Статистика

Статистическое изучение взаимосвязей между социально-экономическими явлениями

Показывать лекцию целиком

12.1. Понятие о функциональной и корреляционной связи

Между общественными и экономическими явлениями имеется два основных типа связи - функциональная и статистическая (называемая также стохастической, вероятностной или корреляционной). Перед тем как рассмотреть их подробнее, введем понятия независимых и зависимых признаков.

Независимыми, или факторными, называют признаки, которые вызывают изменения других, связанных с ними признаков. Признаки, изменение которых под воздействием определенных факторов требуется проследить, называют зависимыми, или результативными.

При функциональной связи изменение независимых переменных приводит к получению точно определенных значений зависимой переменной.

Наиболее часто функциональные связи проявляются в естественных науках, например в механике функциональной является зависимость расстояния, пройденного объектом, от скорости его движения и т. п.

При статистической связи каждому значению независимой переменной Х соответствует множество значений зависимой переменной Y, причем не известно заранее, какое именно. Например, мы знаем, что прибыль коммерческого банка определенным образом связана с размером его уставного капитала (этот факт не подлежит сомнению). Тем не менее, нельзя вычислить точную величину прибыли при заданном значении последнего показателя, так как она зависит еще и от множества других факторов, помимо размера уставного капитала, среди которых имеются и случайные. В нашем случае, скорее всего, мы определим лишь среднее значение прибыли, которое будет получено в целом по совокупности банков со сходным объемом уставного капитала. Таким образом, статистическая связь отличается от функциональной наличием действия на зависимую переменную большого числа факторов.

Заметим, что статистическая связь проявляется лишь "в общем и среднем" при большом числе наблюдений за явлением. Так, интуитивно мы можем предполагать, что существует зависимость между объемом основных фондов предприятия и получаемой им прибылью, а именно с увеличением первого размер прибыли возрастает. Но на это можно возразить и привести пример предприятия, обладающего достаточным количеством современного производственного оборудования, но тем не менее терпящего убытки. В данном случае мы имеем наглядный пример статистической связи, которая проявляется лишь в больших совокупностях, содержащих десятки и сотни единиц в отличие от функциональной, подтверждающейся для каждого наблюдения.

Корреляционной является статистическая связь между признаками, при которой изменение значений независимой переменной Х приводит к закономерному изменению математического ожидания случайной величины Y.

Пример 12.1. Предположим, что имеются данные по предприятиям о размере нераспределенной прибыли предыдущего года, объеме инвестиций в основной капитал и о суммах, выделенных на приобретение ценных бумаг (тыс. ден. ед.):

Номер предприятия Нераспределенная прибыль предыдущего года Приобретение ценных бумаг Инвестиции в основные фонды
1 3 010 190 100
2 3 100 182 250
3 3 452 185 280
4 3 740 170 270
5 3 980 172 330
6 4 200 160 420
7 4 500 145 606
8 5 020 120 690
9 5 112 90 800
10 5 300 30 950

Из таблицы видно, что имеется прямое соответствие между нераспределенной прибылью предприятия и его инвестициями в основной капитал: при увеличении нераспределенной прибыли объем инвестиций также возрастает. Теперь обратим внимание на связь между показателем нераспределенной прибыли и объемом приобретенных ценных бумаг. Здесь она носит совершенно иной характер: увеличение первого показателя приводит к прямо противоположному эффекту - стоимость приобретенных ценных бумаг за редким исключением (что уже однозначно исключает наличие функциональной связи) уменьшается. Такой визуальный анализ данных, при котором наблюдения ранжируются по возрастанию или убыванию независимой величины х, а затем анализируется изменение значений зависимой величины у, называется методом приведения параллельных данных.

В рассмотренном примере в первом случае связь прямая, т.д. увеличение (уменьшение) одного показателя влечет увеличение (уменьшение) другого (наблюдается соответствие в изменениях показателей), а во втором - обратная, т.д. уменьшение одного показателя вызывает рост другого или же увеличение одного соответствует снижению другого.

Прямая и обратная зависимости характеризуют направление связи между признаками, которую можно проиллюстрировать графически с помощью поля корреляции. При его построении в прямоугольной системе координат на оси абсцисс располагают значения независимой переменной х, а на оси ординат - зависимой у. Пересечение координат обозначают точками, которые символизируют наблюдения. По форме рассеяния точек на корреляционном поле судят о форме и тесноте связи. На рисунке 12.1 приводятся корреляционные поля, соответствующие различным формам связи.

(рис 12.1) Корреляционные поля:

а - прямая (положительная) связь;

б - обратная (отрицательная) связь;

в - отсутствие связи

Раздел статистической науки, занимающийся исследованием причинных связей между социально-экономическими явлениями и процессами, имеющими количественное выражение, - это корреляционно-регрессионный анализ. По существу имеются два отдельных направления анализа - корреляционный и регрессионный. Однако в связи с тем, что на практике они применяются чаще всего комплексно (исходя из результатов корреляционного анализа проводят регрессионный), их объединяют в один вид.

Проведение корреляционно-регрессионного анализа предполагает решение следующих задач:

  • выявление из большого числа факторов наиболее информативных, оказывающих более существенное воздействие на результативную величину (предварительный анализ, базирующийся на простейших методах выявления зависимостей и экспертных оценках);
  • определение направления и количественной оценки тесноты зависимости между факторной величиной Х и результативной Y (при этом факторных переменных может быть достаточно много, тогда определяется множественная корреляция);
  • нахождение математической функции, описывающей зависимость результативного показателя Y от наиболее информативных факторных Х. Эта функция выполняет роль модели, которая аналитически выражает зависимость условного среднего значения результативного признака от факторных переменных = f(x1.x3....xk).
  • оценка качества полученной модели, определение возможной величины ошибки получаемых по этой модели прогнозных значений Y;
  • построение прогнозов.
    •

    Из перечисленных задач первые две относят непосредственно к задачам корреляционного анализа, три последующие - к регрессионному анализу и только по отношению к количественным показателям.

    12.1.1. Требования к статистической информации, исследуемой методами корреляционно-регрессионного анализа

    Методы корреляционно-регрессионного анализа можно применить не ко всем статистическим данным. Перечислим основные требования, предъявляемые к анализируемой информации:

  • используемые для исследования наблюдения должны являться случайно выбранными из генеральной совокупности объектов. В противном случае исходные данные, представляющие собой определенную выборку из генеральной совокупности, не будут отражать ее характер, полученные по ним выводы о закономерностях развития окажутся бессмысленными и не имеющими никакой практической ценности;
  • требование независимости наблюдений друг от друга. Зависимость наблюдений друг от друга называется автокорреляцией, для ее устранения в теории корреляционно-регрессионного анализа созданы специальные методы;
  • исходная совокупность данных должна быть однородной, без аномальных наблюдений. И действительно, одно-единственное, резко выделяющееся наблюдение может привести к катастрофическим последствиям для регрессионной модели, ее параметры окажутся смещенными, выводы абсурдными;
  • желательно, чтобы исходные данные для анализа подчинялись нормальному закону распределения. Нормальный закон распределения используется для того, чтобы при проверке значимости коэффициентов корреляции и построении для них интервальных границ можно было использовать определенные критерии. Если же проверять значимость и строить интервальные оценки не требуется, переменные могут иметь любой закон распределения. В регрессионном анализе при построении уравнения регрессии требование нормальности распределения исходных данных предъявляется лишь к результативной переменной Y, независимые факторы рассматриваются как неслучайные величины и могут в действительности иметь любой закон распределения. Как и в случае корреляционного анализа, требование нормальности распределения нужно для проверки значимости регрессионного уравнения, его коэффициентов и нахождения доверительных интервалов;
  • число наблюдений, по которым устанавливается взаимосвязь признаков и строится модель регрессии, должно превышать количество факторных признаков хотя бы в 3-4 раза (а лучше в 8-10 раз). Как отмечалось выше, статистическая связь проявляется только при значительном числе наблюдений на основе действия закона больших чисел, причем, чем связь слабее, тем больше требуется наблюдений для установления связи, чем сильнее - тем меньше;
  • факторные признаки Х не должны находиться между собой в функциональной зависимости. Значительная связь независимых (факторных, объясняющих) признаков между собой указывает на мультиколлениарность. Ее наличие приводит к построению неустойчивых регрессионных моделей, "ложных" регрессий.
    •

    12.1.2. Линейная и нелинейная связи

    Линейная связь выражается прямой линией, а нелинейная - какой-либо кривой линией. Линейная связь выражается уравнением прямой: y = a0 + ai*x. Прямая наиболее привлекательна с точки зрения простоты расчета параметров уравнения. К ней прибегают всегда, в том числе и в случаях нелинейных связей, когда нет угрозы значительных потерь в точности оценок. Однако для некоторых зависимостей представление их в линейной форме приводит к большим ошибкам (ошибкам аппроксимации) и, как следствие, к ложным выводам. В этих случаях используют нелинейные регрессионные функции, которые в общем случае могут иметь любой произвольный вид, тем более что современное программное обеспечение позволяет быстро их построить. Чаще всего для выражения нелинейной связи используются следующие нелинейные уравнения: степенное, параболическое, гиперболическое, логарифмическое.

    Параметры этих моделей, как и в случаях линейных зависимостей, оцениваются также на основе метода наименьших квадратов (см. п. 12.3.1).

    12.2. Корреляционно-регрессионный анализ

    Основными задачами корреляционного анализа являются определение наличия связи между отобранными признаками, установление ее направления и количественная оценка тесноты связи. Для этого в корреляционном анализе сначала оценивается матрица парных коэффициентов корреляции, затем на ее основе определяются частные и множественные коэффициенты корреляции и детерминации. После нахождения значений коэффициентов проверяют их значимость. Конечный результат корреляционного анализа - это отбор факторных признаков Х для дальнейшего построения уравнения регрессии, позволяющего количественно описать взаимосвязь.

    Рассмотрим этапы корреляционного анализа подробнее.

    12.2.1. Парные (линейные) коэффициенты корреляции

    Корреляционный анализ начинается с расчета парных (линейных) коэффициентов корреляции.

    Парный коэффициент корреляции представляет собой меру линейной зависимости между двумя переменными на фоне действия остальных переменных, входящих в модель.

    В зависимости от того, какой порядок вычислений более удобен исследователю, расчет данного коэффициента проводят по одной из следующих формул:

  • где у - среднее арифметическое значение у;

    х - среднее арифметическое значение х;

    ух - среднее арифметическое значение из произведений у и х;

    $$\sigma_{у}$$ - среднеквадратическое отклонение признака у;

    $$\sigma_{x}$$ - среднеквадратическое отклонение признака х.

  • если известны суммы переменных у и х, используют следующие модификации формул:

    или

    •

    Парный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Абсолютное значение, равное единице, свидетельствует о том, что связь функциональная: -1 - обратная (отрицательная), +1 - прямая (положительная). Нулевое значение коэффициента указывает на отсутствие линейной связи между признаками.

    Качественную оценку полученным количественным значениям парных коэффициентов корреляции можно дать на основе шкалы, представленной в табл. 12.2.

    Шкала оценок парных коэффициентов корреляции
    Значение коэффициента корреляции (по модулю) Качественная характеристика силы связи
    До 0,3 Практически отсутствует (слабая)
    0,3-0,7 Средняя
    0,7-0,9 Высокая
    0,9-0,99 Весьма высокая

    Примечание: положительное значение коэффициента говорит о том, что связь между признаками прямая, отрицательное - обратная.

    12.2.2. Оценка существенности связи

    После того, как значения коэффициентов получены, следует проверить их значимость. Поскольку исходные данные, по которым устанавливается взаимосвязь признаков, являются определенной выборкой из некоей генеральной совокупности объектов, исчисленные по этим данным парные коэффициенты корреляции будут выборочными. Таким образом, они лишь оценивают связь исходя из той информации, которую несут отобранные единицы наблюдения. Если исходные данные "хорошо" отражают структуру и закономерности генеральной совокупности, то и исчисленный по ним коэффициент корреляции будет показывать реальную связь, присущую в действительности всей исследуемой совокупности объектов. Если данные не "копируют" взаимосвязи совокупности в целом, то и рассчитанный коэффициент корреляции сформирует ложное представление о зависимости. В идеале, чтобы установить этот факт, требуется исчислить коэффициент корреляции на основе данных всей совокупности и сравнить его с исчисленным по отобранным наблюдениям. Однако на практике, как правило, этого сделать нельзя, так как зачастую неизвестна вся генеральная совокупность или же она слишком велика. Поэтому о том, насколько реально коэффициент представляет действительность, можно судить лишь приблизительно. На основе логики легко прийти к выводу, что, очевидно, с увеличением числа наблюдений (при $$n \rightarrow N$$) доверие к исчисленному коэффициенту будет увеличиваться.

    Значимость парных коэффициентов корреляции проверяется одним из двух способов: с помощью таблицы Фишера - Йейтса или по t-критерию Стьюдента. Рассмотрим способ проверки с помощью таблицы Фишера - Йейтса как наиболее простой.

    В начале проверки задается уровень значимости (чаще всего обозначаемый буквой греческого алфавита "альфа" - $$\alpha$$ ), который показывает вероятность принятия ошибочного решения. Возможность совершить ошибку вытекает из того факта, что для определения взаимосвязи используются данные не всей совокупности, а лишь ее части. Обычно $$\alpha$$ принимает следующие значения: 0,05; 0,02; 0,01; 0,001. Например, если $$\alpha$$ = 0,05, то это означает, что в среднем в пяти случаях из ста принятое решение о значимости (или незначимости) парных коэффициентов корреляции будет ошибочным; при $$\alpha$$ = 0,001 - в одном случае из тысячи и т.д.

    Вторым параметром при проверке значимости является число степеней свободы v, которое в данном случае вычисляется как v = n - 2. По таблице Фишера - Йейтса находится критическое значение коэффициента корреляции rкр. ($$\alpha$$ = 0,05, v = n - 2). Коэффициенты, значения которых по модулю больше найденного критического значения, считаются значимыми.

    Пример 12.2. Предположим, что в первом случае имеется 12 наблюдений, и по ним вычислили парный коэффициент корреляции, который оказался равным 0,530, во втором - 92 наблюдения, и рассчитанный парный коэффициент корреляции составил 0,36. Но если мы проверим их значимость, в первом случае коэффициент окажется незначимым, а во втором - значимым, невзирая на то, что он по величине гораздо меньше. Оказывается, в первом случае слишком мало наблюдений, что повышает требования, и критическая величина парного коэффициента корреляции при уровне значимости $$\alpha$$ = 0,05 составляет 0,576 (v = 12 - 2), а во втором - наблюдений значительно больше и достаточно превысить критическое значение 0,205 (v = 92 - 2), чтобы коэффициент корреляции при том же уровне $$\alpha$$ оказался значимым. Таким образом, чем меньше наблюдений, тем всегда будет выше критическое значение коэффициента.

    Проверка значимости по существу решает вопрос, случайны или нет полученные результаты расчетов.

    12.2.3. Определение множественного коэффициента корреляции

    Следующий этап корреляционного анализа связан с расчетом множественного (совокупного) коэффициента корреляции.

    Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между одной переменной и совокупностью других переменных, рассматриваемых в корреляционном анализе.

    Если изучается связь между результативным признаком y и лишь двумя факторными признаками х1 и х2, то для вычисления множественного коэффициента корреляции можно использовать следующую формулу, компонентами которой являются парные коэффициенты корреляции:

    где r - парные коэффициенты корреляции.

    12.3. Регрессионный анализ

    12.3.1. Общие принципы построения регрессионных уравнений

    На рисунке 12.2 приведены примеры корреляционного поля и формы связи, образованные скоплениями точек. Точки группируются возле некоторой линии, если связь показателей линейна, или кривой, если связь нелинейна. Эти линии называются линиями регрессии, а описывающие их аналитические выражения - уравнениями регрессии (рис. 12.2).

    (рис 12.2) Формы связи:

    а - линейная связь;

    б - параболическая связь;

    в - гиперболическая связь;

    г - нет связи (если две переменные практические не связаны между собой,

    то моделью будет являться горизонтальная прямая)

    Зная уравнение регрессии, можно приближенно оценить значение зависимой переменной Y при определенном значении Х. Причем точность такой оценки будет тем выше, чем теснее группируются точки фактических наблюдений относительно линии регрессии, т.д. точность модели регрессии определяется тем, насколько тесной является взаимозависимость признаков Х и Y.

    Регрессионный анализ - это статистический метод исследования зависимости случайной величины Y от переменных Хj.

    При построении парной регрессии (с одной факторной переменной) обычно используются следующие функции:

  • линейная y = a0 + a1*xi
  • степенная y = a0 + a1*xa1
  • показательная y = a0 + a1x
  • параболическая y = a0 + a1*xi + a2*x2
  • гиперболическая y = a0 + a1/xi
  • логарифмическая y = a0 + a1*lgxi

    где а0 - свободный коэффициент уравнения регрессии;

    а1 - параметр уравнения регрессии.

    •

    Однако в действительности любой результативный показатель испытывает воздействие не одного, как в случае парной корреляции, а нескольких факторов, поэтому зачастую строят модели множественной регрессии, которые принимают вид:

  • линейная: y = a0 + a1*xi + a2*x2 + ak*xk

    (наиболее часто встречающаяся модель);

  • степенная: y = a0 *x1a1 *x2a2 ..... *xkak
  • показательная y = ea0 + a1*xi + a2*x2 + ak*xk
  • параболическая: y = a0 + a1*xi2 + a2*x22 + ak*xk2
  • гиперболическая

    где а0 - свободный коэффициент регрессии;

    аj (j = 1, 2, …, k) - параметры регрессионного уравнения, называемые коэффициентами регрессии.

    •

    Для того чтобы правильно выбрать тип регрессионного уравнения, следует знать условный закон распределения зависимой переменной Y. На основе графика не всегда удается определить его однозначно, поэтому строят несколько регрессионных моделей, а затем по определенным критериям определяют лучшую модель. Если в проводимом исследовании можно ограничиться построением линейной модели, выбирают ее. Такая популярность и предпочтительность объясняется очень просто: математический аппарат линейных уравнений наиболее разработан, а сами модели легко интерпретируемы.

    Критерием нахождения значений коэффициентов регрессии аj является следующее требование: сумма квадратов отклонений наблюдаемых "игреков" от "игреков", рассчитанных по уравнению регрессии, должна быть минимальной. Параметры регрессионной модели должны быть такими, чтобы на графике корреляционного поля линия регрессии оказалась там, где точки фактических наблюдений наибольшим образом сконцентрированы, т.д. проходила бы на минимальном удалении от них. В виде формулы это требование записывается следующим образом:

    Метод нахождения значений коэффициентов регрессии по приведенному критерию называется методом наименьших квадратов (МНК).

    12.3.2. Построение парного линейного уравнения

    Если имеется только один факторный признак, строится так называемая парная регрессия, выражающаяся уравнением прямой

    y = a0 + a1x

    Коэффициент регрессии а1 показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную Х увеличить на единицу ее собственного измерения.

    Свободный член уравнения а0 характеризует усредненное влияние неучтенных в модели факторов (определяет начальные условия развития).

    Для нахождения параметров уравнения прямой воспользуемся методом наименьших квадратов.

    Для расчета параметров линейного уравнения регрессии решим следующую систему нормальных уравнений:

    После решения системы и нахождения параметров а0 и а1 данные параметры подставляют в уравнение прямой. Рассчитанные по этому уравнению значения yk называются теоретическими (выравненными) значениями у.

    Пример 12.3. Рассчитаем парный коэффициент корреляции и построим уравнение регрессии на основе следующих данных.

    Стоимость основных фондов и выпуск продукции по группе заводов

    Номер завода Стоимость основных фондов, млн руб., x Выпуск продукции, млн руб., y
    1 6 2,4
    2 8 4,0
    3 9 3,6
    4 10 4,0
    5 10 4,5
    6 11 4,6
    7 12 5,6
    8 13 6,5
    9 14 7,0
    10 15 5,0
    Итого 108 47,2

    Изобразим на графике координаты факторного и результативного признака точками, а затем соединим их между собой.

    (рис 12.3)

    На поле корреляции появилась линия, которая по форме ближе всего к прямой.

    Можно предположить, что между стоимостью основных фондов и выпуском продукции существует прямолинейная связь, которая выражается уравнением прямой y = a0 + a1x. Для определения параметров а0 и а1, используя метод наименьших квадратов, необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:

    где n - численность совокупности (в нашем примере n - 10).

    Проведем необходимые расчеты в следующей таблице.

    Расчет параметров уравнения регрессии
    Номер завода Стоимость основных фондов, млн руб., x Выпуск продукции, млн руб., y xy x2 yi
    1 6 2,4 14,4 36 2,692
    2 8 4,0 32,0 64 3,537
    3 9 3,6 32,4 81 3,958
    4 10 4,0 40,0 100 4,380
    5 10 4,5 45,0 100 4,380
    6 11 4,6 50,6 121 4,802
    7 12 5,6 67,2 144 5,224
    8 13 6,5 84,5 169 5,646
    9 14 7,0 98,0 196 6,068
    10 15 5,0 75,0 225 6,460
    Итого 108 47,2 539,1 1 236 -

    Расчеты, проведенные в таблице, дали следующие результаты:

    $$\sum x=108; \sum y=47,2; \sum x^{2}=1236; \sum {xy}=53$$

    Следовательно, система уравнений для нахождения параметров прямой имеет вид:

    Решим ее.

    Каждый член обоих уравнений поделим на коэффициенты при а0 и из второго уравнения вычтем первое:

  • 4,72 = а0 + 10,8а1;
  • 4,99 = а0 + 11,44 а1; 0,27 = 0,64 а1.
    •

    Определим параметр а1: 0.27/0.64 = 0.422.

    Подставив значение а1 в первое уравнение, получим:

    4,72 = а0 + 10,8*0,422, откуда а0 = 0,16.

    Параметр а0 - свободный член уравнения: ух = 0,16, когда х = 0.

    Получим:

    а0 = 0,16; а1 = 0,422.

    Параметр уравнения а1 показывает, что с увеличением стоимости фондов на 1 млн руб. выпуск продукции увеличивается в среднем на 0,422 млн руб. Линейное уравнение корреляционной связи будет иметь следующий вид:

    y = 0.16 + 0.422x

    Подставляя в это уравнение значения х, получим:

  • при х = 6: у6 = 0,16 + 0,422 * 6 = 2,692;
  • при х = 8: у8 = 0,16 + 0,422 * 8 = 3,537 и т.д.

    • Эти значения называются выравненными. Они приведены в последней колонке предыдущей таблицы.

    Измерим тесноту связи между факторным и результативным признаками. Для расчета используем следующую формулу:

    Расчет необходимых значений проведем в следующей таблице.

    Расчет линейного коэффициента корреляции
    Номер завода x y (x - x) (y - y) (x - x)(y - y) (x - x)2 (y - y)2 xy
    1 6 2,4 -4,8 -2,32 +11,136 23,04 5,38 14,4
    2 8 4,0 -2,0 -0,72 +2,016 7,84 0,52 32,0
    3 9 3,6 -1,8 -1,12 +2,016 3,24 1,25 32,4
    4 10 4,0 -0,8 -0,72 +0,576 0,64 0,52 40,0
    5 10 1,5 0,8 0,22 +0,176 0,64 0,005 45,0
    6 11 4,6 +0,2 -0,12 -0,024 0,04 0,01 50,6
    7 12 5,6 +1,2 0,88 +1,056 1,44 0,77 67,2
    8 13 6,5 +2,2 +1,78 +3,916 4,84 3,17 84,5
    9 14 7,0 +3,2 +2,28 +7,296 10,24 5,20 98,0
    10 15 5,0 +4,2 +0,28 +1,176 17,64 0,08 75,0
    Итого 108 47,2 - - +29,640 69,60 16,96 539,1

    Связь между стоимостью основных фондов и выпуском продукции прямая и высокая.

    Расчет коэффициента корреляции по следующей формуле даст такой же результат:

    где

    $$\sigma_{у}$$ - среднее квадратическое отклонение результативного признака;

    $$\sigma_{x}$$ - среднее квадратическое отклонение факторного признака.

    По данным таблицы проведем расчет:

    Подставим необходимые данные в формулу

    В случае нелинейной зависимости между признаками для измерения тесноты связи применяют корреляционное отношение, которое исчисляется по формуле

    где у - фактические значения;

    у - среднее значение;

    yx - теоретические (выравненные) значения переменной величины.

    Корреляционное отношение по своему абсолютному значению может принимать значения в пределах от 0 до 1.

    12.3.3. Построение множественного уравнения регрессии

    Теперь построим уравнение множественной регрессии. В нем результативный признак (у) будет зависеть не от одного факторного признака, а от двух (х1, х2).

    Пример 12.4. В следующей таблице представлены данные о душевом доходе и потреблении мяса семей различного состава.

    Расчет параметров уравнения множественной регрессии
    Средний доход на члена семьи за месяц, руб., x1 (факторный признак) Число членов семьи, x2 (факторный признак) Душевое потребление мяса за месяц, кг, y (результативный признак) yx1 yx2 x1x2 x12 x22 $$y^{-}_{(x_{1}x_{2})}$$
    70 4 3,0 210,0 12,0 280 4 900 16 3,0
    85 4 3,3 280,5 13,2 340 7 225 16 3,5
    90 3 4,2 378,0 12,6 270 8 100 9 4,0
    100 3 5,0 500,0 15,0 300 10 000 9 4,6
    125 2 4,5 562,5 9,0 250 15 625 4 5,5
    150 2 6,8 1 020,0 13,6 300 22 500 4 6,4
    130 1 6,2 806,0 6,2 130 16 900 1 5,9
    160 1 7,0 1 120,0 7,0 160 25 600 1 7,0
    Итого 910 20 40,0 4 877,0 88,6 2 030 110 850 60 40,0
    Среднее значение 113,75 2,5 5,0 609,63 11,075 253,75

    Предполагая, что связь между у, х1 и х2 прямолинейная, воспользуемся методом наименьших квадратов и подставим данные таблицы в систему нормальных уравнений:

    Решим ее.

    Для решения системы нормальных уравнений разделим все члены уравнений на коэффициент при а0

    Вычтем теперь из первого уравнения второе и третье и получим

    -0,36 = -8,06а1 + 0,27а2;

    0,57 = 12,25а1 -0,5а2.

    Разделим все члены уравнений на коэффициенты при а2 и вычтем из первого уравнения второе

    Подставив значение параметра а1 в уравнение, получим

    -1,140 = -24,5 * 0,0361 + а2,

    откуда

    а2 = -1,140 + 0,8844 = 0,2556.

    Аналогично определяем значение параметра а0, которое будет равно 1,5327.

    Получим:

    а0 = 1,5327; а1 = 0,0361; а2 = 0,2556.

    Уравнение множественной регрессии, характеризующее зависимость потребления мяса от душевого дохода и числа членов семьи, будет иметь вид

    Параметр а1 показывает, что с ростом дохода на одного члена семьи на 1 руб. расходы на потребление мяса увеличиваются в среднем на 0,0361 руб., а параметр а2 показывает, что с увеличением размера семьи на 1 человека потребление мяса уменьшается в среднем на 0,2556 кг в расчете на одного человека.

    Подставим в уравнение множественной регрессии эмпирические значения х1 и х2, получим теоретические значения y(х1х2) (см. последнюю графу таблицы).

    При определении тесноты связи для множественной зависимости пользуются коэффициентом множественной (совокупной) корреляции, предварительно исчислив коэффициенты парной корреляции. Для нашего примера коэффициент множественной корреляции имеет вид

    где - парные коэффициенты корреляции.

    Коэффициент множественной корреляции может принимать значения в пределах от 0 до 1. Чем он ближе к 1, тем в большей мере учтены факторы, определяющие конечный результат.

    Рассчитаем коэффициент множественной корреляции (табл.).

    Расчет коэффициента множественной корреляции
    (y - y) (y - y)2 (x1 - x1) (x1 - x1)2 (x2 - x2) (x2 - x2)2
    -2 4,00 -43,75 1 914,06 +1,5 2,25
    -1,7 2,89 -28,75 826,56 +1,5 2,25
    -0,8 0,64 -23,75 564,06 +0,5 0,25
    0 0,00 -13,75 189,06 +0,5 0,25
    0,5 0,25 11,25 126,56 -0,5 0,25
    1,8 3,24 36,25 1 314,06 -0,5 0,25
    1,2 1,44 16,25 264,06 -1,5 2,25
    2,0 4,0 46,25 2 139,06 -1,5 2,25
    16,46 7 337 - - 10

    Для определения парных коэффициентов корреляции вычислим:

    Парные коэффициенты корреляции определяются по следующим формулам:

    Подставим найденные значения в формулу коэффициента множественной корреляции

    Сравнивая парные коэффициенты корреляции с коэффициентом множественной корреляции, мы видим, что связь между результативным признаком (у) и двумя факторами (х1 и х2) является более полной, чем с каждым фактором в отдельности.

    Поскольку факторные признаки действуют не изолированно, а во взаимосвязи, то может возникнуть задача определения тесноты связи между результативным признаком и одним из факторных при постоянных значениях прочих факторов. Она решается при помощи частных коэффициентов корреляции. Например, при линейной связи частный коэффициент корреляции между х1 и у при постоянном х2 исчисляется по следующей формуле:

    Частный коэффициент корреляции при изучении зависимости у от х2 при постоянном х1 определяется по формуле

    В нашем примере частный коэффициент корреляции между у и х1 при неизменном значении х2 равен

    Частный коэффициент корреляции между у и х2 при неизменном значении фактора х1 равен

    Если сравнить исчисленные коэффициенты частной корреляции с соответствующими коэффициентами парной корреляции, то окажется, что последние значительно больше первых, т.д. они преувеличивают меру связи между результативным и факторным признаком. Это объясняется тем, что факторы взаимно коррелируют между собой.

    Коэффициенты же частной корреляции определяют действие каждого фактора при неизмененном значении остальных факторов. Поэтому они более точно определяют тесноту связи.

    Вопросы для самоконтроля

  • Перечислите основные исторические этапы становления статистики как науки.
  • В каких государствах Древнего мира существовал статистический учет? Какие задачи он выполнял?
  • Охарактеризуйте роль школы политических арифметиков в формировании статистики как науки.
  • Каков вклад немецкой описательной школы в теорию статистики?
  • В каких значениях может употребляться термин "статистика" в наше время?
  • Дайте определение предмета изучения статистики.
  • Почему к предмету изучения статистики относятся массовые явления и процессы общественной жизни?
  • Какую роль играет в статистике закон больших чисел?
  • Что такое статистическая закономерность? Приведите примеры наличия статистических закономерностей в экономической и социальной сферах.
  • Почему количественные характеристики массовых явлений рассматриваются статистикой в неразрывной связи с их качественной стороной?
  • В чем заключается метод статистики?
  • Что изучают отраслевые статистики?
  • Дайте определение статистической совокупности, приведите примеры статистических совокупностей.
  • В чем отличие статистического признака от статистического показателя?
  • Как организована государственная статистика в России?
  • Какие задачи стоят перед государственной статистикой на современном этапе?
    •

    Вопросы для самоконтроля

  • Назовите основные этапы проведения статистического наблюдения.
  • Сформулируйте возможную цель статистического наблюдения деятельности промышленных предприятий России. Что в этом случае будет являться объектом, единицей наблюдения?
  • В чем состоит отличие объекта наблюдения от единицы наблюдения?
  • В каких случаях единица наблюдения будет совпадать с отчетной единицей? Приведите примеры.
  • Назовите основные типы вопросов статистических анкет. Приведите примеры открытых и закрытых вопросов.
  • Как влияют закрытые вопросы на сложность обработки результатов наблюдения?
  • Что в себя включает программа наблюдения? Назовите основные требования, предъявляемые к программе наблюдения.
  • Какие вопросы решает организационная подготовка статистического наблюдения?
  • Охарактеризуйте основные формы статистического наблюдения.
  • Почему наряду с ведением регистров населения проводится и перепись населения?
  • Каковы особенности Всероссийской переписи населения 2002 г.?
  • Перечислите виды статистического наблюдения.
  • В чем состоят преимущества и недостатки несплошного и сплошного статистического наблюдения?
  • Какие способы статистического наблюдения вы знаете?
  • Что называется ошибкой регистрации? Приведите примеры таких ошибок.
  • Когда возникают ошибки репрезентативности?
  • Назовите мероприятия, позволяющие повысить точность статистического наблюдения.
    •

    Вопросы для самоконтроля

  • Дайте определение статистической сводки и статистической группировки. В чем состоит их различие?
  • Какие виды группировок применяются в статистической практике? Каково их назначение?
  • Приведите примеры типологических и структурных группировок.
  • Для каких целей строят аналитические группировки?
  • Назовите виды рядов распределения. Приведите примеры таких рядов.
  • Когда следует строить дискретные и интервальные вариационные ряды?
  • Как рассчитать количество интервалов в случае построения интервального вариационного ряда с равными интервалами?
  • К какому интервалу следует отнести единицу наблюдения при построении вариационного ряда, если ее значение попадает на границу интервала?
  • Приведите примеры вариационных рядов с открытыми интервалами.
  • В каких случаях для графического изображения вариационных рядов следует применять:
  • полигон распределения;
  • гистограмму?
    •
  • Как они строятся?
  • Как строятся кумулята и огива распределения?
    •

    Вопросы для самоконтроля

  • Что такое статистические таблицы?
  • Охарактеризуйте подлежащее и сказуемое в статистических таблицах.
  • Назовите виды таблиц по характеру разработки подлежащего и сказуемого. Приведите примеры таблиц из официальных статистических сборников.
  • Какое правило построения и оформления статистических таблиц вы знаете?
  • Какие виды графиков вы знаете?
  • Какие типы графиков применяются для графического изображения структурной группировки?
  • Перечислите виды статистических таблиц в зависимости от разработки подлежащего. Приведите примеры таких таблиц.
  • Назовите виды статистических таблиц в зависимости от разработки сказуемого. Приведите примеры таких таблиц.
  • Перечислите основные правила построения статистических таблиц.
  • Из каких элементов состоит статистический график?
  • Сформулируйте правила построения столбиковой, ленточной и фигурной диаграмм. Охарактеризуйте информативное значение этих графиков.
  • Какие виды пиктографиков могут применяться в статистическом анализе?
  • Приведите примеры диаграмм сравнения.
  • Назовите цель применения радиальных диаграмм в статистическом анализе.
  • Приведите примеры и сформулируйте правила построения основных биржевых статистических графиков.
    •

    Вопросы для самоконтроля

  • Перечислите виды единиц измерения абсолютных статистических показателей.
  • В каких единицах измерения происходит учет затрат труда на предприятии?
  • В чем состоит особенность применения условных натуральных единиц измерения?
  • Назовите единицы измерения относительных статистических показателей.
  • Назовите виды относительных показателей, построенных в форме относительных величин.
  • Охарактеризуйте взаимосвязь относительных показателей динамики, плана и выполнения плана.
  • Как рассчитываются относительные величины динамики с переменной базой сравнения (цепные)?
  • Опишите порядок расчета относительных величин динамики с постоянной базой сравнения (базисных).
  • Как связаны между собой базисные и цепные относительные величины динамики?
  • Приведите примеры расчета относительных показателей координации и структуры.
  • Чему равна сумма относительных показателей структуры, рассчитанных по одной совокупности?
  • Приведите примеры расчета относительных показателей интенсивности.
  • Приведите примеры расчета относительных показателей сравнения.
  • Какая основная цель преследуется при использовании относительных величин уровня экономического развития?
    •

    Вопросы для самоконтроля

  • Дайте определение средней величины.
  • Охарактеризуйте особенности и значение средних величин в анализе социально-экономических явлений.
  • Какие виды средних величин вы знаете?
  • Как влияет степень однородности совокупности на возможность использования средней арифметической величины в статистическом анализе?
  • Какие свойства средней арифметической лежат в основе способа моментов?
  • В каких случаях для расчета средней арифметической применяются формулы простой средней, а в каких - взвешенной средней?
  • В каких случаях следует применять для расчета средней величины формулу средней гармонической?
  • Приведите пример, в котором для расчета средней величины необходимо использовать формулу средней гармонической.
    •

    Вопросы для самоконтроля

  • Дайте определение вариации признака. Может ли быть различной вариация значений признака в двух совокупностях, если их средние равны между собой?
  • Перечислите абсолютные показатели вариации. Приведите формулы для их расчета.
  • Перечислите относительные показатели вариации. Приведите формулы для их расчета.
  • Какой аналитический смысл имеет коэффициент вариации?
  • Что характеризует коэффициент осцилляции?
  • Как по коэффициенту вариации можно судить о степени однородности исследуемой совокупности?
  • Какие математические свойства дисперсии используются при ее расчете способом моментов?
  • Назовите этапы расчета дисперсии способом моментов.
  • Если все значения признака уменьшить в 5 раз, как изменится дисперсия признака?
    •

    Вопросы для самоконтроля

  • В чем состоит отличие расчета моды в дискретных и интервальных рядах распределения?
  • С помощью каких графиков можно определить значение моды?
  • В чем состоит отличие расчетов медианы в дискретных и интервальных вариационных рядах?
  • Если распределение признака близко к нормальному закону, как в этом случае связаны между собой среднее значение, мода и медиана?
  • Какой аналитический смысл несут квартильные значения признака, децильные значения признака?
    •

    Вопросы для самоконтроля

  • Дайте определение ряда динамики социально-экономических явлений.
  • Какие вы знаете виды рядов динамики?
  • Как проводится расчет среднего уровня в рядах динамики?
  • Какие показатели изменения уровней рядов динамики вы знаете?
  • Когда уровни динамического ряда становятся несопоставимыми? Приведите примеры. Что необходимо предпринять в этом случае?
  • Расскажите о взаимосвязи цепных и базисных коэффициентов роста. Наблюдается ли подобная взаимосвязь у цепных и базисных темпов прироста?
  • Что называется тенденцией динамического ряда?
  • В чем состоит метод укрупнения интервалов?
  • Расскажите о методе расчета скользящих средних.
  • Перечислите основные математические функции, используемые при аналитическом выравнивании динамических рядов. В каких случаях применяется каждая из них?
  • Как находятся параметры уравнения при выравнивании по линейной и показательной функциям, параболе и гиперболе?
  • Какие виды периодических колебаний встречаются при анализе финансовых показателей?
  • Перечислите основные методы расчета индексов сезонности.
    •

    Вопросы для самоконтроля

  • Что представляет собой статистический индекс?
  • Назовите виды статистических индексов.
  • Чем отличаются индивидуальные индексы от сводных индексов?
  • С какими весами обычно строят агрегатные индексы количественных показателей (качественных показателей)?
  • Укажите взаимосвязь индексов стоимости, цен и физического объема.
  • Как исчисляется средний арифметический индекс физического объема товарооборота?
  • Как исчисляется средний гармонический индекс цен?
  • С помощью каких индексов анализируется изменение среднего уровня качественного показателя?
  • Опишите взаимосвязь индексов переменного, постоянного состава и индекса структурных сдвигов.
  • Перечислите факторы, изменение которых показывают индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов?
  • Как используются индексы в анализе влияния отдельных факторов на изменение социально-экономических явлений?
    •

    Вопросы для самоконтроля

  • Дайте определение генеральной и выборочной совокупностям.
  • Какие теоремы теории вероятностей послужили теоретической основой выборочного метода?
  • Какие преимущества и недостатки по сравнению со сплошным имеет выборочное наблюдение?
  • Назовите виды и способы отбора единиц из генеральной совокупности.
  • Как проводится случайный отбор единиц из генеральной совокупности?
  • Как проводится механическая выборка?
  • Какие преимущества имеет типический отбор по сравнению со случайным?
  • В чем заключается сущность серийного отбора?
  • Дайте определение малой выборки.
  • Что показывает предельная ошибка выборки? Приведите формулы для ее расчета в случае оценивания генеральной доли и среднего значения признака.
  • Как связаны между собой предельная и средняя ошибки выборки?
  • Чему равна средняя ошибка выборки при использовании собственно случайной выборки и оценивании среднего?
  • Как рассчитывается средняя ошибка выборки при типическом отборе?
  • Как уменьшить ошибку собственно случайной выборки?
  • Как определяется необходимая численность случайной выборки при заданной величине ошибки и доверительной вероятности?
  • Каким образом происходит распространение результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность?
    •

    Вопросы для самоконтроля

  • Приведите примеры функциональной, статистической и корреляционной зависимостей финансовых показателей.
  • Каким требованиям должны удовлетворять исходные данные, чтобы к ним можно было применить методы корреляционно-регрессионного анализа?
  • Какую роль в корреляционно-регрессионном анализе играет нормальный закон распределения?
  • Что означает прямая связь между признаками? Приведите примеры прямой связи.
  • Что означает обратная связь между признаками? Приведите примеры обратной связи.
  • Какие задачи решают с помощью корреляционного анализа?
  • В чем заключается сущность метода наименьших квадратов?
  • Перечислите основные математические функции, используемые в качестве моделей регрессии.
  • Назовите пределы изменения парного (линейного) коэффициента корреляции. Что он показывает?
  • Назовите пределы изменения частного коэффициента корреляции. Что он показывает?
  • Какой аналитический смысл несут свободный член уравнения и регрессионные коэффициенты при построении линейного регрессионного уравнения?
  • Какой вид регрессионной модели следует использовать, если при равномерном возрастании независимой переменной значения результативного признака возрастают ускоренно?
  • Какой вид регрессионной модели следует использовать, если результативный и факторный признаки возрастают или убывают одинаково приблизительно в арифметической прогрессии?
    •
    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^