Здравствуйте. А уточните, пожалуйста, по какой причине стоимость изменилась? Была стоимость в 1 рубль, стала в 9900 рублей. |
Системы с ожиданием
Мы рассмотрим те же самые два случая потоков нагрузки, о которых говорили в Лекциях 7 и 8.
-
Пуассоновский поток вызовов (бесконечное число источников) и экспоненциально распределенное время обслуживания ( PCT-I ). Эта самая важная система организация очереди называется Эрланговская система с ожиданием. Используя систему обозначений, которую мы введем позже в секции 13.1, назовем Эрланговскую систему с ожиданием -
. В этой системе обслуженная нагрузка равна предложенной нагрузке, поскольку попытки вызова не блокируются. Положительная вероятность времени ожидания означает необходимость вычисления:
- длины очереди;
- среднего времена ожидания;
- функции увеличения.
С этими параметрами мы будем иметь дело в секции 12.2. В секции12.3 будет показано, как для оптимизации системы может быть применен Принцип Мо. В секции 12.4. вычисляется распределение времени ожидания для основной дисциплины обслуживания - Первый Прибыл Первый обслужен ( FCFS * - First Come First Served).
- Ограниченное число источников и экспоненциально распределенное время обслуживания ( PCT-II ). Эта модель Пальма, называемая моделью восстановления машин, рассмотрена в секции 12.5. (проблема взаимного влияния машин) и широко применяется для того, чтобы планировать сети, например, компьютерные сети, терминальные сети. Модель восстановления машин оптимизирована в секции 12.6.
Система с ожиданием Эрланга M/M/n
Рассмотрим систему с ожиданием . Она обслуживает Пуассоновский поток вызовов (
), имеет экспоненциальное время обслуживания (
) и n обслуживающих приборов при бесконечном числе мест ожидания. Состояние системы определяется как общее количество пользователей в системе (или в обслуживании, или ожидающих в очереди).
![Диаграмма переходов состояний M/M/n системы с ожиданием, имеющей n серверов и неограниченное число мест ожидания.](/EDI/13_04_18_1/1523571786-30342/tutorial/973/objects/12/files/12-01.jpg)
Рис. 12.1. Диаграмма переходов состояний M/M/n системы с ожиданием, имеющей n серверов и неограниченное число мест ожидания.
Нас интересуют вероятности устойчивых состояний системы. В секции 7.4 дана диаграмма переходов между состояниями (рис.12.1). Принимая, что диаграмма находится в статистическом равновесии, получаем:
![]() |
( 12.1) |
Если - это предложенная нагрузка, то мы имеем:
![]() |
( 12.2) |
С помощью нормировки вероятностей состояний получаем:
![1=\sum_{i=0}^{\infty}p(i),\\
1=p(0)*\left \{ 1+\frac A1+\frac{A^2}{2!}+ \dots + \frac{A^n}{n!} \left (1+\frac A1+ \frac{A^2}{n^2}+\dots \right ) \right \}.](/sites/default/files/tex_cache/e44c4ffa519a2c3e2ade040017c4ee7e.png)
Внутренние фигурные скобки содержат геометрическую прогрессию с коэффициентом прогрессии . Условие нормализации может быть выполнено только для:
![]() |
( 12.3) |
Статистическое равновесие получено лишь для . Иначе очередь будет увеличиваться до бесконечности. Мы получаем значение
:
![]() |
( 12.4) |
Уравнения (12.2) и (12.4) показывают вероятности устойчивых состояний.
Характеристики нагрузки систем с ожиданием
Для оценки производительности и рабочих характеристик системы нужно рассмотреть несколько характеристик. Они отражают вероятности устойчивых состояний.
C-формула Эрланга
Когда Пуассоновский поток вызовов не зависит от состояния системы, вероятность того, что произвольный вызов должен будет ждать обслуживания в очереди, равна пропорции времени, когда заняты все обслуживающие приборы ( свойство PASTA ). Время ожидания - случайная величина, которая обозначается . Для произвольного поступления вызовов имеем:
![]() |
( 12.6) |
Эта вероятность ожидания зависит только от , т.е.произведения
и
. Формула имеет несколько названий: C-формула Эрланга, вторая формула Эрланга или формула Эрланга для систем с ожиданием. Она имеет различные обозначения в литературе:
![E_{2,n}(A)=D=D_n(A)=p\{W > 0\}.](/sites/default/files/tex_cache/e6d327d0189cc9d753dbf3c1e9f2d022.png)
Клиенты либо обслуживаются немедленно, либо помещаются в очередь. Вероятность, что клиент обслуживается немедленно, равна:
![S_n=1-E_{2,n}(A).](/sites/default/files/tex_cache/6190f2f8147b5308b8f86ae4776b161a.png)
Обслуженная нагрузка равняется предложенной нагрузке
, так как ни одному вызову не отказывается в обслуживании, а процесс поступления вызовов - Пуассоновский процесс:
![]() |
( 12.7) |
Здесь применено уравнение равновесия.
Длина очереди - случайная величина . Вероятность наличия клиентов в очереди в случайной точке времени:
![]() |
( 12.8) |
Здесь использовалось (12.5).
Числовая оценка
Формула подобна B-формуле (7.10) Эрланга, за исключением коэффициента в последнем элементе. Поскольку существует очень точная рекурсивная формула для числовой оценки B-формулы Эрланга (7.29), можно использовать следующие отношения для того, чтобы получить числовые значения для C-формулы:
![]() |
( 12.9) |
где элемент - средняя обслуженная нагрузка на канал в соответствующей системе с потерями. Для
мы имеем
. Это - вероятность того, что все клиенты поставлены на ожидание. C-формула Эрланга может быть выражена B-формулой:
![]() |
( 12.10) |
![]() |
( 12.11) |
где - инверсия вероятности (7.30).
![I_{n,2}(A)=\frac{1}{E_{2,n}(A)}.](/sites/default/files/tex_cache/93b1b6f04708656cffb4efb98bf86d7c.png)
C-формула Эрланга была сведена в таблицу в Принципе Мо (Jensen, 1950 [50] ) и показана на рис.12.2.
Вероятность для положительного времени ожидания показана как функция предложенной нагрузки для различных значений числа обслуживающих приборов n.
Средняя длина очереди
Мы должны отличать длину очереди в произвольный момент времени и длину очереди, когда есть клиенты, стоящие в очереди.
Средняя длина очереди в произвольный момент времени
Длина очереди в произвольной момент времени называется виртуальной длиной очереди. Для произвольного клиента длина очереди определяется как свойство PASTA, т.е. Пуассоновский поток вызовов (математическое ожидание по времени = математическое ожидание по вызовам). Мы получаем среднюю длину очереди:
в произвольный момент времени:
![L_n=0*\sum_{i=0}p(i)+\sum_{i=n+1}^{\infty}(i-n)p(i)\\
=\sum_{i=n+1}^{\infty}i-n)p(n) \left (\frac An \right )^{i-n}\\
=p(n)*\sum_{i=1}^{\infty}i (\frac{A}{n})^{i-n}\\
=p(n)*\frac An \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\partial}{\partial (A/n)} \left \{ \left (\frac An \right)^i \right \}.](/sites/default/files/tex_cache/47b47f87fc8116ec60d017abcc0deb8f.png)
Поскольку , ряд является равномерно сходящимся, оператор дифференцирования может быть вынесен за сумму:
![]() |
( 12.12) |
Средняя длина очереди может интерпретироваться как нагрузка, которую обслуживают места ожидания очереди, и поэтому она иногда называется нагрузкой времени ожидания.
Средняя длина очереди, со временем ожидания больше нуля
Математическое ожидание времени и в этом случае равно математическому ожиданию вызова. Условная средняя длина очереди будет:
![]() |
( 12.13) |
Применяя (12.8) и (12.12), получаем:
![L_{nq}=\frac{L_n}{p\{L > 0\}},](/sites/default/files/tex_cache/6b0797735aa22825dc37eca3328ddd6a.png)
где - случайная переменная, обозначающая длину очереди.
Средние времена ожидания
Здесь представляют интерес две характеристики:
- среднее время ожидания
для всех клиентов;
- среднее времени ожидания w для клиентов, для которых время ожидания имеет положительное значение.
Первая является индикатором уровня обслуживания целой системы, тогда как вторая относится к задержанным вызовам.
Математические ожидания времени будут равны математическим ожиданиям по вызовам из-за свойства PASTA.
Среднее время ожидания для всех вызовов
Формула Литла говорит, что средняя длина очереди равна интенсивности прибытия, умноженной на среднее время ожидания:
![]() |
( 12.14) |
где и
. Рассматривая процесс поступления вызовов, из (12.12) мы имеем:
![W_n=\frac{L_n}{\lambda}=\frac {1}{\lambda}*E_{2,n}(A)*\frac{A}{n-A}.](/sites/default/files/tex_cache/dbfcaefb64e993aadff8734e197404ed.png)
Поскольку , где
- среднее время обслуживания, мы имеем:
![]() |
( 12.15) |
Среднее время ожидания для задержанных вызовов
Полное время ожидания является постоянным и может быть вычислено либо в среднем по всем клиентам ( ), либо только по вызовам, для которых времена ожидания (
) имеют положительные значения (3.20):
![]() |
( 12.16) |
![]() |
( 12.17) |
Пример 12.2.1: Система организации очереди с одним обслуживающим прибором (M/M/1)
Эта система наиболее часто упоминается в литературе. Вероятности состояния (12.2) определяются рядом геометрической прогрессии:
![]() |
( 12.18) |
поскольку . Вероятность задержки равна:
![Е_{2,1}(A)=А.](/sites/default/files/tex_cache/59009cb25e6fbca76a9f5d25bb72ac74.png)
Средняя длина очереди (12.12) и среднее время ожидания для всех вызовов
(12.15) :
![]() |
( 12.19) |
![]() |
( 12.20) |
С помощью уравнений 12.12, 12.14, 12.17 мы можем установить, что увеличение нагрузки из-за большего количества вызовов лучше, чем увеличение нагрузки из-за более длинного времени обслуживания, поскольку увеличение времени обслуживания увеличивает величину всех показателей. Поэтому важно, чтобы времена обслуживания системы не увеличивались в момент перегрузки.
Пример 12.2.2: Среднее время ожидания, когда A -> 0
Заметьте, что если , мы получаем
(12.17). Если клиент ожидает (что редко случается, когда
), то этот клиент будет единственным в очереди. Клиент должен ждать, пока сервер освободится. Это случается в конце экспоненциально распределенного временного интервала со средней величиной
. Поэтому
никогда не может быть меньше, чем
.
Функция увеличения для M/M/n
Предельное увеличение нагрузки, которую может обслуживать система, когда мы дополняем число обслуживающих приборов, может быть выражено несколькими способами. Уменьшение отношения нагрузки канала к полной нагрузке (пропорционально числу всех вызовов от клиентов) определяется как:
![]() |
( 12.21) |
Уменьшение средней длины очереди (пропорционально нагрузке, которую обслуживают места ожидания) определяется формулой Литла (12.14):
![]() |
( 12.22) |
где - среднее время ожидания для всех вызовов, когда предложенная нагрузка и число обслуживающих приборов -
(12.15). Равенства (12.21) и (12.22) сведены в таблицу в Принципе Мо (Jensen, 1950 [50] ) и могут быть легко рассчитаны с помощью калькулятора или компьютера.