В настоящее время жизнь человека настолько насыщена различного рода информацией. Мы изучаем те или иные объекты исследуем их, а затем пытаемся объяснить с помощью математических формул и графиков, что мы получили.
В широком смысле слова эксперимент - это средство получения новых знаний об объектах реального мира, в какой-либо предметной области.
Кроме того, при проведении эксперимента мы стараемся автоматизировать его обработку, тем самым деятельность человека переходит из реального мира в электронный формат.
Многочисленная литература по обработке экспериментальных данных сводится к статистическому расчету этих данных с помощью математической модели. Более того, часто вводятся новые термины, порой не определяемые или имеющие разные названия в различных источниках. Много отдельных вопросов по обработке данных опубликованы в научных журналах, сложным математическим языком и со сложными математическими выкладками.
Следует отметить, что сейчас есть много всевозможных программ, которые не требуют таких академических знаний математики, для обработки полученных результатов вполне хватит знаний высшей школы и знания работы с программным продуктом.
Эксперимент, как таковой ничего не значит, если его правильно не обработать. После проведения эксперимента начинается самая сложная часть, это обработка его. Для того чтобы эксперимент считался законченным его необходимо просчитать. Как и каким способом сделать расчет? А затем представить его результаты, и поможет данная книга. Кроме того, в нее включены задания по лабораторным работам и варианты практических работ по исследованию того или иного объекта.
Цель лекции: Уяснить необходимость экспериментальных исследований наряду с теоретическими выводами. Ознакомиться с основными требованиями, которые предъявляются к экспериментальным исследованиям и обработке экспериментов с помощью математической модели. Рассмотрение требований, которые выполняются при проведении статистических наблюдений.
Эксперимент является важнейшим средством получения новых знаний не только в области естественных и технических наук, но и в экономике, социологии, политике, психологии, литературоведении и в других отраслях. Экспериментальные исследования дают критерии оценки обоснованности и приемлемости на практике любых теорий и теоретических предположений. Одним из основных этапов любого эксперимента является обработка экспериментальных данных. Она необходима для получения ответа на вопрос: "Достоверны ли полученные опытные данные в пределах требуемой точности или допусков?".
В зависимости от целей эксперимента (исследование, управление, контроль) могут быть использованы различные методы анализа объекта или явления. Это необходимо для прогнозирования состояния в разных условиях функционирования, оптимизации отдельных параметров, а также для решения каких-то других специфичных задач. Особенно важна тщательная математическая обработка результатов экспериментов, подтверждающая теоретические выводы и построения по диссертациям на соискание ученых степеней.
Применение различных методов обработки экспериментальных данных, критериев достоверности и адекватности моделей, изучаемым процессам или явлениям, оценка точности и надежности результатов эксперимента требует знания основных положений теории вероятностей и математической статистики, умелого использования принципов и приемов программирования. Кроме того, в связи с усложнением алгоритмов обработки данных необходимы глубокие знания основных вычислительных методов.
Конечной целью любой обработки экспериментальных данных является выдвижение гипотез о классе и структуре математической модели исследуемого явления, определение состава и объема дополнительных измерений, выбор возможных методов последующей статистической обработки и анализ выполнения основных предпосылок, лежащих в их основе.
Остановимся на определении математической модели (М.м.).
Первый этап — формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.
Второй этап — исследование математических задач, к которым приводят М. м. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа М. м., и вычислительная техника.
Третий этап — выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена — все параметры её были заданы, — то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята.
Четвёртый этап — последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники, данные об изучаемых явлениях, всё более и более уточняются, и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей М. м., не соответствуют нашим знаниям о явлении. В таком случае возникает необходимость построения, более совершенной математической модели.
Для разработки современной М.м. необходимо решить некоторые частные задачи, среди которых можно выделить следующие:
В ходе предварительной обработки, кроме указанных выше задач, часто решают и другие, имеющие частный характер: отображение, преобразование и унификацию типа наблюдений, визуализацию многомерных данных и др.
Следует отметить, что в зависимости от конечных целей исследования, сложности изучаемого явления и уровня априорной информации о нем объем задач, выполняемых в ходе предварительной обработки, может существенно изменяться. То же самое можно сказать и о соотношении целей и задач, которые решаются при предварительной обработке и на последующих этапах статистического анализа, направленных на построение модели явления.
Так, например, если целью эксперимента является изменение значения неизвестной, но заведомо постоянной величины путем прямых многократных измерений с помощью средства измерений с известными характеристиками погрешностей, то полная обработка результатов измерения ограничивается простейшей предварительной обработкой данных (оценкой математического ожидания). В то же время, если измеряемая величина является переменной, а закон распределения погрешностей измерительного прибора неизвестен, то для решения конечной задачи потребуется проведение, как предварительной обработки данных, так и применение статистических методов исследования физических зависимостей.
Для решения задач предварительной обработки используются различные статистические методы: проверка гипотез, оценивание параметров и числовых характеристик случайных величин и процессов, корреляционный и дисперсионный анализ. Для предварительной обработки, оказывающей, как следует из сказанного, первостепенное влияние на качество решения конечных задач исследования, характерно итерационное решение основных задач, когда повторно возвращаются к решению той или иной задачи после получения результатов на последующем этапе обработки.
При обработке числовых массивов результатов эксперимента, как случайных величин, на практике применяют следующие выборочные оценки:
где $$x_i$$ значение результата в $$i-ом$$ опыте; $$N$$ - число результатов в массиве; $$\sigma_x= \pm\sqrt D_x$$ - среднеквадратичное отклонение.
Производная оценка от величины математического ожидания и дисперсии является коэффициент вариации, определяемый в процентах по формуле: $$V=\frac {\sigma_x} {M_x} \cdot 100$$
Дисперсия, среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации являются количественными характеристиками, оценки рассеивания значений результатов эксперимента как случайной величины и применяются при изучении различных действий со случайным исходом. Коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса являются характеристиками высшего порядка. Первый характеризует "скошенность распределения", а второй – степень его "островершинности"
Вычисленные по экспериментально наблюдаемым случайным величинам и случайным функциям статистические характеристики несут информацию не обо всей генеральной совокупности, которая в общем случае бесконечна, а лишь о некоторой ее части — выборке, элементы которой измерены с определенными ошибками. В связи с этим в результате эксперимента получают лишь некоторые оценки параметров генеральной совокупности.
Следовательно, и любая выборочная оценка — это случайная величина, точность определения которой и возможные при этом ошибки необходимо контролировать. Следует также иметь в виду, что вычисленные моменты распределения являются точечными оценками выборочных величин, так как каждый из них оценивает параметры генеральной совокупности с помощью единственного числа. Они позволяют судить о значении вычисленной статистической характеристики в данной точке и ничего не говорят о возможных пределах варьирования самой оценки.
К вычисляемым в результате эксперимента оценкам случайных величин предъявляются три основных требования: состоятельности, несмещенности и эффективности. Полагают, что оценка состоятельна, если с ростом объема выборки она стремится по вероятности к истинному значению, несмещена, если ее математическое ожидание стремится к истинному значению, и эффективна, когда оценка обладает наименьшим рассеянием по сравнению с любыми другими оценками. Из двух оценок эффективнее та, которая обладает меньшей дисперсией, т. е. значения которой рассеиваются в более узком интервале.
На уровень рассеивания оценок значительное влияние оказывают ошибки, имеющие место при эксперименте.
При выборочном наблюдении встречаются ошибки трех видов: грубые, систематические и случайные.
Точность измерений любой физической величины характеризуется, абсолютной $$\triangle x=x-\overline x $$и относительной $$\frac {\triangle x} {\overline x} \cdot 100$$ ошибками (здесь $$ \overline x $$-истинное значение), которые, в свою очередь, состоят из суммы систематических $$\delta$$ и случайных $$\varepsilon$$ ошибок
В практике исследований систематические и случайные ошибки близки друг к другу и совместно определяют ошибку измерений. При оценке точности измерений рекомендуется учитывать
Для величин, определяемых косвенно — методом расчета по другим измеренным случайным величинам, оценка погрешностей осуществляется вычислением статистических оценок по соответствующим функциональным зависимостям.
Вероятность того, что истинное значение характеристик генеральной совокупности находится в отмеченных пределах, равна
$$P(M_x-\varepsilon<M^0_x<M_x+\varepsilon), P(\sigma_x-\sigma_{\varepsilon}<\sigma^0<\sigma _x+\sigma_{\varepsilon}}$$
и называется
Так как математическое ожидание любой выборки само является случайной величиной, то полезно установить такой интервал, в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра.
Интервал $$M_x+\varepsilon$$, в который в общем случае может быть произвольным $$[a_i,b_i]$$, называется доверительными границами, а соответствующая вероятность - доверительной вероятностью или, как часто говорят, надежностью.
Соответственно $$a$$ есть вероятность ошибки, которая на кривой распределения изображается в виде двух половинок $$a/2$$.
Вероятность ошибки характеризует долю риска в оценке истинного значения оцениваемой величины и часто называется уровнем значимости. Для удобства величину доверительного интервала устанавливают в долях среднеквадратического отклонения $$\pm z \sigma_{\sum}$$. Тогда доверительную вероятность определяют, как площадь, ограниченную кривой нормального распределения на интервале $$\pm z \sigma_{\sum}$$. Используя формулу стандартного нормального распределения (9) $$z=\frac {x-M_x} {\sigma_x}$$ при $$M_x=0 $$ и $$\sigma_x=1$$
Определяют доверительный интервал в такой последовательности: вычисляют параметр выборки $$\overline x \approx M_x$$, выбирают доверительную вероятность, $$(1-\alpha)$$ определяют соответствующее выбранному значению $$(1-\alpha)$$ число из таблицы табулированных значений стандартного нормального распределения; вычисляют
С увеличением количества замеров достоверность эксперимента возрастает, а доверительный интервал уменьшается. Таблица используется в том случае, когда о дисперсии исследуемой величины нельзя составить определенного мнения. Если же на основании априорных сведений или предварительных опытов (среднее квадратичное отклонение), известно, то по формуле случайной выборочной ошибки, равной половине длины доверительного интервала $$\varepsilon_{0,5}=z \frac {\sigma_x} {\sqrt n}$$определяют необходимое число замеров, гарантирующее требуемую надежность $$n=\frac {z^2 \sigma_x^2} {\varepsilon^2}$$
Точность и надежность оценки выборочных характеристик не следует смешивать с
Кроме установления доверительных интервалов, задачи оценки случайных величин включают анализ законов распределения изучаемых величин, проверку принадлежности двух выборок к одной генеральной совокупности, сравнение средних дисперсий для различных выборок и др.
Рабочим инструментом статистического анализа при решении отмеченных задач оценки являются
Гипотеза, отклонения от которой приписываются данному случаю, называется нулевой и обозначается $$hq$$. Альтернативная или противоположная гипотеза называется конкурирующей и обозначается $$H_0$$. Гипотезы проверяют при помощи специально подобранной случайной величины, распределение которой известно или может быть установлено при малом объеме выборки.
Остановимся на .
Первое правило: Программа статистических наблюдений должна включать только те вопросы, на которые необходимо получить ответы, исходя из целей статистических наблюдений. Исходя из этого правила, из наблюдений надо исключить все показатели, которые предполагается получить на всякий случай.
Второе правило : в программу наблюдений не стоит включать вопросы, на которые не удастся получить ответы удовлетворительного качества.
Третье правило : в программу наблюдений не должны включаться вопросы, которые могут вызвать недоверие обследуемых субъектов (единиц совокупности) относительно целей проведения статистического исследования. При организации наблюдения всегда следует помнить о воздействии, которое оказывает наблюдение на изучаемый объект (единиц совокупности).
Выполнение этих правил достигается путем рассмотрения (еще до наблюдения) всех стадий статистического исследования - от целей и методов сбора, до способа сводки и группировки, а так же анализа. Только в этом случае можно быть уверенным, что программа наблюдений определена правильно. Иначе неизбежны излишества в программе наблюдений, или отсутствия в ней некоторых вопросов, без ответа на которые цели исследования не могут быть выполнены.
Корреляционная связь и её статистическое изучение.
Все явления объективного мира взаимосвязаны и взаимообусловлены. Связи между явлениями и признаками отличаются разнообразием. Основное внимание исследователей, как правило, приковано к причинно-следственным связям. При изучении таких связей одни признаки (процессы, явления) выступают в качестве факторов (независимых), обусловливающих изменение других признаков (зависимых, результативных).
Например, компонентная связь и взаимосвязь индексов.
В корреляционной связи между изменением факторного и результативного признака нет такого полного соответствия, воздействие факторов проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных. При изучении причинно-следственных связей решающее слово должно принадлежать теории (сущности) изучаемого явления. Теоретический анализ должен показать о наличии или возможности связи между данными признаками, какие факторы влияют на формирование и изменение данного результативного признака.
При исследовании корреляционных зависимостей решается широкий круг вопросов:
При проведении корреляционно-регрессионного анализа, должны соблюдаться определенные требования:
Поэтому целесообразно проверить правомерность такого подхода (изучить формы распределения признаков).
Изложенное указывает на то, что корреляционно-регрессионный анализ применяется преимущественно только к признакам, которые имеют количественное выражение.
При статистическом изучении корреляционной связи между признаками исходным материалом являются данные об индивидуальных значениях этих признаков в изучаемой статистической совокупности.
Статистическая наука в настоящее время располагает большим набором приемов (методов) выявления корреляционной связи. Одни приемы можно отнести к элементарным (простейшим), другие предусматривают использование специального сложного математического аппарата.
К
К
При отсутствии ярко выраженной причинной связи между факторным и результативным признаками наличие и характер связи можно установить при помощи метода параллельных рядов: в одной таблице приводятся упорядоченные значения факторного признака, который обычно обозначается символом $$х$$, и соответствующие им значения результативного признака, который обычно обозначается символом $$у$$.
Наличие и характер связи определяется по степени согласованности вариации данных рядов.
В тех случаях, когда возрастание величины факторного признака влечет за собой возрастание величины результативного признака, говорят о возможном наличии прямой корреляционной связи. Если же с увеличением факторного признака величина результативного признака имеет тенденцию к уменьшению, то можно предполагать обратную связь между этими признаками.
Краткие итоги
Рассмотрены понятия эксперимента и математической модели. Конечной целью любой обработки экспериментальных данных является выдвижение гипотез о классе и структуре математической модели исследуемого явления.
Математическая модель – это приближённое описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Процесс математического моделирования, то есть изучения явления с помощью М. м., можно подразделить на 4 этапа.
Дано представление о статистическом анализе. Рабочим инструментом статистического анализа при решении отмеченных задач оценки являются статистические гипотезы. Статистическими гипотезами именуются суждения, применяемые при различных видах анализа, касающихся, по существу, выяснения свойств некоторой генеральной совокупности случайных величин.
Рассмотрены основные три правила, которые должны выполняться при проведении специальных статистических наблюдений.
Дано понятие корреляционной связи и её статистическое изучение.
Вопросы для самопроверки
В настоящее время жизнь человека настолько насыщена различного рода информацией. Мы изучаем те или иные объекты исследуем их, а затем пытаемся объяснить с помощью математических формул и графиков, что мы получили.
В широком смысле слова эксперимент - это средство получения новых знаний об объектах реального мира, в какой-либо предметной области.
Кроме того, при проведении эксперимента мы стараемся автоматизировать его обработку, тем самым деятельность человека переходит из реального мира в электронный формат.
Многочисленная литература по обработке экспериментальных данных сводится к статистическому расчету этих данных с помощью математической модели. Более того, часто вводятся новые термины, порой не определяемые или имеющие разные названия в различных источниках. Много отдельных вопросов по обработке данных опубликованы в научных журналах, сложным математическим языком и со сложными математическими выкладками.
Следует отметить, что сейчас есть много всевозможных программ, которые не требуют таких академических знаний математики, для обработки полученных результатов вполне хватит знаний высшей школы и знания работы с программным продуктом.
Эксперимент, как таковой ничего не значит, если его правильно не обработать. После проведения эксперимента начинается самая сложная часть, это обработка его. Для того чтобы эксперимент считался законченным его необходимо просчитать. Как и каким способом сделать расчет? А затем представить его результаты, и поможет данная книга. Кроме того, в нее включены задания по лабораторным работам и варианты практических работ по исследованию того или иного объекта.
Цель лекции: Уяснить необходимость экспериментальных исследований наряду с теоретическими выводами. Ознакомиться с основными требованиями, которые предъявляются к экспериментальным исследованиям и обработке экспериментов с помощью математической модели. Рассмотрение требований, которые выполняются при проведении статистических наблюдений.
Эксперимент является важнейшим средством получения новых знаний не только в области естественных и технических наук, но и в экономике, социологии, политике, психологии, литературоведении и в других отраслях. Экспериментальные исследования дают критерии оценки обоснованности и приемлемости на практике любых теорий и теоретических предположений. Одним из основных этапов любого эксперимента является обработка экспериментальных данных. Она необходима для получения ответа на вопрос: "Достоверны ли полученные опытные данные в пределах требуемой точности или допусков?".
В зависимости от целей эксперимента (исследование, управление, контроль) могут быть использованы различные методы анализа объекта или явления. Это необходимо для прогнозирования состояния в разных условиях функционирования, оптимизации отдельных параметров, а также для решения каких-то других специфичных задач. Особенно важна тщательная математическая обработка результатов экспериментов, подтверждающая теоретические выводы и построения по диссертациям на соискание ученых степеней.
Применение различных методов обработки экспериментальных данных, критериев достоверности и адекватности моделей, изучаемым процессам или явлениям, оценка точности и надежности результатов эксперимента требует знания основных положений теории вероятностей и математической статистики, умелого использования принципов и приемов программирования. Кроме того, в связи с усложнением алгоритмов обработки данных необходимы глубокие знания основных вычислительных методов.
Конечной целью любой обработки экспериментальных данных является выдвижение гипотез о классе и структуре математической модели исследуемого явления, определение состава и объема дополнительных измерений, выбор возможных методов последующей статистической обработки и анализ выполнения основных предпосылок, лежащих в их основе.
Остановимся на определении математической модели (М.м.).
Первый этап — формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.
Второй этап — исследование математических задач, к которым приводят М. м. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа М. м., и вычислительная техника.
Третий этап — выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена — все параметры её были заданы, — то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята.
Четвёртый этап — последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники, данные об изучаемых явлениях, всё более и более уточняются, и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей М. м., не соответствуют нашим знаниям о явлении. В таком случае возникает необходимость построения, более совершенной математической модели.
Для разработки современной М.м. необходимо решить некоторые частные задачи, среди которых можно выделить следующие:
В ходе предварительной обработки, кроме указанных выше задач, часто решают и другие, имеющие частный характер: отображение, преобразование и унификацию типа наблюдений, визуализацию многомерных данных и др.
Следует отметить, что в зависимости от конечных целей исследования, сложности изучаемого явления и уровня априорной информации о нем объем задач, выполняемых в ходе предварительной обработки, может существенно изменяться. То же самое можно сказать и о соотношении целей и задач, которые решаются при предварительной обработке и на последующих этапах статистического анализа, направленных на построение модели явления.
Так, например, если целью эксперимента является изменение значения неизвестной, но заведомо постоянной величины путем прямых многократных измерений с помощью средства измерений с известными характеристиками погрешностей, то полная обработка результатов измерения ограничивается простейшей предварительной обработкой данных (оценкой математического ожидания). В то же время, если измеряемая величина является переменной, а закон распределения погрешностей измерительного прибора неизвестен, то для решения конечной задачи потребуется проведение, как предварительной обработки данных, так и применение статистических методов исследования физических зависимостей.
Для решения задач предварительной обработки используются различные статистические методы: проверка гипотез, оценивание параметров и числовых характеристик случайных величин и процессов, корреляционный и дисперсионный анализ. Для предварительной обработки, оказывающей, как следует из сказанного, первостепенное влияние на качество решения конечных задач исследования, характерно итерационное решение основных задач, когда повторно возвращаются к решению той или иной задачи после получения результатов на последующем этапе обработки.
При обработке числовых массивов результатов эксперимента, как случайных величин, на практике применяют следующие выборочные оценки:
где $$x_i$$ значение результата в $$i-ом$$ опыте; $$N$$ - число результатов в массиве; $$\sigma_x= \pm\sqrt D_x$$ - среднеквадратичное отклонение.
Производная оценка от величины математического ожидания и дисперсии является коэффициент вариации, определяемый в процентах по формуле: $$V=\frac {\sigma_x} {M_x} \cdot 100$$
Дисперсия, среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации являются количественными характеристиками, оценки рассеивания значений результатов эксперимента как случайной величины и применяются при изучении различных действий со случайным исходом. Коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса являются характеристиками высшего порядка. Первый характеризует "скошенность распределения", а второй – степень его "островершинности"
Вычисленные по экспериментально наблюдаемым случайным величинам и случайным функциям статистические характеристики несут информацию не обо всей генеральной совокупности, которая в общем случае бесконечна, а лишь о некоторой ее части — выборке, элементы которой измерены с определенными ошибками. В связи с этим в результате эксперимента получают лишь некоторые оценки параметров генеральной совокупности.
Следовательно, и любая выборочная оценка — это случайная величина, точность определения которой и возможные при этом ошибки необходимо контролировать. Следует также иметь в виду, что вычисленные моменты распределения являются точечными оценками выборочных величин, так как каждый из них оценивает параметры генеральной совокупности с помощью единственного числа. Они позволяют судить о значении вычисленной статистической характеристики в данной точке и ничего не говорят о возможных пределах варьирования самой оценки.
К вычисляемым в результате эксперимента оценкам случайных величин предъявляются три основных требования: состоятельности, несмещенности и эффективности. Полагают, что оценка состоятельна, если с ростом объема выборки она стремится по вероятности к истинному значению, несмещена, если ее математическое ожидание стремится к истинному значению, и эффективна, когда оценка обладает наименьшим рассеянием по сравнению с любыми другими оценками. Из двух оценок эффективнее та, которая обладает меньшей дисперсией, т. е. значения которой рассеиваются в более узком интервале.
На уровень рассеивания оценок значительное влияние оказывают ошибки, имеющие место при эксперименте.
При выборочном наблюдении встречаются ошибки трех видов: грубые, систематические и случайные.
Точность измерений любой физической величины характеризуется, абсолютной $$\triangle x=x-\overline x $$и относительной $$\frac {\triangle x} {\overline x} \cdot 100$$ ошибками (здесь $$ \overline x $$-истинное значение), которые, в свою очередь, состоят из суммы систематических $$\delta$$ и случайных $$\varepsilon$$ ошибок
В практике исследований систематические и случайные ошибки близки друг к другу и совместно определяют ошибку измерений. При оценке точности измерений рекомендуется учитывать
Для величин, определяемых косвенно — методом расчета по другим измеренным случайным величинам, оценка погрешностей осуществляется вычислением статистических оценок по соответствующим функциональным зависимостям.
Вероятность того, что истинное значение характеристик генеральной совокупности находится в отмеченных пределах, равна
$$P(M_x-\varepsilon<M^0_x<M_x+\varepsilon), P(\sigma_x-\sigma_{\varepsilon}<\sigma^0<\sigma _x+\sigma_{\varepsilon}}$$
и называется
Так как математическое ожидание любой выборки само является случайной величиной, то полезно установить такой интервал, в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра.
Интервал $$M_x+\varepsilon$$, в который в общем случае может быть произвольным $$[a_i,b_i]$$, называется доверительными границами, а соответствующая вероятность - доверительной вероятностью или, как часто говорят, надежностью.
Соответственно $$a$$ есть вероятность ошибки, которая на кривой распределения изображается в виде двух половинок $$a/2$$.
Вероятность ошибки характеризует долю риска в оценке истинного значения оцениваемой величины и часто называется уровнем значимости. Для удобства величину доверительного интервала устанавливают в долях среднеквадратического отклонения $$\pm z \sigma_{\sum}$$. Тогда доверительную вероятность определяют, как площадь, ограниченную кривой нормального распределения на интервале $$\pm z \sigma_{\sum}$$. Используя формулу стандартного нормального распределения (9) $$z=\frac {x-M_x} {\sigma_x}$$ при $$M_x=0 $$ и $$\sigma_x=1$$
Определяют доверительный интервал в такой последовательности: вычисляют параметр выборки $$\overline x \approx M_x$$, выбирают доверительную вероятность, $$(1-\alpha)$$ определяют соответствующее выбранному значению $$(1-\alpha)$$ число из таблицы табулированных значений стандартного нормального распределения; вычисляют
С увеличением количества замеров достоверность эксперимента возрастает, а доверительный интервал уменьшается. Таблица используется в том случае, когда о дисперсии исследуемой величины нельзя составить определенного мнения. Если же на основании априорных сведений или предварительных опытов (среднее квадратичное отклонение), известно, то по формуле случайной выборочной ошибки, равной половине длины доверительного интервала $$\varepsilon_{0,5}=z \frac {\sigma_x} {\sqrt n}$$определяют необходимое число замеров, гарантирующее требуемую надежность $$n=\frac {z^2 \sigma_x^2} {\varepsilon^2}$$
Точность и надежность оценки выборочных характеристик не следует смешивать с
Кроме установления доверительных интервалов, задачи оценки случайных величин включают анализ законов распределения изучаемых величин, проверку принадлежности двух выборок к одной генеральной совокупности, сравнение средних дисперсий для различных выборок и др.
Рабочим инструментом статистического анализа при решении отмеченных задач оценки являются
Гипотеза, отклонения от которой приписываются данному случаю, называется нулевой и обозначается $$hq$$. Альтернативная или противоположная гипотеза называется конкурирующей и обозначается $$H_0$$. Гипотезы проверяют при помощи специально подобранной случайной величины, распределение которой известно или может быть установлено при малом объеме выборки.
Остановимся на .
Первое правило: Программа статистических наблюдений должна включать только те вопросы, на которые необходимо получить ответы, исходя из целей статистических наблюдений. Исходя из этого правила, из наблюдений надо исключить все показатели, которые предполагается получить на всякий случай.
Второе правило : в программу наблюдений не стоит включать вопросы, на которые не удастся получить ответы удовлетворительного качества.
Третье правило : в программу наблюдений не должны включаться вопросы, которые могут вызвать недоверие обследуемых субъектов (единиц совокупности) относительно целей проведения статистического исследования. При организации наблюдения всегда следует помнить о воздействии, которое оказывает наблюдение на изучаемый объект (единиц совокупности).
Выполнение этих правил достигается путем рассмотрения (еще до наблюдения) всех стадий статистического исследования - от целей и методов сбора, до способа сводки и группировки, а так же анализа. Только в этом случае можно быть уверенным, что программа наблюдений определена правильно. Иначе неизбежны излишества в программе наблюдений, или отсутствия в ней некоторых вопросов, без ответа на которые цели исследования не могут быть выполнены.
Корреляционная связь и её статистическое изучение.
Все явления объективного мира взаимосвязаны и взаимообусловлены. Связи между явлениями и признаками отличаются разнообразием. Основное внимание исследователей, как правило, приковано к причинно-следственным связям. При изучении таких связей одни признаки (процессы, явления) выступают в качестве факторов (независимых), обусловливающих изменение других признаков (зависимых, результативных).
Например, компонентная связь и взаимосвязь индексов.
В корреляционной связи между изменением факторного и результативного признака нет такого полного соответствия, воздействие факторов проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных. При изучении причинно-следственных связей решающее слово должно принадлежать теории (сущности) изучаемого явления. Теоретический анализ должен показать о наличии или возможности связи между данными признаками, какие факторы влияют на формирование и изменение данного результативного признака.
При исследовании корреляционных зависимостей решается широкий круг вопросов:
При проведении корреляционно-регрессионного анализа, должны соблюдаться определенные требования:
Поэтому целесообразно проверить правомерность такого подхода (изучить формы распределения признаков).
Изложенное указывает на то, что корреляционно-регрессионный анализ применяется преимущественно только к признакам, которые имеют количественное выражение.
При статистическом изучении корреляционной связи между признаками исходным материалом являются данные об индивидуальных значениях этих признаков в изучаемой статистической совокупности.
Статистическая наука в настоящее время располагает большим набором приемов (методов) выявления корреляционной связи. Одни приемы можно отнести к элементарным (простейшим), другие предусматривают использование специального сложного математического аппарата.
К
К
При отсутствии ярко выраженной причинной связи между факторным и результативным признаками наличие и характер связи можно установить при помощи метода параллельных рядов: в одной таблице приводятся упорядоченные значения факторного признака, который обычно обозначается символом $$х$$, и соответствующие им значения результативного признака, который обычно обозначается символом $$у$$.
Наличие и характер связи определяется по степени согласованности вариации данных рядов.
В тех случаях, когда возрастание величины факторного признака влечет за собой возрастание величины результативного признака, говорят о возможном наличии прямой корреляционной связи. Если же с увеличением факторного признака величина результативного признака имеет тенденцию к уменьшению, то можно предполагать обратную связь между этими признаками.
Краткие итоги
Рассмотрены понятия эксперимента и математической модели. Конечной целью любой обработки экспериментальных данных является выдвижение гипотез о классе и структуре математической модели исследуемого явления.
Математическая модель – это приближённое описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Процесс математического моделирования, то есть изучения явления с помощью М. м., можно подразделить на 4 этапа.
Дано представление о статистическом анализе. Рабочим инструментом статистического анализа при решении отмеченных задач оценки являются статистические гипотезы. Статистическими гипотезами именуются суждения, применяемые при различных видах анализа, касающихся, по существу, выяснения свойств некоторой генеральной совокупности случайных величин.
Рассмотрены основные три правила, которые должны выполняться при проведении специальных статистических наблюдений.
Дано понятие корреляционной связи и её статистическое изучение.
Вопросы для самопроверки
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.