В теории телетрафика это распределение также называется отрицательным экспоненциальным распределением. Оно было уже упомянуто в секции 3.1.2, и снова будет применяться в секции 6.2.1. В принципе, мы можем использовать любую функцию распределения с неотрицательными значениями, чтобы моделировать время "жизни". Однако экспоненциальное распределение имеет некоторые уникальные характеристики, которые имеют аналитическое и практическое использование. Экспоненциальное распределение играет ключевую роль среди всех распределений времени "жизни".
Это распределение характеризуется единственным параметром - интенсивностью или скоростью $$\lambda$$:
$$F(t)=1-e^{-\lambda t}, \lambda > 0, t \ge 0,$$ $$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}, \lambda > 0, t \ge 0.$$Гамма-функция определена как:
$$\Gamma(n+1)=\int_{0}^{\infty} t^n e^{-t} dt=n!.$$Мы заменяемый $$\lambda t$$ и получаем $$v$$ -тый момент
$$m_v=\frac{v!}{\lambda^v},$$Средняя величина:
$$m=m_1=\frac{1}{\lambda},$$Второй момент:
$$m_2=\frac{2}{\lambda^2}$$Дисперсия:
$$\sigma^2=\frac{1}{\lambda^2},$$Коэффициент формы:
$$\varepsilon=2,$$
(рис 4.1) В диаграммах состояния экспоненциально распределенный временной интервал изображают как блок с определенной интенсивностью. Блок означает, что клиент, прибывающий в него, задерживается перед тем, как покинуть блок, на экспоненциально распределенный временной интервал.Экспоненциальное распределение очень подходит для описания физических временных интервалов (рис.4.2).
Самая фундаментальная характеристика экспоненциального распределения - отсутствие памяти.
Распределение остатка времени соединения связи не зависит от фактической продолжительности этого соединения, и равно распределению всего времени "жизни" (3.11):
$$f(t+x|x)=\frac{\lambda e^{-(t+x)\lambda}}{e^{-\lambda x}}\\ \qquad \quad=\lambda e^{-\lambda t}\\ \qquad \quad=f(t).$$Если мы удаляем множество вероятностей в интервале (0, х) из функции плотности, и нормализуем остававшееся множество в интервале (х ,1) к единице, тогда новая функция плотности становится конгруэнтной (сравнимой) с первоначальной функцией плотности. Единственная непрерывная функция распределения, имеющая это свойство - экспоненциальное распределение, а
Например, на рис.3.1 показано распределение Вейбулла, где это свойство не справедливо. Для k = 1 распределение Вейбулла становится идентичным экспоненциальному распределению. Поэтому средняя величина остаточного времени "жизни" - $$т_{1,r} = т$$, и вероятность существования "жизни" в интервале (t, t+dt) , при условии, что она возникает после момента t, будет:
Таким образом, вероятность существования "жизни" в интервале времени (t, t+ dt) зависит только от $$\lambda$$ и $$dt $$, но не зависит от фактического возраста (t).
Пусть две случайных переменные $$X_1$$ и $$X_2$$ являются
Функция распределения X равна:
Эта функция распределения - тоже экспоненциальное распределение с интенсивностью $$(\lambda_1+\lambda_2)$$.
Согласно предположению, что первое (наименьшее) событие происходит в пределах временного интервала t, t+dt, вероятность, что случайная переменная $$Х_1$$ будет реализована первой (то есть, в этом интервале появится первой, а другая возникнет позже), будет равна:
то есть, независимо от t. Таким образом, мы не должны интегрировать по всем значениям t.
Эти результаты могут быть обобщены на k переменных, и приниматься как основной принцип методики моделирования, называемый метод рулетки или метод моделирования Монте-Карло.
Если с помощью одного экспоненциального распределения (то есть одного параметра) мы не можем описать достаточно детально временные интервалы, то нам, вероятно, придется использовать комбинацию двух или больше экспоненциальных распределений. Пальма ввел два класса распределений: крутое и плоское. Крутое распределение соответствует набору последовательных, стохастических независимых экспоненциальных распределений (рис.4.2), а плоское соответствует параллельным экспоненциальным распределениям (рис.4.4). Такая структура естественно позволяет описать процессы нагрузки в телекоммуникации и сетях передачи данных.
Комбинируя крутое и плоское распределения, мы можем получить произвольно хорошее приближение для любой функции распределения (см. рис.4.7 и секцию 4.4). Диаграммы на рис.4.2 и рис.4.4 называются фазовыми диаграммами (или диаграммами состояний).
(рис 4.2) Комбинируя k экспоненциальных распределений последовательно, получаем крутое распределение $$(\varepsilon \le 2)$$. Если все k распределения идентичны ( $$\lambda_1=\lambda$$ ), то мы получаем k распределение Эрланга
Крутые распределения также называют гиперэкспоненциальными распределениями или обобщенными распределениями Эрланга с коэффициентом формы в интервале $$1 < \varepsilon \le 2$$. Эта k экспоненциальных распределений (рис.4.2). Здесь мы рассматриваем только случай, где все k экспоненциальных распределений идентичны. Тогда мы получаем следующую плотность функция, которая называется k распределением Эрланга (распределение Эрланга k -го порядка):
Следующие моменты могут быть найдены с использованием (3.31) и (3.32):
$$m=\frac{k}{\lambda},$$ $$\sigma^2=\frac{k}{\lambda^2},$$ $$\varepsilon=1+\frac{\sigma^2}{m^2}=1+\frac 1k.$$i -тый нецентральный момент:
Функция плотности получена в секции 6.2.2. Средний остаток времени "жизни" $$m_{1,r}(x)$$ для $$x \ge 0$$ будет меньше, чем средняя величина:
$$m_{1,r}(x) \le m, x \ge 0.$$
(рис 4.3) k распределения Эрланга со средней величиной. Случай k = 1 соответствует экспоненциальному распределению (функции плотности)С этим распределением мы имеем два параметра $$(\lambda, k)$$, доступные для наблюдений. Средняя величина часто сохраняется фиксированной. Чтобы изучить влияние параметра k в функции распределения, мы нормализуем все k распределения Эрланга к одной и той же самой средней величине как 1, распределение Эрланга, то есть экспоненциальное распределение заменим средним значением $$1/\lambda$$, a t -на k t или $$\lambda$$ на $$\lambda k$$:
Заметим, что коэффициент формы независим от времени. Функция (4.15) плотности проиллюстрирована на рис.4.3 для различных значений k с $$\lambda =1$$. Возьмем случай, когда k = 1 соответствует экспоненциальному распределению. Если $$k \to m1$$, мы получаем постоянный временной интервал ( $$\varepsilon=1$$ ). Решая f(t) = 0, находим максимальное значение:
Так называемые крутые распределения носят такое имя, потому что увеличение функций распределения от 0 до 1 идет быстрее, чем в экспоненциальном распределении. В теории телетрафика мы иногда используем название - распределение Эрланга для усеченного
Общая функция распределения находится в этом случае с помощью взвешенной суммы экспоненциальных распределений (составное распределение) с коэффициентом формы $$\varepsilon \ge 2$$:
$$F(t)=\int_0^{\infty}(1-e^{-\lambda t})dW(\lambda), \lambda > 0, t \ge 0,$$Функция веса может быть дискретна или непрерывна (интеграл Стилтьеса). Этот класс распределения соответствует параллельной комбинации экспоненциальных распределений (рис.4.4). Функция плотности называется полностью монотонной с чередующимися знаками (Пальма, 1957 [82]:
$$(-1)^v*f^{(v)}(t) \ge 0.$$Среднее остаточное время "жизни" $$т_{1,r} (х)$$ для всего $$х \ge 0$$ является большим, чем средняя величина:
$$m_{1,r}(x) \ge 0, x \ge 0.$$
(рис 4.4) Комбинируя k экспоненциальных параллельных распределений и выбирая i - число ветви i с вероятностью $$p_i$$, мы получаем гиперэкспоненциальное распределение, которое является плоским распределением ( $$\varepsilon \ge 2$$ )
В этом случае $$W(\lambda)$$ - дискретно. Предположим, что нам даны следующие значения:
$$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k,$$и что $$W(\lambda)$$ имеет положительные и увеличивающие значения:
$$p_1, p_2, \dots, p_k,$$где
$$\sum_{i=1}^k p_i=1.$$Для всех других значений $$W(\lambda)$$ является постоянным. В этом случае (4.20) становится:
$$F(t)=1-\sum_{i=1}^k p_i*e^{-\lambda_it}, t \ge 0.$$Средние величины и коэффициент формы могут быть найдены из (3.36)и(3.37)( $$\sigma_i=m_{1,i}=1/\lambda$$ ):
$$m_1=\sum_{i=1}^k \frac{p_i}{\lambda_i},$$ $$\varepsilon=2\left \{ \sum_{i=1}^k \frac{p_i}{\lambda_i^2}\right \} \left / \left \{ \sum_{i=1}^k \frac{p_i}{\lambda_i} \right \}^2 \ge 2.$$Если k = 1 или все $$\lambda_i$$ равны, мы получаем экспоненциальное распределение.
Распределения этого класса называются гиперэкспоненциальными распределениями, и могут быть получены комбинацией k параллельных экспоненциальных распределений, где вероятность выбора i -того распределения - $$p_i$$. Распределение называется плоским, потому что увеличения его функции распределения от 0 до 1 идет медленнее, чем при экспоненциальном распределении.
Практически, трудно оценить больше, чем один или два параметра. Самый важный случай - для $$n=2(p_1=p, p_2=1-p)$$
$$F(t)=1-p*e^{-\lambda_1 t}-(1-p)*e^{-\lambda_2 t}.$$Статистические проблемы возникают, даже когда мы имеем дело с тремя параметрами. Так, для практических приложений, мы обычно выбираем $$\lambda_i=2\lambda *p_i$$. и, таким образом, уменьшаем число параметров до двух.
$$F(t)=1-pe^{-2\lambda pt}-(1-p)e^{-2\lambda \lambda 1-p)t.$$Средняя величина и коэффициент формы получаются равными:
$$m=\frac{1}{\lambda},\\ \varepsilon=\frac{1}{2p(1-p)}.$$При таком выборе параметров две ветви имеют тот же самый вклад в среднюю величину. Pис.4.5 иллюстрирует пример.
Комбинируя крутые и плоские распределения, мы получаем общий класс распределений (распределения фазового типа), которые может быть описаны с помощью экспоненциальной фазы в последовательном и параллельном случае (например, $$k \times l$$ матрицу). Чтобы проанализировать модель с таким видом распределений, мы можем применить теорию Марковских процессов, для которых имеются мощные инструментальные средства, такие, как метод диаграмм состояний (фазовый метод). В общем случае мы можем учесть обратную связь между состояниями (фазами).
(рис 4.6) Функция плотности (частотная) для времен пребывания в системе наблюдаемых линий на местной станции в течение часа наибольшей нагрузки.(рис 4.5) Распределение Кокса - обобщенное распределение Эрланга, имеющее параллельные и последовательные экспоненциальные распределения. Диаграмма состояния эквивалентна рис.4.7.
(рис 4.7) Диаграмма состояний распределения Кокса (сравните с рис.4.6.)Рассмотрим распределение Кокса, которое показано на рис.4.6 (Кокс, 1955 [17]). Оно также иногда называется распределением эрланговского разветвления (иначе, распределением Эрланга с ветвями).
Средняя величина и дисперсия этого распределения Кокса (рис.4.7) получаются из формулы в секции 3.2 для последовательных и параллельных случайных переменных, как это показано на рис.4.6:
$$m_1=\sum_{i=1}^k q_i(1-p_i) \left \{ \sum_{j=1}^i \frac{1}{\lambda_j} \right \},$$где
$$q_i=p_0*p_1* \dots p_{i-1}.$$Выражение $$q_i(1-p_i)$$ - i -том состоянии. Средняя величина может быть выражена простой формулой:
где $$m_{1,i}=\frac{q_i}{\lambda_i}$$ - средняя величина в i -том состоянии. Второй момент получается
где $$m_{2,i}$$ получен из (3.8): $$m_{2,i}=\sigma_{2,i}^2+m_{1,i}^2$$.; это можно записать как:
$$m_2=2*\sum_{i=1}^k \left\{ \left(\sum_{j=1}^i \frac{1}{\lambda_j}\right)*\frac{q_i}{\lambda_i} \right \}.$$После чего получаем дисперсию (3.8):
$$\sigma^2=m_2-m_1^2.$$Сложение двух распределений Кокса для случайных переменных дает другое распределение Кокса для случайной переменной, то есть этот класс является замкнутым по отношению к сложению.
Функция распределения Кокса может быть записана как сумма экспоненциальных функций:
$$1-F(t)=\sum_{i=1}^k c_i*e^{-\lambda_i t}.$$где
$$0 \le \sum_{i=1}^k c_i \le 1,$$и
$$- \infty < c_i < +\infty.$$Для более поздних приложений важны следующие свойства. Если мы полагаем, что точка выбрана наугад в пределах временного интервала, подчиняющегося распределению Кокса, то вероятность, что эта точка - в пределах фазы i, равна:
Если мы повторяем этот эксперимент $$y$$ раз (независимо), то вероятность, что фаза $$i$$ наступала $$y_i$$ раз, определяется с помощью мулътиноми-нальногораспределения (оно же - полиномиальное распределение):
$$p\{y|y_1, y_2, \dots, y_k\}=\begin{pmatrix} y\\ y_{1y2} \dots y_k \end{pmatrix}*\left (\frac{m_{1,1}}{m}\right )^{y_1}*\left (\frac{m_{1,2}}{m} \right)^{y_2} \dots \left(\frac{m_{1,k}}{m} \right)^{y_k}.$$где
$$y=\sum_{i=1}^k y_i,$$и
$$\begin{pmatrix} y\\ y_{1y2} \dots y_k \end{pmatrix}=\frac{y!}{y_1!* y_2! \dots y_k!}.$$Элементы в (4.38) называются мультиноминальными коэффициентами. Благодаря свойству экспоненциальных распределений - отсутствию памяти, - мы имеем полную информацию об остаточном времени "жизни", если знаем номер текущей фазы.
Диаграммы состояния - полезный инструмент для того, чтобы анализировать Распределения Кокса. Ниже приводится фундаментальная характеристика экспоненциального распределения (Iversen и Nielsen, 1985 [41]).
Теорема 4.1. Экспоненциальное распределение с интенсивностью $$\lambda$$ может быть представлено как два фазовых распределения Кокса, где первая фаза имеет интенсивность $$\mu > \lambda$$ и вторая - фазовую интенсивность $$\lambda$$ (сравните с рис.4.8).
Согласно Теореме 4.1 гиперэкспоненциальное распределение с 'l фазами эквивалентно распределению Кокса с тем же самым числом фаз. Случай l = 2 показан на рис.4.10.
Другое свойство распределений Кокса (Iversen и Nielsen, 1985 [41]):
Теорема 4.2. Фазы в любом Распределении Кокса можно упорядочить как $$\lambda \ge \lambda_{+1}$$.
Теорема 4.1 показывает, что экспоненциальное распределение эквивалентно гомогенному распределению Кокса (здесь "гомогенное" означает "имеет одну и ту же интенсивность во всех фазах") с интенсивностью m и бесконечное число фаз (рис.4.8). Заметим, что
Pис.4.9 показывает взвешенную сумму k распределений Эрланга, где весовые коэффициенты распределены геометрически.
(рис 4.8) Экспоненциальное распределение с коэффициентом $$/lambda$$ эквивалентно показанному распределению Кокса (Теорема 4.1)
(рис 4.9) Экспоненциальное распределение с коэффициентом $$/lambda$$ может быть декомпозировано с помощью последовательного разложения в составное распределение гомогенных k распределений Эрланга с коэффициентом $$\mu > \lambda$$, где весовые коэффициенты геометрически распределены (частное $$p=\lambda / \mu$$ ).
Используя диаграммы состояния, просто показать, что любой экспоненциальный временной интервал $$(\lambda)$$ может быть разложен на распределения фазового типа $$(\lambda_i)$$, где $$\lambda_i \ge \lambda$$. Что касается рис.4.11, мы заметим, что интенсивность макросостояния (обведенный штриховой линией блок) $$\lambda$$ независима от микросостояния.
(рис 4.10) Гиперэкспоненциальное распределение с двумя фазами ( $$\lambda_1 > \lambda_2, p_2=1-p_1$$ ) может быть преобразовано в распределение Кокса 2 (сравните с рис.4.4)
Когда число фаз k конечно и нет обратной связи, конечная фаза должна иметь интенсивность $$\lambda$$.
(рис 4.11) Это распределение фазового типа эквивалентно единственному экспоненциальному распределению. Когда $$p_i* \lambda_i=\lambda$$. Соответственно $$\lambda_i \ge \lambda$$ и $$0 < p_i \le 1$$.
В последние годы распределения Кокса привлекли к себе большое внимание, поскольку они обладают следующими свойствами:
Используя Распределения Кокса, мы можем элементарными методами получать результаты, которые раньше требовали очень сложной математики.
В практических приложениях теории мы использовали распределения Кокса для получения методов оценки параметров. При решении статистической проблемы есть 2k параметра. Обычно мы можем выбрать специальное распределение Кокса (например, k - распределение Эрланга или гиперэкспоненциальное распределение) и приблизительный первый момент.
Применяя метод рулетки, мы с помощью числового моделирования на компьютерах автоматически получаем результаты наблюдений временных интервалов в виде распределения Кокса с одной и той же интенсивностью для всех фаз.
В принципе, каждое распределение, которое не имеет отрицательных значений, может использоваться как распределение времени и описывать временные интервалы. Но, практически, прежде всего востребованы вышеупомянутые распределения.
Мы предполагаем, что параметр k -распределении Эрланга (4.8) принимает неотрицательные реальные значения, и получаем гамма- распределение:
Средняя величина и дисперсия даются в (4.11) и (4.12). Это распределение также известно в теории телетрафика как Распределение Вейбулла.
Оно дает зависимость интенсивности времени отказа (3.14):
$$\frac{dF(t)}{1-F(t)}=\mu(t)=\frac{\lambda e^{-(\lambda t)^k}*k(\lambda t)^{k-1} dt}{e^{-(\lambda t)^k}}\\ \qquad \qquad=\lambda k(\lambda t)^{k-1}.$$Распределение применяется в теории надежности. Для k=1 мы имеем экспоненциальное распределение.
Распределение Парето получается:
Средняя величина и коэффициент формы следующие:
$$m_1=\frac{1}{\lambda},\\ \varepsilon=\frac{2\lambda}{\lambda - \eta_0}, 0 < \eta_0 < \lambda.$$Надо обратить внимание, что для $$\lambda \le \eta_0$$ дисперсия не существует. Если $$\eta_0 \to 0$$ (4.42), распределение становится экспоненциальным. Если интенсивность Пуассоновского процесса - гамма-распределеление, то времена между прибытиями распределены, согласно Парето.
Далее мы будем иметь дело с набором дискретных распределений, которые также описывают время жизни - такие, как геометрическое распределение, распределение Паскаля, Биноминальное распределение, распределение Вестенберга и т.д. На практике параметры распределений не всегда постоянны.
Время обслуживание (удержания) может быть физически коррелированным с состоянием системы. В системах человек/машина время обслуживания изменяется из-за занятости (уменьшается) или усталости (увеличивается). Электромеханические системы работают более медленно в течение периодов высокой нагрузки, потому что в это время наблюдается уменьшение напряжения электрической сети.
Для некоторых распределений, которые широко применяются в теории организации очереди, мы используем следующую систему сокращенных обозначений (сравните с секцией 13.1):
М - экспоненциальное (марковское) распределение,
$$E_k$$ - k -распределение Эрланга,
$$H_n$$ - гиперэкспоненциальное распределение порядка n,
D - (детерминированная) константа,
Сох - распределение Кокса,
G - общий - произвольное распределение.
Pис.4.5 показывает пример наблюдаемых времен пребывания в системе местной телефонной станции. Время пребывания в системе состоит из времени сигнализации и в случае, если появляется ответ, дополняется время сеанса связи.
Pис.4.2 показывает наблюдаемые времена между прибытиями входящих вызовов на транзитную телефонную станцию в течение одного часа.
С самого начала для теории телетрафика было характерно сильное взаимодействие с практикой, и были превосходные возможности проводить измерения.
Эрланг (1920, [11]) и звещает об измерениях, при которых был зарегистрирован 2461 сеанс связи на телефонной станции в Копенгагене.
Пальм (1943 [79]) и теоретически и фактически анализировал измерения нагрузки. Он проводил объемные измерения в Швеции.
При помощи компьютерной технологии может быть собрано большое количество данных. Первая программа, управляющая компьютерным измерением, описана в (Iversen, 1973 [35]). Важность использования дискретных значений времени при наблюдении значений показано в Лекции 15.
В. Болотин (1994, [7]) измерил и моделировал времена пребывания в телекоммуникационной системе.
Многочисленные измерения были проведены на компьютерных системах. В телефонных системах мы редко имеем коэффициенты формы больше, чем 6, При измерении нагрузки передачи данных наблюдаются коэффициенты формы больше, чем 100. Так обстоит дело, например, при передаче данных, когда мы передаем либо несколько символов, либо большое количество данных. Чтобы описать эти данные, используются медленно убывающие распределения. Медленно сходящиеся распределения в строгом смысле - это функция, остаток распределения которой ведет себя согласно степенному закону, то есть
$$1-F(t) \approx t^{-\alpha}, 0 < \alpha \le 2.$$Распределение Парето (4.42) - медленно убывающее в строгом смысле. Иногда распределения, убывающие медленнее, чем экспоненциальное распределение, классифицируются как медленно убывающие: например, распределения гиперэкспоненциальное, Вейбулла, нормальное распределение.
В настоящее время выполнены большие измерения и проведено моделирование распределения, использующее самоподобные модели трафика (Jerkins other,1999 [51]). С этими распределениями мы будем иметь дело в следующих лекциях.
Пусть две случайных переменные $$X_1,$$ и $$X_2$$ являются X определяется как:
Функция распределения X равна:
k экспоненциальных распределений.k параллельных экспоненциальных распределений, где вероятность выбора i -того распределения - $$p_i$$.Если мы полагаем, что точка выбрана наугад в пределах временного интервала, подчиняющегося распределению Кокса, то вероятность, что эта точка - в пределах фазы $$i$$, равна:
$$\frac{m_i}{m}, i=1,2, \dots, k.$$Если мы повторяем этот эксперимент $$y$$ раз (независимо), то вероятность, что фаза $$i$$ наступала $$y$$ раз, определяется с помощью мулътино-мжального распределения (полиномиальное распределение).
В теории телетрафика это распределение также называется отрицательным экспоненциальным распределением. Оно было уже упомянуто в секции 3.1.2, и снова будет применяться в секции 6.2.1. В принципе, мы можем использовать любую функцию распределения с неотрицательными значениями, чтобы моделировать время "жизни". Однако экспоненциальное распределение имеет некоторые уникальные характеристики, которые имеют аналитическое и практическое использование. Экспоненциальное распределение играет ключевую роль среди всех распределений времени "жизни".
Это распределение характеризуется единственным параметром - интенсивностью или скоростью $$\lambda$$:
$$F(t)=1-e^{-\lambda t}, \lambda > 0, t \ge 0,$$ $$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}, \lambda > 0, t \ge 0.$$Гамма-функция определена как:
$$\Gamma(n+1)=\int_{0}^{\infty} t^n e^{-t} dt=n!.$$Мы заменяемый $$\lambda t$$ и получаем $$v$$ -тый момент
$$m_v=\frac{v!}{\lambda^v},$$Средняя величина:
$$m=m_1=\frac{1}{\lambda},$$Второй момент:
$$m_2=\frac{2}{\lambda^2}$$Дисперсия:
$$\sigma^2=\frac{1}{\lambda^2},$$Коэффициент формы:
$$\varepsilon=2,$$(рис 4.1) В диаграммах состояния экспоненциально распределенный временной интервал изображают как блок с определенной интенсивностью. Блок означает, что клиент, прибывающий в него, задерживается перед тем, как покинуть блок, на экспоненциально распределенный временной интервал.Экспоненциальное распределение очень подходит для описания физических временных интервалов (рис.4.2).
Самая фундаментальная характеристика экспоненциального распределения - отсутствие памяти.
Распределение остатка времени соединения связи не зависит от фактической продолжительности этого соединения, и равно распределению всего времени "жизни" (3.11):
$$f(t+x|x)=\frac{\lambda e^{-(t+x)\lambda}}{e^{-\lambda x}}\\ \qquad \quad=\lambda e^{-\lambda t}\\ \qquad \quad=f(t).$$Если мы удаляем множество вероятностей в интервале (0, х) из функции плотности, и нормализуем остававшееся множество в интервале (х ,1) к единице, тогда новая функция плотности становится конгруэнтной (сравнимой) с первоначальной функцией плотности. Единственная непрерывная функция распределения, имеющая это свойство - экспоненциальное распределение, а
Например, на рис.3.1 показано распределение Вейбулла, где это свойство не справедливо. Для k = 1 распределение Вейбулла становится идентичным экспоненциальному распределению. Поэтому средняя величина остаточного времени "жизни" - $$т_{1,r} = т$$, и вероятность существования "жизни" в интервале (t, t+dt) , при условии, что она возникает после момента t, будет:
Таким образом, вероятность существования "жизни" в интервале времени (t, t+ dt) зависит только от $$\lambda$$ и $$dt $$, но не зависит от фактического возраста (t).
Пусть две случайных переменные $$X_1$$ и $$X_2$$ являются
Функция распределения X равна:
Эта функция распределения - тоже экспоненциальное распределение с интенсивностью $$(\lambda_1+\lambda_2)$$.
Согласно предположению, что первое (наименьшее) событие происходит в пределах временного интервала t, t+dt, вероятность, что случайная переменная $$Х_1$$ будет реализована первой (то есть, в этом интервале появится первой, а другая возникнет позже), будет равна:
то есть, независимо от t. Таким образом, мы не должны интегрировать по всем значениям t.
Эти результаты могут быть обобщены на k переменных, и приниматься как основной принцип методики моделирования, называемый метод рулетки или метод моделирования Монте-Карло.
Если с помощью одного экспоненциального распределения (то есть одного параметра) мы не можем описать достаточно детально временные интервалы, то нам, вероятно, придется использовать комбинацию двух или больше экспоненциальных распределений. Пальма ввел два класса распределений: крутое и плоское. Крутое распределение соответствует набору последовательных, стохастических независимых экспоненциальных распределений (рис.4.2), а плоское соответствует параллельным экспоненциальным распределениям (рис.4.4). Такая структура естественно позволяет описать процессы нагрузки в телекоммуникации и сетях передачи данных.
Комбинируя крутое и плоское распределения, мы можем получить произвольно хорошее приближение для любой функции распределения (см. рис.4.7 и секцию 4.4). Диаграммы на рис.4.2 и рис.4.4 называются фазовыми диаграммами (или диаграммами состояний).
(рис 4.2) Комбинируя k экспоненциальных распределений последовательно, получаем крутое распределение $$(\varepsilon \le 2)$$. Если все k распределения идентичны ( $$\lambda_1=\lambda$$ ), то мы получаем k распределение Эрланга
Крутые распределения также называют гиперэкспоненциальными распределениями или обобщенными распределениями Эрланга с коэффициентом формы в интервале $$1 < \varepsilon \le 2$$. Эта k экспоненциальных распределений (рис.4.2). Здесь мы рассматриваем только случай, где все k экспоненциальных распределений идентичны. Тогда мы получаем следующую плотность функция, которая называется k распределением Эрланга (распределение Эрланга k -го порядка):
Следующие моменты могут быть найдены с использованием (3.31) и (3.32):
$$m=\frac{k}{\lambda},$$ $$\sigma^2=\frac{k}{\lambda^2},$$ $$\varepsilon=1+\frac{\sigma^2}{m^2}=1+\frac 1k.$$i -тый нецентральный момент:
Функция плотности получена в секции 6.2.2. Средний остаток времени "жизни" $$m_{1,r}(x)$$ для $$x \ge 0$$ будет меньше, чем средняя величина:
$$m_{1,r}(x) \le m, x \ge 0.$$(рис 4.3) k распределения Эрланга со средней величиной. Случай k = 1 соответствует экспоненциальному распределению (функции плотности)С этим распределением мы имеем два параметра $$(\lambda, k)$$, доступные для наблюдений. Средняя величина часто сохраняется фиксированной. Чтобы изучить влияние параметра k в функции распределения, мы нормализуем все k распределения Эрланга к одной и той же самой средней величине как 1, распределение Эрланга, то есть экспоненциальное распределение заменим средним значением $$1/\lambda$$, a t -на k t или $$\lambda$$ на $$\lambda k$$:
Заметим, что коэффициент формы независим от времени. Функция (4.15) плотности проиллюстрирована на рис.4.3 для различных значений k с $$\lambda =1$$. Возьмем случай, когда k = 1 соответствует экспоненциальному распределению. Если $$k \to m1$$, мы получаем постоянный временной интервал ( $$\varepsilon=1$$ ). Решая f(t) = 0, находим максимальное значение:
Так называемые крутые распределения носят такое имя, потому что увеличение функций распределения от 0 до 1 идет быстрее, чем в экспоненциальном распределении. В теории телетрафика мы иногда используем название - распределение Эрланга для усеченного
Общая функция распределения находится в этом случае с помощью взвешенной суммы экспоненциальных распределений (составное распределение) с коэффициентом формы $$\varepsilon \ge 2$$:
$$F(t)=\int_0^{\infty}(1-e^{-\lambda t})dW(\lambda), \lambda > 0, t \ge 0,$$Функция веса может быть дискретна или непрерывна (интеграл Стилтьеса). Этот класс распределения соответствует параллельной комбинации экспоненциальных распределений (рис.4.4). Функция плотности называется полностью монотонной с чередующимися знаками (Пальма, 1957 [82]:
$$(-1)^v*f^{(v)}(t) \ge 0.$$Среднее остаточное время "жизни" $$т_{1,r} (х)$$ для всего $$х \ge 0$$ является большим, чем средняя величина:
$$m_{1,r}(x) \ge 0, x \ge 0.$$(рис 4.4) Комбинируя k экспоненциальных параллельных распределений и выбирая i - число ветви i с вероятностью $$p_i$$, мы получаем гиперэкспоненциальное распределение, которое является плоским распределением ( $$\varepsilon \ge 2$$ )
В этом случае $$W(\lambda)$$ - дискретно. Предположим, что нам даны следующие значения:
$$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k,$$и что $$W(\lambda)$$ имеет положительные и увеличивающие значения:
$$p_1, p_2, \dots, p_k,$$где
$$\sum_{i=1}^k p_i=1.$$Для всех других значений $$W(\lambda)$$ является постоянным. В этом случае (4.20) становится:
$$F(t)=1-\sum_{i=1}^k p_i*e^{-\lambda_it}, t \ge 0.$$Средние величины и коэффициент формы могут быть найдены из (3.36)и(3.37)( $$\sigma_i=m_{1,i}=1/\lambda$$ ):
$$m_1=\sum_{i=1}^k \frac{p_i}{\lambda_i},$$ $$\varepsilon=2\left \{ \sum_{i=1}^k \frac{p_i}{\lambda_i^2}\right \} \left / \left \{ \sum_{i=1}^k \frac{p_i}{\lambda_i} \right \}^2 \ge 2.$$Если k = 1 или все $$\lambda_i$$ равны, мы получаем экспоненциальное распределение.
Распределения этого класса называются гиперэкспоненциальными распределениями, и могут быть получены комбинацией k параллельных экспоненциальных распределений, где вероятность выбора i -того распределения - $$p_i$$. Распределение называется плоским, потому что увеличения его функции распределения от 0 до 1 идет медленнее, чем при экспоненциальном распределении.
Практически, трудно оценить больше, чем один или два параметра. Самый важный случай - для $$n=2(p_1=p, p_2=1-p)$$
$$F(t)=1-p*e^{-\lambda_1 t}-(1-p)*e^{-\lambda_2 t}.$$Статистические проблемы возникают, даже когда мы имеем дело с тремя параметрами. Так, для практических приложений, мы обычно выбираем $$\lambda_i=2\lambda *p_i$$. и, таким образом, уменьшаем число параметров до двух.
$$F(t)=1-pe^{-2\lambda pt}-(1-p)e^{-2\lambda \lambda 1-p)t.$$Средняя величина и коэффициент формы получаются равными:
$$m=\frac{1}{\lambda},\\ \varepsilon=\frac{1}{2p(1-p)}.$$При таком выборе параметров две ветви имеют тот же самый вклад в среднюю величину. Pис.4.5 иллюстрирует пример.
Комбинируя крутые и плоские распределения, мы получаем общий класс распределений (распределения фазового типа), которые может быть описаны с помощью экспоненциальной фазы в последовательном и параллельном случае (например, $$k \times l$$ матрицу). Чтобы проанализировать модель с таким видом распределений, мы можем применить теорию Марковских процессов, для которых имеются мощные инструментальные средства, такие, как метод диаграмм состояний (фазовый метод). В общем случае мы можем учесть обратную связь между состояниями (фазами).
(рис 4.6) Функция плотности (частотная) для времен пребывания в системе наблюдаемых линий на местной станции в течение часа наибольшей нагрузки.(рис 4.5) Распределение Кокса - обобщенное распределение Эрланга, имеющее параллельные и последовательные экспоненциальные распределения. Диаграмма состояния эквивалентна рис.4.7.
(рис 4.7) Диаграмма состояний распределения Кокса (сравните с рис.4.6.)Рассмотрим распределение Кокса, которое показано на рис.4.6 (Кокс, 1955 [17]). Оно также иногда называется распределением эрланговского разветвления (иначе, распределением Эрланга с ветвями).
Средняя величина и дисперсия этого распределения Кокса (рис.4.7) получаются из формулы в секции 3.2 для последовательных и параллельных случайных переменных, как это показано на рис.4.6:
$$m_1=\sum_{i=1}^k q_i(1-p_i) \left \{ \sum_{j=1}^i \frac{1}{\lambda_j} \right \},$$где
$$q_i=p_0*p_1* \dots p_{i-1}.$$Выражение $$q_i(1-p_i)$$ - i -том состоянии. Средняя величина может быть выражена простой формулой:
где $$m_{1,i}=\frac{q_i}{\lambda_i}$$ - средняя величина в i -том состоянии. Второй момент получается
где $$m_{2,i}$$ получен из (3.8): $$m_{2,i}=\sigma_{2,i}^2+m_{1,i}^2$$.; это можно записать как:
$$m_2=2*\sum_{i=1}^k \left\{ \left(\sum_{j=1}^i \frac{1}{\lambda_j}\right)*\frac{q_i}{\lambda_i} \right \}.$$После чего получаем дисперсию (3.8):
$$\sigma^2=m_2-m_1^2.$$Сложение двух распределений Кокса для случайных переменных дает другое распределение Кокса для случайной переменной, то есть этот класс является замкнутым по отношению к сложению.
Функция распределения Кокса может быть записана как сумма экспоненциальных функций:
$$1-F(t)=\sum_{i=1}^k c_i*e^{-\lambda_i t}.$$где
$$0 \le \sum_{i=1}^k c_i \le 1,$$и
$$- \infty < c_i < +\infty.$$Для более поздних приложений важны следующие свойства. Если мы полагаем, что точка выбрана наугад в пределах временного интервала, подчиняющегося распределению Кокса, то вероятность, что эта точка - в пределах фазы i, равна:
Если мы повторяем этот эксперимент $$y$$ раз (независимо), то вероятность, что фаза $$i$$ наступала $$y_i$$ раз, определяется с помощью мулътиноми-нальногораспределения (оно же - полиномиальное распределение):
$$p\{y|y_1, y_2, \dots, y_k\}=\begin{pmatrix} y\\ y_{1y2} \dots y_k \end{pmatrix}*\left (\frac{m_{1,1}}{m}\right )^{y_1}*\left (\frac{m_{1,2}}{m} \right)^{y_2} \dots \left(\frac{m_{1,k}}{m} \right)^{y_k}.$$где
$$y=\sum_{i=1}^k y_i,$$и
$$\begin{pmatrix} y\\ y_{1y2} \dots y_k \end{pmatrix}=\frac{y!}{y_1!* y_2! \dots y_k!}.$$Элементы в (4.38) называются мультиноминальными коэффициентами. Благодаря свойству экспоненциальных распределений - отсутствию памяти, - мы имеем полную информацию об остаточном времени "жизни", если знаем номер текущей фазы.
Диаграммы состояния - полезный инструмент для того, чтобы анализировать Распределения Кокса. Ниже приводится фундаментальная характеристика экспоненциального распределения (Iversen и Nielsen, 1985 [41]).
Теорема 4.1. Экспоненциальное распределение с интенсивностью $$\lambda$$ может быть представлено как два фазовых распределения Кокса, где первая фаза имеет интенсивность $$\mu > \lambda$$ и вторая - фазовую интенсивность $$\lambda$$ (сравните с рис.4.8).
Согласно Теореме 4.1 гиперэкспоненциальное распределение с 'l фазами эквивалентно распределению Кокса с тем же самым числом фаз. Случай l = 2 показан на рис.4.10.
Другое свойство распределений Кокса (Iversen и Nielsen, 1985 [41]):
Теорема 4.2. Фазы в любом Распределении Кокса можно упорядочить как $$\lambda \ge \lambda_{+1}$$.
Теорема 4.1 показывает, что экспоненциальное распределение эквивалентно гомогенному распределению Кокса (здесь "гомогенное" означает "имеет одну и ту же интенсивность во всех фазах") с интенсивностью m и бесконечное число фаз (рис.4.8). Заметим, что
Pис.4.9 показывает взвешенную сумму k распределений Эрланга, где весовые коэффициенты распределены геометрически.
(рис 4.8) Экспоненциальное распределение с коэффициентом $$/lambda$$ эквивалентно показанному распределению Кокса (Теорема 4.1)
(рис 4.9) Экспоненциальное распределение с коэффициентом $$/lambda$$ может быть декомпозировано с помощью последовательного разложения в составное распределение гомогенных k распределений Эрланга с коэффициентом $$\mu > \lambda$$, где весовые коэффициенты геометрически распределены (частное $$p=\lambda / \mu$$ ).
Используя диаграммы состояния, просто показать, что любой экспоненциальный временной интервал $$(\lambda)$$ может быть разложен на распределения фазового типа $$(\lambda_i)$$, где $$\lambda_i \ge \lambda$$. Что касается рис.4.11, мы заметим, что интенсивность макросостояния (обведенный штриховой линией блок) $$\lambda$$ независима от микросостояния.
(рис 4.10) Гиперэкспоненциальное распределение с двумя фазами ( $$\lambda_1 > \lambda_2, p_2=1-p_1$$ ) может быть преобразовано в распределение Кокса 2 (сравните с рис.4.4)
Когда число фаз k конечно и нет обратной связи, конечная фаза должна иметь интенсивность $$\lambda$$.
(рис 4.11) Это распределение фазового типа эквивалентно единственному экспоненциальному распределению. Когда $$p_i* \lambda_i=\lambda$$. Соответственно $$\lambda_i \ge \lambda$$ и $$0 < p_i \le 1$$.
В последние годы распределения Кокса привлекли к себе большое внимание, поскольку они обладают следующими свойствами:
Используя Распределения Кокса, мы можем элементарными методами получать результаты, которые раньше требовали очень сложной математики.
В практических приложениях теории мы использовали распределения Кокса для получения методов оценки параметров. При решении статистической проблемы есть 2k параметра. Обычно мы можем выбрать специальное распределение Кокса (например, k - распределение Эрланга или гиперэкспоненциальное распределение) и приблизительный первый момент.
Применяя метод рулетки, мы с помощью числового моделирования на компьютерах автоматически получаем результаты наблюдений временных интервалов в виде распределения Кокса с одной и той же интенсивностью для всех фаз.
В принципе, каждое распределение, которое не имеет отрицательных значений, может использоваться как распределение времени и описывать временные интервалы. Но, практически, прежде всего востребованы вышеупомянутые распределения.
Мы предполагаем, что параметр k -распределении Эрланга (4.8) принимает неотрицательные реальные значения, и получаем гамма- распределение:
Средняя величина и дисперсия даются в (4.11) и (4.12). Это распределение также известно в теории телетрафика как Распределение Вейбулла.
Оно дает зависимость интенсивности времени отказа (3.14):
$$\frac{dF(t)}{1-F(t)}=\mu(t)=\frac{\lambda e^{-(\lambda t)^k}*k(\lambda t)^{k-1} dt}{e^{-(\lambda t)^k}}\\ \qquad \qquad=\lambda k(\lambda t)^{k-1}.$$Распределение применяется в теории надежности. Для k=1 мы имеем экспоненциальное распределение.
Распределение Парето получается:
Средняя величина и коэффициент формы следующие:
$$m_1=\frac{1}{\lambda},\\ \varepsilon=\frac{2\lambda}{\lambda - \eta_0}, 0 < \eta_0 < \lambda.$$Надо обратить внимание, что для $$\lambda \le \eta_0$$ дисперсия не существует. Если $$\eta_0 \to 0$$ (4.42), распределение становится экспоненциальным. Если интенсивность Пуассоновского процесса - гамма-распределеление, то времена между прибытиями распределены, согласно Парето.
Далее мы будем иметь дело с набором дискретных распределений, которые также описывают время жизни - такие, как геометрическое распределение, распределение Паскаля, Биноминальное распределение, распределение Вестенберга и т.д. На практике параметры распределений не всегда постоянны.
Время обслуживание (удержания) может быть физически коррелированным с состоянием системы. В системах человек/машина время обслуживания изменяется из-за занятости (уменьшается) или усталости (увеличивается). Электромеханические системы работают более медленно в течение периодов высокой нагрузки, потому что в это время наблюдается уменьшение напряжения электрической сети.
Для некоторых распределений, которые широко применяются в теории организации очереди, мы используем следующую систему сокращенных обозначений (сравните с секцией 13.1):
М - экспоненциальное (марковское) распределение,
$$E_k$$ - k -распределение Эрланга,
$$H_n$$ - гиперэкспоненциальное распределение порядка n,
D - (детерминированная) константа,
Сох - распределение Кокса,
G - общий - произвольное распределение.
Pис.4.5 показывает пример наблюдаемых времен пребывания в системе местной телефонной станции. Время пребывания в системе состоит из времени сигнализации и в случае, если появляется ответ, дополняется время сеанса связи.
Pис.4.2 показывает наблюдаемые времена между прибытиями входящих вызовов на транзитную телефонную станцию в течение одного часа.
С самого начала для теории телетрафика было характерно сильное взаимодействие с практикой, и были превосходные возможности проводить измерения.
Эрланг (1920, [11]) и звещает об измерениях, при которых был зарегистрирован 2461 сеанс связи на телефонной станции в Копенгагене.
Пальм (1943 [79]) и теоретически и фактически анализировал измерения нагрузки. Он проводил объемные измерения в Швеции.
При помощи компьютерной технологии может быть собрано большое количество данных. Первая программа, управляющая компьютерным измерением, описана в (Iversen, 1973 [35]). Важность использования дискретных значений времени при наблюдении значений показано в Лекции 15.
В. Болотин (1994, [7]) измерил и моделировал времена пребывания в телекоммуникационной системе.
Многочисленные измерения были проведены на компьютерных системах. В телефонных системах мы редко имеем коэффициенты формы больше, чем 6, При измерении нагрузки передачи данных наблюдаются коэффициенты формы больше, чем 100. Так обстоит дело, например, при передаче данных, когда мы передаем либо несколько символов, либо большое количество данных. Чтобы описать эти данные, используются медленно убывающие распределения. Медленно сходящиеся распределения в строгом смысле - это функция, остаток распределения которой ведет себя согласно степенному закону, то есть
$$1-F(t) \approx t^{-\alpha}, 0 < \alpha \le 2.$$Распределение Парето (4.42) - медленно убывающее в строгом смысле. Иногда распределения, убывающие медленнее, чем экспоненциальное распределение, классифицируются как медленно убывающие: например, распределения гиперэкспоненциальное, Вейбулла, нормальное распределение.
В настоящее время выполнены большие измерения и проведено моделирование распределения, использующее самоподобные модели трафика (Jerkins other,1999 [51]). С этими распределениями мы будем иметь дело в следующих лекциях.
Пусть две случайных переменные $$X_1,$$ и $$X_2$$ являются X определяется как:
Функция распределения X равна:
k экспоненциальных распределений.k параллельных экспоненциальных распределений, где вероятность выбора i -того распределения - $$p_i$$.Если мы полагаем, что точка выбрана наугад в пределах временного интервала, подчиняющегося распределению Кокса, то вероятность, что эта точка - в пределах фазы $$i$$, равна:
$$\frac{m_i}{m}, i=1,2, \dots, k.$$Если мы повторяем этот эксперимент $$y$$ раз (независимо), то вероятность, что фаза $$i$$ наступала $$y$$ раз, определяется с помощью мулътино-мжального распределения (полиномиальное распределение).
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.