Выборочное наблюдение в статистике

11.1. Основные положения теории выборочного метода наблюдения

Суть выборочного метода заключается в отборе отдельных единиц обследуемой совокупности по специальным правилам, гарантирующим реализацию принципа случайности отбора, с целью получения обобщающих статистических характеристик изучаемой совокупности.

Выборочный метод позволяет получать достоверные результаты лишь тогда, когда соблюдается принцип равновозможности каждой единицы быть отобранной. При этом только случай, а не какой-либо иной фактор, влияет на решение включить рассматриваемую единицу в выборочную совокупность или нет. Из всех методов несплошного наблюдения выборочный считается наиболее теоретически разработанным. Положенный в его основу принцип случайности позволяет математически обосновать дальнейшее распространение выборочных характеристик на всю совокупность.

Выборочная совокупность репрезентативна (представительна) в том случае, если она верно отражает закономерности, структуру генеральной совокупности.

Широкое применение выборочного метода в статистической практике объясняется рядом его преимуществ по сравнению со сплошным наблюдением. Основными являются:

Вместе с тем выборочный метод имеет ряд недостатков. Важнейший из них связан с наличием ошибок репрезентативности, которые обусловлены тем, что наблюдаются не все единицы изучаемой совокупности. Кроме того, его проведение требует привлечения высококвалифицированного персонала, что в свою очередь ведет к увеличению стоимости обследования.

11.1.1. Основные определения и обозначения

В теории выборочного наблюдения используются специфические понятия, определения и обозначения.

Под термином генеральная совокупность понимается изучаемая статистическая совокупность, из которой проводится отбор единиц для непосредственного наблюдения (количество единиц генеральной совокупности обозначается через N).

Отобранная по определенным правилам часть единиц генеральной совокупности образует выборочную совокупность (n - количество единиц выборочной совокупности).

Доля выборочной совокупности в общем объеме генеральной совокупности, выраженная в процентах, называется долей отбора (процентом выборки, процентом отбора):

Например, при объеме генеральной совокупности в 200 единиц и выборочной - в 50 единиц говорят о 25%-ной выборке (доля отбора - 25%).

Если исследуется количественный признак, то непосредственная задача выборочного наблюдения - это оценка среднего и суммарного значения признака. Среднее значение признака в генеральной совокупности принято обозначать через x. По данным генеральной совокупности оно может быть определено как

Среднее значение признака в выборочной совокупности обозначается через x. Оно исчисляется как

Дисперсия единиц количественного признака определяется следующим образом:

Так как генеральная дисперсия по большей части в ходе исследования остается неизвестной, то условно принимают ее равной дисперсии, рассчитываемой по выборочным данным;

Наряду с нахождением характеристик количественных признаков могут оцениваться характеристики альтернативных показателей.

Обозначая численность единиц, обладающих изучаемым признаком, в генеральной совокупности через М, а в выборочной - через m, получим долю единиц, обладающих исследуемым признаком в генеральной совокупности: p = M/N и в выборочной: w = m/n.

Дисперсия альтернативного признака рассчитывается следующим образом:

Основной целью статистического наблюдения является получение достоверной статистической информации. Но при любом способе наблюдения могут возникнуть погрешности, которые приведут к снижению качества получаемой информации. Эти погрешности называются ошибками наблюдения. При сплошном наблюдении возможны только ошибки регистрации (случайные и систематические). При выборочном наблюдении возможны как ошибки регистрации, так и ошибки репрезентативности. Те и другие могут носить как случайный, так и систематический характер.

Задача выборочного наблюдения состоит в измерении случайной ошибки репрезентативности, которая возникает вследствие несплошного характера наблюдения при любом способе отбора.

11.1.2. Основные этапы работ при организации выборочного наблюдения

К основным этапам работ при организации выборочного наблюдения относятся:

11.1.3. Роль закона больших чисел при определении ошибок выборочного наблюдения

Центральное место в теории выборочного наблюдения занимает задача оценки репрезентативности выборочной совокупности. Ошибки репрезентативности представляют собой отклонения характеристик выборочной совокупности от характеристик генеральной.

Теория оценивания ошибок выборки базируется на ряде предельных теорем под общим названием "закон больших чисел". В них доказывается, что ошибки могут быть сведены к минимальным значениям. При этом возможно установить их значения с требуемой точностью.

Так, в приложении к выборочному методу из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки, полученной с соблюдением всех правил ее формирования, разность между генеральной и выборочной средними будет сколь угодно мала. Теорема Ляпунова позволяет оценить предельную ошибку выборки для среднего значения признака. Теорема Бернулли является частным случаем теоремы Чебышева применительно к исследованию доли альтернативного признака.

11.1.4. Способы отбора единиц в выборочную совокупность. Классификация видов выборочного наблюдения

Различают индивидуальный, групповой и комбинированный отбор.

При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности, например при обследованиях промышленности - предприятия, при обследованиях населения - конкретные люди и т.д. Индивидуальный отбор применяется при организации собственно случайной, механической, типической выборок.

При групповом отборе единицы отбираются группами; ими могут быть, например, бригады, микрорайоны (этот вид отбора свойственен для серийной выборки).

Комбинированный отбор предполагает сочетание индивидуального и группового отбора, например, сначала отбираются группы единиц (групповой отбор), а затем из них случайным образом - конкретные единицы (индивидуальный отбор). В этом случае выборка также называется комбинированной.

Кроме того, каждый из перечисленных способов отбора может быть бесповторным или повторным.

Бесповторным является такой отбор, в результате которого однажды отобранная в выборку единица наблюдения не может быть отобранной из генеральной совокупности во второй раз. При повторном отборе попавшая в выборку единица наблюдения вновь возвращается в совокупность, и ее можно отобрать во второй, третий раз и т.д.

В статистике встречаются разнообразные виды выборок: собственно-случайная выборка, механическая, типическая, серийная, комбинированная. Свои особенности имеет малая выборка.

Вид выборки определяется задачами исследования, полнотой и особенностями информации, которой мы располагаем об объекте наблюдения.

Собственно-случайная выборка. Отбор единиц при использовании собственно случайной выборки производится путем жеребьевки или с использованием таблицы случайных чисел. При этом все единицы совокупности должны иметь равные шансы попасть в выборочную совокупность.

Для отбора единиц наблюдения путем жеребьевки подготавливаются определенные жребии: шары или карточки (могут применяться и другие виды жребиев), содержащие ссылки на конкретную единицу генеральной совокупности - ее номер, если совокупность пронумерована, адрес и т.д. Жребии перемешивают и в случайном порядке отбирают n штук, ровно столько, сколько единиц должно быть отобрано в выборочную совокупность. Этот способ хорош, если количество объектов генеральной совокупности невелико и имеется возможность на каждый из них завести жребий. Но на практике чаще всего работают с большими совокупностями - порядка десятков или сотен тысяч единиц. Тогда прибегают к помощи таблиц случайных чисел.

Таблица случайных чисел представляет собой набор колонок случайных цифр. Случайность сочетания определяется отсутствием закона их расположения и приблизительно равной частотой встречаемости каждой из десяти цифр при образовании случайного числа.

Существует множество методов составления таблиц случайных чисел. В наше время они генерируются с помощью датчика случайных чисел. Его содержат все современные статистические пакеты прикладных программ, а также Excel, входящий в набор стандартных программ для Windows.

Пример 11.1. Предположим нужно отобрать 15 студентов из 200, обучающихся на первом курсе, методом случайной бесповторной выборки.

Проведем отбор с помощью таблицы случайных чисел следующим образом:

Среди выписанных чисел число 111 встречается дважды, а по условию отбор должен быть случайным бесповторным. Поэтому одно из этих чисел пропустим и запишем следующее после 173 подходящее по условию число - это число 061.

В итоге получим следующие числа:

194, 111, 189, 185, 121, 141, 047,

195, 135, 152, 091, 155, 029, 173, 061.

В выборочную совокупность должны быть включены студенты, индивидуальные номера которых в исходном списке соответствуют отобранным числам. Таким образом, в выборку попали студенты, имеющие следующие номера в списке:

029, 047, 061, 091, 111, 121, 135,

141, 152, 155, 173, 185, 189, 194, 195.

Механическая выборка. Наряду со случайным отбором в практике выборочного наблюдения применяется механический отбор. При этом все единицы генеральной совокупности нумеруются числами от 1 до N, после чего отбирается каждая (N/n)-я единица для обследования. Величина N/n называется шагом, или интервалом, отбора.

Если список единиц в генеральной совокупности составлен в порядке возрастания изучаемого признака, указанный подход может привести к систематической ошибке: начиная отбор с первой единицы из этого интервала получим заниженную оценку генеральной средней, если начать с последней - завышенную. Поэтому целесообразно выбрать начальную точку отсчета (отбора) случайным образом, а затем производить отбор в соответствии с рассчитанным шагом отбора.

Допустим, надо отобрать 50 студентов из 200, обучающихся на первом курсе, методом механической выборки. Для этого необходимо сделать следующее:

Типическая выборка. В случае использования типической выборки cовокупность предварительно разбивается на однородные типы или группы, а затем производится случайный (или механический) отбор единиц наблюдения внутри полученных групп. Извлеченная подобным образом выборка будет типической (в литературе она также называется расслоенной, стратифицированной, районированной).

Типическая выборка в статистической практике применяется гораздо чаще, чем остальные виды выборочного наблюдения. Так, при обследованиях населения в зависимости от целей исследования генеральную совокупность расслаивают по возрастному или социальному признаку, типу проживания (городское, сельское населения и т.д.); при обследованиях малых предприятий типизация осуществляется по четырем признакам: территориальному, отраслевому, виду собственности и размеру выручки. Этим достигается однородность единиц внутри групп. Типическая выборка дает более точные результаты.

Серийная (гнездовая) выборка. Если генеральную совокупность можно разделить на одинаковые по объему и однородные группы, то целесообразно осуществлять отбор не единиц, а их серий. После такого отбора внутри серий проводится сплошное обследование.

Например, при оценке качества продукции можно отбирать партии товара, а затем обследовать все входящие в них изделия; при некоторых обследованиях населения отбираются в порядке серий жилые дома, в которых опрашиваются жильцы всех квартир; обследования школьников проводятся путем отбора однотипных школ или конкретных классов, ученики которых подвергаются сплошному опросу, и т.д.

Комбинированные выборки. Комбинированный отбор широко применяется на практике и представляет собой сочетание разных методов отбора (их комбинацию), например типического с механическим. В этом случае генеральная совокупность разбивается на типические группы на основе ранее выбранного группировочного признака, внутри этих групп единицы наблюдения упорядочиваются, устанавливается шаг отбора, соответствующий необходимой численности выборки, после чего происходит извлечение единиц наблюдения из типических групп на основе механического отбора. Подобная комбинация методов обеспечивает представительство в выборке всех типов единиц наблюдения (за счет применения типического отбора) и сохраняет структуру типических групп по группировочным признакам, обеспечиваемую механическим отбором.

Малая выборка. Выборка считается малой, если количество объектов, отобранных для выборочного наблюдения, не превышает 20 единиц.

Малые выборки используются в тех ситуациях, когда распределение признака в генеральной совокупности является нормальным или приближается к нему. Только в этих случаях построенные доверительные интервалы или рассчитанные доверительные вероятности будут иметь реальное практическое значение.

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику - среднюю ошибку выборки ($$ \mu $$).

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения $$ \mu $$, которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то $$ \mu $$ определяется как:

- при оценивании среднего значения признака;

- если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 - n/N):

- для среднего значения признака;

- для доли.

Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки ($$\Delta$$) равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

$$\Delta =t \mu$$.

Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае - двойной средней ошибки) - 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 - практически достоверность.

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше - по таблице распределения Стьюдента.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

Формулы для расчета средней ошибки собственно случайной и механической выборки ($$ \mu $$)

где $$\sigma^{2}$$ - дисперсия признака в выборочной совокупности.

Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

$$\delta_{x}= t\mu_{x}= 2*0.027 = 0.054$$

Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

$$\sigma_{w}^{2}= w(1 - w) = 0,667(1 - 0,667) = 0,222$$;

Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

$$\delta_{x}= t\mu_{x}= 3*0.04 = 0.12$$

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:

n = n_i · N_i/N

где n_i - количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n - общий объем выборки;

N_i - количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N - общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Формулы для расчета средней ошибки выборки ($$\mu$$) при использовании типического отбора, пропорционального объему типических групп

Здесь $$\sigma^{2}$$ - средняя из групповых дисперсий типических групп.

Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что один студент за семестр посещает вузовскую библиотеку в среднем от семи до девяти раз.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

$$\delta_{MB}= t\mu_{MB}$$

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения - распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.

Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.

Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Формулы для определения численности выборочной совокупности

Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.

Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.

Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.