Временной интервал может быть описан случайной переменной Т, которая может быть охарактеризована функцией распределения F(t):
В (3.1) мы интегрируем от 0, чтобы устранить возможную неоднозначность при $$t= 0$$. При рассмотрении
Вероятность того, что продолжительность временного интервала Т меньше или равна t
Иногда проще рассматривать дополнение функции распределения:
$$F^c(t) = 1 - F(t).$$Ее также называют функцией распределения долговечности. Мы часто предполагаем, что $$F(t)$$ является дифференцируемой и что существует следующая функция плотности $$f(t)$$:
$$dF(t)=f(t)*dt=p\{t < T \le t + dt\}, t \ge 0.$$Обычно мы принимаем, что время обслуживания является независимым от времени момента поступления вызова, и от времени обслуживания других вызовов. Аналитически, для любого распределения времени могут быть проведены множество вычислений. Вообще, мы всегда принимаем, что существует средняя величина времени обслуживания.
Распределения времени, которые принимают только положительные значения, обладают некоторыми выгодными свойствами.
Для i-того нецентрального момента (см. Глоссарий), который мы обычно называем i -й момент, они могут быть показаны с помощью тождества Пальма:
Тождество Пальма (3.3), которое справедливо для распределений времени "жизни" (определенно только для неотрицательных величин), было сначала доказано Пальма (1943, [79]) следующим образом.
$$\int_{t=0}^{\infty}it^{i-1}\{1-F(t)\}dt=\int_{t=0}^{\infty}it^{i-1}\{\int_{x=t}^{\infty}f(x)dx\}dt\\ \qquad \qquad \qquad \qquad=\int_{t=0}^{\infty}\int_{x=t}^{\infty}it^{i-1}f(x)dxdt\\ \qquad \qquad \qquad \qquad=\int_{t=0}^{\infty}\int_{x=t}^{\infty}dt^if(x)dx\\ \qquad \qquad \qquad \qquad=\int_{x=0}^{\infty}\int_{t=0}^{x}dt^if(x)dx\\ \qquad \qquad \qquad \qquad=\int_{t=0}^{x}x^if(x)dx\\ \qquad \qquad \qquad \qquad=m_i$$Порядок интегрирования может быть изменен, потому что подынтегральное выражение неотрицательно. Таким образом, мы доказали (3.3). Следующее упрощенное доказательство справедливо в предположении, что моменты существуют:
$$m_i=\int_{t=0}^{\infty}t^if(t)dt\\ \quad=-\int_{t=0}^{\infty}t^id\{1-F(t)\}\\ \quad=-t^i\{1-F(t)\}|_{0}^{\infty}+ \int_{t=0}^{\infty}\{1-F(t)\}dt^i\\ \quad=\int_{t=0}^{\infty}i*t^{i-1}\{1-F(t)\}dt$$что и требовалось доказать.
Особо мы отмечаем два первых момента (если они существуют):
$$m_1=\int_{0}^{\infty}tf(t)dt=\int_{0}^{\infty}\{1-F(t)\}dt,$$ $$m_2=\int_{0}^{\infty}t^2f(t)dt=2t*\{1-F(t)\}dt$$Средняя величина (математическое ожидание) - это первый момент.
$$m = m_х = Е\{ Т\}.$$i -тый центральный момент определяется как:
Дисперсия - 2-ой центральный момент:
$$\sigma^2=Е\{(Т-m_1)^2\}.$$Просто показать, что
$$\sigma^2=m_2-m_1^2 \mbox{ или}\\ m_2=\sigma^2+m_1^2$$Распределение обычно однозначно определяется всеми его моментами. Нормализованная мера для отклонения распределения от средней величины - коэффициент вариации. Он определяется как отношение между стандартным отклонением и средней величиной:
$$CV=\mbox{Коэффициент вариации}=\frac{\sigma}{m_1}$$Эта величина безразмерна, и мы позже применим это свойство, чтобы характеризовать
Коэффициент формы $$\varepsilon$$, так же как $$\frac{\sigma}{m_1},$$ независим от выбора масштаба времени, и в дальнейшем они еще появятся во многих формулах.
Чем больше коэффициент формы, тем более нерегулярно распределение времени и, например, тем больше будет среднее время ожидания в системе с ожиданием. Коэффициент формы принимает минимальное значение, и равен единице для постоянных временных интервалов ( $$\sigma=0$$ ).
Чтобы оценить распределение, вытекающие из наблюдений, мы часто удовлетворяемся знанием первых двух моментов ( $$m_1$$ и $$\sigma$$ или $$\varepsilon$$ ). Моменты более высокого порядка требуют получения чрезвычайно большого объема достоверных наблюдений. Распределения времени могут также быть характеризованы другими способами. Некоторые мы рассматриваем ниже.
Для экспоненциального распределения мы имеем:
$$m_2=\int_{t=0}^{\infty}t^2 \lambda e^{-\lambda t}dt=\int_{t=0}^{\infty}2te^{-\lambda t}dt=\frac{2}{\lambda^2}$$Заметим с удивлением, что эти два интеграла идентичны. Эти два подынтегральных выражения могут, кроме того, быть преобразованы к формулам Эрланга-3 и, соответственно, Эрланга-2 (4.8), функция плотности, которых имеет вероятность, равную единице:
$$m_2=\frac{2}{\lambda^2 }\int_{t=0}^{\infty}\frac{(\lambda t)^2}{2}e^{-\lambda t}\lambda dt=\frac{2}{\lambda^2}\int_{t=0}^{\infty}\lambda te^{-\lambda t}\lambda dt=\frac{2}{\lambda^2}$$Для постоянного временного интервала продолжительностью h мы имеем:
Мы хотим найти распределение времени остатка "жизни", при условии, что достигнут уже некоторый возраст $$x \ge 0$$. Условное распределение $$F(t + x|x) $$ определено следующим образом, принимая $$р(Т \ge х) > 0$$ и
$$p\{T>t +x|T>x\}=\frac{p\{(T > t+x) \wedge (T > x)}{p\{T > x\}}\\ =\frac{p\{T > t+x\}}{p\{T > x\}}\\ =\frac{1-F(t+x)}{1-F(x)}$$И, таким образом:
$$F(t+x|x)=p\{T \le t+x|T > x\}\\ =\frac{F(t+x)-F(x)}{1-F(x)},$$ $$f(t+x|x)=\frac{f(t+x)}{1-F(x)}.$$Pис.3.1 иллюстрирует эти вычисления графически.
Средняя величина $$m_{1,r}$$ остаточного времени "жизни" может быть представлена как (3.4):
$$m_{1,r}(x)=\frac{1}{1-F(x)}* \int_{t=0}^{\infty}\{1-F(t+x)\}dt, x \ge 0$$Показатель время "гибели" х, то есть вероятность, что рассматриваемое время "жизни" заканчивается в пределах интервала $$(х, x+dx) $$, при условии, что возраст* был достигнут, получается из (3.11), позволяя определить $$t= dx$$:
(рис 3.1) Функия плотности остаточного времени "жизни", обусловленной данным возрастом х (3.11). Пример основан на распределении Вейбулла We (2,5), где х = 3 и F(3) = 0,3023Условная функция плотности $$F(x) $$ также называется функцией интенсивности отказов. Если приводится эта функция, то $$F(x) $$ может быть получена как решение следующего дифференциального уравнения:
$$\frac{dF(x)}{dx}+\mu (x)*F(x)=\mu (x),$$которое имеет следующее решение (предполагая, что $$F(0) = 0$$ ):
$$F(t)=1- exp\{-\int_0^1 \mu (u) du\},$$ $$f(t)=\mu (t)*exp \{-\int_0^t \mu (u) du\}.$$Показатель "гибели" $$\mu (t)$$ является постоянным тогда и только, если время "жизни" имеет экспоненциальное распределение (часть 4).
Это фундаментальная характеристика показательного (экспоненциального) распределения, её называют Марковским свойством или свойством без последействия (при отсутствии памяти (возраста)): вероятность завершения не зависит от фактического возраста (истории) (секция 4.1).
Можно было бы ожидать, что среднее остаточное время "жизни" $$m_{1,r}(x)$$ уменьшится при увеличении х, поскольку ожидаемое остаточное время жизни уменьшается, когда возраст х увеличивается. Но это верно не для всех случаев. Для показательного распределения с коэффициентом формы $$е = 2$$ (секция 5.1) мы имеем $$т_{1,r} = т$$. Для распределений перевала $$1 \le \varepsilon \le 2$$ мы имеем $$т_{1,r}= т$$. (Секция . 4.2), тогда как для плоских распределений $$2 \le \varepsilon \le \infty$$ верно $$т_{1,r} \ge т$$ (Секция. 4.3).
Рассмотрим систему организации очереди с бесконечной очередью, где любой клиент не может быть заблокирован. Распределение времени ожидания $$W_s(t) $$ для случайного клиента обычно имеет положительную вероятность при $$t = 0$$, потому что некоторые из клиентов обслуживаются немедленно без какой-либо задержки. Мы, таким образом, имеем $$W_s (0) > 0$$. Распределение времени ожидания $$W_+ (t) $$ для клиентов, имеющих положительные времена ожидания, тогда определяется согласно уравнению (3.11):
$$W_+(t)=\frac{W_s(t)-W_s(0)}{1-W_s(0)},$$или, если мы обозначаем вероятность положительного времени ожидания $$\{1 - W_s(0)\} $$ буквой $$D$$ (вероятность задержки), то:
$$D*\{1-W_+(t)\}=1-W_s(t).$$Тогда для функции плотности мы имеем согласно (3.11):
$$D*w_+(t)=w_s(t)$$Средняя величина распределения получается:
$$D*w=W,$$Где средняя величина для всех клиентов обозначена $$W$$, и средняя величина для задержанных клиентов обозначена $$w$$. Формула действительна для любой системы с бесконечной очередью.
До сих пор мы не рассматривали важности времени "жизни" заявок от их продолжительности. Важность времени "жизни" часто пропорциональна его продолжительности, например, когда мы рассматриваем нагрузку системы с организацией очереди, затраты времен центрального процессора, сеанс телефонной связи и т.д.
Если мы распределяем коэффициент веса времени "жизни" пропорционально его продолжительности, то средний вес всех временных интервалов становится равным средней величине
$$m=\int_0^{\infty} tf(t)dt,$$где $$f(t)dt$$ - вероятность наблюдения в пределах интервала $$(t, t+df)$$ и $$t$$ - вес этого наблюдения.
При обработке нагрузки нас интересует вычисление соотношения всей нагрузки, которая возникает в системе, и времени пребывания в системе заявок продолжительностью меньше, чем х:
Это то же самое, что и соотношение средней величины нагрузки, которая возникает в системе, и времени "жизни" меньше, чем х.
Часто относительно небольшое время обслуживания позволяет обслужить относительно большую долю полной нагрузки. Из рис.3.2 мы видим, что если коэффициент формы $$\varepsilon = 5$$, то 75 % времен обслуживания вносят только 30 %-ую долю полной нагрузки (правило Вильфредо Парето). Этот факт можно использовать и предоставлять приоритет коротким задачам без большой задержки более длинных задач (Лекция 13).
(рис 3.2) Пример величины относительной нагрузки в зависимости от времени пребывания в системе, согласно уравнению (3.22).Здесь $$\varepsilon = 2$$ соответствует показательному распределению, а $$\varepsilon = 5$$ соответствует принципу Парето. Мы обращаем внимание, что 10% наибольших времен пребывания в системе вносят вклад от 33 % до 47 %, нагрузки (сравните математические ожидания времени обслуживания клиента и среднее время ожидания в Лекции 5)
Остаток времени "жизни", отсчитываемый от случайной точки времени, называется прямым временем возвращения. В этой секции мы получим некоторую важную формулу. Чтобы сформулировать проблему, рассмотрим пример. Мы желаем исследовать распределение времени "жизни" различных марок автомобилей, и опросить выбранных наугад автомобильных владельцев о возрасте их автомобиля. Так как точка времени опроса выбрана наугад, вероятность выбора автомобиля пропорциональна полному времени "жизни" автомобиля. Распределение будущего времени остатка "жизни" тогда будет идентично с уже достигнутым временем "жизни".
Составляя выборку таким способом, мы увидим, что вероятность выбора автомобиля определенной марки пропорциональна времени "жизни" автомобиля, то есть мы предпочтительно выберем автомобили с более длинными сроками службы (выбор, базирующийся на длине срока службы). Вероятность выбора автомобиля, имеющего полное время "жизни" $$х$$, дается с помощью приведенной ниже формулы (момент распределение в статистике) (дифференцирование (3.22):
$$\frac{xf(x)dx}{m}.$$Так как мы рассматриваем случайную точку времени, распределение остающегося времени "жизни" будет однородно распределено в промежутке $$(0, х) $$:
$$f(t|x)=\frac1x, 0 < t \le x.$$Тогда функция плотности остающегося времени "жизни" в случайной точке времени следующая:
$$v(t)=\int_t^{\infty}\frac1x*\frac{xf(x)dx}{m},\\ v(t)=\frac{1-F(t)}{m}.$$где F(t) - функция распределения полного времени "жизни" и m - средняя величина.
Применяя равенство (3.3), мы обращаем внимание, что $$i$$ -тый момент $$v(f)$$ определяется с помощью $$(i+1)$$ -того момента $$f(f)$$:
$$m_{i,v}=\int_0^{\infty}t^iv(t)dt\\ =\int_0^{\infty}t^i\frac{1-F(t)}{m}dt\\ =\frac{1}{i+1}*\frac1m*\int_0^{\infty}(i+1)*t^i*\{1-F(t)\}dt,\\ m_{i,v}=\frac{1}{i+1}*\frac 1m*m_{i+1,f}.$$Мы получаем среднее значение
$$m_{1,v}=\frac m2*\varepsilon,$$где является коэффициентом формы распределения "время жизни". Эта формула также действительна для
Предположим, что к случайных переменных $$\{Т_1 ,Т_2 ,\dots , Т_к\}$$ независимы и идентично распределены с функцией распределения $$F(t)$$. Распределение $$j$$ -той наибольшей переменной выглядит следующим образом:
$$p\{j'th \mbox{ largest} \le t \}=\sum_{i=0}^{j-1} \begin{pmatrix}k\\i \end{pmatrix} \{1-F(t)\}^i F(t)^{k-i}.$$$$j-1$$ переменных могут быть большими, чем $$t$$. Меньшие переменные (или $$j=k$$ ) имеют функцию распределения:
$$F_{min}(t)=1-\{1-F(t)\}^k,$$и наибольшая переменная $$(j=1)$$ имеет функцию распределения
$$F_{max}(t)=F(t)^k.$$Если случайные переменные имеют индивидуальные распределения функции $$F_i (t)$$, мы получаем выражение, более сложное, чем (3.26). Для наименьшей и наибольшей переменной мы добираемся так:
$$F_{min}(t)=1-\Pi_{i=1}^k\{1-F_i(t)\},$$ $$F_{max}(t)=\Pi_{i=1}^k F_i(t).$$Мы можем комбинировать времена "жизни" случайных процессов, сочетая их последовательно или параллельно, либо применяя оба варианта.
Соединение последовательно $$k$$ независимых временных интервалов соответствует сложению $$k$$ независимых случайных переменных, то есть свертыванию случайных переменных.
Если мы обозначаем среднюю величину и дисперсию $$i$$ -того временного интервала соответственно $$m_{1,i}, \sigma_i^2$$, тогда сумма случайных переменных имеет следующую среднюю величину и дисперсию:
$$m=m_1=\sum_{i=1}^k m_{1,i},$$ $$\sigma^2=\sum_{i=1}^k \sigma_i^2.$$Вообще, мы должны сложить так называемые кумулянты, или полуварианты (
Функция распределения суммы получена свертыванием:
$$F(t)=F_1(t) \otimes F_2(t) \otimes \dots \otimes F_k(t),$$где $$\otimes$$ - оператор свертывания (Секция. 6.2.2).
Пусть вероятность успеха в испытании (например, бросание кубика при игре в кости) равна р, а вероятность отказа равняется $$1 - р$$. Число успехов в единственном испытании тогда получается с помощью
Если мы проведем $$S$$ испытаний, то
получается сборкой $$S$$
что и требовалось доказать.
Взвешивание l независимых случайных переменных, где $$i$$ -тая переменная появляется с весовым коэффициентом $$р_i,$$ дает
а средняя величина $$m_{1,i}$$, и дисперсия $$\sigma_i^2$$ сумма случайных переменных имеет следующую среднюю величину и дисперсию:
$$m=\sum_{i=1}^{l}p_i*m_{1,i},$$ $$\sigma^2=\sum_{i=1}^{l}p_i*(\sigma_i^2+m_{1,i}^2)-m^2.$$В этом случае мы должны взвесить нецентральные моменты. Для $$j$$ -того момента мы имеем:
$$m_j=\sum_{i=1}^l p_i*m_{j,i},$$где $$m_{j,i}-j$$ -тый нецентральный момент распределения $$i$$ -того интервала.
$$F(t)=\sum_{i=1}^l p_i*F_i(t).$$Подобная формула справедлива для функции плотности:
$$f(t)=\sum_{i=1}^l p_i*f_i(t).$$Взвешенная сумма распределений называется составным распределением.
Под стохастической суммой мы понимаем сумму стохастических случайных переменных (Feller, 1950 [27]). Рассмотрим
Число поступлений вызовов $$i$$ имеет время пребывания в системе $$Ti$$ Все $$Ti$$ имеют одно и то же самое распределение, и каждое поступление (запрос) прибавляет некоторое число единиц времени (времени пребывания в системе), которые являются случайными переменными со следующими характеристиками.
$$N: \mbox{ функция плотности } f(t),\\ \mbox{ средняя величина } m_{1,t},\\ \mbox{ дисперсия } \sigma_t^2.$$Весь объем нагрузки, который получен из-за поступления заявок (запросов), пребывающих в пределах рассматриваемого временного интервала $$Т$$, - случайная переменная:
$$S_T=T_1+T_2+\dots+T_N.$$
(рис 3.3) Стохастическая сумма может интерпретироваться как комбинация последовательно/параллельных случайных переменных.Далее мы принимаем, что $$Т_i$$, и $$N$$ стохастически независимы. Это условие выполняется при условии нулевой перегрузки.
Следующие выводы правильны и для дискретных, и для непрерывных случайных переменных (суммирование можно заменить интеграцией или наоборот). Стохастическая сумма становится последовательной и параллельной комбинацией случайных переменных, как показано на рис.3.3. Для данной ветви i мы находим (рис.3.3):
Суммируя по всем возможным значениям (ветвям) $$i$$, мы получаем:
$$m_{1,s}=\sum_{i=1}^{\infty}p(i)*m_{1,i}\\ \quad=\sum_{i=1}^{\infty}p(i)*i*m_{1,t},\\ m_{1,s}=m_{1,t}*m_{1,n},$$ $$m_{2,s}=\sum_{i=1}^{\infty}p(i)*m_{2,i}\\ \quad=\sum_{i=1}^{\infty}p(i)*\{i*\sigma_t^2+(i*m_{1,t}^2\},\\ m_{2,s}=m_{1,n}*\sigma_t^2+m_{1,t}^2*m_{2,n},$$ $$\sigma_s^2=m_{1,n}*\sigma_t^2+m_{1,t}^2*(m_{2,n}-m_{1,n}^2),\\ \sigma_s^2=m_{1,n}*\sigma_t^2+m_{1,t}^2*\sigma_n^2$$Можно отметить, что есть два элемента, составляющие полную дисперсию: один элемент отображает, что число вызовов - случайная переменная ( $$\sigma_n^2$$ ), и второй - что продолжительность вызовов - случайная переменная ( $$\sigma_t^2$$ ).
Это соответствует числу вызовов поступющих в одно и то же время, при измерении объема трафика мы можем оценить среднее время удержания.
Если мы изменяем масштаб от 1 до $$m_{1,t}$$, то среднее значение есть произведение $$m_{1,t}$$ на дисперсию $$m_{1,t}^2$$ При среднем числе вызовов $$m_{1,t}=1$$ расчет числа вызовов является проблемой.
Возьмем пример, не относящийся к телетрафику. $$N$$ будет обозначить число ливневых дождей в течение одного месяца, а $$Т_i$$ - обозначить количество осадков одного $$i$$ -того ливня. $$S_T$$ тогда - случайная переменная, описывающая полное количество осадков в течение месяца.
$$N$$ может также означать для данного временного интервала число несчастных случаев, зарегистрированных страховой компанией, а $$T_i$$ -компенсацию за $$i$$ -ый несчастный случай. $$S_T$$ тогда - общая сумма, заплаченная компанией в течение рассмотренного периода.
CPU )) могут быть выражены неотрицательными случайными переменными.р, вероятность отказа равняется $$1 - р$$. Число успехов в единственном испытании тогда получается с помощью Временной интервал может быть описан случайной переменной Т, которая может быть охарактеризована функцией распределения F(t):
В (3.1) мы интегрируем от 0, чтобы устранить возможную неоднозначность при $$t= 0$$. При рассмотрении
Вероятность того, что продолжительность временного интервала Т меньше или равна t
Иногда проще рассматривать дополнение функции распределения:
$$F^c(t) = 1 - F(t).$$Ее также называют функцией распределения долговечности. Мы часто предполагаем, что $$F(t)$$ является дифференцируемой и что существует следующая функция плотности $$f(t)$$:
$$dF(t)=f(t)*dt=p\{t < T \le t + dt\}, t \ge 0.$$Обычно мы принимаем, что время обслуживания является независимым от времени момента поступления вызова, и от времени обслуживания других вызовов. Аналитически, для любого распределения времени могут быть проведены множество вычислений. Вообще, мы всегда принимаем, что существует средняя величина времени обслуживания.
Распределения времени, которые принимают только положительные значения, обладают некоторыми выгодными свойствами.
Для i-того нецентрального момента (см. Глоссарий), который мы обычно называем i -й момент, они могут быть показаны с помощью тождества Пальма:
Тождество Пальма (3.3), которое справедливо для распределений времени "жизни" (определенно только для неотрицательных величин), было сначала доказано Пальма (1943, [79]) следующим образом.
$$\int_{t=0}^{\infty}it^{i-1}\{1-F(t)\}dt=\int_{t=0}^{\infty}it^{i-1}\{\int_{x=t}^{\infty}f(x)dx\}dt\\ \qquad \qquad \qquad \qquad=\int_{t=0}^{\infty}\int_{x=t}^{\infty}it^{i-1}f(x)dxdt\\ \qquad \qquad \qquad \qquad=\int_{t=0}^{\infty}\int_{x=t}^{\infty}dt^if(x)dx\\ \qquad \qquad \qquad \qquad=\int_{x=0}^{\infty}\int_{t=0}^{x}dt^if(x)dx\\ \qquad \qquad \qquad \qquad=\int_{t=0}^{x}x^if(x)dx\\ \qquad \qquad \qquad \qquad=m_i$$Порядок интегрирования может быть изменен, потому что подынтегральное выражение неотрицательно. Таким образом, мы доказали (3.3). Следующее упрощенное доказательство справедливо в предположении, что моменты существуют:
$$m_i=\int_{t=0}^{\infty}t^if(t)dt\\ \quad=-\int_{t=0}^{\infty}t^id\{1-F(t)\}\\ \quad=-t^i\{1-F(t)\}|_{0}^{\infty}+ \int_{t=0}^{\infty}\{1-F(t)\}dt^i\\ \quad=\int_{t=0}^{\infty}i*t^{i-1}\{1-F(t)\}dt$$что и требовалось доказать.
Особо мы отмечаем два первых момента (если они существуют):
$$m_1=\int_{0}^{\infty}tf(t)dt=\int_{0}^{\infty}\{1-F(t)\}dt,$$ $$m_2=\int_{0}^{\infty}t^2f(t)dt=2t*\{1-F(t)\}dt$$Средняя величина (математическое ожидание) - это первый момент.
$$m = m_х = Е\{ Т\}.$$i -тый центральный момент определяется как:
Дисперсия - 2-ой центральный момент:
$$\sigma^2=Е\{(Т-m_1)^2\}.$$Просто показать, что
$$\sigma^2=m_2-m_1^2 \mbox{ или}\\ m_2=\sigma^2+m_1^2$$Распределение обычно однозначно определяется всеми его моментами. Нормализованная мера для отклонения распределения от средней величины - коэффициент вариации. Он определяется как отношение между стандартным отклонением и средней величиной:
$$CV=\mbox{Коэффициент вариации}=\frac{\sigma}{m_1}$$Эта величина безразмерна, и мы позже применим это свойство, чтобы характеризовать
Коэффициент формы $$\varepsilon$$, так же как $$\frac{\sigma}{m_1},$$ независим от выбора масштаба времени, и в дальнейшем они еще появятся во многих формулах.
Чем больше коэффициент формы, тем более нерегулярно распределение времени и, например, тем больше будет среднее время ожидания в системе с ожиданием. Коэффициент формы принимает минимальное значение, и равен единице для постоянных временных интервалов ( $$\sigma=0$$ ).
Чтобы оценить распределение, вытекающие из наблюдений, мы часто удовлетворяемся знанием первых двух моментов ( $$m_1$$ и $$\sigma$$ или $$\varepsilon$$ ). Моменты более высокого порядка требуют получения чрезвычайно большого объема достоверных наблюдений. Распределения времени могут также быть характеризованы другими способами. Некоторые мы рассматриваем ниже.
Для экспоненциального распределения мы имеем:
$$m_2=\int_{t=0}^{\infty}t^2 \lambda e^{-\lambda t}dt=\int_{t=0}^{\infty}2te^{-\lambda t}dt=\frac{2}{\lambda^2}$$Заметим с удивлением, что эти два интеграла идентичны. Эти два подынтегральных выражения могут, кроме того, быть преобразованы к формулам Эрланга-3 и, соответственно, Эрланга-2 (4.8), функция плотности, которых имеет вероятность, равную единице:
$$m_2=\frac{2}{\lambda^2 }\int_{t=0}^{\infty}\frac{(\lambda t)^2}{2}e^{-\lambda t}\lambda dt=\frac{2}{\lambda^2}\int_{t=0}^{\infty}\lambda te^{-\lambda t}\lambda dt=\frac{2}{\lambda^2}$$Для постоянного временного интервала продолжительностью h мы имеем:
Мы хотим найти распределение времени остатка "жизни", при условии, что достигнут уже некоторый возраст $$x \ge 0$$. Условное распределение $$F(t + x|x) $$ определено следующим образом, принимая $$р(Т \ge х) > 0$$ и
$$p\{T>t +x|T>x\}=\frac{p\{(T > t+x) \wedge (T > x)}{p\{T > x\}}\\ =\frac{p\{T > t+x\}}{p\{T > x\}}\\ =\frac{1-F(t+x)}{1-F(x)}$$И, таким образом:
$$F(t+x|x)=p\{T \le t+x|T > x\}\\ =\frac{F(t+x)-F(x)}{1-F(x)},$$ $$f(t+x|x)=\frac{f(t+x)}{1-F(x)}.$$Pис.3.1 иллюстрирует эти вычисления графически.
Средняя величина $$m_{1,r}$$ остаточного времени "жизни" может быть представлена как (3.4):
$$m_{1,r}(x)=\frac{1}{1-F(x)}* \int_{t=0}^{\infty}\{1-F(t+x)\}dt, x \ge 0$$Показатель время "гибели" х, то есть вероятность, что рассматриваемое время "жизни" заканчивается в пределах интервала $$(х, x+dx) $$, при условии, что возраст* был достигнут, получается из (3.11), позволяя определить $$t= dx$$:
(рис 3.1) Функия плотности остаточного времени "жизни", обусловленной данным возрастом х (3.11). Пример основан на распределении Вейбулла We (2,5), где х = 3 и F(3) = 0,3023Условная функция плотности $$F(x) $$ также называется функцией интенсивности отказов. Если приводится эта функция, то $$F(x) $$ может быть получена как решение следующего дифференциального уравнения:
$$\frac{dF(x)}{dx}+\mu (x)*F(x)=\mu (x),$$которое имеет следующее решение (предполагая, что $$F(0) = 0$$ ):
$$F(t)=1- exp\{-\int_0^1 \mu (u) du\},$$ $$f(t)=\mu (t)*exp \{-\int_0^t \mu (u) du\}.$$Показатель "гибели" $$\mu (t)$$ является постоянным тогда и только, если время "жизни" имеет экспоненциальное распределение (часть 4).
Это фундаментальная характеристика показательного (экспоненциального) распределения, её называют Марковским свойством или свойством без последействия (при отсутствии памяти (возраста)): вероятность завершения не зависит от фактического возраста (истории) (секция 4.1).
Можно было бы ожидать, что среднее остаточное время "жизни" $$m_{1,r}(x)$$ уменьшится при увеличении х, поскольку ожидаемое остаточное время жизни уменьшается, когда возраст х увеличивается. Но это верно не для всех случаев. Для показательного распределения с коэффициентом формы $$е = 2$$ (секция 5.1) мы имеем $$т_{1,r} = т$$. Для распределений перевала $$1 \le \varepsilon \le 2$$ мы имеем $$т_{1,r}= т$$. (Секция . 4.2), тогда как для плоских распределений $$2 \le \varepsilon \le \infty$$ верно $$т_{1,r} \ge т$$ (Секция. 4.3).
Рассмотрим систему организации очереди с бесконечной очередью, где любой клиент не может быть заблокирован. Распределение времени ожидания $$W_s(t) $$ для случайного клиента обычно имеет положительную вероятность при $$t = 0$$, потому что некоторые из клиентов обслуживаются немедленно без какой-либо задержки. Мы, таким образом, имеем $$W_s (0) > 0$$. Распределение времени ожидания $$W_+ (t) $$ для клиентов, имеющих положительные времена ожидания, тогда определяется согласно уравнению (3.11):
$$W_+(t)=\frac{W_s(t)-W_s(0)}{1-W_s(0)},$$или, если мы обозначаем вероятность положительного времени ожидания $$\{1 - W_s(0)\} $$ буквой $$D$$ (вероятность задержки), то:
$$D*\{1-W_+(t)\}=1-W_s(t).$$Тогда для функции плотности мы имеем согласно (3.11):
$$D*w_+(t)=w_s(t)$$Средняя величина распределения получается:
$$D*w=W,$$Где средняя величина для всех клиентов обозначена $$W$$, и средняя величина для задержанных клиентов обозначена $$w$$. Формула действительна для любой системы с бесконечной очередью.
До сих пор мы не рассматривали важности времени "жизни" заявок от их продолжительности. Важность времени "жизни" часто пропорциональна его продолжительности, например, когда мы рассматриваем нагрузку системы с организацией очереди, затраты времен центрального процессора, сеанс телефонной связи и т.д.
Если мы распределяем коэффициент веса времени "жизни" пропорционально его продолжительности, то средний вес всех временных интервалов становится равным средней величине
$$m=\int_0^{\infty} tf(t)dt,$$где $$f(t)dt$$ - вероятность наблюдения в пределах интервала $$(t, t+df)$$ и $$t$$ - вес этого наблюдения.
При обработке нагрузки нас интересует вычисление соотношения всей нагрузки, которая возникает в системе, и времени пребывания в системе заявок продолжительностью меньше, чем х:
Это то же самое, что и соотношение средней величины нагрузки, которая возникает в системе, и времени "жизни" меньше, чем х.
Часто относительно небольшое время обслуживания позволяет обслужить относительно большую долю полной нагрузки. Из рис.3.2 мы видим, что если коэффициент формы $$\varepsilon = 5$$, то 75 % времен обслуживания вносят только 30 %-ую долю полной нагрузки (правило Вильфредо Парето). Этот факт можно использовать и предоставлять приоритет коротким задачам без большой задержки более длинных задач (Лекция 13).
(рис 3.2) Пример величины относительной нагрузки в зависимости от времени пребывания в системе, согласно уравнению (3.22).Здесь $$\varepsilon = 2$$ соответствует показательному распределению, а $$\varepsilon = 5$$ соответствует принципу Парето. Мы обращаем внимание, что 10% наибольших времен пребывания в системе вносят вклад от 33 % до 47 %, нагрузки (сравните математические ожидания времени обслуживания клиента и среднее время ожидания в Лекции 5)
Остаток времени "жизни", отсчитываемый от случайной точки времени, называется прямым временем возвращения. В этой секции мы получим некоторую важную формулу. Чтобы сформулировать проблему, рассмотрим пример. Мы желаем исследовать распределение времени "жизни" различных марок автомобилей, и опросить выбранных наугад автомобильных владельцев о возрасте их автомобиля. Так как точка времени опроса выбрана наугад, вероятность выбора автомобиля пропорциональна полному времени "жизни" автомобиля. Распределение будущего времени остатка "жизни" тогда будет идентично с уже достигнутым временем "жизни".
Составляя выборку таким способом, мы увидим, что вероятность выбора автомобиля определенной марки пропорциональна времени "жизни" автомобиля, то есть мы предпочтительно выберем автомобили с более длинными сроками службы (выбор, базирующийся на длине срока службы). Вероятность выбора автомобиля, имеющего полное время "жизни" $$х$$, дается с помощью приведенной ниже формулы (момент распределение в статистике) (дифференцирование (3.22):
$$\frac{xf(x)dx}{m}.$$Так как мы рассматриваем случайную точку времени, распределение остающегося времени "жизни" будет однородно распределено в промежутке $$(0, х) $$:
$$f(t|x)=\frac1x, 0 < t \le x.$$Тогда функция плотности остающегося времени "жизни" в случайной точке времени следующая:
$$v(t)=\int_t^{\infty}\frac1x*\frac{xf(x)dx}{m},\\ v(t)=\frac{1-F(t)}{m}.$$где F(t) - функция распределения полного времени "жизни" и m - средняя величина.
Применяя равенство (3.3), мы обращаем внимание, что $$i$$ -тый момент $$v(f)$$ определяется с помощью $$(i+1)$$ -того момента $$f(f)$$:
$$m_{i,v}=\int_0^{\infty}t^iv(t)dt\\ =\int_0^{\infty}t^i\frac{1-F(t)}{m}dt\\ =\frac{1}{i+1}*\frac1m*\int_0^{\infty}(i+1)*t^i*\{1-F(t)\}dt,\\ m_{i,v}=\frac{1}{i+1}*\frac 1m*m_{i+1,f}.$$Мы получаем среднее значение
$$m_{1,v}=\frac m2*\varepsilon,$$где является коэффициентом формы распределения "время жизни". Эта формула также действительна для
Предположим, что к случайных переменных $$\{Т_1 ,Т_2 ,\dots , Т_к\}$$ независимы и идентично распределены с функцией распределения $$F(t)$$. Распределение $$j$$ -той наибольшей переменной выглядит следующим образом:
$$p\{j'th \mbox{ largest} \le t \}=\sum_{i=0}^{j-1} \begin{pmatrix}k\\i \end{pmatrix} \{1-F(t)\}^i F(t)^{k-i}.$$$$j-1$$ переменных могут быть большими, чем $$t$$. Меньшие переменные (или $$j=k$$ ) имеют функцию распределения:
$$F_{min}(t)=1-\{1-F(t)\}^k,$$и наибольшая переменная $$(j=1)$$ имеет функцию распределения
$$F_{max}(t)=F(t)^k.$$Если случайные переменные имеют индивидуальные распределения функции $$F_i (t)$$, мы получаем выражение, более сложное, чем (3.26). Для наименьшей и наибольшей переменной мы добираемся так:
$$F_{min}(t)=1-\Pi_{i=1}^k\{1-F_i(t)\},$$ $$F_{max}(t)=\Pi_{i=1}^k F_i(t).$$Мы можем комбинировать времена "жизни" случайных процессов, сочетая их последовательно или параллельно, либо применяя оба варианта.
Соединение последовательно $$k$$ независимых временных интервалов соответствует сложению $$k$$ независимых случайных переменных, то есть свертыванию случайных переменных.
Если мы обозначаем среднюю величину и дисперсию $$i$$ -того временного интервала соответственно $$m_{1,i}, \sigma_i^2$$, тогда сумма случайных переменных имеет следующую среднюю величину и дисперсию:
$$m=m_1=\sum_{i=1}^k m_{1,i},$$ $$\sigma^2=\sum_{i=1}^k \sigma_i^2.$$Вообще, мы должны сложить так называемые кумулянты, или полуварианты (
Функция распределения суммы получена свертыванием:
$$F(t)=F_1(t) \otimes F_2(t) \otimes \dots \otimes F_k(t),$$где $$\otimes$$ - оператор свертывания (Секция. 6.2.2).
Пусть вероятность успеха в испытании (например, бросание кубика при игре в кости) равна р, а вероятность отказа равняется $$1 - р$$. Число успехов в единственном испытании тогда получается с помощью
Если мы проведем $$S$$ испытаний, то
получается сборкой $$S$$
что и требовалось доказать.
Взвешивание l независимых случайных переменных, где $$i$$ -тая переменная появляется с весовым коэффициентом $$р_i,$$ дает
а средняя величина $$m_{1,i}$$, и дисперсия $$\sigma_i^2$$ сумма случайных переменных имеет следующую среднюю величину и дисперсию:
$$m=\sum_{i=1}^{l}p_i*m_{1,i},$$ $$\sigma^2=\sum_{i=1}^{l}p_i*(\sigma_i^2+m_{1,i}^2)-m^2.$$В этом случае мы должны взвесить нецентральные моменты. Для $$j$$ -того момента мы имеем:
$$m_j=\sum_{i=1}^l p_i*m_{j,i},$$где $$m_{j,i}-j$$ -тый нецентральный момент распределения $$i$$ -того интервала.
$$F(t)=\sum_{i=1}^l p_i*F_i(t).$$Подобная формула справедлива для функции плотности:
$$f(t)=\sum_{i=1}^l p_i*f_i(t).$$Взвешенная сумма распределений называется составным распределением.
Под стохастической суммой мы понимаем сумму стохастических случайных переменных (Feller, 1950 [27]). Рассмотрим
Число поступлений вызовов $$i$$ имеет время пребывания в системе $$Ti$$ Все $$Ti$$ имеют одно и то же самое распределение, и каждое поступление (запрос) прибавляет некоторое число единиц времени (времени пребывания в системе), которые являются случайными переменными со следующими характеристиками.
$$N: \mbox{ функция плотности } f(t),\\ \mbox{ средняя величина } m_{1,t},\\ \mbox{ дисперсия } \sigma_t^2.$$Весь объем нагрузки, который получен из-за поступления заявок (запросов), пребывающих в пределах рассматриваемого временного интервала $$Т$$, - случайная переменная:
$$S_T=T_1+T_2+\dots+T_N.$$(рис 3.3) Стохастическая сумма может интерпретироваться как комбинация последовательно/параллельных случайных переменных.Далее мы принимаем, что $$Т_i$$, и $$N$$ стохастически независимы. Это условие выполняется при условии нулевой перегрузки.
Следующие выводы правильны и для дискретных, и для непрерывных случайных переменных (суммирование можно заменить интеграцией или наоборот). Стохастическая сумма становится последовательной и параллельной комбинацией случайных переменных, как показано на рис.3.3. Для данной ветви i мы находим (рис.3.3):
Суммируя по всем возможным значениям (ветвям) $$i$$, мы получаем:
$$m_{1,s}=\sum_{i=1}^{\infty}p(i)*m_{1,i}\\ \quad=\sum_{i=1}^{\infty}p(i)*i*m_{1,t},\\ m_{1,s}=m_{1,t}*m_{1,n},$$ $$m_{2,s}=\sum_{i=1}^{\infty}p(i)*m_{2,i}\\ \quad=\sum_{i=1}^{\infty}p(i)*\{i*\sigma_t^2+(i*m_{1,t}^2\},\\ m_{2,s}=m_{1,n}*\sigma_t^2+m_{1,t}^2*m_{2,n},$$ $$\sigma_s^2=m_{1,n}*\sigma_t^2+m_{1,t}^2*(m_{2,n}-m_{1,n}^2),\\ \sigma_s^2=m_{1,n}*\sigma_t^2+m_{1,t}^2*\sigma_n^2$$Можно отметить, что есть два элемента, составляющие полную дисперсию: один элемент отображает, что число вызовов - случайная переменная ( $$\sigma_n^2$$ ), и второй - что продолжительность вызовов - случайная переменная ( $$\sigma_t^2$$ ).
Это соответствует числу вызовов поступющих в одно и то же время, при измерении объема трафика мы можем оценить среднее время удержания.
Если мы изменяем масштаб от 1 до $$m_{1,t}$$, то среднее значение есть произведение $$m_{1,t}$$ на дисперсию $$m_{1,t}^2$$ При среднем числе вызовов $$m_{1,t}=1$$ расчет числа вызовов является проблемой.
Возьмем пример, не относящийся к телетрафику. $$N$$ будет обозначить число ливневых дождей в течение одного месяца, а $$Т_i$$ - обозначить количество осадков одного $$i$$ -того ливня. $$S_T$$ тогда - случайная переменная, описывающая полное количество осадков в течение месяца.
$$N$$ может также означать для данного временного интервала число несчастных случаев, зарегистрированных страховой компанией, а $$T_i$$ -компенсацию за $$i$$ -ый несчастный случай. $$S_T$$ тогда - общая сумма, заплаченная компанией в течение рассмотренного периода.
CPU )) могут быть выражены неотрицательными случайными переменными.р, вероятность отказа равняется $$1 - р$$. Число успехов в единственном испытании тогда получается с помощью 
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.