Компьютерные науки
Математика и логика

Введение в теорию множеств

Программа о ключевых понятиях наивной теории множеств, включая счетные множества, мощности, функции, отношения эквивалентности и порядка. Рассматриваются лемма Цорна, трансфинитная индукция и ординалы.
Студентов 1860 Выпускников 178 Для всех
690 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
Темы:
Алгоритмы и сложность, Математика
Объем
36 час.
Длительность
30 дней
Нагрузка в неделю
9 час.
Формат обучения
Дистанционно (самостоятельно)
Описание Материал ориентирован на детальное погружение в основы наивной теории множеств. В рамках обучения рассматриваются операции над множествами, счетность, теоремы Кантора и Кантора-Бернштейна. Глубоко изучаются функции, операции над мощностями, изоморфизмы, отношения эквивалентности и порядка. Отдельный акцент сделан на вполне упорядоченных множествах, принципах трансфинитной индукции, теореме Цермело и ординалах. Каждая логическая часть сопровождается тестами для проверки усвоения абстрактных понятий.
Цели
  • Сформировать понимание базовых концепций наивной теории множеств.
  • Раскрыть принципы работы с мощностями множеств, функциями и отношениями порядка.
  • Дать представление о трансфинитной индукции, лемме Цорна и теории ординалов.
Чему я научусь?
  • Оперировать базовыми понятиями теории множеств и выполнять операции над мощностями.
  • Анализировать отношения эквивалентности и порядка на множествах.
  • Применять трансфинитную индукцию и лемму Цорна в математических доказательствах.
  • Работать с ординалами и индуктивными определениями.

Авторы

Верещагин Николай Константинович
Верещагин Николай Константинович
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры "Математической логики и теории алгоритмов" механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова.
Шень Александр Ханиевич
Шень Александр Ханиевич
Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН.
Чему я научусь?
  • Оперировать базовыми понятиями теории множеств и выполнять операции над мощностями.
  • Анализировать отношения эквивалентности и порядка на множествах.
  • Применять трансфинитную индукцию и лемму Цорна в математических доказательствах.
  • Работать с ординалами и индуктивными определениями.

Учебный план

№ Занятия
Экзамен экстерном Внимание! Экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите подтвердить свои знания по данному курсу без его изучения или поверить свои знания по нему. Экзамен экстерном можно сдать только один раз. 90 мин
1 Множества Вводная лекция знакомит читателя с основными понятиями и обозначениями, связанными со множествами. Описываются такие операции, как... Вводная лекция знакомит читателя с основными понятиями и обозначениями, связанными со множествами. Описываются такие операции, как пересечение, объединение, разность, симметрическая разность. Определяется ряд дополнительных понятий, таких как мощность множества, равномощные множества, без которых невозможно дальнейшее изучение курса. Доказывается формула включений и исключений. Для лекции характерно большое количество примеров, задач для самостоятельного решения ещё
Множества тест для курса Введение в теорию множеств 35 мин
2 Счетные множества "Вводится понятие счетного множества, определяется несколько теорем с подробным доказательством. Что интересно, есть несколько замечаний к... "Вводится понятие счетного множества, определяется несколько теорем с подробным доказательством. Что интересно, есть несколько замечаний к теоремам, которые решают тонкие вопросы, связанные с доказательством. Даются примеры счетных множеств для более глубокого понимания сути данной лекции. Некоторое количество задач для самостоятельного изучения. Также имеется небольшая историческая справка насчет теоремы: ""Квадрат (с внутренностью) равномощен отрезку""" ещё
Счетные множества тест для курса Введение в теорию множеств 35 мин
3 Теорема Кантора - Бернштейна Краткая историческая справка по данной теореме, называемой также теоремой Шредера- Бернштейна. Данная теорема определяет условие, при... Краткая историческая справка по данной теореме, называемой также теоремой Шредера- Бернштейна. Данная теорема определяет условие, при котором множества A и B – равномощны. Подробное исследование текущего вопроса с полным доказательством, различными рисунками для более наглядного представления. Исходя из теоремы Кантора – Бернштейна рассматривается вопрос о сравнении мощностей. Небольшое количество задач ещё
Теорема Кантора - Бернштейна тест для курса Введение в теорию множеств 30 мин
4 Теорема Кантора Теорема Кантора – одна из основополагающих задач теории множеств. Рассматривается доказательство теоремы с подробным объяснением каждого... Теорема Кантора – одна из основополагающих задач теории множеств. Рассматривается доказательство теоремы с подробным объяснением каждого шага. Рассматривается сложный вопрос о том, являются ли множества своими элементами. Дается некоторая историческая информация, связанная с доказательством данной теоремы и других утверждений. Как всегда, немного задач для самостоятельного решения ещё
Теорема Кантора тест для курса Введение в теорию множеств 30 мин
5 Функции Определяются такие понятия, как декартово произведение множеств A и B, отношение между ними, бинарное отношение на... Определяются такие понятия, как декартово произведение множеств A и B, отношение между ними, бинарное отношение на множестве A. Определяются понятия функции из A в B, область определения функции. Вводятся понятия композиции двух функций, инъекции, биекции. Большое количество самостоятельных заданий. Много определений и полных объяснений различных математических расчетов ещё
Функции тест для курса Введение в теорию множеств 30 мин
6 Операции над мощностями Для мощностей характерно большое количество операций, таких как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность и др. В лекции... Для мощностей характерно большое количество операций, таких как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность и др. В лекции описываются все эти операции с некоторыми доказательствами их справедливости. Также определяются свойства счетных множеств. Различные примеры, решение вопроса о разбиении множества на непересекающиеся части. Рассматриваются также важные моменты, изучение которых избавит от непредвиденных трудностей в последствии ещё
Операции над мощностями тест для курса Введение в теорию множеств 35 мин
7 Эквивалентность и порядок. Изоморфизмы Описывается много новых понятий, таких как отношение эквивалентности, отношение частичного порядка, изоморфные частичные множества. Доказываются несколько... Описывается много новых понятий, таких как отношение эквивалентности, отношение частичного порядка, изоморфные частичные множества. Доказываются несколько теорем по данной теме с подробными объяснениями, графиками и примерами. Задается большое количество примеров частичных порядков. Описываются несколько конструкций, позволяющих строить одни упорядоченные множества из других. Для лекции характерно множество задач для самостоятельного решения ещё
Эквивалентность и порядок. Изоморфизмы тест для курса Введение в теорию множеств 30 мин
8 Фундированные и вполне упорядоченные множества Рассматриваются фундированные множества, вполне упорядоченные множества. Отмечаются несколько простых свойств начальных отрезков. Некоторые замечания по ходу... Рассматриваются фундированные множества, вполне упорядоченные множества. Отмечаются несколько простых свойств начальных отрезков. Некоторые замечания по ходу объяснения материала заставляют читателя более внимательно относиться к материалу лекции и теории в целом. Доказывается несколько теорем с подробными объяснениями и математическими преобразованиями. Решается несколько интересных задач, связанных так или иначе с лекцией. Лекция достаточно интересная, в какой то мере сложная для обучения ещё
Фундированные и вполне упорядоченные множества тест для курса Введение в теорию множеств 30 мин
9 Трансфинитная индукция Для лекции характерно много теорем для лучшего понимания материала. Большое количество доказательств различных утверждений. Несколько задач... Для лекции характерно много теорем для лучшего понимания материала. Большое количество доказательств различных утверждений. Несколько задач для самопроверки. В целом, лекция достаточно сложная для изучения ещё
Трансфинитная индукция тест для курса Введение в теорию множеств 30 мин
10 Теорема Цермело Данная лекция посвящена основополагающей теореме теории множеств – теореме Цермело. Также дается описание и доказательство нескольких... Данная лекция посвящена основополагающей теореме теории множеств – теореме Цермело. Также дается описание и доказательство нескольких аксиом, дополнительных предположений для доказательства нескольких теорем. Значительная часть лекции посвящена трансфинитной индукции и базису Гамеля. В этом разделе также определяется ряд теорем с полным доказательством, даются примеры и задания для самостоятельного решения ещё
Теорема Цермело тест для курса Введение в теорию множеств 30 мин
11 Лемма Цорна и свойства операций Лемма Цорна редко встречается в современных изданиях по теории множеств, но в этом курсе сделано исключение.... Лемма Цорна редко встречается в современных изданиях по теории множеств, но в этом курсе сделано исключение. Большая часть лекции посвящена именно лемме Цорна, обширному доказательству данного утверждения и огромному количеству примеров. Вторая часть лекции определяет свойства операций над мощностями. Несколько теорем полностью описывают данный вопрос, а дополнительные задачи помогают лучше разобраться в материале лекции ещё
Лемма Цорна и свойства операций тест для курса Введение в теорию множеств 30 мин
12 Ординалы Ординалом называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. В лекции подробно описываются свойства ординалов. Проводятся различные рассуждения... Ординалом называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. В лекции подробно описываются свойства ординалов. Проводятся различные рассуждения о применении ординалов. Арифметика ординалов обладает своими свойствами и отличиями, которые определяются и рассматриваются в лекции. Некоторая часть лекции посвящена свойствам умножения ординалов. Большое количество задач для самостоятельного решения ещё
Ординалы тест для курса Введение в теорию множеств 35 мин
13 Индуктивные определения и степени Определяется ряд теорем с подробными доказательствами, которые полностью описывают операции сложения и умножения ординалов. Есть некоторые... Определяется ряд теорем с подробными доказательствами, которые полностью описывают операции сложения и умножения ординалов. Есть некоторые замечания по ходу объяснения лекции, на которые следует обратить внимание. Как обычно, множество задач для самостоятельного решения. Также приведены несколько теорем для создания более полного представления о материале лекции ещё
Индуктивные определения и степени тест для курса Введение в теорию множеств 30 мин
14 Приложения ординалов "Заключительная лекция курса ""Введение в теорию множеств"". Рассматриваются некоторые утверждения с доказательствами, такие как: существует множество... "Заключительная лекция курса ""Введение в теорию множеств"". Рассматриваются некоторые утверждения с доказательствами, такие как: существует множество точек на плоскости, которое пересекается с каждой прямой ровно в двух точках, всякий счетный ординал является рангом некоторого дерева, семейство всех борелевских множеств имеет мощность континуума и др. В лекции подробно описываются многие вопросы. О теории множеств можно говорить сколь угодно много и проводить обширные рассуждения на счет справедливости тех или иных утверждений, но основные понятия, основные теоремы и определения очень хорошо описываются в данном курсе" ещё
Приложения ординалов тест для курса Введение в теорию множеств 30 мин
Тренировочный экзамен Внимание! Тренировочный экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите проверить свои знания курса перед сдачей экзамена. Тренировочный экзамен можно сдавать сколько угодно один раз. 90 мин
Экзамен 60 мин

Какой документ я получу?

Сертификат

Выдаётся автоматически после успешного завершения программы.

Удостоверение о повышении квалификации

Выдается при наличии среднего специального или высшего образования (необходимые документы).

Стоимость программы

690 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
^