НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 10: Раскраски

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3855 / 211 | Оценка: 4.44 / 4.11 | Длительность: 13:45:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Теорема 1. Для любого графа справедливы неравенства ${\Delta (G)\le \chi'(G)\le \Delta (G)+1}$ .

Доказательство. Приводимое ниже доказательство дает и план алгоритма для раскрашивания ребер графа не более чем в $\Delta (G)+1$ цветов. Оно основано на двух операциях перекрашивания, с описания которых и начнем. Далее будут рассматриваться частичные реберные раскраски, т.е. правильные раскраски, при которых некоторые ребра остаются неокрашенными.

Допустим, ребра графа правильно (может быть, частично) раскрашены. Пусть $\alpha$ и $\beta$ - два из использованных в этой раскраске цветов. Рассмотрим подграф , образованный всеми ребрами, имеющими цвета $\alpha$ или $\beta$ . В этом подграфе степень каждой вершины не превосходит 2, следовательно, каждая компонента связности в нем является цепью или циклом. Такую компоненту будем называть $(\alpha,\beta)$ - компонентой. Если в какой-нибудь $(\alpha,\beta )$ -компоненте поменять местами цвета $\alpha$ и $\beta$ (т.е. все ребра, окрашенные в цвет $\alpha$ , перекрасить в цвет $\beta$ и наоборот), то полученная раскраска тоже будет правильной. Эту операцию назовем перекраской $(\alpha,\beta)$ -компоненты.

Другая операция применяется к частично раскрашенному подграфу, называемому веером. Будем говорить, что при данной раскраске цвет $\alpha$ отсутствует в вершине , если ни одно из ребер, инцидентных вершине , не окрашено в этот цвет. Веером называется подграф $F(x,y_{1}\ldots y_{k}$ , $\alpha _{1}\ldots \alpha _{k})$ , состоящий из вершин $x,y_{1} \ldots y_{k}$ и ребер $(x,y_{1})\ldots (x,y_{k} )$ , в котором:

ребро $(x,y_{1})$ не окрашено;
ребро $(x,y_{i})$ окрашено в цвет $\alpha_{i-1}$ , $i=2\ldots k$ ;
в вершине $y_{i}$ отсутствует цвет $\alpha_{i}$ , $i=1\ldots k$ ;
$\alpha_{1}\ldots \alpha_{k-1}$ все попарно различны.

Перекраска веера состоит в том, что ребра $(x,y_{1})\ldots (x,y_{k-1})$ окрашиваются соответственно в цвета $\alpha_{1}\ldots \alpha_{k-1}$ , а ребро $(x,y_{k})$ становится неокрашенным. Очевидно, новая частичная раскраска тоже будет правильной. На рис. 10.3 слева показан веер, а справа - результат его перекраски. Цвета ребер представлены числами, а отсутствующие цвета в вершинах - числами со знаком минус. Неокрашенное ребро изображено пунктиром.

Рис. 10.3.

Покажем, что с помощью этих двух процедур перекрашивания можно ребра любого графа окрасить в не более чем $\Delta (G)+1$ цветов. Допустим, что уже построена частичная правильная раскраска, использующая не более чем $\Delta (G)+1$ цветов, и имеется неокрашенное ребро (x,y) . Так как число разрешенных цветов больше, чем максимальная степень вершины, то в каждой вершине какой-нибудь цвет отсутствует. Допустим, в вершине отсутствует цвет $\beta$ .

Будем строить веер следующим образом. Положим $y_{1} =y$ и пусть $\alpha_{1}$ - цвет, отсутствующий в вершине . Получаем веер $F(x,y_{1},\alpha_{1})$ . Допустим, веер $F(x,y_{1} \ldots y_{k}, \alpha_{1}\ldots \alpha_{k})$ уже построен. Если цвет $\alpha_{k}$ отличен от $\alpha_{1}\ldots \alpha_{k-1}$ и имеется инцидентное вершине ребро (x,z) этого цвета, то увеличиваем на 1 и полагаем $y_{k} =z$ , $\alpha_{k}$ - цвет, отсутствующий в вершине . Этот процесс построения веера продолжается до тех пор, пока не наступит одно из следующих событий.

(А) Нет ребра цвета $\alpha_{k}$ , инцидентного вершине . Перекрашиваем веер, в результате ребро (x,y) становится окрашенным, а ребро $(x,y_{k})$ - неокрашенным, причем цвет $\alpha_{k}$ отсутствует и в вершине $y_{k}$ , и в вершине . Но тогда можно это ребро окрасить в цвет $\alpha_{k}$ , и мы получим правильную раскраску, в которой на одно окрашенное ребро больше.

(Б) Цвет $\alpha_{k}$ совпадает с одним из цветов $\alpha_{1}\ldots \alpha_{k-1}$ (именно этот случай изображен на рис. 10.3). Пусть $\alpha_{k} =\alpha_{i}$ . Рассмотрим вершины $x,y_{i},y_{k}$ . В каждой из них отсутствует какой-нибудь из цветов $\beta$ или $\alpha_{k}$ . Значит, в подграфе, образованном ребрами этих двух цветов, степень каждой из этих вершин не превосходит 1. Следовательно, все три вершины не могут принадлежать одной $(\alpha_{k},\beta)$ -компоненте. Рассмотрим две возможности.

(Б1) Вершины и $y_{i}$ принадлежат разным $(\alpha_{k},\beta )$ -компонентам. Перекрасим веер $F(x,y_{1}\ldots y_{i},\alpha _{1}\ldots \alpha _{i})$ . Ребро $(x,y_{i} )$ станет неокрашенным. Теперь перекрасим $(\alpha_{k},\beta )$ -компоненту, содержащую вершину $y_{i}$ . После этого цвет $\beta$ будет отсутствовать в вершине $y_{i}$ и ребро $(x,y_{i})$ можно окрасить в этот цвет.

(Б2) Вершины и $y_{k}$ принадлежат разным $(\alpha_{k},\beta)$ -компонентам. Перекрасим веер $F(x,y_{1}\ldots y_{k},\alpha _{1} \ldots \alpha _{k})$ . Ребро $(x,y_{k})$ станет неокрашенным. Теперь перекрасим $(\alpha_{k},\beta)$ -компоненту, содержащую вершину $y_{k}$ . После этого цвет $\beta$ будет отсутствовать в вершине $y_{k}$ и ребро $(x,y_{k})$ можно окрасить в этот цвет.

Итак, в любом случае получаем правильную раскраску, в которой добавилось еще одно раскрашенное ребро (x,y) .

На рис. 10.4 иллюстрируются случаи (Б1) и (Б2) на примере веера из рисунка 10.3. Здесь k=5 , i=3 . Левое изображение соответствует случаю (Б1): вершины и $y_{3}$ принадлежат разным (3,
5) -компонентам. После перекраски веера $F(x,y_{1} ,y_{2} ,y_{3} ,1,2,3)$ и (3,5) -компоненты, содержащей вершину $y_{3}$ , появляется возможность окрасить ребро $(x,y_{3})$ в цвет 5. Случай (Б2) показан справа: здесь вершины и $y_{5}$ принадлежат разным (3,
5) -компонентам, поэтому после перекраски веера $F(x,y_{1},y_{2},y_{3}, y_{4}, y_{5}$ , , , , 4,3) и (3,5) -компоненты, содержащей вершину $y_{5}$ , появляется возможность окрасить ребро $(x,y_{5})$ в цвет 5.

Рис. 10.4.

Итак, все графы делятся на два класса: у одних хроматический индекс равен максимальной степени вершины, у других он на единицу больше. Оказывается, определение принадлежности графа к тому или иному классу является NP-трудной задачей. Алгоритм, который можно извлечь из доказательства теоремы 1, за полиномиальное время находит раскраску в не более чем $\Delta (G)+1$ цветов. Его можно назвать "идеальным" приближенным алгоритмом - более высокую точность имеет только точный алгоритм.

Дальше >>

Авторизоваться

Графы и алгоритмы

Раскраски

Вопросы и ответы