НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 5: Дополнительные свойства автоматных языков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

4.2*. Локальные языки

Определение 4.2.1. Гомоморфизм $h \colon \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*$ называется побуквенным (length-preserving), если |h(a)| = 1 для каждого $a \in \Sigma_1$ .

Замечание 4.2.2. Гомоморфизм $h \colon \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*$ является побуквенным тогда и только тогда, когда |h(w)| = |w| для каждого слова $w \in \Sigma_1^*$ .

Определение 4.2.3. Язык $L \subseteq \Sigma^*$ называется локальным, если существуют такие языки $L_1 \subseteq \Sigma^*$ , $L_2 \subseteq \Sigma^*$ , $L_3 \subseteq \Sigma^*$ , что

языки L₁ и L₂ содержат только однобуквенные слова;
язык L₃ содержит только двухбуквенные слова;
$L = ( ( L_1 \cdot \Sigma^* ) \cap ( \Sigma^* \cdot L_2 ) ) - ( \Sigma^* \cdot L_3 \cdot \Sigma^* )$ .

Лемма 4.2.4. Каждый локальный язык является автоматным.

Очевидно, что языки L₁, L₂ и L₃ в определении 4.2.3 являются конечными. Остается применить замечание 2.1.19 и теоремы 3.1.1 и 3.2.1 (напомним, что разность языков выражается через пересечение и дополнение).

Теорема 4.2.5. Пусть L - язык над алфавитом $\Sigma$ и L не содержит пустого слова. Язык L является автоматным тогда и только тогда, когда существуют такие алфавит $\Sigma_0$ , локальный язык $L_0 \subseteq \Sigma_0^*$ и побуквенный гомоморфизм $h \colon \Sigma_0^* \to \Sigma^*$ , что L = h(L₀).

Доказательство. Достаточность следует из леммы 4.2.4 и теоремы 4.1.1.

Для доказательства необходимости рассмотрим конечный автомат $\langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ с однобуквенными переходами, задающий язык L. В качестве алфавита $\Sigma_0$ возьмем множество $\Delta$ . Положим

$\begin{align*} L_1 &= \{ \lp p , a , q \rp \mid \lp p , a , q \rp \in \Delta \commaand p \in I \} ,\\ L_2 &= \{ \lp p , a , q \rp \mid \lp p , a , q \rp \in \Delta \commaand q \in F \} ,\\ L_3 &= \{ \lp p_1 \!, a_1 \!, q_1 \rp \lp p_2 , a_2 , q_2 \rp \mid \lp p_1 \!, a_1 \!, q_1 \rp \squeeze{\in} \Delta ,\ \lp p_2 , a_2 , q_2 \rp \squeeze{\in} \Delta \commaand q_1 \squeeze{\neq} p_2 \} \end{align*}$

и $h ( \lp p , a , q \rp ) = a$ для каждого $\lp p , a , q \rp \in \Delta$ .

Пример 4.2.6. Пусть $\Sigma \peq \{ a , b , c \}$ . Рассмотрим конечный автомат M₂ из примера 3.1.3 и обозначим L = L(M₂). Применим конструкцию из доказательства теоремы 4.2.5 к языку L. Для удобства заменим $\lp 4 , c , 4 \rp$ на d, $\lp 4 , a , 5 \rp$ на e и $\lp 5 , c , 5 \rp$ на f. Получим алфавит $\Sigma_0 \peq \{ d , e , f \}$ и локальный язык

$L_0 = ( ( \{ d , e \} \cdot \Sigma_0^* ) \cap ( \Sigma_0^* \cdot \{ e , f \} ) ) \sminus ( \Sigma_0^* \cdot \{ df , ed , ee , fd , fe \} \cdot \Sigma_0^* ) .$

Можно доказать, что

$L_0 = \{ d^m e f^n \mid m \geq 0 ,\ n \geq 0 \} .$

Побуквенный гомоморфизм h задается равенствами h(d) = c

,

и

. Легко проверить, что действительно L = h(L₀).

Упражнение 4.2.7. Пусть $\Sigma = \{a,b,c,d\}$ . Существует ли такой побуквенный гомоморфизм $h \colon \Sigma^* \farrow \Sigma^*$ , что h(abc) = bac и h(da) = da?}

Упражнение 4.2.8. Является ли локальным язык

$\{ (ab)^n \mid n \geq 1 \}$

над алфавитом $\Sigma = \{a,b\}$ ?

Упражнение 4.2.9. Является ли локальным язык

$\{ aa u \mid u \in \{a,b\}^* \}$

над алфавитом $\Sigma = \{a,b\}$ ?

Упражнение 4.2.10. Является ли локальным язык

$\{ b u a \mid u \in \{a,b,c\}^* \}$

над алфавитом $\Sigma = \{a,b,c\}$ ?

4.3. Длины слов в автоматных языках

Определение 4.3.1. Пусть $\cala \subseteq \mathbb{N}$ , $m \in \mathbb{N}$ и m > 0 . Множество $\cala$ называется заключительно периодическим (ultimately periodic) с периодом m, если выполнено условие

$( \exists n_0 \in \mathbb{N} ) \, ( \forall n \geq n_0 ) \, ( n \in \cala \liff n + m \in \cala ) .$

Лемма 4.3.2. Пусть $\cala \subseteq \mathbb{N}$ . Тогда равносильны следующие утверждения:

множество $\cala$ является заключительно периодическим ;
найдутся такие положительное целое число m и конечные множества $\calm \subseteq \mathbb{N}$ и $\calk \subseteq \{ 0 , 1 , \ldots , m - 1 \}$ , что
$\cala = \{ k \in \mathbb{N} \mid ( k \mybmod m ) \in \calk \} \sminus \calm ;$
множество $\cala$ является объединением конечного семейства арифметических прогрессий.

Теорема 4.3.3. Язык L над однобуквенным алфавитом {a} является автоматным тогда и только тогда, когда множество $\{ k \in \mathbb{N} \mid a^k \in L \}$ является заключительно периодическим.

Доказательство. Для доказательства необходимости достаточно рассмотреть детерминированный конечный автомат, распознающий язык L.

Теорема 4.3.4. Если язык L является автоматным, то множество $\{ | w | \mid w \in L \}$ является заключительно периодическим.

Доказательство. Рассмотрим конечный автомат, распознающий язык L. Заменим все символы в метках переходов на символ a. Осталось применить теорему 4.3.3 к полученному автоматному языку над однобуквенным алфавитом {a}.

Упражнение 4.3.5. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a}, что язык $\{ a^n \mid a^{n^2} \in L \}$ не является автоматным?

Упражнение 4.3.6. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a}, что язык $\{ a^n \mid a^{2^n} \in L \}$ не является автоматным?

Упражнение 4.3.7. Существует ли такой автоматный язык L₁ над алфавитом $\Sigma$ , что язык

$L_2 \peq \{ w \in \Sigma ^* \mid w x \in L_1 \commaand | x | = 2^{ | w | } \mathspace\text{для некоторого слова}\mathspace x \squeeze{\in} \Sigma ^* \}$