатором, каким был и в профиле $\pi$ . Но это значит, что i^* — диктатор везде, ведь из любого профиля в любой другой можно придти последовательностью таких шажков (проверьте!).

Итак, второе доказательство использовало специальный вид профилей предпочтений агентов — обобщение парадокса Кондорсе. Третье, самое короткое, будет весьма интересным — мы докажем лемму о том, как должны соотноситься между собой разные предпочтения.

Лемма 6.1. (о строгой нейтральности) Рассмотрим две пары альтернатив (x,y) и $(\alpha,\beta)$ . Предположим, что предпочтения каждого агента на этих парах совпадают, и все такие предпочтения являются строгими. Тогда предпочтения на выходе функции социального выбора на этих парах тоже будут совпадать и тоже будут строгими. Это выполняется для каждой функции социального выбора.

Доказательство. Если пары (x,y) и $(\alpha, \beta)$ идентичны, то утверждение очевидно. Рассмотрим случай, когда они не совпадают. Предположим без потери общности, что $x\ge y$ . Переместим $\alpha$ (если оно не равно ) в позицию непосредственно сверху для каждого агента, а $\beta$ — в позицию непосредственно снизу для каждого агента (если, конечно, $\beta\neq y$ ). Поскольку все предпочтения строгие, это можно сделать, не нарушив относительного расположения пар (x,y) и $(\alpha,\beta)$ :

$\begin{array}{cc} \alpha & y\\ x & \beta \\ y & \alpha \\ \beta & x\\ \end{array}$

Тогда, по принципу единогласия, $\alpha \succ x$ и $y\succ\beta$ , если они не равны. По транзитивности, $\alpha > \beta$ . Теперь мы можем поменять (x,y) и $(\alpha,\beta)$ местами и в итоге получить, по свойству попарной независимости, что $x\succ_f y$ в исходном профиле. Вот и все, лемма доказана.

Третье доказательство теоремы 6.1. Третье доказательство, опирающееся на лемму 6.1, будет совсем коротким. Рассмотрим два исхода $x\neq y$ и начнем с $y\succ_i x$ для всех .i Пусть теперь, начиная с i=1 , каждый агент по очереди перемещает наверх . По единогласию и лемме 6.1, будет существовать агент i^* , при изменении предпочтения которого перемещается наверх относительно и после применения функции социального выбора. Докажем, что i^* — диктатор. Рассмотрим произвольную пару исходов $(\alpha,\beta)$ , для которой $\alpha\succ_{i^*}\beta$ . Пусть ранжирование этой пары у других агентов будет совершенно произвольным.

Рассмотрим теперь третий исход $z\notin\{\alpha,\beta\}$ и переместим выше всех остальных исходов для агентов от до i^*-1 , ниже всех остальных для агентов от i^*+1 до , а для самого i^* поместим между $\alpha$ и $\beta$ : $\alpha\succ_{i^*} z\succ_{i^*}\beta$ . Тогда, по попарной независимости и лемме 6.1, в предпочтениях социальной функции $\alpha\succ_f z$ и $z\succ_f \beta$ , а это значит, по транзитивности, что $\alpha\succ_f\beta$ . Следовательно, i^* оказался диктатором.

Дальше >>

Авторизоваться

Теория экономических механизмов

Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта

Другие доказательства теоремы Эрроу

Вопросы и ответы