Маршруты, связность, расстояния

Связность и компоненты

Граф называется связным, если в нем для любых двух вершин имеется маршрут, соединяющий эти вершины. Заметим, что ввиду теоремы 1 можно в этом определении заменить слово "маршрут" словами "простой путь".

Для произвольного графа определим на множестве вершин отношение соединимости: вершина соединима с вершиной , если существует соединяющий их маршрут. Легко видеть, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности называются областями связности, а порождаемые ими подграфы - компонентами связности графа. В связном графе имеется только одна компонента связности - весь граф. Компоненты связности можно определить также как максимальные по включению связные подграфы данного графа.

У графа на рис. 2.2 имеется четыре области связности - , , , .

Рис. 2.2.

Вершина называется шарниром (или точкой сочленения ), если при ее удалении число компонент связности увеличивается. У графа на рис. 2.2 имеется четыре шарнира - это вершины , , , .

Ребро, при удалении которого увеличивается число компонент связности, называется перешейком. Перешейками графа, изображенного на рис. 2.2, являются ребра , , , , .

Легко доказываются следующие свойства шарниров и перешейков:

Метрические характеристики графов

Расстоянием между двумя вершинами графа называется наименьшая длина пути, соединяющего эти вершины. Расстояние между вершинами и обозначается через . Если в графе нет пути, соединяющего и , то есть эти вершины принадлежат разным компонентам связности, то расстояние между ними считается бесконечным.

Функция обладает следующими свойствами:

1. , причем тогда и только тогда, когда ;
2. ;
3. (неравенство треугольника).

В математике функцию двух переменных, определенную на некотором множестве и удовлетворяющую условиям 1 - 3, называют метрикой, а множество, на котором задана метрика, - метрическим пространством. Таким образом, множество вершин любого графа можно рассматривать как метрическое пространство.

Расстояние от данной вершины до наиболее удаленной от нее вершины называется эксцентриситетом вершины и обозначается через . Таким образом,

Вершину с наименьшим эксцентриситетом называют центральной, а вершину с наибольшим эксцентриситетом - периферийной. Множество всех центральных вершин называется центром графа. Сама величина наименьшего эксцентриситета называется радиусом графа и обозначается через , а величина наибольшего - диаметром и обозначается . Иначе говоря,

Наименьший диаметр имеет полный граф - его диаметр равен 1. Среди связных графов с вершинами наибольший диаметр, равный , имеет цепь .

Если расстояние между двумя вершинами равно диаметру графа, то кратчайший путь, соединяющий эти вершины, называется диаметральным путем, а подграф, образованный вершинами и ребрами этого пути, - диаметральной цепью.

Для графа, изображенного на рис. 2.3, эксцентриситеты вершин приведены в следующей таблице:

Центр этого графа составляют вершины , , ; периферийные вершины - , и ; радиус его равен , а диаметр . Одна из диаметральных цепей порождается множеством вершин .

Рис. 2.3.