Аукционы с зависимыми ценностями

Введение

Отныне и до конца курса мы будем рассматривать аукционы в том виде, в котором мы это делали в лекциях 3-5. Напомним вкратце классическую постановку задачи дизайна аукционов. Имеется некоторый лот, который выставляется на торги продавцом. В торгах участвуют $$N$$ агентов, каждый из которых хочет приобрести лот за как можно меньшую цену. При этом победа в аукционе приносит агенту $$i$$ пользу $$v_i$$ — это так называемая внутренняя ценность для агента $$i$$. В лекциях 3-5 внутренняя ценность была функцией исключительно от его собственной полезности $$x_i$$, распределенной по некоторому заранее известному распределению $$X_i$$, а также от цены, которую ему нужно было заплатить (и уже эта цена зависела от ставок, а значит, и от внутренних ценностей других агентов).

В лекции 5 мы доказали теорему об эквивалентности доходности (теорему 4.1): если скрытые значения агентов $$x_i$$ распределены одинаково и независимо и все агенты нейтральны к риску, то любое симметричное равновесие любого аукциона дает продавцу один и тот же доход. Иначе говоря, продавцу можно не затруднять себя сложным выбором между, скажем, аукционом второй цены, первой цены и английским аукционом: все равно его доход от формы аукциона не изменится. Конечно, в разделе 4.5 мы немножко оговорились, что могут появиться психологические причины предпочесть один формат другому, да и просто — в аукционе второй цены оптимальная стратегия самоочевидна, а в аукционе первой цены ее нужно вычислять сложным образом, поэтому аукцион второй цены можно применять шире. Но все-таки математически все аукционы были для продавца одинаковы.

Однако в реальной жизни далеко не всегда скрытые значения агентов представляют собой независимые случайные величины. Рассмотрим следующее обобщение: пусть теперь каждый агент не знает точного значения своей ценности, но знает ее примерно. А именно, агент $$i$$ теперь знает значение некоторого случайного неточного сигнала (noisy signal) $$X_i$$ из диапазона $$[0,\omega_i]$$. Ценность лота для агента $$i$$ является некоторой функцией от сигналов всех агентов:

$$V_i = v_i(X_1, X_2, \ldots, X_N).$$

При этом она также является случайной величиной (так как случайными являются все сигналы $$X_i$$ ).

Таким образом, теперь цености всех агентов оказываются связанными друг с другом посредством неточных сигналов. Такая постановка задачи называется аукционом с зависимыми ценностями. Существует также модификация аукциона с зависимыми ценностями, в которой кроме неточных сигналов агентов $$x_i$$ есть еще неточный сигнал $$S$$, известный только продавцу (у продавца есть уникальная информация об объекте продажи). При этом

$$v_i(x_1,\ldots,x_N) = \mathbf E_S\left[\vphantom{1^2}V_i|X_1=x_1,\ldots, X_N=x_N\right].$$

В таком случае интересен вопрос о том, имеет ли смысл (для увеличения матожидания своего дохода) продавцу сообщать известный ему неточный сигнал $$S$$ агентам или нет.

Далее мы будем рассматривать первый, более простой случай. Будем по умолчанию полагать, что $$v_i(0,0,\ldots,0)=0$$ и что $$E[V_i] < \infty$$. Кроме того, будем считать, что агенты нейтральны к риску, то есть каждый из них хочет максимизировать матожидание величины $$V_i-p_i$$, где $$p_i$$ - цена, которую придется заплатить за обладание лотом.

Частным случаем аукционов с зависимыми ценностями являются аукционы, в которых существует некоторая общечеловеческая ценность $$V = v(X_1,\ldots, X_N)$$, а сигналы отдельных агентов $$X_i$$ распределены вокруг нее (то есть $$\mathbf E[X_i|V=v] = v$$ ). Типичный жизненный пример такой ситуации — аукционы по разработке месторождений: точный доход от разработки некоторого месторождения примерно одинаковый для всех и никому заранее не известен, но у потенциальных покупателей могут быть примерные его оценки. Поэтому такая модель часто называется "mineral rights model".

К чему приводят зависимые ценности

Рассмотрим для примера модель с общечеловеческой ценностью (mineral rights model). В описанной выше ситуации возникает так называемое проклятие победителя (winner' curse; вспомните раздел 2.2). Так как $$V$$ — это, грубо говоря, среднее значение среди всех $$X_i$$, то наибольшее из $$X_i$$ неизбежно будет переоценивать $$V$$!

Возьмем для примера аукцион первой цены. Как только агенту сообщают, что он выиграл аукцион, он понимает, что скорее всего переоценивал значение $$V$$ (так как остальные агенты в таком случае, очевидно, оценивали его меньшим значением). Возможно, что стоимость, которую заплатит агент-победитель, будет даже превышать значение $$V$$, то есть в итоге он останется в убытке.

Пример 9.1. Рассмотрим простейшую (и самую, наверное, разумную для моделирования реальности) ситуацию, когда оценки агентов распределены нормально и независимо вокруг общечеловеческой ценности $$V$$. Может показаться, что здесь оценки агентов распределены независимо, и мы возвращаемся в ситуацию аукционов с независимыми ценностями. Но на самом деле это не так: они независимы только при условии известной ценности $$V$$, а вся соль ситуации как раз в том, что никто эту ценность не знает.

Так вот, предположим, что $$N$$ агентов участвуют в аукционе первой цены, и оценка стоимости лота у каждого агента представляет собой нормальное распределение со средним, равным истинной ценности $$v$$ и дисперсией $$\sigma^2$$. Тогда функция распределения наивысшей оценки стоимости из $$N$$ агентов будет равна не

$$F_{N(v,\sigma^2)}(x) = \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-v)^2}{2\sigma^2}},$$

а ее $$N$$ -й степени $$F(x) = F^N_{N(v,\sigma^2)}(x)$$, что, конечно, гораздо меньше. Вот как растет математическое ожидание максимальной оценки из десяти участвующих агентов для вещи с ценностью $$1$$ и дисперсией $$1$$:

$$\mathbf E\left[\max\limits_{i=1..2}\{X_i\}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}xNf_{N(1,1)}(x)F_{N(1,1)}(x)dx\approx 1.56419,\\ \mathbf E\left[\max\limits_{i=1..3}\{X_i\}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}xNf_{N(1,1)}(x)F^2_{N(1,1)}(x)dx\approx 1.84628,\\ \mathbf E\left[\max\limits_{i=1..5}\{X_i\}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}xNf_{N(1,1)}(x)F^4_{N(1,1)}(x)dx\approx 2.16296,\\ \mathbf E\left[\max\limits_{i=1..10}\{X_i\}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}xNf_{N(1,1)}(x)F^9_{N(1,1)}(x)dx\approx 2.53875,\\ \mathbf E\left[\max\limits_{i=1..1000}\{X_i\}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}xNf_{N(1,1)}(x)F^{999}_{N(1,1)}(x)dx\approx 4.24144.\\ $$

В аукционе с тысячей участников победитель рискует переплатить более чем вчетверо!

Конец примера 9.1.

По этой причине в аукционе первой цены участники должны делать определенную поправку и немного занижать заявляемую стоимость лота. Мы ниже обсудим этот вопрос подробнее и покажем конкретные стратегии для различных типов аукционов.

Стоит также отметить, что "проклятие победителя" зависит от количества участников $$N$$. Чем больше агентов участвуют в аукционе, тем больше ожидание максимума среди всех оценок стоимости лота, и тем хуже в среднем приходится победителю.

Но это не единственный (и даже не главный) эффект, который появляется в аукционах с зависимыми ценностями. Главным для нас следствием зависимости сигналов является тот факт, что теперь теорема об эквивалентности доходности перестает работать. Причем не просто перестает работать доказательство, а теорема становится по сути неверной. Мы будем обсуждать, как подправить теорему, чтобы суметь хоть что-то сказать в случае зависимых ценностей.

Более того, в 3.2 мы рассказывали о том, каким образом различные модели аукционов оказываются эквивалентными друг другу. Для двух основных моделей аукционов с открытыми ставками — голландского и английского — мы нашли их эквиваленты в терминах закрытых ставок — аукционы первой и второй цены соответственно.

Так вот, в ситуации с зависимыми ценностями аукцион второй цены и английский (восходящий) аукцион перестают быть эквивалентными! Это связано с тем, что в восходящем аукционе у участников, которые остаются активными, по ходу проведения аукциона появляется новая информация — ставки участников, выходящих из аукциона (точнее говоря, значения стоимости лота в те моменты времени, когда эти участники говорили "пас"). Исходя из этих ставок, активные участники могут пытаться оценить скрытые сигналы пасующих агентов. Если в случае аукциона с частными независимыми ценностями они не играли никакой роли, то теперь эти значения могут повлиять на собственные оценки ценности лота оставшихся в игре агентов.

Замечание. С голландским (нисходящим) аукционом все остается эквивалентным: поскольку лот отдают тому агенту, который первым поднял руку, у него по определению не появляется никакой дополнительной информации от ставок других агентов (он ничего не узнает о них).

В дальнейшем мы проведем подробный анализ двух аукционов с закрытыми ставками — первой и второй цены — и английского аукциона с открытыми ставками. Этот анализ позволит нам установить, какой из них лучше с точки зрения продавца и с точки зрения агентов-покупателей. Иными словами, раз уж эквивалентность не выполняется, нужно хотя бы понять, в какую сторону тут все неэквивалентно. Но сначала нам предстоит рассмотреть несколько важных понятий из теории вероятностей, без которых ничего у нас насчет аукционов с зависимыми ценностями доказать не получится.

Аффилированные сигналы

Итак, отныне мы отказываемся от предположения, что распределения $$X_i$$ независимы, и будем считать, что они могут быть коррелированными. В таком случае появляется единая совместная плотность $$f(\mathbf X)$$, неравная $$\prod_if_i(X_i)$$. Конечно, работать с совсем уж произвольным распределением вероятностей нелегко, и многого о нем доказать не получится. Да и на практике предположение, которое мы сейчас сделаем, представляется в высшей степени разумным. Мы будем предполагать, что сигналы $$X_1, X_2, \ldots X_N$$ аффилированы.

Определение 9.1. Случайные величины $$\mathbf X = (X_1,\ldots,X_N)$$ называются аффилированными, если $$\forall\ \mathbf x^\prime,\mathbf x^{\prime\prime}$$ :

$$p(\mathbf x^\prime\lor\mathbf x^{\prime\prime})p(\mathbf x^\prime\land\mathbf x^{\prime\prime}) \ge p(\mathbf x^\prime)p(\mathbf x^{\prime\prime}),$$

где

$$\mathbf x^\prime\lor\mathbf x^{\prime\prime} = \left(\max(x^\prime_1,x^{\prime\prime}_1),\ldots,\max(x^\prime_N,x^{\prime\prime}_N)\right),\\ \mathbf x^\prime\land\mathbf x^{\prime\prime} = \left(\min(x^\prime_1,x^{\prime\prime}_1),\ldots,\min(x^\prime_N,x^{\prime\prime}_N)\right).$$

Аффилированность — это усиленная форма положительной корреляции. По сути она означает, что если некоторая часть значений $$X_i$$ велика, то остальные значения тоже, скорее всего, будут велики. Согласитесь, что для аукционов с месторождениями, да и вообще для типичной ситуации аукциона с зависимыми ценностями, это предположение выглядит разумным.

Рассмотрим еще одно сугубо математическое определение.

Определение 9.2. Функция $$f$$ называется супермодулярной, если $$\forall\ \mathbf x^\prime,\mathbf x^{\prime\prime}$$ :

$$f(\mathbf x^\prime\lor\mathbf x^{\prime\prime}) + f(\mathbf x^\prime\land\mathbf x^{\prime\prime}) \ge f(\mathbf x^\prime) + f(\mathbf x^{\prime\prime})$$

Из определений 9.1 и 9.2 мгновенно следует, что компоненты вектора случайных величин $$\mathbf X$$ аффилированы тогда и только тогда, когда $$\ln p$$ супермодулярна. Чтобы убедиться в этом, достаточно прологарифмировать равенство из определения аффилированной функции. Следующее предложение мы также оставим без доказательства — доказать его будет хорошим упражнением.

Предложение 9.1. Если $$f$$ — гладкая функция, то $$f$$ супермодулярна тогда и только тогда, когда

$$\forall\ i \ne j\quad \pdertwo{f}{x_i}{x_j} \ge 0.$$

Сейчас мы будем понемножку устанавливать математические факты о супермодулярных функциях и аффилированных случайных переменных, которые нам потребуются в дальнейшем. Поэтому нетерпеливый читатель может сейчас пропустить остаток этого раздела и возвращаться к нему по мере надобности, когда мы в последующем тексте будем на него ссылаться. Но для полноты картины все же рекомендуем читать по порядку.

Рассмотрим переменные $$Y_1,\ldots,Y_{N-1}$$, которые мы уже использовали в предыдущих лекциях. Напомним, что они представляют собой сигналы $$X_2,\ldots,X_N$$, упорядоченные в порядке убывания значений.

Совместная плотность $$g$$ случайных величин $$X_1,Y_1,\ldots,Y_{N-1}$$ легко выражается через совместную плотность вектора сигналов $$\mathbf X$$. Для этого достаточно заметить, что каждый вектор $$\byn N=(y_1,\ldots,y_{N-1})$$ соответствует $$(N-1)$$! различных векторов $$(x_2,\ldots,x_N)$$: можно перемешать компоненты $$(y_1,\ldots,y_{N-1})$$ как угодно, а получаться все равно будет один и тот же упорядоченный вектор. Поэтому

$$g(x_1,y_1,\ldots,y_{N-1}) = \begin{cases} (n-1)!p(x_1,\byn N), \text{когда }y_1\ge \ldots\ge y_{N-1}\ge 0,\\ 0, \text{в противном случае.} \end{cases}$$

Значит, если переменные $$X_1,X_2,\ldots,X_N$$ аффилированы, то аффилированными также будут и $$X_1,Y_1,\ldots,Y_{N-1}$$.

Введем теперь новое определение.

Определение 9.3. Рассмотрим две случайные переменные — $$X$$ и $$Y$$ — с функциями распределения $$F$$ и $$G$$ и плотностями распределения $$f$$ и $$g$$ соответственно. Говорят, что:

$$F$$ доминирует над $$G$$ в терминах отношения правдоподобия (like-li-hood ratio), если функция отношения правдоподобия $$\frac{f(\cdot)}{g(\cdot)}$$ возрастает, то есть

$$\forall x<y\quad \frac{f(x)}{g(x)} \le \frac{f(y)}{g(y)};$$

$$F$$ доминирует над $$G$$ в терминах доли риска (hazard rate), если доля риска у $$F$$ всегда выше, чем у $$G$$:

$$\forall x\quad \frac{1-F(x)}{f(x)}\ge\frac{1-G(x)}{g(x)};$$

$$F$$ доминирует над $$G$$ в терминах обратной доли риска (reverse hazard rate), если обратная доля риска у $$F$$ всегда выше, чем у $$G$$:

$$\forall x\quad\frac{F(x)}{f(x)}\ge\frac{G(x)}{g(x)};$$

$$F$$ стохастически доминирует над $$G$$, если

$$\forall x\quad F(x)\ge G(x)$$.

Предложение 9.2.

Если $$F$$ доминирует над $$G$$ в терминах отношения правдоподобия, то $$F$$ доминирует над $$G$$ в терминах доли риска.

Если $$F$$ доминирует над $$G$$ в терминах отношения правдоподобия, то $$F$$ доминирует над $$G$$ в терминах обратной доли риска.

Если $$F$$ доминирует над $$G$$ в терминах доли риска, то $$F$$ стохастически доминирует над $$G$$.

Доказательство.

Доминирование в терминах отношения правдоподобия означает, что

$$\forall x<y\quad \frac{f(x)}{g(x)} \le \frac{f(y)}{g(y)}$$.

Это эквивалентно тому, что

$$\forall x<y\quad \frac{f(y)}{f(x)} \ge \frac{g(y)}{g(x)}$$.

Проинтегрируем последнее выражение по $$y$$:

$$\forall x\quad \int_x^\omega\frac{f(y)}{f(x)}dy\ge\int_x^\omega\frac{g(y)}{g(x)}dy$$,

или, что то же самое,

$$\frac{1-F(x)}{f(x)}\ge\frac{1-G(x)}{g(x)}$$.

Как и в первом пункте,

$$\forall x<y\quad \frac{f(x)}{g(x)} \le \frac{f(y)}{g(y)}$$.

Но теперь мы это перепишем слегка по-другому:

$$\forall x<y\quad \frac{f(x)}{f(y)} \le \frac{g(x)}{g(y)}$$.

Снова взяв интеграл, но на этот раз по $$x$$, получаем:

$$\forall x\quad \int_0^y\frac{f(x)}{f(y)}dx\ge\int_0^y\frac{g(x)}{g(y)}dx$$,

или, что то же самое,

$$\frac{F(y)}{f(y)}\ge\frac{G(y)}{g(y)}$$.

Как известно, функцию распределения $$F(x)$$ можно переписать в терминах доли риска $$\lambda_F(x) = \frac{1-F(x)}{f(x)}$$:

$$F(x) = 1 - e^{-\int_0^x\lambda_F(t)dt}$$

(если вам это неизвестно, проверьте сами!). Из этого равенства очевидно, что если для всех $$x$$ $$\lambda_F(x)\ge\lambda_G(x)$$, то и для самих функций распределения $$F(x)\ge G(x)$$ для всех значений $$x$$.

Рассмотрим теперь две переменные — $$X$$ и $$Y$$ — с совместной плотностью

$$f:[0,\omega]\times[0,\omega]\to\mathbb R$$

и, соответственно, функцией совместного распределения

$$F:[0,\omega]\times[0,\omega]\to\mathbb R$$.

Если $$X$$ и $$Y$$ аффилированы, то

$$\forall\ x^\prime\ge x, y^\prime\ge y\quad f(x^\prime, y)f(x, y^\prime) \le f(x, y)f(x^\prime, y^\prime)$$.

Преобразуем это соотношение:

$$\frac{f(x, y^\prime)}{f(x, y)} \le \frac{f(x^\prime, y^\prime)}{f(x^\prime, y)} \\ \frac{f(y^\prime|x)f(x)}{f(y|x)f(x)} \le \frac{f(y^\prime|x^\prime)f(x^\prime)}{f(y|x^\prime)f(x^\prime)} \\ \frac{f(y^\prime|x)}{f(y|x)} \le \frac{f(y^\prime|x^\prime)}{f(y|x^\prime)}.$$

Последнее равенство означает, что функция отношения правдоподобия

$$\frac{f(\cdot | x^\prime)}{f(\cdot | x)}$$

возрастает для всех $$x^\prime\ge x$$, то есть $$F(\cdot | x^\prime)$$ доминирует над $$F(\cdot | x)$$ в терминах отношения правдоподобия для всех $$x^\prime\ge x$$. А значит, по предложению 9.2, $$F(\cdot | x^\prime)$$ в таких случаях доминирует над $$F(\cdot | x)$$ и в терминах доли риска, и в терминах обратной доли риска, и стохастически.

Из стохастического доминирования следует, что для всех $$y$$ функция $$F(y | \cdot)$$ является неубывающей (поскольку стохастическое доминирование означает, что $$F(y | x^\prime) \ge F(y | x)$$ для любых $$x^\prime>x$$ ). А это, в свою очередь, означает, что условное математическое ожидание $$\mathbf E[Y | X = x^\prime]$$ тоже является неубывающим как функция от $$x$$. Отсюда, в частности, следует, что в таком случае величины $$X$$ и $$Y$$ положительно коррелируют (так мы доказали, что аффилированность — более сильное понятие, чем положительная корреляция). На самом же деле верно и более сильное утверждение: для всякой неубывающей функции $$\gamma$$ условное ожидание

$$\mathbf E[\gamma(Y) | X = x ]$$

не убывает как функция от $$x$$ (оставляем доказательство читателю в качестве упражнения).

Итак, вернемся теперь к нашим аукционам. Если сигналы агентов $$X_1,\ldots,X_N$$ аффилированы, то, следовательно, $$X_1,Y_1,\ldots,Y_{N-1}$$ также будут аффилированы.

Пусть $$X_1$$ и $$Y_1$$ аффилированы. Если $$G(\cdot | x)$$ — это распределение $$Y_1$$, то при условии, что $$X_1=x$$ и $$x^\prime>x$$, $$G(\cdot | x^\prime)$$ доминирует над $$G(\cdot | x)$$ в терминах обратной доли риска:

$$\frac{g(y|x^\prime)}{G(y|x^\prime)} \le \frac{g(y|x)}{G(y|x)}.$$

Более того, для всякой возрастающей функции $$\gamma$$, если $$x^\prime>x$$, то

$$\mathbf E\left[\vphantom{1^2}\gamma(Y_1) | X_1 = x^\prime \right] \ge \mathbf E\left[\vphantom{1^2}\gamma(Y_1) | X_1 = x\right].$$

Вот такие следствия нам удалось извлечь из свойства аффилированности неточных сигналов агентов. В скором времени мы их применим.

Симметричная модель

Как и в случае обычных аукционов с независимыми ценностями, далее мы будем рассматривать ситуацию, в которой все агенты находятся в симметричных условиях. В случае, когда у каждого агента была лишь своя, независимая индивидуальная ценность, симметричность означала, что все ценности, как случайные величины, берутся из одного и того же распределения.

В случае зависимых и аффилированных сигналов симметричность понимается двояко. С одной стороны, это симметричность функций ценностей агентов $$v_i$$, а с другой — симметричность распределения случайных сигналов.

Итак, мы будем полагать, что все $$X_i$$ берутся из одного и того же интервала $$[0,\omega]$$, и, кроме того, есть единая для всех агентов функция

$$v_i(\mathbf X) = u(X_i, \mathbf X_{-i}),$$

которая является симметричной относительно последних $$N-1$$ переменных, то есть не изменяющаяся при их перестановке:

$$\forall \pi\in S_{\{1,\ldots,i-1,i+1,\ldots,N\}}\\ v_i(X_i, X_1,\ldots,X_{i-1},X_{i+1},\ldots,X_N) = \\ = v_i(X_i, X_{\pi(1)},\ldots,X_{\pi(i-1)},X_{\pi(i+1)},\ldots,X_{\pi(N)}).$$

Также будем считать, что плотность совместной вероятности $$f$$, определенная на множестве $$[0,\omega]^N$$, также является симметричной функцией, и что сигналы $$X_1,\ldots,X_N$$ аффилированы.

Определим одну важную функцию:

$$v(x,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1|X_1 = x, Y_1 = y\right].$$

Она представляет собой математическое ожидание дохода игрока $$1$$ при условии, что его скрытый сигнал $$x_1 = x$$ является наивысшим, а наивысший среди всех остальных сигналов равен $$y$$. Поскольку модель симметрична, функция $$v$$ одинакова для всех игроков. Как мы узнали в разделе 9.3, из аффилированности следует, что

$$\mathbf E\left[\vphantom{1^2}\gamma(Y_1) | X_1 = x^\prime \right] \ge \mathbf E\left[\vphantom{1^2}\gamma(Y_1) | X_1 = x\right].$$

Следовательно, $$v$$ неубывает от своих переменных. Кроме того, так как $$u({\bf 0}) = 0$$, то $$v(0,0) = 0$$.

Равновесие в аукционе второй цены

В заключение этой лекции мы отыщем симметричное равновесие в модели аукциона второй цены. Это самый простой пример анализа аукционов с зависимыми ценностями; более сложные примеры будут в следующей лекции.

Теорема 9.1. В аукционе второй цены симметричное равновесие достигается при выборе следующей стратегии:

$$\beta^{II}(x) = v(x,x).$$

Доказательство. Пусть остальные агенты играют по cтратегии $$\beta = \beta^{II}$$. Вычислим математическое ожидание дохода агента $$1$$ с сигналом $$x$$ при условии, что он поставит $$b$$ в качестве своей ставки. Для этого обозначим через $$g(\cdot|x)$$ плотность $$Y_1=\max_{i\neq 1} X_i$$ при условии $$X_1=x$$. Чтобы подсчитать ожидание дохода первого агента, нужно проинтегрировать его потенциальный доход $$v(x,y) - \beta(y)$$ (здесь $$v(x,y)$$ — ценность лота для игрока $$1$$, а $$\beta(y)$$ — вторая по величине ставка, то есть плата, которую в аукционе второй цены платит победитель) по всем таким случаям, когда ставка следующего игрока оказывается меньше $$b$$, то есть когда $$\beta(y) < b$$ ; поскольку $$\beta$$ — неубывающая функция, можно просто интегрировать по $$y$$ от $$0$$ до $$\beta^{-1}(b)$$:

$$\Pi(b,x) = \int_0^{\beta^{-1}(b)}(v(x,y) - \beta(y))g(y|x)dy = \\ = \int_0^{\beta^{-1}(b)}(v(x,y) - v(y,y))g(y|x)dy.$$

Так как $$v$$ возрастает по своему первому аргументу, то, следовательно,

$$\forall y>x\quad v(x,y) < v(y,y).$$

Таким образом, если $$y$$ заберется за $$x$$, подынтегральное выражение станет отрицательным, и интеграл начнет уменьшаться. Следовательно, максимум ожидания дохода достигается при использовании $$\beta^{-1}(b) = x$$, или, что то же самое, при $$b = \beta(x)$$.

Пример 9.2. Приведем конкретный пример анализа аукциона второй цены. Пусть в нем участвуют три игрока: $$\mathbf X = (X_1,X_2,X_3)$$, и все $$X_i$$ при условии сигнала $$V=v$$ равномерно распределены на отрезке $$[0,2v]$$ и независимы. Таким образом, $$v$$ действительно оказывается средним значением ценностей $$X_i$$, и они зависят друг от друга исключительно посредством этого общего сигнала. Оставляем читателю удовольствие проверить, что эти случайные переменные действительно будут аффилированы.

Для этого примера крайне важной окажется случайная величина, равная максимуму ценностей всех трех агентов. Обозначим ее через

$$Z = \max\{X_1,X_2,X_3\},$$

а в каждой конкретной точке, соответственно, $$z = \max\{x_1,x_2,x_3\}$$.

Плотность распределения $$X_i$$ при условии $$V=v$$ равна $$\frac1{2v}$$ на $$[0,2v]$$. Следовательно, совместное распределение $$(V,\mathbf X)$$ будет равно $$\frac{1}{8v^3}$$ на множестве $$\{(V,\mathbf X)|X_i\le 2V\}$$.

Заметим, что вся информация, которую мы можем узнать про $$V$$, зная значения $$X_i$$, — это то, что $$V\ge\frac12Z$$. Значит, совместная плотность $$\mathbf X$$ равна

$$p(x_1,x_2,x_3) = \int_{\frac12z}^1\frac1{8v^3}dv = \frac{4-z^2}{16z^2},\text{ где }z = \max\{x_1,x_2,x_3\}.$$

Следовательно, $$p(V|\mathbf X = \mathbf x)=p(V|Z=z)$$, и на интервале $$[\frac12z,1]$$ имеем

$$p(v|Z=z) = \frac{p(v,z)}{p(z)} = \frac1{8v^3}\frac{16z^2}{4-z^2}.$$

Таким образом,

$$\mathbf E\left[\vphantom{1^2}V|\mathbf X=\mathbf x\right] = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V|Z=z\right] = \int_{\frac12z}^1vf(v|\mathbf X=\mathbf x)dv = \frac{2z}{2+z}.$$

А это означает, что

$$v(x,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V|X_1=x, Y_1 = y\right] = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V|Z = \max\{x,y\}\right] = \frac{2\max\{x,y\}}{2+\max\{x,y\}},$$

и, следовательно,

$$\beta^{II}(x) = v(x,x) = \frac{2x}{2+x}.$$

В итоге мы нехитрыми преобразованиями получили явное выражение для оптимальной стратегии поведения агентов в аукционе второй цены с ценностями, которые коррелируют таким вот прихотливым образом. Аналогичный анализ можно провести и в любом другом случае.