До сих пор мы старались ограничиваться минимумом формальностей и говорили о функциях, их аргументах, значениях, композиции и т.п. без попыток дать определения этих понятий. Сейчас мы дадим формальные определения.
Пусть $$A$$ и $$B$$ - два множества. Рассмотрим множество всех упорядоченных пар $$\langle a,b\rangle$$, где $$a\hm\in A$$ и $$b\hm\in B$$. Это множество называется декартовым произведением множеств $$A$$ и $$B$$ и обозначается $$A\hm\times B$$. (К вопросу о том, что такое упорядоченная пара, мы еще вернемся)
Любое подмножество $$R$$ множества $$A\hm\times B$$ называется отношением между множествами $$A$$ и $$B$$. Если $$A\hm=B$$, говорят о бинарном отношении на множестве $$A$$. Например, на множестве натуральных чисел можно рассмотреть бинарное отношение " быть делителем", обычно обозначаемое символом $$|$$. Тогда можно в принципе было бы написать $$\langle 2, 6\rangle\hm\in |$$ и $$\langle 2, 7\rangle\hm\notin |$$. Обычно, однако, знак отношения пишут между объектами (например, $$2|6$$ ).
59.Вопрос для самоконтроля: отношения " быть делителем" и " делиться на" - это одно и то же отношение или разные? (Ответ: конечно, разные - в упорядоченной паре порядок существен.)
Если аргументами функции являются элементы множества $$A$$, а
значениями - элементы множества $$B$$, то можно рассмотреть
отношение между $$A$$ и $$B$$, состоящее из пар
вида $$\langle
x,f(x)\rangle$$. По аналогии с
Отношение $$F\hm\subset A\hm\times B$$ называется функцией из $$A$$ в $$B$$ , если оно не содержит пар с одинаковым первым членом и разными вторыми. Другими словами, это означает, что для каждого $$a\in A$$ существует не более одного $$b\in B$$, при котором $$\langle a,b\rangle\hm\in F$$.
Те элементы $$a\in A$$, для которых такое $$b$$ существует, образуют область определения функции $$F$$. Она обозначается $$\Dom F$$ (от английского слова domain). Для любого элемента $$a\hm\in \Dom F$$ можно определить значение функции $$F$$ на аргументе $$a$$ (" в точке $$a$$ ", как иногда говорят) как тот единственный элемент $$b\hm\in B$$, для которого $$\langle a,b\rangle\hm\in F$$. Этот элемент записывают как $$F(a)$$. Все такие элементы $$b$$ образуют множество значений $$\Val F$$.
Если $$a\notin\Dom F$$, то говорят, что функция не определена на $$a$$. Заметим, что по нашему определению функция из $$A$$ в $$B$$ не обязана быть определена на всех элементах множества $$A$$ - ее область определения может быть любым подмножеством множества $$A$$. Симметричным образом множество ее значений может не совпадать с множеством $$B$$.
Если область определения функции $$f$$ из $$A$$ в $$B$$ совпадает с $$A$$, то пишут $$f\colon A\hm\to B$$.
Пример: тождественная функция $$\id_A\colon A\hm\to A$$ переводит множество $$A$$ в себя, причем $$\id(a)\hm=a$$ для любого $$a\hm\in A$$. Она представляет собой множество пар вида $$\langle a,a\rangle$$ для всех $$a\in A$$. (Индекс $$A$$ в $$\id_A$$ иногда опускают, если ясно, о каком множестве идет речь.)
Композицией
двух функций $$f\colon A \hm\to B$$ и $$g\colon B\hm\to C$$
называют функцию $$h\colon A\hm\to C$$, определенную
соотношением $$h(x)\hm=g(f(x))$$. Другими словами, $$h$$ представляет собой
множество пар $$\{\langle a,c\rangle \mid \langle a,b\rangle \in f \text{ и }
\langle b,c\rangle \in g \text{ для некоторого b \in B\}$$.
Очевидно, композиция (как операция над функциями) ассоциативна, то есть $$h\circ (f\circ g) \hm= (h\circ f)\circ g$$, поэтому в композиции нескольких подряд идущих функций можно опускать скобки.
Пусть $$f\colon A\hm\to B$$. Прообразом подмножества $$B'\hm\subset B$$ называется множество всех элементов $$x\hm\in A$$, для которых $$f(x)\hm\in B'$$. Оно обозначается $$f^{-1}(B')$$:$$f^{-1}(B')=\{ x \in A \mid f(x)\in B'\}.$$ Образом множества $$A'\hm\subset A$$ называется множество всех значений функции $$f$$ на всех элементах множества $$A'$$. Оно обозначается $$$f(A')$: \begin{multiple} f(A') =\{f(a)\mid a\in A'\}=\\ = \{ b\in B\mid\langle a,b\rangle \in f \text{ для некоторого $a\in A'$}\}. \end{multiple}$$ Строго говоря, обозначение $$f(A')$$ может привести к путанице (одни и те же круглые скобки употребляются и для значения функции, и для образа множества), но обычно ясно, что имеется в виду.
60. Какие из следующих равенств верны?
$$\begin{align*} f(A' \cap A'') = f(A') \cap f(A'');\\ f(A' \cup A'') = f(A') \cup f(A'');\\ f(A' \setminus A'') = f(A') \setminus f(A'');\\ f^{-1}(B' \cap B'') = f^{-1}(B') \cap f^{-1}(B'');\\ f^{-1}(B' \cup B'') = f^{-1}(B') \cup f^{-1}(B'');\\ f^{-1}(B' \setminus B'') = f^{-1}(B') \setminus f^{-1}(B'');\\ f^{-1}(f(A'))\subset A';\\ f^{-1}(f(A'))\supset A';\\ f(f^{-1}(B') )\subset B';\\ f(f^{-1}(B') )\supset B';\\ (g\circ f)(A)=g(f(A));\\ (g\circ f)^{-1}(C')= f^{-1}(g^{-1}(C')); %(g\circ f)^{-1}(C')= g^{-1}(f^{-1}(C')). \end{align*}$$
(Здесь $$f\colon A\hm\to B$$, $$g\colon B\hm\to C$$, $$A',A''\hm\subset A$$, $$B',B''\hm\subset B$$, $$C'\hm\subset C$$.)
Иногда вместо функций говорят об отображениях (резервируя термин " функция" для отображений с числовыми аргументами и значениями). Мы не будем строго придерживаться таких различий, употребляя слова " отображение" и " функция" как синонимы.
Функция $$f\colon A\hm\to B$$ называется инъективной, или инъекцией, или вложением, если она переводит разные элементы в разные, то есть если $$f(a_1)\hm\neq f(a_2)$$ при различных $$a_1$$ и $$a_2$$.
Функция $$f\colon A\hm\to B$$ называется сюръективной, или сюръекцией, или наложением, если множество ее значений есть все $$B$$. (Иногда такие функции называют отображениями на $$B$$.)
Эти два определения более симметричны, чем может показаться на первый взгляд, как показывают такие задачи:
61. Докажите, что функция $$f\colon A\hm\to B$$ является вложением тогда и только тогда, когда она имеет левую обратную функцию $$g\colon B\hm\to A$$, то есть функцию $$g$$, для которой $$g\hm\circ f \hm= \id_A$$. Докажите, что функция $$f\colon A\hm\to B$$ является наложением тогда и только тогда, когда она имеет правую обратную функцию $$g\colon B\hm\to A$$, для которой $$f\hm\circ g \hm= \id_B$$.
62. Докажите, что функция $$f\colon A\hm\to B$$ является вложением тогда и только тогда, когда на нее можно сокращать слева: из равенства $$f\hm\circ g_1 \hm= f\hm\circ g_2$$ следует равенство $$g_1 \hm= g_2$$ (для любых функций $$g_1$$, $$g_2$$, области значений которых содержатся в $$A$$ ). Докажите, что функция $$f\colon A\hm\to B$$ является наложением тогда и только тогда, когда на нее можно сокращать справа: из равенства $$g_1 \hm\circ f \hm= g_2 \hm\circ f$$ следует равенство $$g_1 \hm= g_2$$ (для любых функций $$g_1$$, $$g_2$$, область определения которых есть $$B$$ ).
Отображение (функция) $$f\colon A\hm\to B$$, которое одновременно
является
Если $$f$$ - биекция, то существует обратная функция $$f^{-1}$$, для которой $${f^{-1}(y)=x}\hm\Leftrightarrow{f(x)=y}$$.
63. Могут ли для некоторой функции левая и правая обратные существовать, но быть различны?
Напомним, что множества $$A$$ и $$B$$ равномощны, если существует биекция $$f\colon A\hm\to B$$. В каком случае существует инъекция (вложение) $$f\colon A\hm\to B$$? Легко понять, что вложение является взаимно однозначным соответствием между $$A$$ и некоторым подмножеством множества $$B$$, поэтому такое вложение существует тогда и только тогда, когда в $$B$$ есть подмножество, равномощное $$A$$, - когда мощность $$A$$ не превосходит мощности $$B$$ (в смысле определения, данного в лекцию 3).
Чуть менее очевиден другой результат: наложение $$A$$ на $$B$$ существует тогда и только тогда, когда мощность $$B$$ не превосходит мощности $$A$$.
В самом деле, пусть наложение $$f\colon A\hm\to B$$ существует. Для каждого элемента $$b\hm\in B$$ найдется хотя бы один элемент $$a\hm\in A$$, для которого $$f(a)\hm=b$$. Выбрав по одному такому элементу, мы получим подмножество $$A'\hm\subset A$$, которое находится во взаимно однозначном соответствии с множеством $$B$$. (Здесь снова используется аксиома выбора, о которой мы говорили ранее)
В обратную сторону: если какое- то подмножество $$A'$$ множества $$A$$ равномощно множеству $$B$$ и имеется биекция $$g\colon A'\hm\to B$$, то наложение $$A$$ на $$B$$ можно получить, доопределив эту биекцию на элементах вне $$A'$$ каким угодно образом.
64. Найдите ошибку в этом рассуждении, не читая дальше.
На самом деле такое продолжение возможно, только если $$B$$ непусто, так что правильное утверждение звучит так: наложение $$A$$ на $$B$$ существует тогда и только тогда, когда $$B$$ непусто и равномощно некоторому подмножеству $$A$$, или когда оба множества пусты.
В нашем изложении остается еще один не вполне понятный момент: что такое " упорядоченная пара "? Неформально говоря, это способ из двух объектов $$x$$ и $$y$$ образовать один объект $$\langle x,y\rangle$$, причем этот способ обладает таким свойством:$$\langle x_1,y_1\rangle = \langle x_2,y_2\rangle \ \Leftrightarrow \ \text{$x_1=x_2$ и $y_1=y_2$}$$ В принципе, можно так и считать понятие упорядоченной пары неопределяемым, а это свойство - аксиомой. Однако при формальном построении теории множеств удобно использовать трюк, придуманный польским математиком Куратовским, и избежать появления отдельного понятия упорядоченной пары. (Напомним, что $$\{x\}$$ обозначает множество, единственным элементом которого является $$x$$, а $$\{x,y\}$$ обозначает множество, которое содержит $$x$$ и $$y$$ и не содержит других элементов. Тем самым $${\{x,y\}} \hm= {\{x\}} \hm= {\{y\}}$$, если $$x\hm=y$$.)
Теорема 9. Упорядоченная пара по Куратовскому. Определим $$\langle x,y\rangle$$ как $${\{\{x\},\{x,y\}\}}$$. Тогда выполнено указанное выше свойство:$$\langle x_1,y_1\rangle = \langle x_2,y_2\rangle \ \Leftrightarrow \ \text{$x_1=x_2$ и $y_1=y_2$}.$$
Доказательство. Пусть $$\langle x_1,y_1\rangle = \langle x_2,y_2\rangle$$. По определению это означает, что $${\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}}= {\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\}}$$. Теперь нужно аккуратно разобрать случаи (не путая при этом $$x$$ с $$\{x\}$$ ). Это удобно делать в следующем порядке. Пусть сначала $$x_1\hm\neq y_1$$. Тогда множество $${\{x_1,y_1\}}$$ состоит из двух элементов. Раз оно принадлежит левой части равенства, то принадлежит и правой. Значит, оно равно либо $$\{x_2\}$$, либо $${\{x_2,y_2\}}$$. Первое невозможно, так как двухэлементное множество не может быть равно одноэлементному. Значит, $${\{x_1,y_1\}}\hm= {\{x_2,y_2\}}$$. С другой стороны, одноэлементное множество $$\{x_1\}$$ принадлежит левой части равенства, поэтому оно принадлежит и правой, и потому равно $$\{x_2\}$$ (поскольку не может быть равно двухэлементному). Отсюда $$x_1\hm=x_2$$ и $$y_1\hm=y_2$$, что и требовалось.
Аналогично можно разобрать симметричный случай, когда $$x_2\hm\neq y_2$$.
Осталось рассмотреть ситуацию, когда $$x_1\hm=y_1$$ и $$x_2\hm=y_2$$. В этом случае $${\{x_1,y_1\}}\hm=\{x_1\}$$ и потому левая часть данного нам равенства есть $$\{\{x_1\}\}$$. Аналогичным образом, правая его часть есть $$\{\{x_2\}\}$$, и потому $$x_1=x_2$$, так что все четыре элемента $$x_1$$, $$x_2$$, $$y_1$$, $$y_2$$ совпадают.
Заметим, что возможны и другие определения упорядоченной пары, для которых аналогичное утверждение верно, так что никакого " философского смысла" в этом определении нет - это просто удобный технический прием.
65. Докажите утверждение теоремы 9 для упорядоченной пары по Винеру: $$\langle x,y\rangle\hm= \{\{\varnothing,\{x\}\},\{\{y\}\}\}$$.
До сих пор мы старались ограничиваться минимумом формальностей и говорили о функциях, их аргументах, значениях, композиции и т.п. без попыток дать определения этих понятий. Сейчас мы дадим формальные определения.
Пусть $$A$$ и $$B$$ - два множества. Рассмотрим множество всех упорядоченных пар $$\langle a,b\rangle$$, где $$a\hm\in A$$ и $$b\hm\in B$$. Это множество называется декартовым произведением множеств $$A$$ и $$B$$ и обозначается $$A\hm\times B$$. (К вопросу о том, что такое упорядоченная пара, мы еще вернемся)
Любое подмножество $$R$$ множества $$A\hm\times B$$ называется отношением между множествами $$A$$ и $$B$$. Если $$A\hm=B$$, говорят о бинарном отношении на множестве $$A$$. Например, на множестве натуральных чисел можно рассмотреть бинарное отношение " быть делителем", обычно обозначаемое символом $$|$$. Тогда можно в принципе было бы написать $$\langle 2, 6\rangle\hm\in |$$ и $$\langle 2, 7\rangle\hm\notin |$$. Обычно, однако, знак отношения пишут между объектами (например, $$2|6$$ ).
59.Вопрос для самоконтроля: отношения " быть делителем" и " делиться на" - это одно и то же отношение или разные? (Ответ: конечно, разные - в упорядоченной паре порядок существен.)
Если аргументами функции являются элементы множества $$A$$, а
значениями - элементы множества $$B$$, то можно рассмотреть
отношение между $$A$$ и $$B$$, состоящее из пар
вида $$\langle
x,f(x)\rangle$$. По аналогии с
Отношение $$F\hm\subset A\hm\times B$$ называется функцией из $$A$$ в $$B$$ , если оно не содержит пар с одинаковым первым членом и разными вторыми. Другими словами, это означает, что для каждого $$a\in A$$ существует не более одного $$b\in B$$, при котором $$\langle a,b\rangle\hm\in F$$.
Те элементы $$a\in A$$, для которых такое $$b$$ существует, образуют область определения функции $$F$$. Она обозначается $$\Dom F$$ (от английского слова domain). Для любого элемента $$a\hm\in \Dom F$$ можно определить значение функции $$F$$ на аргументе $$a$$ (" в точке $$a$$ ", как иногда говорят) как тот единственный элемент $$b\hm\in B$$, для которого $$\langle a,b\rangle\hm\in F$$. Этот элемент записывают как $$F(a)$$. Все такие элементы $$b$$ образуют множество значений $$\Val F$$.
Если $$a\notin\Dom F$$, то говорят, что функция не определена на $$a$$. Заметим, что по нашему определению функция из $$A$$ в $$B$$ не обязана быть определена на всех элементах множества $$A$$ - ее область определения может быть любым подмножеством множества $$A$$. Симметричным образом множество ее значений может не совпадать с множеством $$B$$.
Если область определения функции $$f$$ из $$A$$ в $$B$$ совпадает с $$A$$, то пишут $$f\colon A\hm\to B$$.
Пример: тождественная функция $$\id_A\colon A\hm\to A$$ переводит множество $$A$$ в себя, причем $$\id(a)\hm=a$$ для любого $$a\hm\in A$$. Она представляет собой множество пар вида $$\langle a,a\rangle$$ для всех $$a\in A$$. (Индекс $$A$$ в $$\id_A$$ иногда опускают, если ясно, о каком множестве идет речь.)
Композицией
двух функций $$f\colon A \hm\to B$$ и $$g\colon B\hm\to C$$
называют функцию $$h\colon A\hm\to C$$, определенную
соотношением $$h(x)\hm=g(f(x))$$. Другими словами, $$h$$ представляет собой
множество пар $$\{\langle a,c\rangle \mid \langle a,b\rangle \in f \text{ и }
\langle b,c\rangle \in g \text{ для некоторого b \in B\}$$.
Очевидно, композиция (как операция над функциями) ассоциативна, то есть $$h\circ (f\circ g) \hm= (h\circ f)\circ g$$, поэтому в композиции нескольких подряд идущих функций можно опускать скобки.
Пусть $$f\colon A\hm\to B$$. Прообразом подмножества $$B'\hm\subset B$$ называется множество всех элементов $$x\hm\in A$$, для которых $$f(x)\hm\in B'$$. Оно обозначается $$f^{-1}(B')$$:$$f^{-1}(B')=\{ x \in A \mid f(x)\in B'\}.$$ Образом множества $$A'\hm\subset A$$ называется множество всех значений функции $$f$$ на всех элементах множества $$A'$$. Оно обозначается $$$f(A')$: \begin{multiple} f(A') =\{f(a)\mid a\in A'\}=\\ = \{ b\in B\mid\langle a,b\rangle \in f \text{ для некоторого $a\in A'$}\}. \end{multiple}$$ Строго говоря, обозначение $$f(A')$$ может привести к путанице (одни и те же круглые скобки употребляются и для значения функции, и для образа множества), но обычно ясно, что имеется в виду.
60. Какие из следующих равенств верны?
$$\begin{align*} f(A' \cap A'') = f(A') \cap f(A'');\\ f(A' \cup A'') = f(A') \cup f(A'');\\ f(A' \setminus A'') = f(A') \setminus f(A'');\\ f^{-1}(B' \cap B'') = f^{-1}(B') \cap f^{-1}(B'');\\ f^{-1}(B' \cup B'') = f^{-1}(B') \cup f^{-1}(B'');\\ f^{-1}(B' \setminus B'') = f^{-1}(B') \setminus f^{-1}(B'');\\ f^{-1}(f(A'))\subset A';\\ f^{-1}(f(A'))\supset A';\\ f(f^{-1}(B') )\subset B';\\ f(f^{-1}(B') )\supset B';\\ (g\circ f)(A)=g(f(A));\\ (g\circ f)^{-1}(C')= f^{-1}(g^{-1}(C')); %(g\circ f)^{-1}(C')= g^{-1}(f^{-1}(C')). \end{align*}$$
(Здесь $$f\colon A\hm\to B$$, $$g\colon B\hm\to C$$, $$A',A''\hm\subset A$$, $$B',B''\hm\subset B$$, $$C'\hm\subset C$$.)
Иногда вместо функций говорят об отображениях (резервируя термин " функция" для отображений с числовыми аргументами и значениями). Мы не будем строго придерживаться таких различий, употребляя слова " отображение" и " функция" как синонимы.
Функция $$f\colon A\hm\to B$$ называется инъективной, или инъекцией, или вложением, если она переводит разные элементы в разные, то есть если $$f(a_1)\hm\neq f(a_2)$$ при различных $$a_1$$ и $$a_2$$.
Функция $$f\colon A\hm\to B$$ называется сюръективной, или сюръекцией, или наложением, если множество ее значений есть все $$B$$. (Иногда такие функции называют отображениями на $$B$$.)
Эти два определения более симметричны, чем может показаться на первый взгляд, как показывают такие задачи:
61. Докажите, что функция $$f\colon A\hm\to B$$ является вложением тогда и только тогда, когда она имеет левую обратную функцию $$g\colon B\hm\to A$$, то есть функцию $$g$$, для которой $$g\hm\circ f \hm= \id_A$$. Докажите, что функция $$f\colon A\hm\to B$$ является наложением тогда и только тогда, когда она имеет правую обратную функцию $$g\colon B\hm\to A$$, для которой $$f\hm\circ g \hm= \id_B$$.
62. Докажите, что функция $$f\colon A\hm\to B$$ является вложением тогда и только тогда, когда на нее можно сокращать слева: из равенства $$f\hm\circ g_1 \hm= f\hm\circ g_2$$ следует равенство $$g_1 \hm= g_2$$ (для любых функций $$g_1$$, $$g_2$$, области значений которых содержатся в $$A$$ ). Докажите, что функция $$f\colon A\hm\to B$$ является наложением тогда и только тогда, когда на нее можно сокращать справа: из равенства $$g_1 \hm\circ f \hm= g_2 \hm\circ f$$ следует равенство $$g_1 \hm= g_2$$ (для любых функций $$g_1$$, $$g_2$$, область определения которых есть $$B$$ ).
Отображение (функция) $$f\colon A\hm\to B$$, которое одновременно
является
Если $$f$$ - биекция, то существует обратная функция $$f^{-1}$$, для которой $${f^{-1}(y)=x}\hm\Leftrightarrow{f(x)=y}$$.
63. Могут ли для некоторой функции левая и правая обратные существовать, но быть различны?
Напомним, что множества $$A$$ и $$B$$ равномощны, если существует биекция $$f\colon A\hm\to B$$. В каком случае существует инъекция (вложение) $$f\colon A\hm\to B$$? Легко понять, что вложение является взаимно однозначным соответствием между $$A$$ и некоторым подмножеством множества $$B$$, поэтому такое вложение существует тогда и только тогда, когда в $$B$$ есть подмножество, равномощное $$A$$, - когда мощность $$A$$ не превосходит мощности $$B$$ (в смысле определения, данного в лекцию 3).
Чуть менее очевиден другой результат: наложение $$A$$ на $$B$$ существует тогда и только тогда, когда мощность $$B$$ не превосходит мощности $$A$$.
В самом деле, пусть наложение $$f\colon A\hm\to B$$ существует. Для каждого элемента $$b\hm\in B$$ найдется хотя бы один элемент $$a\hm\in A$$, для которого $$f(a)\hm=b$$. Выбрав по одному такому элементу, мы получим подмножество $$A'\hm\subset A$$, которое находится во взаимно однозначном соответствии с множеством $$B$$. (Здесь снова используется аксиома выбора, о которой мы говорили ранее)
В обратную сторону: если какое- то подмножество $$A'$$ множества $$A$$ равномощно множеству $$B$$ и имеется биекция $$g\colon A'\hm\to B$$, то наложение $$A$$ на $$B$$ можно получить, доопределив эту биекцию на элементах вне $$A'$$ каким угодно образом.
64. Найдите ошибку в этом рассуждении, не читая дальше.
На самом деле такое продолжение возможно, только если $$B$$ непусто, так что правильное утверждение звучит так: наложение $$A$$ на $$B$$ существует тогда и только тогда, когда $$B$$ непусто и равномощно некоторому подмножеству $$A$$, или когда оба множества пусты.
В нашем изложении остается еще один не вполне понятный момент: что такое " упорядоченная пара "? Неформально говоря, это способ из двух объектов $$x$$ и $$y$$ образовать один объект $$\langle x,y\rangle$$, причем этот способ обладает таким свойством:$$\langle x_1,y_1\rangle = \langle x_2,y_2\rangle \ \Leftrightarrow \ \text{$x_1=x_2$ и $y_1=y_2$}$$ В принципе, можно так и считать понятие упорядоченной пары неопределяемым, а это свойство - аксиомой. Однако при формальном построении теории множеств удобно использовать трюк, придуманный польским математиком Куратовским, и избежать появления отдельного понятия упорядоченной пары. (Напомним, что $$\{x\}$$ обозначает множество, единственным элементом которого является $$x$$, а $$\{x,y\}$$ обозначает множество, которое содержит $$x$$ и $$y$$ и не содержит других элементов. Тем самым $${\{x,y\}} \hm= {\{x\}} \hm= {\{y\}}$$, если $$x\hm=y$$.)
Теорема 9. Упорядоченная пара по Куратовскому. Определим $$\langle x,y\rangle$$ как $${\{\{x\},\{x,y\}\}}$$. Тогда выполнено указанное выше свойство:$$\langle x_1,y_1\rangle = \langle x_2,y_2\rangle \ \Leftrightarrow \ \text{$x_1=x_2$ и $y_1=y_2$}.$$
Доказательство. Пусть $$\langle x_1,y_1\rangle = \langle x_2,y_2\rangle$$. По определению это означает, что $${\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}}= {\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\}}$$. Теперь нужно аккуратно разобрать случаи (не путая при этом $$x$$ с $$\{x\}$$ ). Это удобно делать в следующем порядке. Пусть сначала $$x_1\hm\neq y_1$$. Тогда множество $${\{x_1,y_1\}}$$ состоит из двух элементов. Раз оно принадлежит левой части равенства, то принадлежит и правой. Значит, оно равно либо $$\{x_2\}$$, либо $${\{x_2,y_2\}}$$. Первое невозможно, так как двухэлементное множество не может быть равно одноэлементному. Значит, $${\{x_1,y_1\}}\hm= {\{x_2,y_2\}}$$. С другой стороны, одноэлементное множество $$\{x_1\}$$ принадлежит левой части равенства, поэтому оно принадлежит и правой, и потому равно $$\{x_2\}$$ (поскольку не может быть равно двухэлементному). Отсюда $$x_1\hm=x_2$$ и $$y_1\hm=y_2$$, что и требовалось.
Аналогично можно разобрать симметричный случай, когда $$x_2\hm\neq y_2$$.
Осталось рассмотреть ситуацию, когда $$x_1\hm=y_1$$ и $$x_2\hm=y_2$$. В этом случае $${\{x_1,y_1\}}\hm=\{x_1\}$$ и потому левая часть данного нам равенства есть $$\{\{x_1\}\}$$. Аналогичным образом, правая его часть есть $$\{\{x_2\}\}$$, и потому $$x_1=x_2$$, так что все четыре элемента $$x_1$$, $$x_2$$, $$y_1$$, $$y_2$$ совпадают.
Заметим, что возможны и другие определения упорядоченной пары, для которых аналогичное утверждение верно, так что никакого " философского смысла" в этом определении нет - это просто удобный технический прием.
65. Докажите утверждение теоремы 9 для упорядоченной пары по Винеру: $$\langle x,y\rangle\hm= \{\{\varnothing,\{x\}\},\{\{y\}\}\}$$.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.