как начать заново проходить курс, если уже пройдено несколько лекций со сданными тестами? |
Основы теории чисел
1.2.5 Сравнения первой степени
Любое сравнение первой степени с одним неизвестным можно привести к виду
![]() |
( 1.4) |
где .
Выясним условия, при которых сравнение (1.4) имеет:
- единственное решение,
- несколько решений,
- не имеет решений.
Теорема 1.17 Для того, чтобы сравнение (1.4) имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы число делилось на
.
Пример 1.24 Сравнение имеет решение, так как
делится на
.
Пример 1.25 Сравнение не имеет решений, так как
, а
не делится на
.
Теорема 1.18 Пусть сравнение (1.4) разрешимо и . Тогда множество решений сравнения (1.4) состоит из
классов по модулю
, а именно, если
- одно из решений, то все другие решения - это
, где
.
Пример 1.26 Сравнение имеет ровно три решения, так как
. Эти решения:
,
,
.
Пример 1.27 Сравнение имеет единственное решение
, т.к.
.
Покажем, как решать сравнение первой степени. Рассмотрим случай . Тогда решение сравнения (1.4) можно искать, например, по алгоритму Евклида. Действительно, используя расширенный алгоритм Евклида, представим число 1 в виде линейной комбинации чисел
и
:
.
Умножим обе части этого равенства на , получим:
, откуда
, то есть
и
- решение сравнения (1.4).
Другой способ: использовать теорему Эйлера. Пусть, снова, . Применяем теорему Эйлера:
. Умножим обе части сравнения на
:
. Переписывая последнее выражение в виде
, получаем, что
- решение сравнения (1.4).
Допустим теперь, что . Тогда
,
, где
. Кроме того, необходимо
для того, чтобы сравнение было разрешимо. Если
- решение сравнения
, причем единственное, поскольку
, то
будет решением и сравнения
, то есть исходного сравнения (1.4). Остальные решения (их
) находим по теореме.
Итак, если , то сравнение (1.4) имеет единственное решение, и решением сравнения является класс
. Если
,
не делится на
, то сравнение решений не имеет. Если
делится на
, то сравнение имеет
различных решений. Все эти решения образуют один класс по модулю
.
Пример 1.28 Решим сравнение: .
Вычисляем . Число 9 делится на 3, поэтому сравнение разрешимо, и у него три решения. Поделим обе части сравнения и модуль на их наибольший общий делитель:
. Поскольку
, можем воспользоваться теоремой Эйлера:
.
Поясним:,
, поэтому
, и
.
Таким образом, 6 - это одно из решений сравнения . Находим остальные решения:
![6+ \frac{21}{3} =6+7=13, 6+2 \cdot \frac{21}{3} =6+14=20.](/sites/default/files/tex_cache/8d486d5ca19d91cd782875fbd785f3fb.png)
Проверка: ;
;
.
Пример 1.29 .
Так как , а 31 не делится на 5, то решений сравнение
не имеет.
Пример 1.30 .
Поскольку ,
, то сравнение имеет 3 решения. После деления обеих частей и модуля на 3 получим сравнение:
. Решение этого сравнения:
.
Решения исходного сравнения найдём по теореме 1.18: ,
,
.