НОУ ИНТУИТ | Основы информационных технологий. Лекция 8: Обработка данных

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Национальный исследовательский университет "Высшая Школа Экономики"

Опубликован: 19.11.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 12624 / 7808 | Длительность: 29:54:00

Темы: Программное обеспечение, Образование

Специальности: Менеджер, Преподаватель

Теги: образование, офисные приложения, программное обеспечение

|

Вам нравится? Нравится 126 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Матричный метод анализа сетей Петри

Матричный метод основан на выражении (8.5), связывающим разметки сети, которые были до и после срабатывания некоторого перехода и матрице , описывающей работу сети.

Пусть начальная разметка сети равна M_0 . Если в сети допустима последовательность срабатывания переходов $t_{i_1}, t_{i_2}, \dots, t_{i_k}$ , то выполняются следующие соотношения

$M_1 =M_0+D*t_k\\ M_1=M_l + D*t_{i_2}=M_0 + D*t_{i_1}+D*t_{i_2}\\ M_3=M_2+D*t_{i_3}=M_1+D*t_{i_2}+D*t_{i_3}=M_0+D*t_{i_1}+D*t_{i_2}+D*t_{i_3}\\ \dots \dots \dots \dots\\ M_k=M_0+D*t_{i_1}+D*t_{i_2}+\dots+D*t_{i_k}=M_0+D(t_{i_1}+t_{i_2}+\dots +t_{}i_k)$

Обозначив $\tau=t_{i_1}+t_{i_2}+\dots+t_{i_k}$ ,получим

$M_k=M_0+D* \tau\\ M_k-M_0=D* \tau$

( 8.7)

Из-за того, что вектор тявляется суммой векторов вида (8.2) он должен быть целочисленным неотрицательным вектором. Выполнение соотношения (8.6) для некоторого целочисленного неотрицательного вектора $\tau$ является необходимым условием достижимости разметки М_к из началь-ной разметки М_0 .

Выражение (8.7) является системой линейных неоднородных уравнений относительно неизвестных компонент вектора $\tau$ . Следует заметить, что целочисленное неотрицательное решение уравнения (8.7), как правило, не определяет однозначно порядок срабатывания переходов, потому что от порядка суммирования векторов $t_{i_k}$ вида (8.2) сумма $\tau=t_{i_1}+t_{i_2}+\dots+t_{i_k}$ не зависит. Для нахождения требуемого порядка срабатывания переходов необходимо проводить дополнительные исследования.

Рис. 8.9. Сеть Петри

Рассмотрим пример решения матричным методом задачи о достижимости. Спрашивается, достижима ли разметка $M_k=(1\; 1\; 2\; 2)^T$ для сети Петри, изображенной на рис.8.9?

Если разметка достижима, то указать последовательность срабатываний переходов, приводящую к данной разметке.

Матрица для данной сети Петри имеет вид

$D=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 1&0&-1\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$

Матричное уравнение (8.6) для определения последовательности срабатываний переходов имеет вид $\begim{pmatrix}0&0&0\\1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$

Без первого уравнения, которое тривиально выполняется, имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными $\begim{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\\2\end{pmatrix}$

Из второго и третьего уравнений получаем x_2=2, x_3=2 , а из первого -x_1=3 . Таким образом, в качестве решения имеем целочисленный неотрицательный вектор

$x=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}$

Этот вектор не определяет порядок срабатывания переходов. Среди последовательностей срабатывания есть невыполнимые, например, t_1t_1t_1t_3t_3t_2t_2 . Среди последовательностей срабатывания переходов, удовлетворяющих вектору, необходимо искать допустимые. Допустимых после-довательностей может быть много, а может и не быть вовсе. Для данного примера допустимой последовательностью является последовательность t_1t_2t_1t_2t_1t_3t_3 или последовательность t_1t_2t_3t_2t_1t_3t_1 .

Наличие неотрицательного положительного решения у линейного уравнения для определения последовательности срабатывания является только необходимым условием и не гарантирует реального существова-ния такой последовательности. Например, решая задачу о достижимости разметки $M_k=(1\;1\;0\;2)^T$ для описанной выше сети Петри, в качестве решения мы получим неотрицательный целочисленный вектор

$X=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}$

Однако реальной последовательности, приводящей к требуемой разметке, не существует, так как для срабатывания перехода t_3 необходимо наличие в месте p_3 маркера. Но фишка, попавшая в p_3 , не может покинуть эту позицию.

Пример 2 (решение матричным методом задачи о достижимости).

Рассмотрим сеть

Рис. .

и исследуем достижимость разметки $\begin{pmatrix}1\\7\\0\\1\end{pmatrix}$ из начальной разметки $\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}$

Матрица имеет вид

$D=\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&1&0\\-1&1&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}$

Матричное уравнение для определения последовательности срабатываний переходов имеет вид

$\begim{pmatrix}0&0&0\\-1&1&0\\-1&1&1\\0&-1&1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\7\\-1\\1\end{pmatrix}$

Без первого уравнения, которое тривиально выполняется, имеем систему

$\begim{pmatrix}-1&1&0\\-1&1&-1\\0&-1&1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-1\\1\end{pmatrix}$

Складывая второе и третье уравнения, получим x_1=0 . Из первого уравнения получаем x_2=7 , а из третьего - x_3=8 . Таким образом, в качестве решения имеем целочисленный неотрицательный вектор

$x=\begin{pmatrix}0\\7\\8\end{pmatrix}$

Этот вектор не определяет порядок срабатывания переходов. Среди последовательностей срабатывания есть невыполнимые, например

$\overbrace{t_2t_2\dots t_2}^{7раз}\overbrace{t_3t_3 \dots t_3}^{8 раз}$

Среди последовательностей срабатывания переходов, удовлетворяющих вектору, необходимо искать допустимые. Допустимых последовательностей может быть много, а может и не быть вовсе. Для данного примера допустимой последовательностью является последовательность t_3t_2t_3t_2t_3t_2t_3t_2t_3t_2t_3t_2t_3t_2t_3 .

Матричный подход может быть использован для вектора весов, относительно которого сеть Петри является сохраняющей (консервативной). Пусть $\аlpha=(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n)$ - вектор-строка искомых весов. В соответствии с приведенным выше определением консервативность сети заключается в выполнении равенства (8.6). Обе части этого равенства можно рассматривать как скалярные произведения вектора $\alpha$ на векторы любых двух достижимых разметок. Если в качестве одной из разметок взять начальную разметку M_0 , а в качестве второй - любую достижимую разметку, то из (8.6) следует, что $\alpha*M-\alpha -M_0=\alpha (M-M_0)=0$ . Из формулы (8.5) следует, что $M-M_0=D*\tau$ . В результате получаем, что $\alpha*D*\tau=0$ для всех векторов $\tau$ , соответствующих достижимым разметкам. Равенство выполняется, если $\alpha*D=0$ . Это матричное выражение представляет собой линейное однородное уравнение относительно весов, составляющих вектор $\аlpha$ .

Для сети, изображенной на рис.8.10, найдем матричным методом вектор весов $\alpha$ , относительно которого она является сохраняющей. Эта сеть моделирует два взаимодействующих процесса обработки, использующих общий ресурс (описывается местом p_5 ).

Рис. 8.10. Модель двух процессов, использующих неделимый ресурс

Матрица для данной сети имеет вид

$D=\begin{pmatrix}-1&0&1&0\\0&-1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\\-1&-1&1&1\end{pmatrix}$

Легко заметить, что эта матрица имеет ранг 2 (третий столбец равен первому, умноженному на -1, а четвертый столбец равен второму, умноженному на -1). Поэтому система уравнений $\alpha*D=0$ для вектора весов $\alpha=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \alpha_4, \alpha_5)$ включает в себя только два уравнения

$\begin{cases}-\alpha_1+\alpha_3-\alpha_5=0\\\alpha_2+\alpha_4-\alpha_5=0\end{cases}$

Существует бесконечно много решений этой системы, которые могут быть получены из выражений

$\begin{cases}\alpha_1=\alpha_3-\alpha_5\\\alpha_2=\alpha_4-\alpha_5\end{cases}$

при произвольном задании весов $\alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ . Из этих выражений видно, что сеть не является строго сохраняющей, т. к. вектор (1, 1, 1, 1, 1) не является решением системы. В качестве вектора весов, относительно которого сеть является сохраняющей, нас интересуют только неотрицательные решения. Задавая $\alpha_5 = 0, \alpha_3 =1, \alpha_4=1$ , , получим $\alpha_1=1, \alpha_2=1$ . Вектор весов (1, 1, 1, 1, 0), являющийся решением системы, означает, что сеть сохраняет суммарное количество фишек во всех местах, за исключением места p_5 (количество фишек в месте p_5 не учитывается при подсчете обще-го числа в сети). Еще одно решение (1, 1, 2, 2, 1) соответствует случаю, когда фишки в местах p_3 и p_4 учитываются при подсчете взвешенной суммы фишек в сети с коэффициентом 2.

Дальше >>

Авторизоваться

Основы информационных технологий

Обработка данных

Матричный метод анализа сетей Петри

Вопросы и ответы