Дополнительные свойства автоматных языков

Эта лекция содержит дополнительные результаты, не используемые в дальнейшем изложении. В начале лекции доказывается замкнутость класса всех автоматных языков относительно взятия гомоморфного образа и относительно взятия полного гомоморфного прообраза.

В разделе 4.2* определяются понятия побуквенного гомоморфизма и локального языка и доказывается еще один критерий автоматности: среди языков, не содержащих пустого слова, автоматными являются в точности образы локальных языков при побуквенных гомоморфизмах.

В последнем разделе этой лекции устанавливается числовой критерий автоматности для языков над однобуквенным алфавитом (в терминах арифметических прогрессий) и доказывается связанное с длинами слов необходимое условие автоматности (для произвольного алфавита).

4.1. Гомоморфизмы и автоматные языки

Теорема 4.1.1. Для любого гомоморфизма и автоматного языка язык h(L) является автоматным.

Доказательство. Пусть исходный язык L задан конечным автоматом . Положим

Теорема 4.1.2. Для любого гомоморфизма и автоматного языка язык h^-1(L) является автоматным.

Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что исходный язык L задан конечным автоматом , где не содержит переходов с метками длины больше единицы. Положим

Упражнение 4.1.3. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a,b}, что язык не является автоматным?}

Упражнение 4.1.4. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a,b}, что язык не является автоматным?}

Упражнение 4.1.5. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a,b}, что язык не является автоматным?