Индексы в статистике

10.3. Агрегатные индексы

При использовании индексного метода на практике чаще всего решают задачу нахождения не индивидуальных, а сводных индексов. Общий (сводный) индекс (I) представляет собой отношение уровней сложного экономического явления, состоящего из элементов, непосредственно несоизмеримых. Он дает обобщающую характеристику изменения одноименного показателя по разнородной совокупности во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым заданным уровнем (например, планируемым или нормативным).

В индексной теории по способу (форме) построения общие (сводные) индексы подразделяют на агрегатные, средние и индексы изменения среднего показателя. Последняя группа индексов имеет свою специфику, о ней мы будем говорить ниже.

Основной формой построения индексов является агрегатная; средние индексы получаются в результате ее преобразования. В агрегатной формуле сводного индекса присутствуют два элемента:

1. индексируемая величина, изменение которой показывает индекс (обозначим ее через х);
2. некоторая постоянная величина, называемая весом индекса (f); с помощью весов несоизмеримые элементы сложного социально-экономического явления приводятся к сопоставимому виду.

Веса в общем индексе необходимы, поскольку суммировать значение признака х по элементам разнородной совокупности неправомерно (например, нельзя суммировать объемы продаж различных товаров в розничной торговле в натуральных единицах измерения). Поэтому находят такой связанный с х показатель (f), при котором произведение х и f имеет экономическое содержание и может суммироваться по всем единицам разнородной совокупности [например, умножив количества товаров на их цены, получим объемы продаж в денежном выражении (товарооборот), которые можно суммировать по разным видам товаров].

Общая формула агрегатного индекса может быть записана следующим образом:

где х₁ и х₀ - значения индексируемой величины, соответственно, в отчетном и базисном периоде;

f - вес или соизмеритель. Значения этого показателя у всех единиц совокупности при исчислении индекса должны быть взяты на уровне одного и того же периода - отчетного или базисного, с тем, чтобы индекс показал изменение только индексируемой величины.

Таким образом, в числителе и знаменателе агрегатной формы индекса находятся просуммированные произведения двух величин, одна из которых - индексируемая величина (в числителе содержится значение, относящееся к отчетному периоду, а в знаменателе - к базисному), а другая - постоянная, являющаяся весом индекса. При этом суммируемых произведений столько, сколько единиц исследуемой совокупности входит в изучаемое явление.

Но к какому периоду должны относиться веса индекса (f) - отчетному или базисному? В теории индексов обычно придерживаются следующих правил:

• индексы качественных показателей строятся с весами отчетного периода. Тогда формула агрегатного индекса примет вид

  
• индексы количественных показателей строятся с весами базисного периода. Формула агрегатного индекса в этом случае имеет следующий вид:

  

Такое построение агрегатных индексов позволяет получить систему взаимосвязанных индексов и провести анализ влияния отдельных факторов на изменение обобщающих результативных показателей.

К количественным относят показатели, характеризующие физические размеры явления, например, производство продукции в натуральном выражении, количество проданного товара, численность работающих, объем промышленно-производственных фондов и т. д. (как правило, в названии количественного показателя содержатся слова "объем", "число", "численность", "количество"; при этом используются простые единицы измерения - метры, килограммы, тонны, штуки, рубли).

Качественный показатель используется для экономической (качественной) характеристики количественной единицы совокупности. Это цена за единицу товара (продукции), себестоимость единицы продукции, фондоотдача, фондоемкость, средняя заработная плата (единица измерения качественного показателя сложная - руб./шт., руб./руб., руб./чел. и т.д.).

Построение агрегатного индекса покажем на примере сводного (общего) индекса цен (I_p). В данном случае индексируемой величиной является цена, поэтому в числителе возьмем ее значение за отчетный период (р₁), а в знаменателе - за базисный (р₀). Непосредственно просуммировать цены отчетного периода и разделить их на сумму базисных цен мы не можем. Если же цену каждого товара умножить на его количество, то полученные произведения, характеризующие товарооборот, суммировать можно. Поскольку цена - качественный показатель, данные о количестве проданных товаров необходимо взять на уровне отчетного периода. Таким образом, получаем следующую формулу агрегатного индекса цен:

Пример 10.2. В таблице представлена следующая информация по ценам и количеству проданной молочной продукции:

Проведем расчет общего индекса цен по агрегатной формуле.

Следовательно, цены на молочную продукцию увеличились в 1,121 раза, или на 12,1%. Агрегатная форма построения индекса позволяет провести расчеты с учетом веса каждого товара в их общей совокупности.

В теории индексов существуют два направления возможного анализа сводных индексов: синтетическое и аналитическое. Различие между ними состоит в интерпретации полученных результатов. При синтетическом подходе индекс рассматривается как показатель, характеризующий среднее изменение уровня индексируемой величины (отметим, что в среднем цены на молочную продукцию увеличились на 12,1%). Аналитический подход подразумевает использование индекса как меры изменения уровня результативного показателя (получаемого в виде произведения индексируемой величины и ее веса) под влиянием изменений индексируемой величины. В рассматриваемом примере числитель формулы содержит суммарный товарооборот по группе товаров отчетного периода (произведение pq представляет собой размер товарооборота), а знаменатель - товарооборот этого же периода, выраженный в ценах базисного периода. Полученный в примере результат 112,1% можно также интерпретировать следующим образом: товарооборот увеличился в отчетном периоде по сравнению с базисным на 12,1% в результате изменения цен.

Аналогичным образом строятся и другие агрегатные индексы качественных показателей. Например, сводный индекс себестоимости, показывающий среднее изменение уровней себестоимости разных видов продукции, в качестве весов также содержит величину физического объема выпускаемой продукции, зафиксированный на уровне отчетного периода (поскольку себестоимость - это качественный показатель)

где z₀ и z₁ - себестоимость единицы продукции данного вида соответственно в базисном и отчетном периодах;

q₁ - физический объем выпуска данного вида продукции в отчетном периоде.

Индексы количественных показателей также требуют применения определенных соизмерителей, в качестве которых выступают те или иные качественные показатели, зафиксированные на уровне базисного периода. В сводном индексе физического объема товарооборота в качестве соизмерителей используются цены за единицу каждого товара, взятые на уровне базисного периода, что позволяет перейти от натуральных единиц измерения к универсальным - стоимостным

Тогда в числителе и знаменателе получим товарооборот соответствующих периодов, выраженный в ценах базисного периода. Индекс покажет, как изменился товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным в результате снижения или роста физического объема продаж (аналитический подход) или как в среднем увеличился или снизился физический объем товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным (синтетический подход).

Пример 10.3. По данным таблицы из примера 10.2 определим изменения объема продаж молочной продукции. Для этого рассчитаем общий индекс физического объема товарооборота.

Таким образом, в среднем физический объем товарооборота молочной продукции увеличился в 1,038 раза, или на 3,8%.

Индекс физического объема рассчитывается при анализе не только товарооборота, но и изменения издержек производства (затрат). В этом случае соизмерителем выступит уже себестоимость единицы продукции (остальные принципы построения индекса останутся прежними):

Агрегатные индексы результативных показателей, получаемых как произведение определенных величин, имеют несколько иной вид. В качестве примера приведем индекс товарооборота (стоимости) продукции. В этом случае сравниваются объемы товарооборота отчетного и базисного периодов, при этом не требуется введения каких-либо соизмерителей, поскольку значения уже сопоставимы и их можно суммировать по разным видам товаров. Агрегатный индекс товарооборота получается как простое соотношение его суммарных значений по группам товаров за разные периоды времени:

Пример 10.4. По данным таблицы из примера 10.2 определим общий индекс товарооборота.

То есть товарооборот (объем проданной молочной продукции в денежном выражении) увеличился в 1,163 раза, или на 16,3%.

Аналогичным образом рассчитывают агрегатные индексы и других результативных показателей. Например, издержки производства можно представить как произведение себестоимости единицы продукции на объем ее производства в натуральном выражении (z_q). Агрегатный индекс издержек обращения имеет вид

Величины, находящиеся в числителе и знаменателе агрегатных индексов, имеют вполне определенный экономический смысл: они характеризуют величину явления в целом по совокупности объектов за отчетный (числитель) и базисный (знаменатель) периоды. Таким образом, если частное этих величин определяет относительное изменение явления - индекс, то их разность характеризует изменение явления в абсолютном выражении в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Например, если из числителя сводного индекса товарооборота вычесть знаменатель () то получим величину, определяющую, на сколько денежных единиц изменился товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным.

И для индивидуальных, и для общих индексов действует общее правило: индексы связаны между собой так же, как и индексируемые величины. Например, товарооборот - это произведение цены на количество реализованного товара. Точно такая же зависимость выполняется для индексов этих показателей:

Аналогично индекс затрат на производство продукции является произведением индекса себестоимости и индекса физического объема продукции:

Следует отметить, что в теории и практике статистики существует несколько подходов к решению проблемы выбора системы взвешивания. В частности, при построении агрегатных индексов цен используется несколько формул расчета этих показателей, названных по имени авторов, их разработавших. Наибольшую известность получили индексы цен Пааше, Ласпейреса и Фишера.

При расчете индекса цен по формуле Пааше в качестве весов берутся количества продукции текущего периода:

С помощью этого индекса определяется изменение цен на товары, реализованные или приобретенные в текущем периоде.

При расчете индекса цен по формуле Ласпейреса в качестве весов используются количества продукции базисного периода:

Данный индекс характеризует изменение цен на товары, реализованные в базисном периоде. По такой схеме обычно строятся индексы стоимости жизни, когда хотят оценить изменение цен на фиксированный набор товаров, обычно приобретаемых определенными группами населения.

Выбор той или иной формулы для оценки динамики цен зависит от принятой в стране методологии расчета, имеющейся информации и целей исследования. Вопрос о том, какая из формул более точно характеризует изменение цен, не совсем корректен: каждый индекс предназначен для решения своей конкретной задачи. Вместе с тем желание получить один показатель для отражения динамики цен привело к появлению целого ряда работ, целью которых было найти идеальную формулу индекса. Наиболее известные работы в этой области принадлежат американскому ученому Ирвину Фишеру, который предложил свой подход к исчислению агрегатного индекса цен, а именно использовать среднюю геометрическую из индексов цен Пааше и Ласпейреса:

В данной формуле равноправно представлено количество продукции как базисного, так и текущего периодов. Это свойство позволяет применять данный индекс при исследовании цен за значительный промежуток времени, когда структура продукции претерпевает существенные изменения, и, строго говоря, не представляется возможным сделать обоснованный выбор в пользу весов базисного или отчетного периода. По этим же соображениям индекс Фишера часто используется для территориальных сопоставлений.

10.4. Средние индексы

В отличие от агрегатной формы индекса, средние индексы используются тогда, когда имеется информация об изменении индексируемой величины по отдельным единицам исследуемой совокупности (т.е. известны индивидуальные индексы).

Средний индекс - это сводный индекс, вычисленный как средневзвешенная величина из значений индивидуальных индексов.

Средний индекс получают путем преобразования агрегатного индекса. В зависимости от того, какие веса используются в соответствующей агрегатной формуле (базисного или отчетного периода), средний индекс рассчитывается по формуле средней арифметической или средней гармонической величины. Соответственно, исчисленные по одним и тем же данным агрегатный и средний индексы всегда равны.

Рассмотрим, например, как получается средний индекс физического объема товарооборота. Его агрегатная формула имеет вид

Тогда, учитывая, что индивидуальный индекс представляет собой отношение

получим [ ]. Подставим это выражение в формулу агрегатного индекса

Получен индекс физического объема товарооборота в виде средней арифметической взвешенной из индивидуальных индексов, в которой в качестве весов используется товарооборот базисного периода (q₀ p₀).

Итак, формула среднего арифметического индекса физического объема имеет вид

Обратимся теперь к индексу цен. Его агрегатная формула имеет вид

Из формулы индивидуального индекса цен выразим и, подставив в формулу агрегатного индекса, получим

Получен средний гармонический индекс цен

Пример 10.5. По данным таблицы из примера 10.2 рассчитаем средние индексы. Для этого необходимо определить индивидуальные индексы и объем товарооборота по каждому виду молочной продукции (расчеты проведены в следующей таблице).

Таблица 10.3.

Исчислим средний гармонический индекс цен.

Средний арифметический индекс физического объема товарооборота равен