Принцип взаимосвязи

Введение

В предыдущих двух лекциях мы рассматривали наши извечные примеры — аукционы первой и второй цены, а также примкнувший к ним неожиданно переставший быть эквивалентным английский аукцион. В тех лекциях мы установили некие соотношения между ожидаемыми доходами участников этих аукционов; а именно, мы установили, что

$$\mathbf E\left[R^{\mathrm{Eng}}\right] \ge \mathbf E\left[R^{II}\right] \ge \mathbf E\left[R^I\right].$$

Проницательный читатель наверняка давно уже ждет рифмы "розы" и предполагает, что эти соотношения являются лишь частным случаем какого-либо более общего принципа. В этой лекции мы исследуем как раз этот общий принцип, который получил название принцип взаимосвязи (linkage principle). Он предоставляет достаточно легко проверяемое достаточное условие, при помощи которого можно сравнивать разные модели аукционов по их ожидаемому доходу.

Принцип взаимосвязи — изобретение уже довольно давнее (давнее, конечно, если учитывать, насколько молода вообще теория экономических механизмов). Он был доказан в 1982 году Милгромом и Вебером [53]. А вот слегка модифицированный его вариант, который нам потребуется, чтобы классифицировать аукционы, где платит не только победитель, появился на свет совсем недавно; его доказали Кришна и Морган в 1997 году [35,36].

Принцип взаимосвязи

Мы продолжаем рассуждения в том же контексте, что и на предыдущей лекции. Сейчас мы будем выводить общий принцип, поэтому и обозначения чуть обобщим. Для аукциона $$A$$ обозначим через $$\beta^{\mathcal A}$$ его симметричное равновесие. Через $$W^{\mathcal A}(z,x)$$ (главное обозначение этой лекции) обозначим ожидаемую цену, которую платит агент $$1$$, если он выходит из аукциона победителем, получает сигнал $$x$$ и ставит при этом $$\beta^{\mathcal A}(z)$$ (то есть ставит так, как будто получил $$z$$ и применил $$\beta^{\mathcal A}$$ ).

Пример 11.1. В аукционе первой цены

$$W^I(z,x) = \beta^I(z).$$

В аукционе второй цены

$$W^{II}(z,x) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}\beta^{II}(Y_1) | X_1 = x, Y_1 < z\right].$$

Конец примера 11.1.

Наконец, через $$W^{\mathcal A}_2(z,x)$$ мы обозначим частную производную функции $$W^{\mathcal A}(\cdot,\cdot)$$ по второму аргументу, вычисленную в точке $$(z,x)$$:

$$W^{\mathcal A}_2(z,x) = \left.\frac{\partial W^{\mathcal A}(t,u)}{\partial u}\right|_{(z,x)}.$$

Соответственно, через $$W^{\mathcal A}_1(z,x)$$ будем обозначать частную производную $$W^{\mathcal A}(\cdot,\cdot)$$ по первому аргументу в точке $$(z,x)$$.

Теперь все готово для того, чтобы сформулировать принцип взаимосвязи.

Теорема 11.1. (принцип взаимосвязи) Пусть $$A$$ и $$B$$ — два аукциона, в которых побеждает наивысшая ставка и платит только победитель. Пусть в каждом из них есть свое симметричное и возрастающее равновесие, причем:

для всех $$x\text{ }W^{\mathcal A}_2(x,x) \ge W^B_2(x,x)$$ ;

выполняется начальное условие $$W^{\mathcal A}(0,0) = 0 = W^B(0,0)$$.

Тогда ожидаемый доход аукциона $$A$$ не меньше ожидаемого дохода аукциона $$B$$.

Доказательство. Начнем с аукциона $$A$$. Пусть в нем все участники, кроме первого, следуют равновесной стратегии $$\beta^{\mathcal A}$$, а первый ставит $$\beta^{\mathcal A}(z)$$. Тогда вероятность его победы составит

$$G(z|x) = \Pr\left(Y_1<z | X_1 = x\right).$$

Значит, каждый агент в аукционе $$A$$ максимизирует

$$\int_0^zv(x,y)g(y|x)dy - G(z|x)W^{\mathcal A}(z,x).$$

Поскольку мы находимся в равновесии, оптимально брать $$z=x$$, что дает нам соответствующее условие:

$$g(x|x)v(x,x) - g(x|x)W^a(x,x) - G(x|x)W^{\mathcal A}_1(x,x) = 0$$

или, что то же самое,

$$W^{\mathcal A}_1(x,x) = \frac{g(x|x)}{G(x|x)}v(x,x) - \frac{g(x|x)}{G(x|x)}W^{\mathcal A}(x,x).$$

Аналогично,

$$W^B_1(x,x) = \frac{g(x|x)}{G(x|x)}v(x,x) - \frac{g(x|x)}{G(x|x)}W^B(x,x).$$

Значит,

$$W^{\mathcal A}_1(x,x) - W^B_1(x,x) = -\frac{g(x|x)}{G(x|x)}\left(W^{\mathcal A}(x,x)-W^B(x,x)\right).$$

Определим теперь функцию, которая, собственно, показывает, как связаны $$W^{\mathcal A}$$ и $$W^B$$:

$$\Delta(x) = W^{\mathcal A}(x,x)-W^B(x,x).$$

Тогда

$$\Delta^\prime(x) = (W^{\mathcal A}_1(x,x) - W^B_1(x,x)) + (W^{\mathcal A}_2(x,x) - W^B_2(x,x)).$$

Но первую из этих скобок мы уже знаем, и в итоге получается

$$\Delta^\prime(x) = - \frac{g(x|x)}{G(x|x)}\Delta(x) + \left(W^{\mathcal A}_2(x,x)-W^B_2(x,x)\right).$$

Применим теперь условие теоремы. Оно гласит, что

$$W^{\mathcal A}_2(x,x)-W^B_2(x,x) \ge 0.$$

В итоге у нас получилось простенькое дифференциальное уравнение на функцию $$\Delta$$ вида

$$\Delta^\prime(x) = -\alpha\Delta(x) + \beta,$$

где и $$\alpha$$, и $$\beta$$ положительные, с начальным условием $$\Delta(0) = 0$$. Предоставляем читателю убедиться (мы такие уравнения в курсе уже решали), что в решении этого дифференциального уравнения $$\Delta(x)$$ неотрицательна для всех $$x$$, что и требовалось доказать.

Пример 11.2. Принцип взаимосвязи можно применить, например, к сравнению все тех же аукционов. Сравним аукционы первой и второй цены. Мы знаем, что

$$W^I(z,x) = \beta^I(z).$$

Это значит, что $$W^I_2(x,x) = 0$$ для всех $$x$$, потому что функция $$W^I(z,x)$$ от второго аргумента вообще не зависит. А для аукциона второй цены

$$W^{II}(z,x) = \mathbf E\left[\beta^{II}(Y_1) | X_1 = x, Y_1 < z\right].$$

Поскольку $$\beta^{II}$$ возрастает, то, по аффилированности, $$W^{II}_2(x,x)\ge0$$. Значит, доход от аукциона второй цены не меньше дохода от первой цены.

Пример 11.3. А еще принцип взаимосвязи можно ограничить и получить его частный случай — принцип эквивалентности доходности. Если сигналы независимы, то $$W^{\mathcal A}(z,x)$$ не зависит от $$x$$. Значит, в этой ситуации $$W^{\mathcal A}_2(z,x)=0$$ для любого аукциона, и доходности у них у всех совпадают.

Конец примера 11.3.

Война на истощение

Теорема 11.1 позволила нам классифицировать многие известные нам аукционы. Но в ней заложено важное ограничение: мы потребовали, чтобы в аукционе что-то платил исключительно победитель. А в реальной жизни это далеко не всегда так: мы в разделе 4.3 уже приводили пример с лоббированием и получающимся в результате аукционом, в котором платят все участники. Давайте начнем подбираться к нужному обобщению принципа взаимосвязи с конкретного примера, который имеет еще и биологическую мотивацию.

В качестве этого примера мы рассмотрим так называемую войну на истощение (war of attrition). Ее можно понимать следующим образом: агенты соперничают за ресурс ценностью $$V$$, просто оставаясь в игре и терпя со временем все большие и большие убытки. Как только все агенты, кроме одного, уйдут из игры, игра закончится, и оставшийся будет объявлен победителем. Эту модель начал рассматривать упоминавшийся уже Джон Майнард Смит [45], который применил теорию игр к биологии. Модель войны на истощение — это классическая модель войны между биологическими видами за тот или иной ресурс. Виды сражаются и терпят потери, пока один из них не отступится или не вымрет полностью, после чего второй получает искомый ресурс.

Войну на истощение можно рассматривать как игру, в которой все игроки делают ставки (ставку $$b$$ надо понимать как "я буду держаться, пока не понесу убытки $$b$$ "), после чего выигрывает тот, у кого ставка больше, но платит он при этом вторую сверху ставку. Получается интересная форма аукциона — аукцион второй цены, в котором платят все, но победитель — не свою ставку, а вторую сверху.

С точки зрения теории игр война на истощение — крайне интересный объект. Если не ограничивать сверху возможные ставки, у участников может возникнуть мотивация ставить больше, чем стоит объект (ведь платят они не свою ставку, а вторую). Но если этой мотивации поддадутся все игроки, то, конечно, даже победитель останется в минусе. У войны на истощение очень интересная эволюционно стабильная стратегия, суть которой такова: ставить настолько случайно, чтобы противник не смог никак предсказать последующие ставки. Мы, правда, не будем в это углубляться, а заинтересованному читателю порекомендуем [10,11,45,47].

А мы возьмемся за войну на истощение как за аукцион (как Кришна и Морган [36]). Такой вот all-pay second price auction, в котором доходы участников по вектору ставок $$\b$$ определяются как

$$W_i=\begin{cases} V_i-\max_{j\neq i}b_j, \text{если }b_i>\max_{j\neq i}b_j,\\ -b_j, \text{если }b_i<\max_{j\neq i}b_j, \\ \frac{1}{\#\{k:b_k=b_i\}}x_i-b_i, \text{если }b_i=\max_{j\neq i}b_j\end{cases}$$

(мы будем предполагать, что в случае равенства ресурс делится поровну).

Начнем, как водится, с того, что попытаемся вывести равновесную стратегию, а затем уже докажем, что она равновесная. Предположим, что игроки следуют симметричной равновесной стратегии $$\beta$$, и игрок 1 получает сигнал $$x$$ и ставит $$\beta(z)$$. Тогда его ожидаемый доход равен

$$W_i(z, x) = \int_{-\infty}^z\left(\mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1\mid X_1=x, Y_1=y\right] - \beta(y)\right)g(y|x)dy - \\ - \left(\vphantom{1^2}1 - G(z|x)\right)\beta(z) = \\ = \int_{-\infty}^z\left(\vphantom{1^2}v(x,y) - \beta(y)\right)g(y|x)dy - \left(\vphantom{1^2}1 - G(z|x)\right)\beta(z).$$

Теперь максимизируем $$W_i(z,x)$$ по $$z$$. Это даст нам условие

$$\frac{\partial W_i}{\partial z} = \left(\vphantom{1^2}v(x,z) - \beta(z)\right)g(z|x) - \left(\vphantom{1^2}1-G(z|x)\right)\beta^\prime(z) + g(z|x)\beta(z)= \\ = v(x,z)g(z|x) - \left(\vphantom{1^2}1-G(z|x)\right)\beta^\prime(z) = 0.$$

В симметричном равновесии $$z=x$$, и поэтому в равновесии условие превращается в

$$v(x,x)g(x|x) - \left(\vphantom{1^2}1-G(x|x)\right)\beta^\prime(x) = 0, \\ \beta^\prime(x) = \frac{v(x,x)g(x|x)}{1-G(x|x)},$$

и, наконец,

$$\beta(x) = \int_{-\infty}^x\frac{v(y,y)g(y|y)}{1-G(y|y)}dy = \int_{-\infty}^xv(y,y)\lambda_G(y|y)dy,$$

если вспомнить определение доли риска $$\lambda$$.

Итак, мы получили кандидата на равновесную стратегию. Осталось только доказать, что это действительно она. Это будет верно не всегда, а при дополнительном условии.

Теорема 11.2. Предположим, что для всех $$y$$ функция

$$\phi(\cdot, y) = v(\cdot, y)\lambda_G(\cdot | x)$$

возрастает. Тогда стратегия

$$\beta(x) = \int_{-\infty}^xv(y,y)\lambda_G(y|y)dy$$

является симметричной равновесной стратегией для войны на истощение.

Доказательство. Доказательство будет очень похоже на кучу доказательств, которые мы уже видели. Здесь мы его еще проведем, а в 11.5 уже не будем. Итак, мы хотим доказать, что функция $$W(z,x)$$ максимизируется при $$z=x$$. Как мы уже знаем,

$$W(z,x) = \int_{-\infty}^z\left(\vphantom{1^2}v(x,y) - \beta(y)\right)g(y|x)dy - \left(\vphantom{1^2}1 - G(z|x)\right)\beta(z).$$

Давайте возьмем вторую часть интеграла по частям:

$$W(z,x) = \int_{-\infty}^zv(x,y)g(y|x)dy - \int_{-\infty}^z\beta(y)g(y|x)dy - \left(\vphantom{1^2}1 - G(z|x)\right)\beta(z)=\\ = \int_{-\infty}^zv(x,y)g(y|x)dy - \left.\vphantom{1_2^2}\beta(y)G(y|x)\right|_{-\infty}^z + \\ + \int_{-\infty}^z\beta^\prime(y)G(y|x)dy - \left(\vphantom{1^2}1 - G(z|x)\right)\beta(z)=\\ = \int_{-\infty}^zv(x,y)g(y|x)dy + \int_{-\infty}^z\beta^\prime(y)G(y|x)dy - \beta(z).$$

Но мы знаем, что

$$\beta^\prime(x) = v(x,x)\lambda_G(x|x).$$

Таким образом,

$$W(z,x) = \int_{-\infty}^zv(x,y)g(y|x)dy + \int_{-\infty}^z\beta^\prime(y)G(y|x)dy - \beta(z) = \\ = \int_{-\infty}^zv(x,y)g(y|x)dy - \int_{-\infty}^z\left(v(y,y)\lambda_G(y|y)-v(x,x)\lambda_G(y|y)G(y|x)\vphantom{1^2}\right)dy = \\ = \int_{-\infty}^zv(x,y)g(y|x)dy - \int_{-\infty}^zv(y,y)g(y|x)\lambda_G(y|y)\frac{1-G(y|x)}{g(y|x)}dy = \\ = \int_{-\infty}^z\left(v(x,y) - v(y,y)\lambda_G(y|y)\frac{1-G(y|x)}{g(y|x)}\right)g(y|x)dy = \\ = \int_{-\infty}^z\left(v(x,y) - v(y,y)\frac{\lambda_G(y|y)}{\lambda_G(y|x)}\right)g(y|x)dy = \\ = \int_{-\infty}^z\left(\vphantom{1^2}\phi(x,y) - \phi(y, y)\right)\lambda_G(y|x)g(y|x)dy.$$

Поскольку мы предположили, что $$\phi$$ возрастает по первому аргументу, разность

$$\phi(x,y) - \phi(y, y)$$

больше нуля для всех $$x<y$$ и меньше нуля для всех $$x>y$$. Таким образом, $$W(z,x)$$ достигает максимума в точке $$z=x$$.

У нас получилась очень интересная стратегия. Во-первых, в нуле агент, играющий по этой стратегии, ставит ноль: мы считаем, что сигналы распределены на интервале $$[0,\omega]$$ ; таким образом,

$$\beta(0)=\int_{-\infty}^0v(y,y)\lambda_G(y|y)dy=0,$$

потому что на отрицательных $$y$$ функция $$\lambda_G(y|y)$$ строго равна нулю; это не слишком замечательно. Но вот при росте $$x$$ происходит интересный эффект.

Теорема 11.3. В предположениях теоремы 11.2 при росте значения сигнала $$x$$ значения ставки в равновесной стратегии возрастают неограниченно:

$$\lim_{x\to\omega}\beta(x) = \infty.$$

Доказательство. Выберем такой $$z$$, для которого $$v(z,z)>0$$. Оценим снизу значение $$\beta(x)$$:

$$\beta(x) = \int_{-\infty}^xv(y,y)\lambda_G(y|y)dy = \\ = \int_{-\infty}^zv(y,y)\lambda_G(y|y)dy + \int_{z}^xv(y,y)\lambda_G(y|y)dy \ge \\ \ge \int_{-\infty}^zv(y,y)\lambda_G(y|y)dy + \int_{z}^xv(z,y)\lambda_G(y|z)dy \ge \\ \ge \int_{-\infty}^zv(y,y)\lambda_G(y|y)dy + \int_{z}^xv(z,z)\lambda_G(y|z)dy.$$

Здесь первое неравенство следует из того, что $$\phi(\cdot,y)$$ возрастает, а второе — из того, что возрастает $$v(z,\cdot)$$.

Заметим, что для всех $$y$$

$$\lambda_G(y|z) = -\frac{d}{dy}\left[\vphantom{1^2}\ln(1-G(y|z))\right],$$

и это значит, что

$$\int_{z}^x\lambda_G(y|z) = \ln\left(\vphantom{1^2}1-G(z|z)\right) - \ln\left(\vphantom{1^2}1-G(x|z)\right) = \ln\left(\frac{1-G(z|z)}{1-G(x|z)}\right).$$

Теперь подставим это выражение в оценку на $$\beta$$:

$$\beta(x) \ge \int_{-\infty}^zv(y,y)\lambda_G(y|y)dy + v(z,z)\ln\left(\frac{1-G(z|z)}{1-G(x|z)}\right).$$

Но при $$x\to\omega$$ $$G(x|z)$$ стремится к единице, а числитель дроби к нулю при этом отнюдь не стремится. Следовательно, $$\lim_{x\to\omega}\beta(x) = \infty$$.

Итак, мы подробно рассмотрели важный и интересный пример аукциона, в котором мало того что платят все, так еще и каждый рад ставить до бесконечности много, если сигнал его приближается к верхней границе (заметим, что при этом ценность лота отнюдь не стремится к бесконечности!).

В следующем параграфе мы разработаем общую технику, которая позволит нам справляться с такого рода аукционами. Это будет последний важный результат в нашем курсе.

Обобщение принципа взаимосвязи

Итак, мы хотели бы обобщить принцип взаимосвязи на ситуации, когда некие ненулевые суммы платит не только победитель, но и все остальные участники. Результат получится на удивление просто и будет сильно напоминать теорему 11.1.

Давайте просто вместо функции $$W^{\mathcal A}(z,x)$$ рассмотрим другую функцию, $$M^{\mathcal A}(z,x)$$, которая показывает, какова в аукционе $$A$$ ожидаемая выплата агента, получившего сигнал $$x$$ и делающего ставку $$\beta^{\mathcal A}(z)$$, где $$\beta^{\mathcal A}$$ — симметричная равновесная стратегия аукциона $$A$$. То есть фактически все то же самое, но теперь мы не предполагаем, что платит только победитель, и вероятность победы этого агента в рассуждениях участвовать не будет. Соответственно, в аукционе, где платит только победитель, ожидаемая выплата будет равна

$$M^{\mathcal A}(z,x) = G(z|x)W^{\mathcal A}(z,x),$$

потому что $$G(z|x)$$ — это вероятность выиграть с сигналом $$x$$ и ставкой $$\beta^{\mathcal A}(z)$$, а $$W^{\mathcal A}(z,x)$$ — сумма, которую придется заплатить в случае выигрыша.

Обозначим, как раньше мы делали для $$W^{\mathcal A}$$, через $$M^{\mathcal A}_2(x,y)$$ частную производную функции $$M^{\mathcal A}(\cdot,\cdot)$$ по второму аргументу, вычисленную в точке $$(z,x)$$:

$$M^{\mathcal A}_2(z,x) = \left.\frac{\partial M^{\mathcal A}(t,u)}{\partial u}\right|_{(z,x)}.$$

Теорема 11.4. (обобщенный принцип взаимосвязи) Пусть $$A$$ и $$B$$ — два аукциона, в которых побеждает наивысшая ставка, причем платить в результате может не только победитель. Пусть в каждом из них есть свое симметричное и возрастающее равновесие, причем:

для всех $$x$$ $$M^{\mathcal A}_2(x,x) \ge M^B_2(x,x)$$ ;

выполняется начальное условие $$W^{\mathcal A}(0,0) = 0 = W^B(0,0)$$.

Тогда ожидаемый доход аукциона $$A$$ не меньше ожидаемого дохода аукциона $$B$$.

Доказательство. В аукционе $$A$$ ожидаемый доход агента с сигналом $$x$$, который ставит $$\beta^{\mathcal A}(z)$$, составит

$$\int_0^zv(x,y)g(y|x)dy - M^{\mathcal A}(z,x).$$

Именно эту величину максимизирует каждый агент. В равновесии оптимально брать $$z=x$$, и поэтому

$$g(x|x)v(x,x) - M^{\mathcal A}_1(x,x) = 0,\text{ то есть} \\ M^{\mathcal A}_1(x,x) = g(x|x)v(x,x).$$

Теперь, определяя, как и в доказательстве теоремы 11.1,

$$\Delta(x) = M^{\mathcal A}(x,x)-M^B(x,x)$$

получаем, что

$$\Delta^\prime(x) = M^{\mathcal A}_2(x,x) - M^B_2(x,x) \ge 0.$$

Таким образом, $$\Delta(x)$$ — неубывающая функция, и $$\Delta(0)=0$$ ; следовательно, $$\Delta(x)\ge 0$$ на $$[0,\omega]$$.

Оставляем читателю в качестве упражнения сравнить при помощи теоремы 11.4 обычный аукцион первой цены и аукцион первой цены, в котором платят все (all-pay auction, который мы описывали в разделе 4.3. В результате должно получиться, что аукцион, в котором платят все, для аукционера выгоднее (его ожидаемый доход больше).

Публичная информация

Напоследок, когда принцип взаимосвязи разобран нами полностью, давайте продвинемся чуть дальше и рассмотрим еще одно небольшое обобщение ситуации аукциона. Предположим, что продавец кое-что знает. Какой-то сигнал $$S$$, которого не знают агенты-покупатели. То есть теперь

$$V_i = v_i(S, X_1,\ldots, X_N),$$

что в симметричном случае превращается в

$$v_i(S,\mathbf X) = u(S,X_i,\mathbf X_{-i}).$$

Предположим, что $$S,X_1,\ldots,X_N$$ аффилированы и распределены с совместной плотностью $$p$$, которая симметрична по последним $$N$$ аргументам (то есть симметрична по $$X_i$$, но может оказаться несимметричной для $$S$$ ).

Вопрос перед нами стоит весьма практический: стоит ли продавцу сообщать агентам имеющуюся у него информацию? Если продавец свой сигнал не сообщает, то этот сигнал просто можно получить интегрированием (маргинализовать) из всех выражений. Грубо говоря (проверьте это формально!), все формулы, которые мы писали выше, получат дополнительный интеграл по $$s$$ сверху, но $$s$$ не будет вообще участвовать в подынтегральном выражении. И просто все получится как раньше:

$$v(x,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1|X_1 = x, Y_1 = y\right].$$

А вот если продавец информацию сообщит, то все получится уже совсем по-другому. Давайте предположим, что продавец просто всегда сообщает свой сигнал всем агентам. Обозначим тогда через

$$\hat v(s,x,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1|S = s, X_1 = x, Y_1 = y\right]$$

ожидание ценности агента 1 для публичного сигнала $$s$$, приватного сигнала $$x$$ и наибольшего из остальных $$y$$.

По симметрии, эти функции одинаковы для всех агентов; по аффилированности, $$\hat v$$ возрастает; кроме того, $$\hat v(0,0,0)=0$$. Соответственно,

$$v(x,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}\hat v(s,x,y)|X_1 = x, Y_1 = y\right].$$

Для начала возьмем аукцион первой цены. Мы будем рассматривать два разных аукциона: в первом из них агентам говорят $$S$$, а во втором — не говорят. Оба — первой цены. Давайте сравним их доходность.

Когда $$S$$ не сообщают, все как раньше:

$$\beta=\beta^I,\quad W^I(z,x) = \beta(z),\quad W^I_2(z,x) = 0.$$

А когда сообщают, получается равновесная стратегия $$\hat\beta(S,X_i)$$, возрастающая от обеих переменных. И тогда ожидаемый доход победителя с сигналом $$x$$ и ставкой $$\beta(z)$$ будет составлять

$$\hat W^1(z,x) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}\hat\beta(S,z) | X_1 = x\right].$$

А поскольку $$S$$ и $$X_1$$ аффилированы, $$\hat W^1_2(z,x) \ge 0$$.

Получается, что $$\hat W^1_2(z,x) \ge 0$$, а $$W^I_2(z,x) = 0$$. То есть продавцу всегда выгодно сообщать имеющуюся у него информацию.

То же самое верно для аукциона второй цены и для английского аукциона, в рассуждениях практически ничего не меняется.

Замечание. Мы здесь провели только "эвристическую" часть поиска равновесной стратегии. Чтобы доказать, что $$\hat\beta$$ — равновесная стратегия, надо еще проверить, что $$\hat\beta$$ действительно существует. Именно это мы всегда делали после того, как получали общий вид равновесной стратегии; здесь это делается совершенно обычным образом, и мы не будем приводить строгое доказательство — рекомендуем читателю поупражняться.