Алгоритмы на графах и деревьях

Подсчет количества компонент связности

Задача. Определить количество компонент связности в заданном графе.

Рекурсивный алгоритм

Считаем, что граф задан матрицей смежности sm.

Каждый элемент специального линейного массива mark будет хранить номер компоненты связности, к которой принадлежит соответствующая вершина графа.

Алгоритм КомпСвяз-Рек

1. Совершить обход в глубину всех компонент связности графа, помечая вершины каждой из них отдельным номером.

Рекурсивная процедура обхода в глубину ( прямого или обратного обхода ) переберет все вершины, достижимые из начальной. Начальной вершиной для очередной компоненты связности может стать любая вершина, еще не отнесенная ни к какой другой компоненте связности (то есть еще не помеченная в массиве mark ).

По окончании работы программы переменная kol будет содержать количество найденных компонент связности.

Реализация

procedure step (v: integer);
var j: integer;
begin
	mark[v]:= k; 
	for j:=1 to N do
		if (mark[j]=0)and(sm[v,j]<>0) then step(j);
end;

begin
	...
	for i:= 1 to N do mark[i]:=0;
	k:= 0;   {номер текущей компоненты связности}
	for i:= 1 to N do
		if mark[i]=0 then 
			begin inc(k);
					 step(i);
			end;
			...
end.

Итеративный алгоритм

Для этого алгоритма удобно, чтобы граф был представлен списком ребер.

Массив mark, как и прежде, будет хранить номера компонент связностей, к которым принадлежат помеченные вершины графа.

Алгоритм КомпСвяз-Итер

Прочитать начало и конец очередного ребра. Далее возможны 4 различные ситуации:

1. Оба конца ребра еще не относятся ни к одной из ранее встретившихся компонент связности ( mark[u]=0 и mark[v]=0 ). В этом случае количество компонент связности kol увеличивается на единицу, а новая компонента связности получает очередной номер ks+1.
2. Один конец ребра уже относится к какой-то компоненте связности, а второй - еще нет ( mark[u]=0, а mark[v]<>0 ). В этом случае общее количество компонент связности kol остается прежним, а непомеченный конец ребра получает ту же пометку, что и второй его конец.
3. Оба конца нового ребра относятся к одной и той же компоненте связности ( mark[u]= mark[v]<>0 ). В этом случае не нужно производить никаких действий.
4. Концы нового ребра относятся к разным компонентам связности ( ). В этом случае нужно объединить две ранее созданные компоненты связности в одну. Общее количество компонент связности kol уменьшается на 1, а все вершины, принадлежавшие к более новой компоненте связности (больший номер), получают новую пометку. Заметим, что переменная ks, обозначающая очередной свободный номер для следующей компоненты связности, в данном случае изменяться не должна, поскольку нет никакой гарантии, что изменен будет номер именно самой последней компоненты связности.

По окончании работы этого алгоритма в массиве mark будет записано S различных целых чисел, каждое из которых будет означать отдельную компоненту связности. Кроме того, в массиве могут остаться нулевые компоненты: каждая из них будет соответствовать изолированной вершине, которая тоже является отдельной компонентой связности. Следовательно, количество нулей должно быть прибавлено к количеству компонент, найденному в процессе работы основного алгоритма.

Реализация

kol:=0;
ks:=0;
while not eof(f) do
begin
  readln(f,u,v);
  if mark[u]=0
    then if mark[v]=0
         then begin	{случай 1}
               inc(kol);
               inc(ks);
               mark[u]:= ks;
               mark[v]:= ks;
              end
         else mark[u]:= mark[v]		{случай 2}
  else if mark[v]=0
       then mark[v]:= mark[u]
       {случай 2 - симметричный}
       else if mark[u]<>mark[v]	{случай 4}
            then begin
                   max:= v;
                   min:= u;
                   if u>v then begin 
                                    max:= u; 
                                    min:= v end;
                                    for i:= 1 to n do 
                                      if mark[i]= max
                                      then mark[i]:= min;
                                    dec(kol);
                                  end
end;
for i:=1 to N do 
		if mark[i]=0 then inc(kol);