Доходы аукционов с зависимыми ценностями

Английский аукцион

Нам удалось доказать, что для аукциона второй цены равновесные стратегии задаются формулой $$\beta^{II}(x) = v(x,x)$$, где

$$v(x,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1|X_1 = x, Y_1 = y\right].$$

В этой лекции мы рассмотрим еще две модели аукционов — английский и первой цены — а затем сравним их друг с другом с точки зрения доходов. Наконец, в разделе 10.5, мы посмотрим насколько эффективными будут аукционы с зависимыми ценностями (окажется, что крайне неэффективными, но мы, опять же, введем дополнительное условие, и жизнь станет проще).

Итак, английский аукцион. В английском аукционе дополнительным источником информации для агента является то, когда другие агенты выходят из игры. В зависимости от этого стратегии активных участников аукциона могут меняться по ходу его проведения.

В такой ситуации уже нет смысла говорить о единой оптимальной стратегии. Симметрическая равновесная стратегия превращается в набор

$$\bf beta = (\beta^N,\beta^{N-1},\ldots,\beta^2)$$

из $$N-1$$ функции. Каждая его компонента $$\beta^k$$ представляет собой функцию $$N-k$$ переменных $$\beta^k(x,p_{k+1},\ldots,p_N)$$ — цену, на которой игрок $$1$$ должен выйти из игры при условии, что его сигнал равен $$x$$, в игре остались еще $$k$$ агентов, а цены остальных вышедших составляли $$p_{k+1}\ge p_{k+2}\ge\ldots\ge p_N$$.

Опишем следующую стратегию для агентов. Во-первых, вначале, когда все агенты еще активны, положим

$$\beta^N(x) = u(x,x,\ldots,x)$$

(напомним, что $$u$$ — это ценность объекта, которая в случае аукционов с зависимыми ценностями оказывается функцией от всех сигналов). Заметим, что $$\beta^N$$ непрерывна и возрастает.

Пусть агент $$N$$ выходит из аукциона на цене $$p_N$$. Тогда положим

$$\beta^{N-1}(x,p_N) = u\left(x,\ldots,x,x_N\right),$$

где $$x_N$$ — такое значение сигнала, что $$\beta^N(x_N)=p_N$$ (оно всегда единственно, так как $$\beta^N$$ непрерывна и возрастает).

По аналогичному принципу строятся и остальные $$\beta^k$$. А именно, если из игры уже вышли агенты с номерами $$N,\ldots,k+1$$, то

$$\beta^k\left(x,p_{k+1},\ldots,p_N\right) = u\left(x,\ldots,x,x_{k+1},\ldots,x_N\right),$$

где $$x_{k+1}$$ определяется из условия

$$\beta^{k+1}\left(x_{k+1},p_{k+2},\ldots,p_N\right) = p_{k+1}.$$

Неформально смысл описанной стратегии очень прост. Всякий раз игрок определяет, стоит ли ему продолжать игру при текущей ставке $$p$$. Он спрашивает себя: "Что будет, если я сейчас выиграю аукцион?". Аукцион прямо сейчас выиграть возможно лишь в том случае, когда все остальные агенты прямо сейчас, на ставке $$p$$, решат выйти из игры. Предполагая, что они действуют по аналогичной стратегии, можно определить их скрытые сигналы $$y$$ для такого случая из условия

$$\beta^{k}\left(y,p_{k+1},\ldots,p_N\right) = p.$$

А зная скрытые сигналы всех агентов, можно определить ценность объекта $$u\left(x,y,\ldots,y,x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_N\right)$$. Очевидно, что продолжать игру стоит тогда и только тогда, когда эта ценность больше, чем $$p$$.

Теорема 10.1. Описанная выше стратегия $$\bf beta$$ является симметричной равновесной для английского аукциона.

Доказательство. Пусть $$X_1=x$$, и все остальные агенты, кроме первого, играют по стратегии $$\bf beta$$. Рассмотрим значения $$Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1}$$.

Пусть $$Y_j$$ таковы, что агент 1 при следовании стратегии $$\bf beta$$ выигрывает объект (то есть $$x>y_1$$ ). В этом случае цена, которую заплатит первый агент, — это цена, на которой из аукциона выходит агент с сигналом $$y_1$$, то есть $$u\left(y_1,y_1,y_2,\ldots,y_N\right)$$. Так как $$x>y_1$$, то выгода игрока $$1$$ будет положительной:

$$u\left(x,y_1,\ldots,y_N\right)-u\left(y_1,y_1,\ldots,y_N\right)>0.$$

Так как игрок 1 не может повлиять на цену, которую ему придется заплатить, то лучшего результата, чем от использования стратегии $$\bf beta$$, ему в этом случае все равно не добиться (классическое рассуждение, оно часто помогает в анализе аукционов).

Если же агент $$1$$ не выигрывает вещь при использовании $$\bf beta$$ (то есть если $$x<y_1$$ ), то в случае, если он все-таки решит выиграть аукцион, его доход будет отрицательным:

$$u\left(x,y_1,\ldots,y_N\right)-u\left(y_1,y_1,\ldots,y_N\right)<0.$$

Таким образом, игроку $$1$$ никогда не выгодно отклоняться от $$\bf beta$$.

Особенность описанного выше равновесия заключается в том, что оно зависит только от оценочной функции $$u$$ и никак не зависит от распределения сигналов $$f$$. Таким образом, для каждого конкретного $$u$$ равновесие $$\bf beta$$ не сместится, если изменить распределение сигналов.

Как мы уже обсуждали, в таком случае говорят, что стратегии $$\bf beta$$ образуют равновесие ex post. Такое равновесие лучше, чем равновесия ex ante и interim; в частности, оно обеспечивает свойство отсутствия сожаления (no regret). Проще говоря, даже если после завершения торгов все агенты раскроют точные значения своих сигналов, то никто из них не будет жалеть о своем выборе стратегии: выигравший агент останется с положительной выгодой, а проигравшие поймут, что даже если бы они повысили ставку и выиграли аукцион, они остались бы в убытке.

Аукцион первой цены

Перейдем теперь к симметричной равновесной стратегии в аукционе первой цены. Сперва, как и ранее, выведем ее эвристически.

Обозначим через $$\beta$$ искомую равновесную стратегию, а через $$G(\cdot|x)$$ — распределение $$Y_1$$ при условии $$X_1=x$$ (запомните это обозначение, мы к нему в дальнейшем еще не раз и не два вернемся). Плотность данного распределения будем обозначать, соответственно, как $$g(\cdot|x)$$.

Тогда ожидаемый доход агента $$1$$ при его собственном сигнале, равном $$x$$, и ставке $$\beta(x)$$ составляет

$$\Pi(z,x) = \int_0^z\left(\vphantom{1^2}v(x,y)-\beta(z)\right)g(y|x)dy = \int_0^zv(x,y)g(y|x)dy - \beta(z)G(z|x).$$

Поскольку $$\beta$$ должна быть оптимальной стратегией, получаем следующее дифференциальное уравнение:

$$\left(\vphantom{1^2}v(x,z) - \beta(z)\right)g(z|x) - \beta^\prime(z)G(z|x) = 0.$$

А при симметричном равновесии $$z=x$$, и в итоге получается

$$\beta^\prime(x) = \left(\vphantom{1^2}v(x,x) - \beta(x)\right)\frac{g(x|x)}{G(x|x)}.$$

Кроме того, есть и начальное условие: $$\beta(0)=0$$.

Теорема 10.2. В аукционе первой цены симметричное равновесие достигается при использовании следующей стратегии:

$$\beta^I(x)=\int_0^xv(y,y)dL(y|x),$$

где

$$L(y|x)=e^{-\int_y^x\frac{g(t|t)}{G(t|t)}dt}.$$

Доказательство. Во-первых, покажем, что $$L(\cdot|x)$$ является функцией распределения на интервале $$[0,x]$$. По аффилированности, для всех $$t>0$$

$$\frac{g(t|t)}{G(t|t)}\ge\frac{g(t|0)}{G(t|0)}.$$

Таким образом,

$$-\int_0^x\frac{g(t|t)}{G(t|t)}dt \le -\int_0^x\frac{g(t|0)}{G(t|0)}dt = -\int_0^x\der{d}t(\ln G(t|0))dt = \\ = \ln G(0|0) - \ln G(x|0) = -\infty.$$

Следовательно, $$L(0|x) = 0$$. Кроме того, $$L(x|x) = 1$$, и функция $$L(\cdot | x)$$ является неубывающей.

Кроме того, из аффилированности сигналов следует, что

$$\forall x^\prime>x\quad L(\cdot|x^\prime) \le L(\cdot|x).$$

Так как $$v(y,y)$$ возрастает как функция от $$y$$, то $$\beta=\beta^I$$ также возрастает как функция от $$x$$.

Рассмотрим теперь агента, который делает ставку $$\beta(z)$$ при скрытом сигнале $$x$$. Так как $$\beta$$ возрастает,

$$\Pi(z,x) = \int_0^z\left(\vphantom{1^2}v(x,y) - \beta(z)\right)g(y|x)dy.$$

Продифференцировав предыдущее выражение по $$z$$, получаем:

$$\frac{\partial \Pi}{\partial z} = \left(\vphantom{1^2}v(x,z) - \beta(z)\right)g(z|x) - \beta^\prime(z)G(z|x) = \\ = G(z|x)\left(\vphantom{1^2}\left(v(x,z)-\beta(z)\right)\frac{g(z|x)}{G(z|x)} - \beta^\prime(z)\right).$$

Рассмотрим случай $$z<x$$. Так как $$v(x,z)>v(z,z)$$ и сигналы аффилированы, то, следовательно:

$$\frac{g(z|x)}{G(z|x)} > \frac{g(z|z)}{G(z|z)},$$

а значит,

$$\frac{\partial \Pi}{\partial z} > G(z|x)\left((v(x,z)-\beta(z))\frac{g(z|z)}{G(z|z)} - \beta^\prime(z)\right) = 0.$$

А в случае, когда $$z>x$$, можно совершенно аналогичным способом показать (проведите это рассуждение самостоятельно), что $$\frac{\partial \Pi}{\partial z} < 0$$. Из этого следует, что функция $$\Pi(z,x)$$ в точке $$z=x$$ достигает максимума.

Полученный результат является обобщением предыдущих результатов. Так, при частных значениях $$v(y,y) = y$$, а при независимых сигналах $$G(\cdot|x) = G(\cdot)$$, и, следовательно,

$$L(y|x)=e^{-\int_y^x\frac{g(t)}{G(t)}}dt = \frac1{G(x)}G(y).$$

Пример 10.1. Рассмотрим случайные величины $$S_1,S_2,T$$, равномерные и независимые на интервале $$[0,1]$$. Пусть в аукционе участвуют два агента с неточными сигналами $$X_1 = S_1+T$$ и $$X_2 = S_2 + T$$, а общая ценность лота вычисляется следующим образом: $$V = \frac12(X_1 + X_2)$$.

Наличие $$T$$ обеспечивает аффилированность сигналов $$X_1$$ и $$X_2$$. Так как участника всего два, то $$Y_1 = X_2$$.

Совместная плотность $$X_1$$ и $$Y_1$$ вычисляется отдельно на разных треугольных участках.

Путем несложных вычислений можно показать, что для всех $$x$$ из интервала $$[0,2]$$

$$\frac{g(x|x)}{G(x|x)} = \frac{2}{x},$$

а для всех $$y\in[0,x]$$

$$L(y|x) = \frac{y^2}{x^2}.$$

Тогда теорема 10.2 утверждает, что оптимальная равновесная стратегия в данном случае имеет следующий вид:

$$\beta^I(x) = \int_0^xv(y,y)dL(y|x) = \frac23x,$$

так как $$v(x,y) = \frac12(x+y)$$.

Конец примера 10.1.

Английский аукцион против аукциона второй цены

В этом и следующем разделах мы будем сравнивать доходность трех описанных типов аукционов в случае, когда агенты действуют в рамках симметричной равновесной стратегии. При наличии аффилированных сигналов и зависимых ценностей уже не действует принцип эквивалентности доходности. Далее будет показано, что английский аукцион превосходит по доходности аукцион второй цены, который, в свою очередь, превосходит аукцион первой цены.

Начнем со сравнения английского аукциона и аукциона второй цены.

Теорема 10.3. Ожидаемый доход от аукциона второй цены не превосходит ожидаемый доход от английского аукциона.

Доказательство. В аукционе второй цены равновесие достигается при использовании стратегии $$\beta^{II}(x) = v(x,x)$$, где

$$v(x,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1|X_1=x,Y_1=y\right].$$

Таким образом, если $$x>y$$, то

$$v(y,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(X_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})|X_1=y,Y_1=y\right] = \\ = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(Y_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})|X_1=y,Y_1=y\right] \le \\ \le \mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(X_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})|X_1=x,Y_1=y\right].$$

Последнее неравенство следует из того, что $$u$$ возрастает, а сигналы аффилированы.

Доход в данном случае вычисляется следующим образом:

$$\mathbf E\left[R^{II}\right] = \mathbf E\left[\beta^{II}(Y_1) | X_1 > Y_1\right] = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}v(Y_1,Y_1) | X_1 > Y_1\right] \le \\ \le \mathbf E\left[\mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(X_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})|X_1=x,Y_1=y\right] | X_1 > Y_1\right] = \\ = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(X_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1}) | X_1 > Y_1\right] = \\ = \mathbf E\left[\beta^{\mathrm{Eng}2}(Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})\right] = \mathbf E\left[R^{\mathrm{Eng}}\right].$$

Здесь через $$\beta^{\mathrm{Eng}2}$$ обозначена стратегия для английского аукциона в случае, когда в игре остаются всего два агента. Цена, на которой предпоследний агент в английском аукционе выходит из игры, — это и есть цена, которую заплатит победитель.

Замечание. Английский аукцион дает строго большую доходность, чем аукцион второй цены, только в том случае, когда одновременно присутствуют и зависимость значений, и аффилированность сигналов. Для независимых сигналов или индивидуальных значений эти два аукциона эквивалентны.

Сравнение аукционов первой и второй цены

Продолжаем наши штудии. На очереди — сравнение аукционов первой и второй цены.

Теорема 10.4. Ожидаемый доход от аукциона первой цены не превосходит ожидаемого дохода от аукциона второй цены.

Доказательство. В аукционе первой цены выплата равна в точности ставке победителя $$\beta^I(x)$$. В аукционе второй цены ожидание выплаты выигравшего агента с сигналом $$x$$ равно

$$\mathbf E\left[\vphantom{1^2}\beta^{II}(Y_1) | X_1 = x, Y_1 < x\right].$$

Заметим, что вероятность того, что агент с сигналом $$x$$ выиграет аукцион, в обоих случаях одинакова — это просто вероятность того, что сигнал $$x$$ окажется наибольшим. Поэтому достаточно показать, что ожидаемая выплата в аукционе второй цены не превосходит ожидаемой выплаты в аукционе первой цены, и из этого факта сразу будет следовать утверждение теоремы.

Вспомним, что такое $$\beta^{II}(Y_1)$$ (в этом нам поможет теорема 9.1), и перепишем выражение для ожидаемой выплаты:

$$\mathbf E\left[\beta^{II}(Y_1) | X_1 = x, Y_1 < x\right] = \\ = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}v(Y_1,Y_1) | X_1 = x, Y_1 < x\right] =\int_0^xv(y,y)dK(y|x),$$

где для всех $$y < x$$

$$K(y|x) = \frac1{G(x|x)}G(y|x).$$

Вспомним, что $$K(\cdot|x)$$ — функция распределения вероятностей на отрезке $$[0,x]$$. Кроме того,

$$\beta^I(x) = \int_0^xv(y,y)dL(y|x)$$

также является функцией распределения на отрезке $$[0,x]$$.

Далее мы покажем, что для всех $$y<x$$ $$K(y|x)\le L(y|x)$$, или, выражаясь в стиле определения 9.3, $$K(y|x)$$ стохастически доминирует над $$L(y|x)$$. Поскольку $$v$$ возрастает, из этого факта будет следовать утверждение теоремы.

Чтобы доказать стохастическое доминирование, вспомним, что из аффилированности сигналов следует, что для всех $$t < x$$ $$G(\cdot|x)$$ доминирует над $$G(\cdot|t)$$ в терминах обратной доли риска. Таким образом,

$$\frac{g(t|t)}{G(t|t)}\le\frac{g(t|x)}{G(t|x)}.$$

Значит, для всех $$y < x$$

$$-\int_y^x\frac{g(t|t)}{G(t|t)}dt\ge-\int_y^x\frac{g(t|x)}{G(t|x)}dt = -\int_y^x\frac{d}{dt}\left(\vphantom{1^2}\ln G(t|x)\right)dt = \\ = \ln G(y|x) - \ln G(x|x) = \ln\left(\frac{G(y|x)}{G(x|x)}\right).$$

Осталось применить к обеим частям полученного равенства экспоненту, чтобы получить требуемый результат.

Пример 10.2. Вспомним предыдущий пример: пусть случайные величины $$S_1,S_2,T$$ равномерны и независимы на $$[0,1]$$. Имеются два участника с сигналами $$X_1 = S_1+T$$ и $$X_2 = S_2 + T$$ и общая ценность $$V = \frac12(X_1 + X_2)$$.

Так как участника всего два, то $$Y_1 = X_2$$, $$v(x,y) = \frac12(x+y)$$, и, следовательно, для аукциона второй цены равновесной будет стратегия $$\beta^{II}(x) = x$$. Ожидание дохода в этом случае будет вот каким:

$$\mathbf E\left[R^{II}\right] = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}\min\left\{X_1,X_2\right\}\right] = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}\min\left\{S_1,S_2\right\}\right]+\mathbf E[T] = \frac56.$$

В случае аукциона первой цены $$\beta^{I}(x) = \frac23x$$, а соответствующее ожидание дохода

$$\mathbf E\left[R^{I}\right] = \mathbf E\left[\max\left\{\frac23X_1,\frac23X_2\right\}\right] = \frac23\mathbf E\left[\vphantom{1^2}\min\left\{S_1,S_2\right\}\right]+\frac23\mathbf E[T] = \frac79.$$

Таким образом, как и ожидалось, $$\mathbf E\left[R^{II}\right] > \mathbf E\left[R^I\right]$$.

Конец примера 10.2.

Итак, в последних двух разделах мы показали, что между математическими ожиданиями доходов английского аукциона и аукционов первой и второй цены выполняются следующие соотношения:

$$\mathbf E\left[R^{\mathrm{Eng}}\right] \ge \mathbf E\left[R^{II}\right] \ge \mathbf E\left[R^I\right].$$

В начале лекции мы уже упоминали, что в аукционе первой цены агенту необходимо занижать заявленную цену, чтобы избежать "проклятия победителя". Давайте для примера докажем это математически.

Теорема 10.5. В аукционе первой цены имеет место "проклятие победителя", то есть

$$\beta^I(x) < \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1 | X_1 = x, Y_1 < x\right].$$

Доказательство. Во-первых,

$$\beta^I(x) = \int_0^x v(y,y)dL(y | x) \le \int_0^x v(y,y)dK(y | x),$$

так как $$K(\cdot | x)$$ стохастически доминирует над $$L(\cdot | x)$$. Во-вторых,

$$\int_0^x v(y,y)dK(y | x)\le \int_0^x v(x,y)dK(y | x),$$

так как $$v(\cdot,y)$$ возрастает. Ну и, наконец,

$$\int_0^x v(x,y)dK(y | x) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1 | X_1 = x, Y_1 < x\right].$$

Теорема доказана.

Но, оказывается, "проклятие победителя" — это отнюдь не уникальное свойство аукциона первой цены.

Теорема 10.6. В аукционе второй цены "проклятие победителя" также имеет место, то есть

$$\beta^{II}(x) < \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1 | X_1 = x, Y_1 < x\right].$$

Доказательство.

$$\mathbf E\left[\beta^{II}(Y_1) | X_1 = x, Y_1 < x\right] = \int_0^x v(y,y)dK(y | x) \le \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1 | X_1 = x, Y_1 < x\right].$$

Эффективность

Для всех трех рассмотренных выше аукционов с зависимыми ценностями найденные нами симметричные равновесные стратегии оказались возрастающими относительно неточного сигнала. Это значит, что при этих стратегиях побеждает всегда тот игрок, у которого наибольший сигнал.

Напомним, что аукцион называется эффективным, если лот всегда достается агенту, для которого он представляет наибольшую ценность. При этом не слишком важно, какой у него сигнал и является ли он наибольшим.

Поэтому неудивительно, что полученные нами симметрические равновесные стратегии могут вовсе не быть эффективными. Это покажет и следующий пример.

Пример 10.3. Рассмотрим аукцион на двоих агентов, ценности лота для которых вычисляются следующим образом:

$$v_1(x_1,x_2) = \frac13x_1 + \frac23x_2,\\ v_2(x_1,x_2) = \frac23x_1 + \frac13x_2.$$

В данном случае $$v_1 > v_2$$ тогда и только тогда, когда $$x_2 > x_1$$. Таким образом, у агента с более низкой ценностью сигнал будет выше, а значит, вещь достанется ему.

Конец примера 10.3.

Пример 10.3 достаточно сильный. Из него видно, что практически все формы аукционов могут быть неэффективными, если ценности лота для агентов зависят главным образом не от их собственной ценности, а от ценностей других агентов.

В этом разделе мы рассмотрим одно достаточное условие эффективности, которое часто выполняется в реальных ситуациях.

Определение 10.1. Будем говорить, что ценности удовлетворяют условию одного пересечения (single crossing condition), если для всех $$i\neq j$$ и всех $$\mathbf x$$ выполняется соотношение

$$\frac{\partial v_i}{\partial x_i}(\mathbf x) \ge \frac{\partial v_j}{\partial x_i}(\mathbf x).$$

Это условие называется условием одного пересечения, потому что из него следует, что если зафиксировать сигналы всех агентов, кроме $$i$$, то $$v_i$$ как функция от сигнала $$x_i$$ в каждой точке будет круче, чем $$v_j$$. А это, в свою очередь, означает, что они будут пересекаться не более одного раза.

В случае симметричной модели с зависимыми ценностями

$$v_i(\mathbf x) = u(x_i,\mathbf x_{-i}),$$

и $$u$$ симметрична от последних $$N-1$$ аргументов. Обозначим через $$u^\prime_j$$ частную производную $$u$$ относительно $$j$$ -го аргумента. В таком случае, чтобы проверить условие одного пересечения, достаточно убедиться, что для всех $$j\neq 1$$ $$u_1^\prime\ge u^\prime_j$$. Более того, поскольку $$u$$ симметрична, достаточно лишь выполнения условия $$u^\prime_1 \ge u^\prime_2$$.

Условие одного пересечения гарантирует, что фактические (ex post) значения ценности лота для всех агентов будут упорядочены так же, как и их сигналы. А это и означает эффективность. Доказательством этого факта мы и завершим лекцию, посвященную сравнению разных типов аукционов с зависимыми ценностями.

Теорема 10.7. Пусть для симметричных зависимых ценностей и аффилированных сигналов выполняется условие одного пересечения. Тогда симметричные равновесия для аукционов первой цены, второй цены и английского аукциона являются эффективными.

Доказательство. Как мы и говорили выше, будем доказывать, что из условия одного пересечения следует то, что порядок на сигналах будет совпадать с порядком на ex post значениях ценностей. Чтобы убедиться в этом, предположим, что $$x_i>x_j$$. Определим прямую, проходящую через точки $$(x_j,x_i,\mathbf x_{-ij})$$ и $$(x_i,x_j,\mathbf x_{-ij})$$:

$$\bf alpha(t) = (1-t)(x_j,x_i,\mathbf x_{-ij}) + t(x_i,x_j,\mathbf x_{-ij}).$$

Вычислим теперь линейный интеграл по этой прямой. Как известно из математического анализа, значение (достаточно гладкой) функции в точке $$(x_i,x_j,\mathbf x_{-ij})$$ можно представить как значение функции в точке $$(x_j,x_i,\mathbf x_{-ij})$$ плюс интеграл от градиента этой функции по любому (достаточно гладкому) пути между этими точками (прямая замечательно подходит). Таким образом, можно записать:

$$u(x_i,x_j,\mathbf x_{-ij}) = u(x_j,x_i,\mathbf x_{-ij}) + \int_0^1\nabla u(\bf alpha(t))\cdot\balpha^\prime(t)dt.$$

Осталось заметить, что

$$\nabla u(\bf alpha(t))\cdot\balpha^\prime(t) = u_1^\prime(\bf alpha(t))(x_i-x_j) + u^\prime_2(\bf alpha(t))(x_j - x_i)\ge 0,$$

так как $$x_i > x_j$$ и $$u^\prime_1 \ge u^\prime_2$$.

Таким образом, при $$x_i>x_j$$ ценность для агента $$i$$, которая равна $$u(x_i,x_j,\mathbf x_{-ij})$$, не меньше, чем ценность для агента $$j$$, равная $$u(x_j,x_i,\mathbf x_{-ij})$$. Тем самым теорему можно считать доказанной.