НОУ ИНТУИТ | Криптографические методы защиты информации. Лекция 1: Основы теории чисел

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 02.03.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 2511 / 556 | Длительность: 21:50:00

Специальности: Программист, Администратор информационных систем, Специалист по безопасности, Архитектор программного обеспечения, Разработчик интернет-проектов

|

Вам нравится? Нравится 55 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

1.1.7 Простые и составные числа

Определение 1.8 Натуральное число называется простым, если оно больше и не имеет положительных делителей, отличных от и .

Определение 1.9 Натуральное число называется составным, если оно больше и имеет по крайней мере один положительный делитель, отличный от и .

Согласно определению 1.2, если - составное, то существует такой делитель $\delta$ , что $n=n_1\delta$ , где 1<n_1<n , $1<\delta<n$ .

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам.

Первыми простыми числами в натуральном ряду чисел являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41...

Среди простых чисел имеется лишь одно четное число 2.

Итак, множество всех натуральных чисел разбивается на три подмножества: 1) простые числа, 2) составные числа, 3) число 1.

1.1.8 Разложение составных чисел на простые множители

Теорема 1.9 (основная теорема арифметики) Всякое натуральное число либо просто, либо может быть представлено, и притом единственным образом (с точностью до перестановки множителей), в виде произведения простых чисел.

Отметим, что среди простых множителей числа могут встречаться одинаковые. Пусть, например, p_1 встречается $\alpha_1$ раз, p_2 встречается $\alpha_2$ раз, ..., p_k встречается $\alpha_k$ раз; тогда разложение числа на простые множители можно записать следующим образом:

$n={p}_{1}^{\alpha_1 }\cdot {p}_{2}^{\alpha_2 }\dots {p}_{k}^{\alpha_k }.$

( 1.1)

Множители $p_1, p_2,\dots, p_k$ обычно располагают в порядке возрастания.

Определение 1.10 Представление натурального числа в форме 1.1 называется каноническим; это представление единственно, его называют также факторизацией числа .

Пример 1.6 $1176=2^{3}\cdot3\cdot7^{2}$; $136125=5^{3}\cdot11^{2}$ .

Из канонического представления числа вытекают следующие предложения.

Следствие 1.3 Если $a=p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$ - каноническое разложение числа , то все делители этого числа имеют вид:

$c=p_1^{\beta_1} \cdot p_2^{\beta_2} \cdots p_k^{\beta_k},$

где $0\leq\beta_i\leq \alpha_i$ $(i=1, 2, {\ldots}, k)$ .

Пусть даны натуральные числа и . Их каноническое разложение всегда можно записать в виде:

$a=p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}, \qquad b=p_1^{\gamma_1} \cdot p_2^{\gamma_2} \cdots p_k^{\gamma_k}.$

Мы предполагаем здесь, что $\alpha_i$ и $\gamma_i$ могут принимать и нулевые значения. Это позволит писать в обоих разложениях одни и те же простые числа $p_1, p_2, \dots, p_s$ , а именно простые числа, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел и . Справедливы следующие утверждения.

Следствие 1.4 Наибольший общий делитель чисел и имеет вид:

$НОД(a,b) = p_1^{\lambda_1}\cdot p_2^{\lambda_2}\cdots p_s^{\lambda_s},$

где $\lambda_i=\min(\alpha_i,\gamma_i).$

Следствие 1.5 Наименьшее общее кратное чисел и имеет вид:

$\LCM(a,b)=p_1^{\mu_1}\cdot p_2^{\mu_2}\cdots p_s^{\mu_s},$

где $\mu_i = \max(\alpha_i,\gamma_i)$ .

Из этих свойств непосредственно следует тождество $(a, b) \cdot [a, b] =a \cdot b$ . Эти утверждения переносятся и на случай более чем двух чисел.

1.1.9 Бесконечность множества простых чисел

Теорема 1.10 (Евклида) Множество простых чисел бесконечно.

Поучительно сравнить эту теорему и следующую.

Теорема 1.11 (об интервалах) В натуральном ряде существуют сколько угодно длинные интервалы, не содержащие ни одного простого числа.

Сопоставление фактов, вытекающих из теоремы Евклида и теоремы об интервалах, свидетельствует о сложном характере распределения простых чисел в натуральном ряде. Вопрос этот является одним из труднейших в математике.

1.1.10 Числовые функции

Рассмотрим некоторые функции, заданные на множестве натуральных чисел и связанные с арифметической природой этих чисел. Их называют числовыми функциями. Примерами таких функций могут служить:

число $\tau (n)$ всех натуральных делителей ;
сумма $\sigma (n)$ всех натуральных делителей числа ;
число $\varphi (n)$ натуральных чисел, меньших и взаимно простых с (функция Эйлера).