Фундаментальные свойства Пуассоновского процесса определены в секции 5.2:
а. стационарность;
б. независимость (отсутствие последействия) во все моменты времени (периоды), и
в. простота (ординарность).
(б) и (в) - фундаментальные свойства, тогда как (а) не является необходимым. Таким образом, можно допустить, что Пуассоновский процесс может иметь интенсивность, зависящую от времени поступления. Из этих свойств можно получить другие свойства, которые являются достаточными, чтобы определить Пуассоновский процесс. Два самых важных:
В этом случае, используя (4.8) и (4.10) равенство Феллера- Дженсена (5.4), можно показать фундаментальное отношение между кумулятивным (накопленным)
Эта формула может также быть получена повторным интегрированием по частям.
В этой секции мы поговорим о динамическом и физическом представлении Пуассоновского процесса (1928 [30] и Дженсен, 1954 [11] ). Дифференцирования основаны на простой физической модели и концентрируются на распределениях вероятности, связанных с Пуассоновским процессом.
Физическая модель получается следующим способом. События (поступление) помещены наугад на реальной оси времени независимо от всех других событий, т.е. мы помещаем события однородно и независимо на реальных осях времени.
Средняя плотность выбрана как $$\lambda$$ события (поступление) в единицу времени. Если рассматривать ось как ось времени, то в среднем мы будем иметь $$\lambda$$ поступлений в единицу времени.
Вероятность, что данное поступление заявки возникает в пределах временного интервала, не зависит от местоположения интервала на оси времени.
(рис 6.1) В Пуассоновском процессе мы рассматриваем поступление заявки в пределах двух не перекрывающихся временных интервалов продолжительностью $$t_1$$ и $$t_2$$ соответственно.
Пусть $$р(v, t) $$ обозначают вероятность, что $$v$$ событий возникают в пределах временного интервала продолжительностью $$t$$.
Математическая формулировка вышеупомянутой модели следующая.
Независимость (отсутствие последействия). Если $$t_1$$ ;и $$t_2$$ - два не перекрывающихся временных интервала (рис.6.1), мы предполагаем, что они независимы:
$$p(0, t_1) *p(0, t_2)=p(0, t_1+t_2)$$.Средняя величина временного интервала между двумя последовательными поступлениями заявок - $$\frac{1}{\lambda}$$ (3.4):
$$\int_0^{\infty}p(0,t)dt=\frac{1}{\lambda}, 0 < \frac{1}{\lambda} < \infty.$$Здесь $$р(0, t) $$ - вероятность, что в пределах временного интервала $$(0, t) $$ нет поступления заявок. Идентичная вероятность: время, пока произойдет первое событие первое событие, не больше, чем $$t$$ (дополнительное распределение). Средняя величина (6.3) получена непосредственно из (3.4). Формула (6.3) может также интерпретироваться как область под кривой $$р(0, t) $$ Это никогда не увеличивающаяся функция, уменьшающаяся от 1 до 0.
Отметим, что (6.2) подразумевает, что событие нет поступления заявок в пределах интервала длиной 0 существует и равно:
$$p(0,0)=1$$Отметим, что (6.3) подразумевает, что вероятность события нет никаких поступлений заявок в пределах интервала времени длиной $$\infty$$ является нулевым и никогда не имеет место
$$p(0, \infty)=0$$Следующий существенный шаг в развитии Пуассоновского распределения - получение вероятности $$р (0, t) $$, которая является вероятностью непоступления заявки в пределах временного интервала длины $$t$$, то есть вероятности, что первое поступление заявки произойдет позже, чем $$t$$. Мы покажем, что $$\{1 - р(0, t)\} $$ - экспоненциальное распределение (сравните с результатом секции 4.1).
Из (6.2) мы имеем:
$$ln \quad p(0,t_1)+ln \quad p(0,t_2)=ln \quad p(0, t_1+t_2).$$Обозначая $$ln \quad p(0, t) =f(t) $$, (6.6) может быть записано как:
$$f(t_1)+f(t_2)=f(t_1+t_2).$$Дифференцируя, например, по $$t_2 $$, мы имеем
$$f'(t_2)=f_{t_2}'(t_1+t_2).$$Заметим, что $$f_0 (t) $$ должна быть константой, и поэтому
$$f(t)=a+bt.$$Подставляя (6.8) в (6.7), мы получаем $$а = 0 $$. Тогда $$р(0, t) $$ имеет форму
$$p(0,t)=e^{bt}.$$Из (6.3) мы получаем $$b $$:
$$\frac{1}{\lambda}=\int_0^{\infty}p(0,t) dt=\int_0^{\infty}e^{bt}dt=-\frac 1b,$$или
$$b=-\lambda$$Таким образом, на основе пункта (1) и (2) выше мы показали, что:
$$p(0,t)=e^{-\lambda t}.$$Если мы рассматриваем $$р(0, t) $$ как вероятность того, что следующее событие наступает позже, чем за время $$t $$, тогда время до следующего прибытия является экспоненциально распределенным (секция. 4.1):
$$1-p(0,t)=F(t)=1-e^{-\lambda t}, \lambda > 0, t \ge 0,$$ $$F'(t)=f(t)=\lambda *e^{-\lambda t}, \lambda >0, t \ge 0.$$Мы имеем следующую среднюю величину и дисперсию (4.4):
$$m_1=\frac{1}{\lambda},\\ \sigma^2=\frac{1}{\lambda^2}.$$Вероятность, что следующее появление заявки в пределах интервала $$(t, t + dt) $$ может быть записана, как:
$$f(t)dt=\lambda e^{-\lambda t}dt\\ \quad=p(0,t) \lambda dt,$$то есть вероятность, что заявка поступит в пределах интервала $$(t, t+df) $$, равна $$\lambda dt $$, независимо om $$t$$ пропорционально $$dt $$ (3.17).
Поскольку $$\lambda $$ независима от величины ( возраста ) $$t $$, экспоненциальное распределение не имеет памяти (сравните секции 4.1 и 3.1.2). Процесс не имеет возраста.
Параметр $$\lambda $$ называется интенсивностью или скоростью экспоненциального распределения и соответствующего Пуассоновского процесса, и это соответствует интенсивности в (5.6). Экспоненциальное распределение - вообще очень хорошая модель для интервалов поступления вызовов, когда нагрузка генерируется автоматически, а не вручную (рис.6.2).
(рис 6.2) Распределение времени временного интервала вызовов на транзитной станции. Теоретические значения получены при условии экспоненциально распределенных времен интервалов. Согласно принципу измерения (метод сканирования) непрерывное экспоненциальное распределение преобразовано в
Из приведенного выше можно заметить, что время поступления точно $$k $$ событий определяется суммой $$k $$
Распределение этой суммы - распределение Эрланга k - ого порядка (секция 4.2), и плотность равна:
Для $$k=1$$ мы получаем экспоненциальное распределение. Распределение $$g_{k+1}(t), k > 0 $$, получено свертыванием $$g_{k(t)}(t) $$ и $$g_1(t) $$. Если мы принимаем, что выражение (6.14) правильно для $$g_k(t) $$, тогда получаем свертыванием:
$$g_{k+1}(t)=\int_0^t g_k(t-x)g_1(x)dx\\ \qquad=\int_0^t \lambda \frac{\{\lambda(t-x)\}^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda(t-x)}\lambda e^{-\lambda x}dt\\ =\frac{\lambda^{k+1}}{(k-1)!}e^{-\lambda t} \int_0^t(t-x)^{k-1}dx\\ \qquad =\lambda *\frac{(\lambda t)^k}{k!}*e^{-\lambda t}.$$Так как выражение справедливо при $$k=1 $$, согласно приведенной выше индукции мы имеем, что это справедливо для любого $$k $$.
Распределение Эрланга $$k $$ -ого порядка со статистической точки зрения - это специальное гамма-распределение.
Средняя величина и дисперсия получаются из (6.12):
$$m_1=\frac{k}{\lambda},\\ \sigma^2=\frac{k}{\lambda^2},\\ \varepsilon=1+\frac{1}{k}.$$Пусть вызовы поступают в систему с программным управлением, например, на программно управляемую телефонную станцию (
Покажем теперь, что число поступления заявок в интервал фиксированной длины $$t $$ имеет
Мы хотим получить $$p(i, t) $$ = вероятность $$i $$ -ого поступления заявки в пределах временного интервала t. Предположим, что:
$$p(i-1,t)=\frac{(\lambda t)^{i-1}}{(i-1)!}*e^{-\lambda t}, \lambda > 0, i=1,2, \dots.$$Это справедливо, для $$i=0 (6.9) $$. Интервал (0, t) разделен на три не перекрывающихся интервала: $$(0, t_1), (t_1, t_1+dt_1) $$ и $$(t_1+dt_1, t) $$. Из предположения о независимости мы знаем, что события в пределах интервала не зависят от событий в других интервалах, потому что интервалы - не перекрывающиеся. Выбирая $$t_1 $$ так, чтобы последнее поступление заявки в пределах $$(0, t) $$ появлялось в интервале $$(t_1, t_1+dt_1) $$, получим вероятность $$р (i, t) $$ объединением по всем возможным значениям t как произведение следующих трех вероятностей.
Вероятность, что $$(i - 1) $$ поступление произойдет в пределах временного интервала $$(0, t_1) $$:
$$p(i-1, t_1)=\frac{(\lambda t_1)^{i-1}}{(i-1)!}*e^{-\lambda t_1}, 0 \le t_1 \le t_1$$.Вероятность, что только одно поступление произойдет в пределах временного интервала от $$t_1 $$ до $$t_1 + dt_1 $$
$$\lambda dt_1 $$.Вероятность, что не произойдет поступление в пределах временного интервала от $$t_1 + dt_1 $$ до $$t $$
$$e^{-\lambda(t-t_1)}$$.Произведение первых двух вероятностей дает вероятность того, что $$i $$ -тая заявка поступит в момент $$t_1 + dt_1 ,$$ т.е. будет иметь место Эрланговское распределение из предыдущей секции.
Интегрируя, мы получаем
$$p(i,t)=\int_0^t \frac{(\lambda t_1)^{i-1}}{(i-1)!}e^{-\lambda t_1}\lambda dt_1e^{-\lambda(t-t_1)}\\ =\frac{\lambda^i}{(i-1)!}e^{\lambda t} \int_0^tt_1^{i-1}dt_1,\\ p(i,t)=\frac{(\lambda t)^i}{i!}*e^{-\lambda t}.$$Это - Пуасоновское распределение, которое мы, таким образом, получили из (6.9) индукцией. Средняя величина и дисперсия:
$$m_1=\lambda * t,$$ $$\sigma^2=\lambda *t.$$АЛОХА и сегментированная синхронная АЛОХА. В первом случае повторение передачи осуществляется в случайное время, во втором - в синхронные промежутки времени.
Рассмотрим цифровую спутниковую систему связи с постоянной длиной пакета $$h$$:
Спутник находится на геостационарной позиции приблизительно в 36.000 км выше уровня экватора, так что задержка распространения туда и обратно - приблизительно 280 мсек., а ось времени разделена на слоты фиксированной продолжительности, соответствующей длине пакета $$h$$.
$$p(i)=\frac{(\lambda h)^i}{i!}*e^{-\lambda h}.$$Это соответствует соотношению осей времени, которое используется эффективно. Эта функция, как показывает рис.6.4, имеет оптимум для $$\lambda h =1$$, так как производная по $$\lambda h$$ равна нулю.
(рис 6.3) Число вызовов в секунду для автоматического соединения с набором номера. Теоретические значения получены при условии Пуассоновского распределения. При статистических испытаниях принята гипотеза Пуассоновского распределения.Для этих условий:
$$p_{\lambda h}'(1)=e^{-\lambda h}*1- \lambda h),$$ $$Max\{p(1)\}=e^{-1}=-0.3679.$$Таким образом, имеем максимальное использование канала, равное 0.3679, когда в среднем мы передаем один временной слот на пакет. Подобный результат сохраняется, когда число терминалов ограничено, и число временных слотов на пакет распределено биноминально.
(рис 6.4) Обслуженная нагрузка в системе синхронной (сегментированной) АЛОХА имеет максимум (пример 6.2.2). С простым протоколом АЛОХА мы будем иметь дело в примере 7.2.1.
Как известно из статистики, Пуассоновские распределения могут также быть получены из биноминального процесса, если число испытаний $$п $$ (например, число бросков игральной кости), увеличивается до бесконечности. В то же самое время вероятность успеха в единственном испытании $$р$$ стремится к нулю, таким образом, чтобы среднее число успехов $$п \times р$$ было постоянным.
Этот подход является статическим и не подчеркивает фундаментальные свойства Пуассоновского процесса, который основан на
БИНОМИНАЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС Дискретное время Вероятность успеха: $$p, 0 < p < 1$$ |
ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС Непрерывное время Интенсивность успеха: $$\lambda, \lambda > 0$$ |
| Число попыток начиная с предыдущего успеха или начиная со случайной попытки получить успех | Интервал между двумя успехами или от случайной точки до следующего успеха |
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ $$p(n)=p*(1-p)^{n-1}, n=1,2,\dots\\ m_1=\frac 1p, \sigma^2=\farc{1-p}{p^2}$$ |
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ $$f(t)=\lambda *e^{-\lambda t}, t \ge 0,\\ m_1=\farc{1}{\lambda}, \sigma^2=\frac{1}{\lambda^2}$$ |
| Число попыток получить $$k$$ успехов | Временной интервал до $$k$$ ' того успеха |
ПАСКАЛЬ - ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ БИНОМИНАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛНИЕ $$p(n|k)=\begin{pmatrix}n-1\\k-1 \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k}, n \ge k\\ m_1=\frac kp, \sigma^2=\frac{k(1-p)}{p^2} $$ |
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛАНГА К-ПОРЯДКА $$f(t|k)=\frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!}*\lambda *e^{-\lambda t}, t \ge 0,\\ m_1=\frac{k}{\lambda}, \sigma^2=\frac{k}{\lambda^2}$$ |
| Число успехов в $$n $$ попытках | Число успехов во временном интервале $$t $$ |
ПУАССОНОВСКОЕ РАСПРЕДЕДЕНИЕ $$f(x|t)=\frac{(\lambda t)^x}{x!}*e^{-\lambda t}, t \ge 0\\ m_1= \lambda t, \sigma^2=\lambda t$$ |
Экспоненциальное распределение - единственное непрерывное распределение с отсутствием памяти, и геометрическое распределение - единственное дискретное распределение с отсутствием памяти. Например, следующий результат броска игральной кости не зависит от предыдущего результата. Распределения этих двух процессов показано в Таблице 6.1.
В этой секции мы покажем некоторые фундаментальные свойства Пуассоновского процесса. При рассмотрении физической модели в секции 6.2 мы видели, что Пуассоновский процесс - самый случайный точечный процесс, который может быть найден ( процесс с максимальным беспорядком ). Это дает возможности хорошо описать физические процессы и много различных факторов всего процесса.
Фундаментальные свойства Пуассоновского процесса среди всех других точечных процессов были сначала рассмотрены шведом К. Пальмом. Он показал, что экспоненциальные распределения играют для стохастических точечных процессов ту же самую роль (например, распределение времени интервала), где точечные процессы представлены суперпозицией, как это делается при нормальном распределении, когда стохастические переменные складываются (центральная предельная теорема).
(рис 6.5) В результате суперпозиции п точечных процессов получается процесс, который при некоторых предположениях является локальным Пуассоновским.Теорема 6.1. Пальм: суперпозиция многих независимых точечных процессов дает в результате полный локальный Пуассоновский процесс.
Термин "локальный" означает, что мы рассматриваем временные интервалы, которые настолько малы, что каждый процесс в течение этого интервала вносит вклад не более чем в одно событие. Это - естественное требование, так как ни один процесс не может доминировать над полным процессом (подобные условия приняты для центральной предельной теоремы). Теорема справедлива только для простых точечных процессов. Если мы рассматриваем случайный момент времени в некотором процессе, то время до следующего прибытия можно определить с помощью (3.23).
Мы собираем $$n$$ процессов в один полный процесс. Выбирая соответствующий шаг времени между поступлением заявок, можно получить из $$n$$ независимых процессов полный процесс. Время от случайной точки времени до следующего события в полном процессе тогда определяется (3.23).
Если все подпроцессы идентичны, мы получаем:
$$p\{T \le t\}=1- \left \{1-V\left(\frac tn \right) \right \}^n.$$Из (3.23) и (5.18) мы находим (разрешение $$\mu =1$$ ):
$$lim_{\Delta t \to 0} v(\Delta t) = 1,$$И, таким образом:
$$V(\Delta t)\int_0^{\Delta t}1dt=\Delta t.$$Увеличивая число подпроцессов до бесконечности, мы получаем из (6.24),
$$p\{T \le t\}=lim_{n \to \infty}\left \{1-\left(1-\frac tn\right)^n \right \}\\ \qquad =1-e^{-t}.$$что является экспоненциальным распределением. Мы, таким образом, показали, что суперпозицией идентичных процессов получаем локальный Пуассоновский процесс. Подобным способом мы можем сложить неидентичные процессы и получить локальный Пуассоновский процесс.
Маршрут в сети состоит из множества линий связи, соединяющих конечные точки маршрута (Лекция 11). Для данного случая соединения в сети существуют на ограниченный период времени. Время "жизни" маршрута - это время, пока не будет разъединена одна из линий. Из теоремы Пальма мы видим, что время "жизни" маршрута имеет тенденцию быть экспоненциально распределенным.
Эта теорема - теорема разложения, она относится к случаю, когда мы случайным образом разбиваем точечный процесс на подпроцессы. Если число интеравлов времени $$п $$ меньше числа событий в подпроцессе то, естественно, уменьшить оси времени с коэффициентом $$п $$.
Теорема 6.2. Теорема Райкова: При случайном разложении точечного процесса на подпроцессы, каждый отдельный подпроцесс сходится к Пуассоновскому процессу, если вероятность, что событие принадлежит подпроцессу, стремится к нулю.
Также отмечается следующий общий результат. Если мы генерируем подпроцесс случайным разбиением точечного процесса, выбирая событие с вероятностью $$р $$, то подпроцесс имеет коэффициент формы
$$\varepsilon = 2+p*(\varepsilon -2)$$где е является коэффициентом формы первоначального процесса.
В дополнении к объединению или разъединению, мы можем с точечным процессом сделать другие операции, а именно перенос (смещение) отдельных событий. Если этот перенос для каждого события - случайная переменная, независимая от всех других событий, произвольный точечный процесс будет сходиться к Пуассоновскому процессу.
Что касается появления точечных процессов в реальной жизни, мы согласно перечисленному выше можем ожидать что, когда события подчиняются достаточно большому числу независимых условий, они - Пуассоновские процессы. Вот почему Пуассоновский процесс - это, например, хорошее описание процессов поступления вызовов к местной станции от всех местных абонентов.
Как пример ограничений в теореме Пальма (Теорема 6.1) можно показать , что суперпозиция двух независимых процессов является Пуассоновским процессом, только когда оба подпроцесса - Пуассоновские процессы.
В секции 6.2 мы видели, что однородное распределение в очень большом интервале соответствует Пуассоновскому процессу. Обратное свойство также правильно.
Теорема 6.3. Если для Пуассоновского процесса мы имеем п поступлений заявок в пределах интервала продолжительностью $$t $$, тогда эти поступления, однородно распределены в пределах этого интервала.
Длина этого интервала может быть самостоятельной случайной переменной, если она подчиняется независимому Пуассоновскому процессу. Это, например, имеет место при измерении трафика с переменным интервалом измерения (Лекция 15). Можно показать верность утверждения и для Пуассоновского распределения (числовое представление), и для экспоненциального распределения (представление интервала).
Пуассоновский процесс был обобщен многими способами. В этой секции мы рассматриваем только прерывистый Пуассоновский процесс и дальнейшие обобщения: MMPP (Markov Modulated Poisson Processes - марковские процессы, модулируемые Пуассоновскими процессами) и MAP (Markov Arrival Processes - марковские Процессы поступления вызовов).
Из-за отсутствия памяти Пуассоновский процесс очень прост в применении. В некоторых случаях, однако, Пуассоновский процесс не достаточен, чтобы описать реальный процесс поступления вызовов, так как имеется только один параметр. Качура (Kuczura 1973 [70]) предложил обобщение, которое широко использовалось в дальнейшем.
Идея обобщения вытекает из проблемы перегрузки (рис.6.6 и секция 9.2). Вызовы от клиентов, работающих с системой, будут сначала поступать на обслуживание первичной системой с ограниченной емкостью (только $$п $$ серверов). Если первичная система занята, то поступления вызовов будут обслуживаться системой перегрузки. Поступления вызовов направляют к системе перегрузки только тогда, когда первичная система занята.
В течение периодов занятости клиенты поступают в систему перегрузки согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda$$.
(рис 6.6) Перегруженная система с Пуассоновским потоком вызовов. Обычно вызовы прибывают в первичную группу линий. В течение периодов, когда все n магистралей в первичной группе линий заняты, все вызовы предлагаются группе линий перегрузки.В течение периодов свободности ни один вызов не прибывает в систему перегрузки, то есть интенсивность прибытия является нулевой. Таким образом, мы можем рассматривать процесс поступления вызовов в систему перегрузки как Пуассоновский процесс, который либо Включен ( ОN ), либо Выключен ( 0FF ) (рис. 6.7). Как упрощенную модель, чтобы описать эти интервалы ON (OFF), Качура использовал экспоненциально распределенные временные интервалы с интенсивностью $$\gamma(\omega)$$. Он показал, что межинтервальные времена прибытия к линии связи перегрузки соответствуют гиперэкспоненте.
(рис 6.7) Иллюстрация прерывистого Пуассоновского процесса (IPP) (сравните Рис. 6.6). Позиция коммутатора управляется марковским процессом с двумя состояниями.Они могут быть проиллюстрированы фазовой диаграммой (рис. 6.8). Можно показать, что параметры связаны следующим образом:
$$\lambda=p\lambda_1+(1-p)\lambda_2,\\ \lambda* \omega=\lambda_1 * \lambda_2,\\ \lambda + \gamma + \omega= \lambda_1 + \lambda_2.$$
(рис 6.8) Прерывистый Пуассоновский процесс эквивалентен гиперэкспоненциальному процессу поступления вызовов (6.28)Поскольку гиперэкспоненциальное распределение с двумя фазами может быть преобразовано в распределения Кокса 2 (секция. 4.4.2), IРР -процесс поступления вызовов есть процесс поступления вызовов Кокса 2, как показано на рис.4.10. Мы имеем три параметра, тогда как Пуассоновский процесс имеет только один параметр. Это делает его более гибким для моделирования различных эмпирических данных.
Вероятность $$i $$ -ого поступления заявки в пределах временного интервала $$tp(i, t) $$
$$p(i,t)=\frac{(\lambda t)^i}{i!}*e^{-\lambda t}$$Фундаментальные свойства Пуассоновского процесса определены в секции 5.2:
а. стационарность;
б. независимость (отсутствие последействия) во все моменты времени (периоды), и
в. простота (ординарность).
(б) и (в) - фундаментальные свойства, тогда как (а) не является необходимым. Таким образом, можно допустить, что Пуассоновский процесс может иметь интенсивность, зависящую от времени поступления. Из этих свойств можно получить другие свойства, которые являются достаточными, чтобы определить Пуассоновский процесс. Два самых важных:
В этом случае, используя (4.8) и (4.10) равенство Феллера- Дженсена (5.4), можно показать фундаментальное отношение между кумулятивным (накопленным)
Эта формула может также быть получена повторным интегрированием по частям.
В этой секции мы поговорим о динамическом и физическом представлении Пуассоновского процесса (1928 [30] и Дженсен, 1954 [11] ). Дифференцирования основаны на простой физической модели и концентрируются на распределениях вероятности, связанных с Пуассоновским процессом.
Физическая модель получается следующим способом. События (поступление) помещены наугад на реальной оси времени независимо от всех других событий, т.е. мы помещаем события однородно и независимо на реальных осях времени.
Средняя плотность выбрана как $$\lambda$$ события (поступление) в единицу времени. Если рассматривать ось как ось времени, то в среднем мы будем иметь $$\lambda$$ поступлений в единицу времени.
Вероятность, что данное поступление заявки возникает в пределах временного интервала, не зависит от местоположения интервала на оси времени.
(рис 6.1) В Пуассоновском процессе мы рассматриваем поступление заявки в пределах двух не перекрывающихся временных интервалов продолжительностью $$t_1$$ и $$t_2$$ соответственно.
Пусть $$р(v, t) $$ обозначают вероятность, что $$v$$ событий возникают в пределах временного интервала продолжительностью $$t$$.
Математическая формулировка вышеупомянутой модели следующая.
Независимость (отсутствие последействия). Если $$t_1$$ ;и $$t_2$$ - два не перекрывающихся временных интервала (рис.6.1), мы предполагаем, что они независимы:
$$p(0, t_1) *p(0, t_2)=p(0, t_1+t_2)$$.Средняя величина временного интервала между двумя последовательными поступлениями заявок - $$\frac{1}{\lambda}$$ (3.4):
$$\int_0^{\infty}p(0,t)dt=\frac{1}{\lambda}, 0 < \frac{1}{\lambda} < \infty.$$Здесь $$р(0, t) $$ - вероятность, что в пределах временного интервала $$(0, t) $$ нет поступления заявок. Идентичная вероятность: время, пока произойдет первое событие первое событие, не больше, чем $$t$$ (дополнительное распределение). Средняя величина (6.3) получена непосредственно из (3.4). Формула (6.3) может также интерпретироваться как область под кривой $$р(0, t) $$ Это никогда не увеличивающаяся функция, уменьшающаяся от 1 до 0.
Отметим, что (6.2) подразумевает, что событие нет поступления заявок в пределах интервала длиной 0 существует и равно:
$$p(0,0)=1$$Отметим, что (6.3) подразумевает, что вероятность события нет никаких поступлений заявок в пределах интервала времени длиной $$\infty$$ является нулевым и никогда не имеет место
$$p(0, \infty)=0$$Следующий существенный шаг в развитии Пуассоновского распределения - получение вероятности $$р (0, t) $$, которая является вероятностью непоступления заявки в пределах временного интервала длины $$t$$, то есть вероятности, что первое поступление заявки произойдет позже, чем $$t$$. Мы покажем, что $$\{1 - р(0, t)\} $$ - экспоненциальное распределение (сравните с результатом секции 4.1).
Из (6.2) мы имеем:
$$ln \quad p(0,t_1)+ln \quad p(0,t_2)=ln \quad p(0, t_1+t_2).$$Обозначая $$ln \quad p(0, t) =f(t) $$, (6.6) может быть записано как:
$$f(t_1)+f(t_2)=f(t_1+t_2).$$Дифференцируя, например, по $$t_2 $$, мы имеем
$$f'(t_2)=f_{t_2}'(t_1+t_2).$$Заметим, что $$f_0 (t) $$ должна быть константой, и поэтому
$$f(t)=a+bt.$$Подставляя (6.8) в (6.7), мы получаем $$а = 0 $$. Тогда $$р(0, t) $$ имеет форму
$$p(0,t)=e^{bt}.$$Из (6.3) мы получаем $$b $$:
$$\frac{1}{\lambda}=\int_0^{\infty}p(0,t) dt=\int_0^{\infty}e^{bt}dt=-\frac 1b,$$или
$$b=-\lambda$$Таким образом, на основе пункта (1) и (2) выше мы показали, что:
$$p(0,t)=e^{-\lambda t}.$$Если мы рассматриваем $$р(0, t) $$ как вероятность того, что следующее событие наступает позже, чем за время $$t $$, тогда время до следующего прибытия является экспоненциально распределенным (секция. 4.1):
$$1-p(0,t)=F(t)=1-e^{-\lambda t}, \lambda > 0, t \ge 0,$$ $$F'(t)=f(t)=\lambda *e^{-\lambda t}, \lambda >0, t \ge 0.$$Мы имеем следующую среднюю величину и дисперсию (4.4):
$$m_1=\frac{1}{\lambda},\\ \sigma^2=\frac{1}{\lambda^2}.$$Вероятность, что следующее появление заявки в пределах интервала $$(t, t + dt) $$ может быть записана, как:
$$f(t)dt=\lambda e^{-\lambda t}dt\\ \quad=p(0,t) \lambda dt,$$то есть вероятность, что заявка поступит в пределах интервала $$(t, t+df) $$, равна $$\lambda dt $$, независимо om $$t$$ пропорционально $$dt $$ (3.17).
Поскольку $$\lambda $$ независима от величины ( возраста ) $$t $$, экспоненциальное распределение не имеет памяти (сравните секции 4.1 и 3.1.2). Процесс не имеет возраста.
Параметр $$\lambda $$ называется интенсивностью или скоростью экспоненциального распределения и соответствующего Пуассоновского процесса, и это соответствует интенсивности в (5.6). Экспоненциальное распределение - вообще очень хорошая модель для интервалов поступления вызовов, когда нагрузка генерируется автоматически, а не вручную (рис.6.2).
(рис 6.2) Распределение времени временного интервала вызовов на транзитной станции. Теоретические значения получены при условии экспоненциально распределенных времен интервалов. Согласно принципу измерения (метод сканирования) непрерывное экспоненциальное распределение преобразовано в
Из приведенного выше можно заметить, что время поступления точно $$k $$ событий определяется суммой $$k $$
Распределение этой суммы - распределение Эрланга k - ого порядка (секция 4.2), и плотность равна:
Для $$k=1$$ мы получаем экспоненциальное распределение. Распределение $$g_{k+1}(t), k > 0 $$, получено свертыванием $$g_{k(t)}(t) $$ и $$g_1(t) $$. Если мы принимаем, что выражение (6.14) правильно для $$g_k(t) $$, тогда получаем свертыванием:
$$g_{k+1}(t)=\int_0^t g_k(t-x)g_1(x)dx\\ \qquad=\int_0^t \lambda \frac{\{\lambda(t-x)\}^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda(t-x)}\lambda e^{-\lambda x}dt\\ =\frac{\lambda^{k+1}}{(k-1)!}e^{-\lambda t} \int_0^t(t-x)^{k-1}dx\\ \qquad =\lambda *\frac{(\lambda t)^k}{k!}*e^{-\lambda t}.$$Так как выражение справедливо при $$k=1 $$, согласно приведенной выше индукции мы имеем, что это справедливо для любого $$k $$.
Распределение Эрланга $$k $$ -ого порядка со статистической точки зрения - это специальное гамма-распределение.
Средняя величина и дисперсия получаются из (6.12):
$$m_1=\frac{k}{\lambda},\\ \sigma^2=\frac{k}{\lambda^2},\\ \varepsilon=1+\frac{1}{k}.$$Пусть вызовы поступают в систему с программным управлением, например, на программно управляемую телефонную станцию (
Покажем теперь, что число поступления заявок в интервал фиксированной длины $$t $$ имеет
Мы хотим получить $$p(i, t) $$ = вероятность $$i $$ -ого поступления заявки в пределах временного интервала t. Предположим, что:
$$p(i-1,t)=\frac{(\lambda t)^{i-1}}{(i-1)!}*e^{-\lambda t}, \lambda > 0, i=1,2, \dots.$$Это справедливо, для $$i=0 (6.9) $$. Интервал (0, t) разделен на три не перекрывающихся интервала: $$(0, t_1), (t_1, t_1+dt_1) $$ и $$(t_1+dt_1, t) $$. Из предположения о независимости мы знаем, что события в пределах интервала не зависят от событий в других интервалах, потому что интервалы - не перекрывающиеся. Выбирая $$t_1 $$ так, чтобы последнее поступление заявки в пределах $$(0, t) $$ появлялось в интервале $$(t_1, t_1+dt_1) $$, получим вероятность $$р (i, t) $$ объединением по всем возможным значениям t как произведение следующих трех вероятностей.
Вероятность, что $$(i - 1) $$ поступление произойдет в пределах временного интервала $$(0, t_1) $$:
$$p(i-1, t_1)=\frac{(\lambda t_1)^{i-1}}{(i-1)!}*e^{-\lambda t_1}, 0 \le t_1 \le t_1$$.Вероятность, что только одно поступление произойдет в пределах временного интервала от $$t_1 $$ до $$t_1 + dt_1 $$
$$\lambda dt_1 $$.Вероятность, что не произойдет поступление в пределах временного интервала от $$t_1 + dt_1 $$ до $$t $$
$$e^{-\lambda(t-t_1)}$$.Произведение первых двух вероятностей дает вероятность того, что $$i $$ -тая заявка поступит в момент $$t_1 + dt_1 ,$$ т.е. будет иметь место Эрланговское распределение из предыдущей секции.
Интегрируя, мы получаем
$$p(i,t)=\int_0^t \frac{(\lambda t_1)^{i-1}}{(i-1)!}e^{-\lambda t_1}\lambda dt_1e^{-\lambda(t-t_1)}\\ =\frac{\lambda^i}{(i-1)!}e^{\lambda t} \int_0^tt_1^{i-1}dt_1,\\ p(i,t)=\frac{(\lambda t)^i}{i!}*e^{-\lambda t}.$$Это - Пуасоновское распределение, которое мы, таким образом, получили из (6.9) индукцией. Средняя величина и дисперсия:
$$m_1=\lambda * t,$$ $$\sigma^2=\lambda *t.$$АЛОХА и сегментированная синхронная АЛОХА. В первом случае повторение передачи осуществляется в случайное время, во втором - в синхронные промежутки времени.
Рассмотрим цифровую спутниковую систему связи с постоянной длиной пакета $$h$$:
Спутник находится на геостационарной позиции приблизительно в 36.000 км выше уровня экватора, так что задержка распространения туда и обратно - приблизительно 280 мсек., а ось времени разделена на слоты фиксированной продолжительности, соответствующей длине пакета $$h$$.
$$p(i)=\frac{(\lambda h)^i}{i!}*e^{-\lambda h}.$$Это соответствует соотношению осей времени, которое используется эффективно. Эта функция, как показывает рис.6.4, имеет оптимум для $$\lambda h =1$$, так как производная по $$\lambda h$$ равна нулю.
(рис 6.3) Число вызовов в секунду для автоматического соединения с набором номера. Теоретические значения получены при условии Пуассоновского распределения. При статистических испытаниях принята гипотеза Пуассоновского распределения.Для этих условий:
$$p_{\lambda h}'(1)=e^{-\lambda h}*1- \lambda h),$$ $$Max\{p(1)\}=e^{-1}=-0.3679.$$Таким образом, имеем максимальное использование канала, равное 0.3679, когда в среднем мы передаем один временной слот на пакет. Подобный результат сохраняется, когда число терминалов ограничено, и число временных слотов на пакет распределено биноминально.
(рис 6.4) Обслуженная нагрузка в системе синхронной (сегментированной) АЛОХА имеет максимум (пример 6.2.2). С простым протоколом АЛОХА мы будем иметь дело в примере 7.2.1.
Как известно из статистики, Пуассоновские распределения могут также быть получены из биноминального процесса, если число испытаний $$п $$ (например, число бросков игральной кости), увеличивается до бесконечности. В то же самое время вероятность успеха в единственном испытании $$р$$ стремится к нулю, таким образом, чтобы среднее число успехов $$п \times р$$ было постоянным.
Этот подход является статическим и не подчеркивает фундаментальные свойства Пуассоновского процесса, который основан на
БИНОМИНАЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС Дискретное время Вероятность успеха: $$p, 0 < p < 1$$ |
ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС Непрерывное время Интенсивность успеха: $$\lambda, \lambda > 0$$ |
| Число попыток начиная с предыдущего успеха или начиная со случайной попытки получить успех | Интервал между двумя успехами или от случайной точки до следующего успеха |
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ $$p(n)=p*(1-p)^{n-1}, n=1,2,\dots\\ m_1=\frac 1p, \sigma^2=\farc{1-p}{p^2}$$ |
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ $$f(t)=\lambda *e^{-\lambda t}, t \ge 0,\\ m_1=\farc{1}{\lambda}, \sigma^2=\frac{1}{\lambda^2}$$ |
| Число попыток получить $$k$$ успехов | Временной интервал до $$k$$ ' того успеха |
ПАСКАЛЬ - ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ БИНОМИНАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛНИЕ $$p(n|k)=\begin{pmatrix}n-1\\k-1 \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k}, n \ge k\\ m_1=\frac kp, \sigma^2=\frac{k(1-p)}{p^2} $$ |
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛАНГА К-ПОРЯДКА $$f(t|k)=\frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!}*\lambda *e^{-\lambda t}, t \ge 0,\\ m_1=\frac{k}{\lambda}, \sigma^2=\frac{k}{\lambda^2}$$ |
| Число успехов в $$n $$ попытках | Число успехов во временном интервале $$t $$ |
ПУАССОНОВСКОЕ РАСПРЕДЕДЕНИЕ $$f(x|t)=\frac{(\lambda t)^x}{x!}*e^{-\lambda t}, t \ge 0\\ m_1= \lambda t, \sigma^2=\lambda t$$ |
Экспоненциальное распределение - единственное непрерывное распределение с отсутствием памяти, и геометрическое распределение - единственное дискретное распределение с отсутствием памяти. Например, следующий результат броска игральной кости не зависит от предыдущего результата. Распределения этих двух процессов показано в Таблице 6.1.
В этой секции мы покажем некоторые фундаментальные свойства Пуассоновского процесса. При рассмотрении физической модели в секции 6.2 мы видели, что Пуассоновский процесс - самый случайный точечный процесс, который может быть найден ( процесс с максимальным беспорядком ). Это дает возможности хорошо описать физические процессы и много различных факторов всего процесса.
Фундаментальные свойства Пуассоновского процесса среди всех других точечных процессов были сначала рассмотрены шведом К. Пальмом. Он показал, что экспоненциальные распределения играют для стохастических точечных процессов ту же самую роль (например, распределение времени интервала), где точечные процессы представлены суперпозицией, как это делается при нормальном распределении, когда стохастические переменные складываются (центральная предельная теорема).
(рис 6.5) В результате суперпозиции п точечных процессов получается процесс, который при некоторых предположениях является локальным Пуассоновским.Теорема 6.1. Пальм: суперпозиция многих независимых точечных процессов дает в результате полный локальный Пуассоновский процесс.
Термин "локальный" означает, что мы рассматриваем временные интервалы, которые настолько малы, что каждый процесс в течение этого интервала вносит вклад не более чем в одно событие. Это - естественное требование, так как ни один процесс не может доминировать над полным процессом (подобные условия приняты для центральной предельной теоремы). Теорема справедлива только для простых точечных процессов. Если мы рассматриваем случайный момент времени в некотором процессе, то время до следующего прибытия можно определить с помощью (3.23).
Мы собираем $$n$$ процессов в один полный процесс. Выбирая соответствующий шаг времени между поступлением заявок, можно получить из $$n$$ независимых процессов полный процесс. Время от случайной точки времени до следующего события в полном процессе тогда определяется (3.23).
Если все подпроцессы идентичны, мы получаем:
$$p\{T \le t\}=1- \left \{1-V\left(\frac tn \right) \right \}^n.$$Из (3.23) и (5.18) мы находим (разрешение $$\mu =1$$ ):
$$lim_{\Delta t \to 0} v(\Delta t) = 1,$$И, таким образом:
$$V(\Delta t)\int_0^{\Delta t}1dt=\Delta t.$$Увеличивая число подпроцессов до бесконечности, мы получаем из (6.24),
$$p\{T \le t\}=lim_{n \to \infty}\left \{1-\left(1-\frac tn\right)^n \right \}\\ \qquad =1-e^{-t}.$$что является экспоненциальным распределением. Мы, таким образом, показали, что суперпозицией идентичных процессов получаем локальный Пуассоновский процесс. Подобным способом мы можем сложить неидентичные процессы и получить локальный Пуассоновский процесс.
Маршрут в сети состоит из множества линий связи, соединяющих конечные точки маршрута (Лекция 11). Для данного случая соединения в сети существуют на ограниченный период времени. Время "жизни" маршрута - это время, пока не будет разъединена одна из линий. Из теоремы Пальма мы видим, что время "жизни" маршрута имеет тенденцию быть экспоненциально распределенным.
Эта теорема - теорема разложения, она относится к случаю, когда мы случайным образом разбиваем точечный процесс на подпроцессы. Если число интеравлов времени $$п $$ меньше числа событий в подпроцессе то, естественно, уменьшить оси времени с коэффициентом $$п $$.
Теорема 6.2. Теорема Райкова: При случайном разложении точечного процесса на подпроцессы, каждый отдельный подпроцесс сходится к Пуассоновскому процессу, если вероятность, что событие принадлежит подпроцессу, стремится к нулю.
Также отмечается следующий общий результат. Если мы генерируем подпроцесс случайным разбиением точечного процесса, выбирая событие с вероятностью $$р $$, то подпроцесс имеет коэффициент формы
$$\varepsilon = 2+p*(\varepsilon -2)$$где е является коэффициентом формы первоначального процесса.
В дополнении к объединению или разъединению, мы можем с точечным процессом сделать другие операции, а именно перенос (смещение) отдельных событий. Если этот перенос для каждого события - случайная переменная, независимая от всех других событий, произвольный точечный процесс будет сходиться к Пуассоновскому процессу.
Что касается появления точечных процессов в реальной жизни, мы согласно перечисленному выше можем ожидать что, когда события подчиняются достаточно большому числу независимых условий, они - Пуассоновские процессы. Вот почему Пуассоновский процесс - это, например, хорошее описание процессов поступления вызовов к местной станции от всех местных абонентов.
Как пример ограничений в теореме Пальма (Теорема 6.1) можно показать , что суперпозиция двух независимых процессов является Пуассоновским процессом, только когда оба подпроцесса - Пуассоновские процессы.
В секции 6.2 мы видели, что однородное распределение в очень большом интервале соответствует Пуассоновскому процессу. Обратное свойство также правильно.
Теорема 6.3. Если для Пуассоновского процесса мы имеем п поступлений заявок в пределах интервала продолжительностью $$t $$, тогда эти поступления, однородно распределены в пределах этого интервала.
Длина этого интервала может быть самостоятельной случайной переменной, если она подчиняется независимому Пуассоновскому процессу. Это, например, имеет место при измерении трафика с переменным интервалом измерения (Лекция 15). Можно показать верность утверждения и для Пуассоновского распределения (числовое представление), и для экспоненциального распределения (представление интервала).
Пуассоновский процесс был обобщен многими способами. В этой секции мы рассматриваем только прерывистый Пуассоновский процесс и дальнейшие обобщения: MMPP (Markov Modulated Poisson Processes - марковские процессы, модулируемые Пуассоновскими процессами) и MAP (Markov Arrival Processes - марковские Процессы поступления вызовов).
Из-за отсутствия памяти Пуассоновский процесс очень прост в применении. В некоторых случаях, однако, Пуассоновский процесс не достаточен, чтобы описать реальный процесс поступления вызовов, так как имеется только один параметр. Качура (Kuczura 1973 [70]) предложил обобщение, которое широко использовалось в дальнейшем.
Идея обобщения вытекает из проблемы перегрузки (рис.6.6 и секция 9.2). Вызовы от клиентов, работающих с системой, будут сначала поступать на обслуживание первичной системой с ограниченной емкостью (только $$п $$ серверов). Если первичная система занята, то поступления вызовов будут обслуживаться системой перегрузки. Поступления вызовов направляют к системе перегрузки только тогда, когда первичная система занята.
В течение периодов занятости клиенты поступают в систему перегрузки согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda$$.
(рис 6.6) Перегруженная система с Пуассоновским потоком вызовов. Обычно вызовы прибывают в первичную группу линий. В течение периодов, когда все n магистралей в первичной группе линий заняты, все вызовы предлагаются группе линий перегрузки.В течение периодов свободности ни один вызов не прибывает в систему перегрузки, то есть интенсивность прибытия является нулевой. Таким образом, мы можем рассматривать процесс поступления вызовов в систему перегрузки как Пуассоновский процесс, который либо Включен ( ОN ), либо Выключен ( 0FF ) (рис. 6.7). Как упрощенную модель, чтобы описать эти интервалы ON (OFF), Качура использовал экспоненциально распределенные временные интервалы с интенсивностью $$\gamma(\omega)$$. Он показал, что межинтервальные времена прибытия к линии связи перегрузки соответствуют гиперэкспоненте.
(рис 6.7) Иллюстрация прерывистого Пуассоновского процесса (IPP) (сравните Рис. 6.6). Позиция коммутатора управляется марковским процессом с двумя состояниями.Они могут быть проиллюстрированы фазовой диаграммой (рис. 6.8). Можно показать, что параметры связаны следующим образом:
$$\lambda=p\lambda_1+(1-p)\lambda_2,\\ \lambda* \omega=\lambda_1 * \lambda_2,\\ \lambda + \gamma + \omega= \lambda_1 + \lambda_2.$$(рис 6.8) Прерывистый Пуассоновский процесс эквивалентен гиперэкспоненциальному процессу поступления вызовов (6.28)Поскольку гиперэкспоненциальное распределение с двумя фазами может быть преобразовано в распределения Кокса 2 (секция. 4.4.2), IРР -процесс поступления вызовов есть процесс поступления вызовов Кокса 2, как показано на рис.4.10. Мы имеем три параметра, тогда как Пуассоновский процесс имеет только один параметр. Это делает его более гибким для моделирования различных эмпирических данных.
Вероятность $$i $$ -ого поступления заявки в пределах временного интервала $$tp(i, t) $$
$$p(i,t)=\frac{(\lambda t)^i}{i!}*e^{-\lambda t}$$
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.