Алгоритмы на графах и деревьях

В этой лекции мы рассмотрим некоторые классические алгоритмы, использующие графы и деревья, приведем и сравним рекурсивные и итеративные их варианты.

Используемая здесь терминология полностью совпадает с терминологией, введенной в предыдущей лекции.

Генерация дерева синтаксического анализа

Одно и то же арифметическое выражение может быть записано тремя способами:

1. Инфиксный способ записи (знак операции находится между операндами):

   ((a / (b + c)) + (x * (y - z)))

   Все арифметические операции, привычные нам со школьных лет, записываются именно таким образом.

2. Префиксный способ записи (знак операции находится перед операндами):

   +( /(a, +(b,c)), *(x, -(y,z)))

   Из знакомых всем нам функций префиксный способ записи используется, например, для sin(x), tg(x), f(x,y,z) и т.п.

3. Постфиксный способ записи (знак операции находится после операндов):

   ((a,(b,c)+ )/ ,(x,(y,z)- )* )+

   Этот способ записи менее распространен, однако и с ним многим из нас приходилось сталкиваться уже в школе: примером будет n! (факториал).

Разумеется, вид дерева синтаксического анализа (ДСА)^{1См. лекцию 11.} арифметического выражения не зависит от способа записи этого выражения (см. рис. 12.1), поскольку определяет его не форма записи, а порядок выполнения операций. Но процесс построения дерева, конечно же, зависит от способа записи выражения. Далее мы разберем все три варианта алгоритма построения ДСА.

Рис. 12.1. Дерево синтаксического анализа и способ описания его элементов

type ukaz = ^tree;
     tree = record
	          symbol: char;
	          left: ukaz;
	          right: ukaz;
	    end;

Построение из инфиксной записи

Для простоты мы будем считать, что правильное арифметическое выражение подается в одной строке, без пробелов, а каждый операнд записан одной буквой. Приоритет операций определяется расставленными скобками: ими должна быть снабжена каждая операция.

Алгоритм Infix

Если не достигнут конец строки ввода, прочитать очередной символ.

Если этот символ - открывающая скобка, то:

1. создать новую вершину дерева;
2. вызвать алгоритм Infix для ее левого поддерева;
3. прочитать символ операции и занести его в текущую вершину;
4. вызвать алгоритм Infix для правого поддерева;
5. прочитать символ закрывающей скобки (и ничего с ним не делать).

Иначе:

1. создать новую вершину дерева;
2. занести в нее этот символ.

Реализация

Мы воспользуемся здесь описанием типа данных ukaz, приведенным на рис. 12.1:

procedure infix(var p: ukaz);
var c: char;
begin
	read(c);
	if c = '(' 
    	then begin
           new(p);
           infix(p^.left);
           read(p^.symbol);	{'+', '-', '*', '/'}
           infix(p^.right);
           read(c);		{')'}
				end
		else begin   {'a'..'z','A'..'Z'}
			new(p);
			p^.symbol:= c;
			p^.right:= nil;
			p^.left:= nil
		end;
end;

begin
	...
	infix(root);
	...
end.

Построение из префиксной записи

Для простоты предположим, что правильное арифметическое выражение подается в одной строке, без пробелов, а каждый операнд записан одной буквой. Кроме того, будем считать, что из записи удалены все скобки: это вполне допустимо, так как операция всегда предшествует своим операндам, следовательно, путаница в порядке выполнения невозможна.

Алгоритм Prefix

1. Если не достигнут конец строки ввода, прочитать очередной символ.
2. Создать новую вершину дерева, записать в нее этот символ.
3. Если символ - операция, то:
   1. вызвать алгоритм Prefix для левого поддерева;
   2. вызвать алгоритм Prefix для правого поддерева.

Реализация

Вновь воспользуемся описанием типа данных ukaz, приведенным на рис. 12.1:

procedure prefix(var p: ukaz);
begin
	new(p);
	read(p^.symbol);
	if p^.symbol in ['+','-','*','/'] 
		then begin prefix(p^.left);
						prefix(p^.right);
				end
		else begin p^.left:= nil;
						p^.right:= nil;
				end
end;

begin
	...
	prefix(root);
	...
end.