Свойства линейного пространства
Линейные пространства
Вывод свойств линейного пространства из аксиом
Пусть K - поле (например, K= R - поле действительных чисел). Многочисленные конкретные примеры линейных пространств, с которыми мы уже столкнулись (линейные пространства строк Kn, столбцов , пространства прямоугольных и квадратных матриц
и
, пространство многочленов K[x], пространство непрерывных вещественных функций C[0,1] на отрезке [0,1] и т. д.), оправдывают введение и рассмотрение понятия линейного пространства K V над полем K как множества V с операцией сложения (
,
) и операциями умножения на элементы
(
,
), удовлетворяющими следующим условиям:
I.1) ассоциативность сложения (т. е. (u+v)+w=u+(v+w) для всех );
I.2) коммутативность сложения (т. е. u+v=v+u для всех );
I.3) существование нейтрального элемента 0 для операции сложения (т. е. v+0=v для всех );
I.4) существование противоположного элемента -v для всякого (т. е. v+(-v)=0 );
II.1) для всех
;
II.2) (rs)v=r(sv) для всех ,
;
III.1) r(v1+v2)=rv1+rv2 для всех ,
;
III.2) (r+s)v=rv+sv для всех ,
.
Приведем вывод ряда следствий из этих аксиом линейного пространства (хотя, конечно, в каждом конкретном случае они достаточно очевидны).
-
Уравнение u+x=v для
имеет, причем единственное, решение x=(-u)+v.
Действительно, прибавляя -u к левой и правой части, получаем, что x = (-u)+v. С другой стороны, u+(-u)+v=v.
-
Если x+x=x для
, то x=0.
Действительно, прибавляя к левой и правой части противоположный элемент -x, получаем, что x=(-x)+x+x=(-x)+x=0.
-
0v=0 для любого
.
Действительно, если x=0v (здесь
), то x+x=0v+0v=(0+0)v=0v=x, и поэтому
.
-
r0=0 для
,
.
Действительно, если x=r0, то x+x=r0+r0=r(0+0)=r0=x, и поэтому x=0.
-
(-1)v=-v для всех
.
Действительно, (-1)v+v=(-1+1)v=0v=0, т. е. (-1)v=-v.
-
rv=0 для
,
тогда и только тогда, когда либо r=0, либо v=0.
Действительно, если
, то в поле K существует элемент
, и поэтому v=1v=r-1rv=r-10=0.
-
r(u-v)=ru-rv для всех
,
.
Действительно, r(u-v)+rv=r(u-v+v)=ru, т. е. r(u-v)=ru-rv.
-
-(-v)=v для всех
.
Действительно, v+(-v)=0, и поэтому -(-v)=v.
Линейная зависимость в линейных пространствах
Пусть K V - линейное пространство над полем K. Если ,
, то элемент
![k_1v_1+...+k_rv_r\in V](/sites/default/files/tex_cache/b9a6fceec28cae28296983612a78aa01.png)
![k_1,...,k_r\in K](/sites/default/files/tex_cache/c2602243b308c1c07fe703ef3af07bfd.png)
Систему элементов назовем линейно зависимой, если найдутся элементы
такие, что
а) не все ki равны нулю (т. е. хотя бы один элемент ki отличен от нуля);
б) k1v1+k2v2+...+krvr=0.
Для краткости в этой ситуации мы будем говорить, что "нетривиальная" линейная комбинация элементов v1,...,vr равна нулю (конечно, тривиальная линейная комбинация всегда равна нулю, 0v1+...+0 vr=0 ).
Система элементов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой, это означает, что из равенства
![k_1v_1+...+k_rv_r=0,\quad k_1,...,k_r\in K,](/sites/default/files/tex_cache/e7f3450d9126f38dffd19ad198674253.png)
Теорема 9.2.1. Система элементов линейно зависима тогда и только тогда, когда для некоторого i,
,
![v_i=\sum_{j\neq i}l_jv_j,\quad l_j\in K](/sites/default/files/tex_cache/df0f15059b01372140399a3bd4b9793f.png)
Доказательство.
- Пусть система v1,...,vr линейно зависима, т. е.Тогда
- Еслитот. е. система v1,...,vr линейно зависима, поскольку
.
Пример 9.2.2. Если в системе элементов есть нулевой элемент, скажем, vi=0, то система v1...,vr линейно зависима.
Действительно, 0 v1+...+1 vi+...+0 vr=0, или, другим способом, .
Пример 9.2.3. Если vi=vj для , то система
линейно зависима.
Действительно, 0 v1+...+1 vi+...+(-1) vj+...+0 vr=0, или, иначе, .
Пример 9.2.4. Система строк , где
![\begin{align*} & \varepsilon_1=(1,0,...,0),\\ &
\varepsilon_2=(0,1,...,0),\\ & \quad ...\\ &
\varepsilon_n=(0,0,...,1),
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/afccfe34a4d69f154be85fa8f35370db.png)
![\alpha=(k_1,...,k_n)\in {}_K K^n](/sites/default/files/tex_cache/64285fd715616051ae68438a963d6b2e.png)
![\varepsilon_1,...,\varepsilon_n](/sites/default/files/tex_cache/869623a6600802babd9f19fc4171bbbb.png)
![\alpha=(k_1,...,k_n)=k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n](/sites/default/files/tex_cache/af36250966f97b34ec740d870dfc8406.png)
Действительно,
![k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n=(k_1,...,k_n),](/sites/default/files/tex_cache/bc906518e1d99129a68dc7057450a645.png)
![k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n=(0,...,0),](/sites/default/files/tex_cache/7a74a9960fdbdba57cd57adde48cfd33.png)
![\{\varepsilon_1,...,\varepsilon_n\}](/sites/default/files/tex_cache/c1e4ba28f6ee405e65c6f99275c5872d.png)
Пример 9.2.5. Пусть - линейно независимая система в линейном пространстве R V. Тогда u1=v1+v2, u2=v1+v3, u3=v2+v3 -
также линейно независимая система.
Действительно, если k1 u1 + k2 u2 + k3 u3 = 0, то
![\begin{mult}
0 = k_1 (v_1+v_2) + k_2 (v_1+v_3) + k_3 (v_2+v_3) ={}
\\
{}=(k_1+k_2)v_1 + (k_1+k_3)v_2 + (k_2+k_3)v_3,
\end{mult}](/sites/default/files/tex_cache/12dfcccab735e9c76187c2f155c07913.png)
![\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
k_1 + k_2 = 0,\\
k_1 + k_3 = 0,\\
k_2 + k_3 = 0.
\end{array}
\right.](/sites/default/files/tex_cache/e6fa8a46a81c6302770d1dded5069392.png)
Упражнения 9.2.6.
- Подсистема линейно независимой системы линейно независима.
- Если подсистема линейно зависима, то линейно зависима и вся система.
Замечание 9.2.7. Для системы строк в Kn
![\begin{align*} & \alpha_1 = (a_{11},
..., a_{1n}),\\ & \quad ...\\ & \alpha_r = (a_{r1}, ...,
a_{rn})
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/0c49a1d9909cdff251c4a836da5d45a9.png)
![\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11} x_1 + ... + a_{r1} x_r = 0,\\
\dotfill\\
a_{1n} x_1 + ... + a_{rn} x_r = 0
\end{array}
\right.](/sites/default/files/tex_cache/288e007493bf07127171798afa968a7a.png)
![A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & ... & a_{1n}\\
\hdotsfor{3}\\
a_{r1} & ... & a_{rn}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\vdots\\
\alpha_r
\end{pmatrix}.](/sites/default/files/tex_cache/8d7701f6709a51add9145a0fa3cce79c.png)
Теорема 9.2.8. Пусть - квадратная матрица. Тогда следующие условия равносильны:
- |A|=0 ;
- система строк A1, ..., An матрицы A линейно зависима (в пространстве строк Kn );
- система столбцов
матрицы A линейно зависима (в пространстве столбцов
).
Доказательство.
- Если строки матрицы A линейно зависимы, скажем, i -я строка Ai является линейной комбинацией остальных,
, то, как мы показали, |A|=0, т. е.
.
- Пусть |A|=0. Тогда k1 A1 + ... + kn An = 0
в том и только в том случае, если (k1, ..., kn) является решением однородной системы линейных уравнений с матрицей A*. Так как |A*| = |A| = 0, то существует ненулевое решение (k1, ..., kn), т. е. система строк A1, ..., An матрицы A линейно зависима. Итак,
.
- Так как |A*| = |A|, то
.
Задача 9.2.9. Пусть ,
, где bij=Aji. Покажите, что если |A|=0, то |B|=0.
Теорема 9.2.10. Любая система из m строк в Kn при m > n линейно зависима.
Доказательство. Если
![\begin{align*} & \alpha_1 = (a_{11}, ..., a_{1n}),\\ & \quad
...\\ & \alpha_m = (a_{m1}, ..., a_{mn}),
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/b81c4cfa1c9dae13d7cb6e370f2eac01.png)
![k_1 \alpha_1 + ... + k_m \alpha_m = 0](/sites/default/files/tex_cache/c1340e48c4b8dcd650e364cd6e5c8aaa.png)
![\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11} x_1 + ... + a_{m1} x_m = 0,\\
\dotfill\\
a_{1n} x_1 + ... + a_{mn} x_m = 0.
\end{array}
\right.](/sites/default/files/tex_cache/9173088b5b9fe0bbc8a261dc89aea466.png)
![\alpha_1, ..., \alpha_m](/sites/default/files/tex_cache/65f241933c24fd131c3543a18d9576df.png)
Следствие 9.2.11. Если система линейно независима, то
.
Лемма 9.2.12. Если система элементов линейного пространства K V над полем K линейно независима,
и система
линейно зависима, то
является линейной комбинацией элементов
.
Доказательство. Пусть
![k_1 \alpha_1 + ... + k_r \alpha_r + k_{r+1} \beta = 0, \quad k_1,...,k_{r+1}\in K,](/sites/default/files/tex_cache/143c546840beb6b1ee875dbe957a636f.png)
![1 \leq i \leq r+1](/sites/default/files/tex_cache/f514d4422c1123725ff790a6645b12c8.png)
![k_1 \alpha_1 + ... + k_r \alpha_r = 0](/sites/default/files/tex_cache/3ef2ad3463394243ec95664821bf6344.png)
![\alpha_1, ..., \alpha_r](/sites/default/files/tex_cache/183f36d51262af1817be86bd1b730be3.png)
Итак, , и поэтому
![\beta = \frac{-k_1}{k_{r+1}} \alpha_1 + ... + \frac{-k_r}{k_{r+1}} \alpha_r.](/sites/default/files/tex_cache/5fd1a44fc4aae0f71787b099a791dbce.png)
Лемма 9.2.13 (единственность представления элемента линейного пространства KV в виде линейной комбинации линейно независимой системы элементов). Пусть - линейно независимая система элементов линейного пространства K V и
![\beta=k_1\alpha_1+...+k_r\alpha_r=k'_1\alpha_1+...+k'_r\alpha_r,\quad k_i,k'_i\in K.](/sites/default/files/tex_cache/dffb9f5212a182cb057331a628a1f431.png)
Доказательство. Действительно,
![(k_1-k'_1)\alpha_1+...+(k_r-k'_r)\alpha_r= 0,](/sites/default/files/tex_cache/76a72d7845e48c529e341463e1e4eae2.png)