Далее мы рассматриваем только простые точечные процессы, то есть, исключаем множественное прибытие, например, одновременное поступления двух вызовов. Для телефонных звонков это обеспечивается выбором достаточно малого интервала времени. Рассмотрим времена поступления вызова, где i -тый вызов поступает в момент времени $$Т_i$$:
Первое наблюдение происходит в момент времени $$Т_0 = 0$$.
Число вызовов в полуоткрытом интервале $$[0, t] $$ обозначим как $$N_t$$. Здесь $$N_t$$ - случайная переменная с непрерывными параметрами времени и дискретным пространством. С увеличением $$t N_t$$ никогда не уменьшаются.
Интервалы времени между двумя последовательными поступлениями заявок:
$$X_i=T_i-T_{i-1}, i=1,2,\dots.$$Это называется временем интервала, а распределение этого процесса называется распределением времени интервала.
Интервалы времени могут быть отображены двумя типами случайных переменных $$N_t$$ и $$X_i,$$ а два процесса могу быть охарактеризованы двумя способами.
Числовое представление $$N_t$$: при этом способе временной интервал $$t$$ сохраняется постоянным, и мы наблюдаем случайную переменную $$N_t$$ для числа вызовов в интервале $$t$$.
(рис 5.1) Процесс поступления вызовов на входящих линиях транзитной станции.Это может быть выражено формулой Феллера-Дженсена (Feller-Jensen's).
$$p\{N_t < n\}=p\{ T_n \ge t\}, n=1,2,\dots$$Анализ точечного процесса может быть основан на обоих этих представлениях. В принципе они эквивалентны. Представление с помощью интервала соответствует обычному анализу временных рядов. Если мы, например, рассмотрим $$i = 1$$, то получим математическое ожидание вызова, иначе говоря, статистику, основанную на поступлении вызова.
Числовое представление не имеет никакой аналогии с анализом временных рядов. Статистические данные, которые мы получаем, вычисляются в единицу времени, в результате получается математическое ожидание по времени (сравните разницу между потерями по вызовам и потерями по времени).
Статистика интересов при изучении точечных процессов может быть классифицирована согласно этим двум представлениям.
Есть два свойства, которые представляют теоретический интерес.
Общее количество поступлений в интервале $$[t_1, t_2] $$ равно
$$N_{t2}-N_{t1}.$$Среднее число вызовов в одном и том же самом интервале называется функцией обновления $$Н$$:
$$H(t_1, t_2)=E\{N_{t2}-N_{t1}\}.H(t_1, t_2)=E\{N_{t2}-N_{t1}\}$$.Плотность поступлений вызова за время $$t$$ (математическое ожидание времени):
$$\lambda_t=lim_{\Delta t \to 0}\frac{N_{t+ \Delta t}-N_t}{\Delta t}=N_t'.$$Мы предполагаем, что $$\lambda_t$$ существует и конечна. Мы можем интерпретировать $$\lambda_t$$ как интенсивность, с которой происходит поступление заявок за время $$t$$ (сравните с материалом секции 3.1.2). Для простых точечных процессов мы имеем:
$$p\{N_{t+\Delta t}-N_t \ge 2\}=o(\Delta t)$$, $$p\{N_{t+\Delta t}-N_t =1\}=\lambda_t \Delta t+o(\Delta t)$$, $$p\{N_{t+\Delta t}-N_t =0\}=1- \lambda_t \Delta t+o(\Delta t)$$где, по определению,
$$lim_{\Delta t \to 0}\frac{o(\Delta t)}{\Delta t}=0$$Индекс рассеяния для расчетов, (IDC - Index of Dispersion for Counts). Чтобы описывать свойства второго порядка числового представления, мы используем индекс рассеяния для расчетов - IDC. Он описывает отклонения процесса поступления вызовов в течение временного интервала $$t $$ и определяется как:
Разделив временной интервал $$t $$ на интервалы продолжительностью $$t=x $$, наблюдая число событий в течение этих интервалов, мы получаем оценку IDC (t). Для Пуассоновского процесса IDC равен единице. IDC равен "пиковости", свойство, которое мы введем позже, чтобы характеризовать число занятых каналов в процессе обслуживания нагрузки (7.7).
Распределение $$f(t) $$ временных интервалов $$Х_i(5.2) $$ (свертка самого распределения времен интервалов $$i- 1 $$ для времени до $$i $$ - ого поступления ).
$$F_i(t)=p\{X_i \le t\}$$, $$E\{X_i\}=m_{1,i}$$Средняя величина - математическое ожидание вызова. Процесс возобновления - точечный процесс, где последовательные интервалы поступления стохастические независимы друг от друга и имеют то же самое распределение (исключая $$X_1 $$ ), то есть $$m_{1,i}=m_i $$ (
Индекс рассеяния для интервалов,
где $$X_i $$ - интервал поступления.
Для Пуассоновского процесса, который имеет экспоненциально распределенное время обслуживания, IDIстановятся равными единице. IDC. IDC более подходит цифровая технология, но она усложняет наблюдение
Какое из рассмотренных двух представлений нужно использовать на практике, зависит от конкретного случая? Это можно проиллюстрировать следующими примерами.
Измерение рабочих характеристик телетрафика проводятся одним из двух основных методов.
Исследование качества нагрузки на практике проводится двумя способами.
Абонент оценивает качество работы станции по той части вызовов, которые не установлены, то есть по математическому ожиданию не прошедших вызовов. Оператор оценивает качество по соотношению времени, когда все направления заняты, то есть по математическому ожиданию времени. Часто путают эти два типа средних значений (время/вызов), составляя противоречивые инструкции.
Когда на телефонной станции 10 % абонентов заняты, то 20 % попыток вызовов получают отказ из-за занятости В (вызываемый абонент занят). Это явление можно объяснить тем фактом, что половина абонентов является пассивной (то есть не делает никаких попыток вызова и не получает никаких вызовов), тогда как 20 % остающихся абонентов заняты. G. Lind (1976 [73]) анализировал проблему исходя из предположений, что на каждого абонента в среднем приходится одно и то же число входящих и исходящих вызовов. Если средняя величина и коэффициент формы распределения абонента - $$b $$ и $$\varepsilon $$, соответственно, то вероятность, что вызов - это попытка пройти к занятому абоненту $$b \cdot \varepsilon $$.
Выше мы обсудили общую структуру точечных процессов. Для заданных приложений необходимо исследовать дальнейшие свойства. Ниже рассматривается только числовое представление, но мы могли сделать то же самое, базируясь на представлении с помощью интервала.
Это свойство может быть определено как независимость распределения вероятности, описывающего точечный процесс от позиции на оси времени (момента времени). Следующее определение полезно для практики.
Определение: Для произвольного $$t_2 > 0 $$ и каждого $$k \ge 0$$ вероятность поступления к заявок на отрезке $$[t_1, t_1 + t_2 [$$ не зависит от $$t_1 $$, то есть для всех $$t $$ и $$k $$ мы имеем:
$$p\{N_{t_1+t_2}-N_{t1}=k\}=p\{N_{t_1+t_2+t}-N_{t_1+t}=k\}.$$Есть много других определений стационарности - некоторые из них более строгие, другие более слабые.
Стационарность может также быть представлена с помощью интервала, если поставить требование, что все $$X_i $$ независимы и тождественно распределены (
Более слабое определение - это то, что все первые и вторые моменты второго (например, средняя величина и дисперсия) точечного процесса должны быть инвариантным относительно сдвига времени. Эрланг ввёл концепцию статистического равновесия, которое требует, чтобы производные процесса по времени были нулевыми.
Это свойство может быть выражено как требование, что будущая эволюция процесса зависит только от существующего состояния.
Определение: вероятность, что имеет место $$k $$ событий ( $$k $$ являются целым числом и $$\ge 0 $$ ), в промежутке $$[t_1, t_1 +t_2 [$$ не зависит от событий, которые были перед моментом $$t_1 $$
$$p\{N_{t2}-N_{t1}=k|N_{t1}-N_{t0}=n\}=p\{N_{t2}-N_{t1}=k\}$$Если это справедливо для любого t, то перед нами - марковский процесс: будущая эволюция зависит только от существующего состояния, но независима от того, как оно было получено. Это - отсутствие свойства памяти. Если это свойство справедливо только для некоторых точек (моментов времени), например, времени поступления заявки, то эти точки называются точками равновесия или точками регенерации. Процесс тогда имеет ограниченную память, и мы только должны записать последнюю точку регенерации.
Примеры точечного процесса с точками равновесия.
Мы уже упомянули (5.7), что исключаем процессы с поступлением в один момент нескольких вызовов.
Определение: точечный процесс называется простым (ординарным), если вероятность, что в данной точке существует больше чем одно событие, является нулевым:
$$p\{N_{t+\Delta t}-N_t \ge 2\}=o(\Delta t).$$В случае представления с помощью интервала распределение интервала поступления не должно иметь нулевой вероятности, то есть распределение в нулевой точке непрерывно (3.1):
$$F(0+)=0$$Моменты времени дорожных происшествий представляют простой процесс. Число поврежденных автомобилей или погибших людей - непростой точечный процесс с множественными событиями, когда заявки от многих объектов поступают одновременно.
Это единственный общий результат, который справедлив для всех систем организации очереди. Он был сначала издан Литлом (1961 [75] ). Ниже мы приводим доказательство, применяя теорию стохастического процесса в (Eilon, 1969 [24]).
Мы рассматриваем систему организации очереди, куда поступление заявок от клиентов соответствует стохастическому процессу. Клиенты входят в систему в случайный момент времени и ждут обслуживания. Когда они будут обслужены, они покинут систему. На рис.5.2 процессы и поступления и выхода из системы рассматриваются как стохастические процессы с накопленным числом клиентов (показанным на оси ординат).
Рассмотрим пространство времени $$Т $$ и предположим, что система в начальное время $$t=0 $$ находится в статистическом равновесии. Мы используем следующую систему обозначений (рис.5.2):
$$N(T)$$ - число поступления заявок в период $$Т $$ ;
$$А(Т) $$ - полные времена обслуживания всех клиентов в период Т = затененная область между кривыми = величина обслуженной нагрузки;
$$\lambda(T)=\frac{N(T)}{T}$$ - средняя интенсивность вызовов в период $$Т $$ ;
$$W(T)=\frac{A(T)}{N(T)}$$ - среднее время обслуживания одного вызова в период $$Т $$ ;
$$L(T)=\frac{A(T)}{T}$$ - среднее число вызовов в системе за период $$Т $$.
Выпишем важное соотношение между этими переменными:
$$L(T)=\frac{A(T)}{T}=\frac{W(T)*N(T)}{T}=\lambda(T)*W(T)$$Если существуют пределы $$\lambda = lim_{T \to \infty} \lambda (T)$$ и $$W=lim_{T \to \infty} W(T)$$, то также существует конечное значение $$L(T) $$, равное:
$$L=\lambda *W \mbox{(формулa Литтла)}$$Эта простая формула справедлива для любых систем организации очереди. Доказательство было получено и улучшалось в течение нескольких лет. Мы будем использовать эту формулу в Лекциях 12 -14.
(рис 5.2) Система организации очереди с поступлением в систему и выходом из системы клиентов. Вертикальное расстояние между двумя кривыми равно фактическому числу обслуживаемых клиентов. Строго говоря, клиенты не выходят из системы в том же порядке, как поступают в нее, так что горизонтальное расстояние между кривыми не описывает фактическое время пребывания клиента в системе.Если мы рассматриваем только места ожидания, то формула показывает, что средняя длина очереди равна интенсивности вызовов, умноженной на среднее время ожидания.
Если мы рассматриваем только обслуживающие приборы, формула показывает, что обслуженная нагрузка равна интенсивности поступления заявок, умноженной на среднее время обслуживания ( $$A=y*s=\frac{\lambda}{\mu}$$ )-
Это соответствует определению предложенной нагрузки в секции. 2.1.
У числового представления есть два свойства, которые представляют теоретический интерес.
Плотность поступлений вызова за время $$t $$ (математическое ожидание времени):
$$\lambda_t=N_t'$$Чтобы описывать свойства второго порядка для числового представления, мы используем индекс рассеяния для подсчетов - IDC
и индекс рассеяния для временных интервалов -
Стационарность характеризуется следующим свойством: для произвольного $$t_2 > 0 $$ и каждого $$k > 0 $$ вероятность поступления к заявок на отрезке $$[t_1; t_1 + t_2 ] $$ не зависит от $$t_1 ,$$ то есть для всего $$t $$ и $$k $$ мы имеем:
$$p\{N_{t_1+t_2} - N_{t_1} = k\} = p\{N_{t_1+t_2+t} - N_{t_1+t}= k\}$$.Для любых систем организации очереди среднее число вызовов в системе за период $$T $$ равно
$$L = \lambda * W\mbox{ (формула Литтла)}$$.Далее мы рассматриваем только простые точечные процессы, то есть, исключаем множественное прибытие, например, одновременное поступления двух вызовов. Для телефонных звонков это обеспечивается выбором достаточно малого интервала времени. Рассмотрим времена поступления вызова, где i -тый вызов поступает в момент времени $$Т_i$$:
Первое наблюдение происходит в момент времени $$Т_0 = 0$$.
Число вызовов в полуоткрытом интервале $$[0, t] $$ обозначим как $$N_t$$. Здесь $$N_t$$ - случайная переменная с непрерывными параметрами времени и дискретным пространством. С увеличением $$t N_t$$ никогда не уменьшаются.
Интервалы времени между двумя последовательными поступлениями заявок:
$$X_i=T_i-T_{i-1}, i=1,2,\dots.$$Это называется временем интервала, а распределение этого процесса называется распределением времени интервала.
Интервалы времени могут быть отображены двумя типами случайных переменных $$N_t$$ и $$X_i,$$ а два процесса могу быть охарактеризованы двумя способами.
Числовое представление $$N_t$$: при этом способе временной интервал $$t$$ сохраняется постоянным, и мы наблюдаем случайную переменную $$N_t$$ для числа вызовов в интервале $$t$$.
(рис 5.1) Процесс поступления вызовов на входящих линиях транзитной станции.Это может быть выражено формулой Феллера-Дженсена (Feller-Jensen's).
$$p\{N_t < n\}=p\{ T_n \ge t\}, n=1,2,\dots$$Анализ точечного процесса может быть основан на обоих этих представлениях. В принципе они эквивалентны. Представление с помощью интервала соответствует обычному анализу временных рядов. Если мы, например, рассмотрим $$i = 1$$, то получим математическое ожидание вызова, иначе говоря, статистику, основанную на поступлении вызова.
Числовое представление не имеет никакой аналогии с анализом временных рядов. Статистические данные, которые мы получаем, вычисляются в единицу времени, в результате получается математическое ожидание по времени (сравните разницу между потерями по вызовам и потерями по времени).
Статистика интересов при изучении точечных процессов может быть классифицирована согласно этим двум представлениям.
Есть два свойства, которые представляют теоретический интерес.
Общее количество поступлений в интервале $$[t_1, t_2] $$ равно
$$N_{t2}-N_{t1}.$$Среднее число вызовов в одном и том же самом интервале называется функцией обновления $$Н$$:
$$H(t_1, t_2)=E\{N_{t2}-N_{t1}\}.H(t_1, t_2)=E\{N_{t2}-N_{t1}\}$$.Плотность поступлений вызова за время $$t$$ (математическое ожидание времени):
$$\lambda_t=lim_{\Delta t \to 0}\frac{N_{t+ \Delta t}-N_t}{\Delta t}=N_t'.$$Мы предполагаем, что $$\lambda_t$$ существует и конечна. Мы можем интерпретировать $$\lambda_t$$ как интенсивность, с которой происходит поступление заявок за время $$t$$ (сравните с материалом секции 3.1.2). Для простых точечных процессов мы имеем:
$$p\{N_{t+\Delta t}-N_t \ge 2\}=o(\Delta t)$$, $$p\{N_{t+\Delta t}-N_t =1\}=\lambda_t \Delta t+o(\Delta t)$$, $$p\{N_{t+\Delta t}-N_t =0\}=1- \lambda_t \Delta t+o(\Delta t)$$где, по определению,
$$lim_{\Delta t \to 0}\frac{o(\Delta t)}{\Delta t}=0$$Индекс рассеяния для расчетов, (IDC - Index of Dispersion for Counts). Чтобы описывать свойства второго порядка числового представления, мы используем индекс рассеяния для расчетов - IDC. Он описывает отклонения процесса поступления вызовов в течение временного интервала $$t $$ и определяется как:
Разделив временной интервал $$t $$ на интервалы продолжительностью $$t=x $$, наблюдая число событий в течение этих интервалов, мы получаем оценку IDC (t). Для Пуассоновского процесса IDC равен единице. IDC равен "пиковости", свойство, которое мы введем позже, чтобы характеризовать число занятых каналов в процессе обслуживания нагрузки (7.7).
Распределение $$f(t) $$ временных интервалов $$Х_i(5.2) $$ (свертка самого распределения времен интервалов $$i- 1 $$ для времени до $$i $$ - ого поступления ).
$$F_i(t)=p\{X_i \le t\}$$, $$E\{X_i\}=m_{1,i}$$Средняя величина - математическое ожидание вызова. Процесс возобновления - точечный процесс, где последовательные интервалы поступления стохастические независимы друг от друга и имеют то же самое распределение (исключая $$X_1 $$ ), то есть $$m_{1,i}=m_i $$ (
Индекс рассеяния для интервалов,
где $$X_i $$ - интервал поступления.
Для Пуассоновского процесса, который имеет экспоненциально распределенное время обслуживания, IDIстановятся равными единице. IDC. IDC более подходит цифровая технология, но она усложняет наблюдение
Какое из рассмотренных двух представлений нужно использовать на практике, зависит от конкретного случая? Это можно проиллюстрировать следующими примерами.
Измерение рабочих характеристик телетрафика проводятся одним из двух основных методов.
Исследование качества нагрузки на практике проводится двумя способами.
Абонент оценивает качество работы станции по той части вызовов, которые не установлены, то есть по математическому ожиданию не прошедших вызовов. Оператор оценивает качество по соотношению времени, когда все направления заняты, то есть по математическому ожиданию времени. Часто путают эти два типа средних значений (время/вызов), составляя противоречивые инструкции.
Когда на телефонной станции 10 % абонентов заняты, то 20 % попыток вызовов получают отказ из-за занятости В (вызываемый абонент занят). Это явление можно объяснить тем фактом, что половина абонентов является пассивной (то есть не делает никаких попыток вызова и не получает никаких вызовов), тогда как 20 % остающихся абонентов заняты. G. Lind (1976 [73]) анализировал проблему исходя из предположений, что на каждого абонента в среднем приходится одно и то же число входящих и исходящих вызовов. Если средняя величина и коэффициент формы распределения абонента - $$b $$ и $$\varepsilon $$, соответственно, то вероятность, что вызов - это попытка пройти к занятому абоненту $$b \cdot \varepsilon $$.
Выше мы обсудили общую структуру точечных процессов. Для заданных приложений необходимо исследовать дальнейшие свойства. Ниже рассматривается только числовое представление, но мы могли сделать то же самое, базируясь на представлении с помощью интервала.
Это свойство может быть определено как независимость распределения вероятности, описывающего точечный процесс от позиции на оси времени (момента времени). Следующее определение полезно для практики.
Определение: Для произвольного $$t_2 > 0 $$ и каждого $$k \ge 0$$ вероятность поступления к заявок на отрезке $$[t_1, t_1 + t_2 [$$ не зависит от $$t_1 $$, то есть для всех $$t $$ и $$k $$ мы имеем:
$$p\{N_{t_1+t_2}-N_{t1}=k\}=p\{N_{t_1+t_2+t}-N_{t_1+t}=k\}.$$Есть много других определений стационарности - некоторые из них более строгие, другие более слабые.
Стационарность может также быть представлена с помощью интервала, если поставить требование, что все $$X_i $$ независимы и тождественно распределены (
Более слабое определение - это то, что все первые и вторые моменты второго (например, средняя величина и дисперсия) точечного процесса должны быть инвариантным относительно сдвига времени. Эрланг ввёл концепцию статистического равновесия, которое требует, чтобы производные процесса по времени были нулевыми.
Это свойство может быть выражено как требование, что будущая эволюция процесса зависит только от существующего состояния.
Определение: вероятность, что имеет место $$k $$ событий ( $$k $$ являются целым числом и $$\ge 0 $$ ), в промежутке $$[t_1, t_1 +t_2 [$$ не зависит от событий, которые были перед моментом $$t_1 $$
$$p\{N_{t2}-N_{t1}=k|N_{t1}-N_{t0}=n\}=p\{N_{t2}-N_{t1}=k\}$$Если это справедливо для любого t, то перед нами - марковский процесс: будущая эволюция зависит только от существующего состояния, но независима от того, как оно было получено. Это - отсутствие свойства памяти. Если это свойство справедливо только для некоторых точек (моментов времени), например, времени поступления заявки, то эти точки называются точками равновесия или точками регенерации. Процесс тогда имеет ограниченную память, и мы только должны записать последнюю точку регенерации.
Примеры точечного процесса с точками равновесия.
Мы уже упомянули (5.7), что исключаем процессы с поступлением в один момент нескольких вызовов.
Определение: точечный процесс называется простым (ординарным), если вероятность, что в данной точке существует больше чем одно событие, является нулевым:
$$p\{N_{t+\Delta t}-N_t \ge 2\}=o(\Delta t).$$В случае представления с помощью интервала распределение интервала поступления не должно иметь нулевой вероятности, то есть распределение в нулевой точке непрерывно (3.1):
$$F(0+)=0$$Моменты времени дорожных происшествий представляют простой процесс. Число поврежденных автомобилей или погибших людей - непростой точечный процесс с множественными событиями, когда заявки от многих объектов поступают одновременно.
Это единственный общий результат, который справедлив для всех систем организации очереди. Он был сначала издан Литлом (1961 [75] ). Ниже мы приводим доказательство, применяя теорию стохастического процесса в (Eilon, 1969 [24]).
Мы рассматриваем систему организации очереди, куда поступление заявок от клиентов соответствует стохастическому процессу. Клиенты входят в систему в случайный момент времени и ждут обслуживания. Когда они будут обслужены, они покинут систему. На рис.5.2 процессы и поступления и выхода из системы рассматриваются как стохастические процессы с накопленным числом клиентов (показанным на оси ординат).
Рассмотрим пространство времени $$Т $$ и предположим, что система в начальное время $$t=0 $$ находится в статистическом равновесии. Мы используем следующую систему обозначений (рис.5.2):
$$N(T)$$ - число поступления заявок в период $$Т $$ ;
$$А(Т) $$ - полные времена обслуживания всех клиентов в период Т = затененная область между кривыми = величина обслуженной нагрузки;
$$\lambda(T)=\frac{N(T)}{T}$$ - средняя интенсивность вызовов в период $$Т $$ ;
$$W(T)=\frac{A(T)}{N(T)}$$ - среднее время обслуживания одного вызова в период $$Т $$ ;
$$L(T)=\frac{A(T)}{T}$$ - среднее число вызовов в системе за период $$Т $$.
Выпишем важное соотношение между этими переменными:
$$L(T)=\frac{A(T)}{T}=\frac{W(T)*N(T)}{T}=\lambda(T)*W(T)$$Если существуют пределы $$\lambda = lim_{T \to \infty} \lambda (T)$$ и $$W=lim_{T \to \infty} W(T)$$, то также существует конечное значение $$L(T) $$, равное:
$$L=\lambda *W \mbox{(формулa Литтла)}$$Эта простая формула справедлива для любых систем организации очереди. Доказательство было получено и улучшалось в течение нескольких лет. Мы будем использовать эту формулу в Лекциях 12 -14.
(рис 5.2) Система организации очереди с поступлением в систему и выходом из системы клиентов. Вертикальное расстояние между двумя кривыми равно фактическому числу обслуживаемых клиентов. Строго говоря, клиенты не выходят из системы в том же порядке, как поступают в нее, так что горизонтальное расстояние между кривыми не описывает фактическое время пребывания клиента в системе.Если мы рассматриваем только места ожидания, то формула показывает, что средняя длина очереди равна интенсивности вызовов, умноженной на среднее время ожидания.
Если мы рассматриваем только обслуживающие приборы, формула показывает, что обслуженная нагрузка равна интенсивности поступления заявок, умноженной на среднее время обслуживания ( $$A=y*s=\frac{\lambda}{\mu}$$ )-
Это соответствует определению предложенной нагрузки в секции. 2.1.
У числового представления есть два свойства, которые представляют теоретический интерес.
Плотность поступлений вызова за время $$t $$ (математическое ожидание времени):
$$\lambda_t=N_t'$$Чтобы описывать свойства второго порядка для числового представления, мы используем индекс рассеяния для подсчетов - IDC
и индекс рассеяния для временных интервалов -
Стационарность характеризуется следующим свойством: для произвольного $$t_2 > 0 $$ и каждого $$k > 0 $$ вероятность поступления к заявок на отрезке $$[t_1; t_1 + t_2 ] $$ не зависит от $$t_1 ,$$ то есть для всего $$t $$ и $$k $$ мы имеем:
$$p\{N_{t_1+t_2} - N_{t_1} = k\} = p\{N_{t_1+t_2+t} - N_{t_1+t}= k\}$$.Для любых систем организации очереди среднее число вызовов в системе за период $$T $$ равно
$$L = \lambda * W\mbox{ (формула Литтла)}$$.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.