Индексы в статистике

10.1. Понятие и виды статистических индексов

Каждый месяц Росстат в публикациях приводит большое количество разнообразнейших индексов, которые помогают лучше понять текущее состояние и развитие экономики страны. Индексы относятся к одним из самых распространенных видов статистических показателей. Наиболее известный и упоминаемый среди них - индекс потребительских цен, являющийся индикатором изменения цен и уровня жизни населения. Даже не экономист знает, что его значение, превышающее 100%, означает рост цен. Существует множество других статистических индексов, которые измеряют интенсивность изменения других важнейших социально-экономических явлений и процессов, например, объема ВВП, инвестиций в основной капитал, товарооборота, валютных курсов, уровней процентных ставок и т.д.

Общее определение индексов как статистических показателей можно сформулировать следующим образом.

Индексы - это относительные величины, которые выражают соотношение уровней социально-экономических явлений и используются для решения таких задач, как:

Но не все относительные величины являются индексами. Отличительной чертой индексного метода является возможность проследить изменение непосредственно несоизмеримых отдельных элементов сложного явления в едином показателе. В качестве примера можно привести индекс потребительских цен, который в одной числовой характеристике представляет изменение цен на огромное множество товаров, предлагаемых покупателю. Другой пример: если предприятие выпускает несколько видов разнородной продукции, то нельзя получить общий объем выпуска прямым суммированием количества товаров по видам, и, следовательно, нельзя непосредственно с помощью простой относительной величины проследить общее изменение физического объема продукции. Индексный метод позволяет отдельные элементы сложного экономического явления привести к соизмеримому виду и дать единую характеристику изменения явления в целом, в данном случае - изменения выпуска продукции.

Кроме характеристики интенсивности изменения самого явления, индексы могут выполнять и аналитическую функцию: на их основе определяют влияние различных факторов на развитие явления. Например, при формировании товарооборота можно проследить прирост его объема за счет индивидуальных изменений цен на товары и изменений в объеме продаж.

На основе индексов проводится оценка изменения средних показателей по однородной совокупности, например средней цены товара, продаваемого в разных регионах, в том числе за счет непосредственно роста уровня цен и за счет изменения структуры продаж.

Статистические индексы классифицируются по следующим направлениям (рис. 10.1):

Экономическое содержание выбранной базы сравнения позволяет провести деление всех индексов на динамические, территориальные и индексы сравнения с плановыми (нормативными) значениями показателей.

Последняя группа включает в себя индексы планового задания [показывают степень увеличения (снижения) показателя, предусмотренную планом], индексы выполнения плана (показывают соотношение между фактическим значением показателя и его плановым уровнем), индексы сравнения с нормативными значениями (например, индексы выполнения норм расходов материала).

По степени агрегирования, или охвата явления, индексы делятся на индивидуальные и сводные. Индивидуальный индекс характеризует изменение показателя у отдельной единицы совокупности (например, изменение цены на принтеры определенной марки). Сводный индекс выступает в качестве обобщенной характеристики изменения показателя в целом по всей совокупности разнородных единиц (изменение цен в целом на принтеры всех видов).

Сводные индексы, в свою очередь, делятся на общие и групповые (субиндексы). Общие показывают изменение сложного явления в целом в рамках исследуемой совокупности, групповые - ее части. Например, если в качестве общего взять индекс потребительских цен, то субиндексом может являться индекс цен на продовольственные товары.

10.2. Индивидуальные индексы: правила их построения и анализа

Индивидуальный индекс представляет собой относительный показатель, характеризующий изменение отдельного элемента сложного экономического явления.

Методика исчисления индивидуальных индексов динамики социально-экономических показателей подобна методике расчета относительных величин: сравнивается абсолютное значение показателя в текущем и базисном периоде.

Величина, изменение которой изучается с помощью индекса, называется индексируемой величиной.

В индексной методологии принята следующая система обозначений:

i - индивидуальный индекс;

I - общий (сводный) индекс;

q₀, q₁ - количество единиц (или физический объем) продукции (товаров) в натуральных единицах измерения;

p₀, p₁ - цена единицы продукции (товара);

z₀, z₁ - себестоимость единицы продукции;

t₀, t₁ - затраты рабочего времени на производство единицы продукции (трудоемкость продукции);

w₀, w₁ - количество продукции, выработанной одним работником в единицу времени (производительность труда);

Т₁ и Т₀ - затраты труда на производство продукции ($$T=t' q$$).

Подстрочные обозначения "0" и "1" показывают временной период. Период времени, по отношению к которому производят сравнение, называют базисным и обозначают через "0", а период, сравниваемый с базисным, - отчетным и обозначают его через "1".

Приведем примеры построения индивидуальных индексов:

Он показывает, как цена на данный товар в текущем периоде изменилась по сравнению с ценой этого же товара в базисном периоде;

Он позволяет сравнить физические объемы товарооборота (или производства продукции).

Аналогичным образом строятся индивидуальные индексы сравнения с плановыми или нормативными значениями, например индекс выполнения плана по объему продукции

где q_пл - количество единиц данного вида продукции, предусмотренное планом.

В числителе и знаменателе территориальных индексов находятся значения показателя, относящиеся к двум сравниваемым территориям, например индивидуальный территориальный индекс цен на определенный товар будет иметь вид

где р_А, р_В - цена данного товара соответственно на территориях А и В.

Любой индекс может быть выражен в виде простого кратного отношения или в процентах. В первом случае он показывает, во сколько раз изменилась количественная характеристика экономического явления: его значение больше 1 свидетельствует об увеличении величины рассматриваемого показателя, меньше 1 - о снижении его уровня. Если индекс выразить в процентах и вычесть из него 100%, станет известно, на сколько процентов изменился показатель, характеризующий явление: отрицательное значение покажет процент снижения показателя, положительное - процент его увеличения.

Ниже представлены формулы расчета индивидуальных индексов наиболее часто используемых экономических показателей.

Пример 10.1. Магазин продал 1800 кг товара "А" по цене 210 руб. за килограмм в июле, а в июне - 1600 кг этого же товара по цене 200 руб. Определим индивидуальные индексы:

На основе проведенных расчетов можно сделать вывод, что в июле по сравнению с июнем объем реализации товара "А" увеличился в 1,125 раза, или на 12,5%, а цена этого товара - в 1,05 раза, или на 5%.

10.3. Агрегатные индексы

При использовании индексного метода на практике чаще всего решают задачу нахождения не индивидуальных, а сводных индексов. Общий (сводный) индекс (I) представляет собой отношение уровней сложного экономического явления, состоящего из элементов, непосредственно несоизмеримых. Он дает обобщающую характеристику изменения одноименного показателя по разнородной совокупности во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым заданным уровнем (например, планируемым или нормативным).

В индексной теории по способу (форме) построения общие (сводные) индексы подразделяют на агрегатные, средние и индексы изменения среднего показателя. Последняя группа индексов имеет свою специфику, о ней мы будем говорить ниже.

Основной формой построения индексов является агрегатная; средние индексы получаются в результате ее преобразования. В агрегатной формуле сводного индекса присутствуют два элемента:

Веса в общем индексе необходимы, поскольку суммировать значение признака х по элементам разнородной совокупности неправомерно (например, нельзя суммировать объемы продаж различных товаров в розничной торговле в натуральных единицах измерения). Поэтому находят такой связанный с х показатель (f), при котором произведение х и f имеет экономическое содержание и может суммироваться по всем единицам разнородной совокупности [например, умножив количества товаров на их цены, получим объемы продаж в денежном выражении (товарооборот), которые можно суммировать по разным видам товаров].

Общая формула агрегатного индекса может быть записана следующим образом:

где х₁ и х₀ - значения индексируемой величины, соответственно, в отчетном и базисном периоде;

f - вес или соизмеритель. Значения этого показателя у всех единиц совокупности при исчислении индекса должны быть взяты на уровне одного и того же периода - отчетного или базисного, с тем, чтобы индекс показал изменение только индексируемой величины.

Таким образом, в числителе и знаменателе агрегатной формы индекса находятся просуммированные произведения двух величин, одна из которых - индексируемая величина (в числителе содержится значение, относящееся к отчетному периоду, а в знаменателе - к базисному), а другая - постоянная, являющаяся весом индекса. При этом суммируемых произведений столько, сколько единиц исследуемой совокупности входит в изучаемое явление.

Но к какому периоду должны относиться веса индекса (f) - отчетному или базисному? В теории индексов обычно придерживаются следующих правил:

Такое построение агрегатных индексов позволяет получить систему взаимосвязанных индексов и провести анализ влияния отдельных факторов на изменение обобщающих результативных показателей.

К количественным относят показатели, характеризующие физические размеры явления, например, производство продукции в натуральном выражении, количество проданного товара, численность работающих, объем промышленно-производственных фондов и т. д. (как правило, в названии количественного показателя содержатся слова "объем", "число", "численность", "количество"; при этом используются простые единицы измерения - метры, килограммы, тонны, штуки, рубли).

Качественный показатель используется для экономической (качественной) характеристики количественной единицы совокупности. Это цена за единицу товара (продукции), себестоимость единицы продукции, фондоотдача, фондоемкость, средняя заработная плата (единица измерения качественного показателя сложная - руб./шт., руб./руб., руб./чел. и т.д.).

Построение агрегатного индекса покажем на примере сводного (общего) индекса цен (I_p). В данном случае индексируемой величиной является цена, поэтому в числителе возьмем ее значение за отчетный период (р₁), а в знаменателе - за базисный (р₀). Непосредственно просуммировать цены отчетного периода и разделить их на сумму базисных цен мы не можем. Если же цену каждого товара умножить на его количество, то полученные произведения, характеризующие товарооборот, суммировать можно. Поскольку цена - качественный показатель, данные о количестве проданных товаров необходимо взять на уровне отчетного периода. Таким образом, получаем следующую формулу агрегатного индекса цен:

Пример 10.2. В таблице представлена следующая информация по ценам и количеству проданной молочной продукции:

Проведем расчет общего индекса цен по агрегатной формуле.

Следовательно, цены на молочную продукцию увеличились в 1,121 раза, или на 12,1%. Агрегатная форма построения индекса позволяет провести расчеты с учетом веса каждого товара в их общей совокупности.

В теории индексов существуют два направления возможного анализа сводных индексов: синтетическое и аналитическое. Различие между ними состоит в интерпретации полученных результатов. При синтетическом подходе индекс рассматривается как показатель, характеризующий среднее изменение уровня индексируемой величины (отметим, что в среднем цены на молочную продукцию увеличились на 12,1%). Аналитический подход подразумевает использование индекса как меры изменения уровня результативного показателя (получаемого в виде произведения индексируемой величины и ее веса) под влиянием изменений индексируемой величины. В рассматриваемом примере числитель формулы содержит суммарный товарооборот по группе товаров отчетного периода (произведение pq представляет собой размер товарооборота), а знаменатель - товарооборот этого же периода, выраженный в ценах базисного периода. Полученный в примере результат 112,1% можно также интерпретировать следующим образом: товарооборот увеличился в отчетном периоде по сравнению с базисным на 12,1% в результате изменения цен.

Аналогичным образом строятся и другие агрегатные индексы качественных показателей. Например, сводный индекс себестоимости, показывающий среднее изменение уровней себестоимости разных видов продукции, в качестве весов также содержит величину физического объема выпускаемой продукции, зафиксированный на уровне отчетного периода (поскольку себестоимость - это качественный показатель)

где z₀ и z₁ - себестоимость единицы продукции данного вида соответственно в базисном и отчетном периодах;

q₁ - физический объем выпуска данного вида продукции в отчетном периоде.

Индексы количественных показателей также требуют применения определенных соизмерителей, в качестве которых выступают те или иные качественные показатели, зафиксированные на уровне базисного периода. В сводном индексе физического объема товарооборота в качестве соизмерителей используются цены за единицу каждого товара, взятые на уровне базисного периода, что позволяет перейти от натуральных единиц измерения к универсальным - стоимостным

Тогда в числителе и знаменателе получим товарооборот соответствующих периодов, выраженный в ценах базисного периода. Индекс покажет, как изменился товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным в результате снижения или роста физического объема продаж (аналитический подход) или как в среднем увеличился или снизился физический объем товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным (синтетический подход).

Пример 10.3. По данным таблицы из примера 10.2 определим изменения объема продаж молочной продукции. Для этого рассчитаем общий индекс физического объема товарооборота.

Таким образом, в среднем физический объем товарооборота молочной продукции увеличился в 1,038 раза, или на 3,8%.

Индекс физического объема рассчитывается при анализе не только товарооборота, но и изменения издержек производства (затрат). В этом случае соизмерителем выступит уже себестоимость единицы продукции (остальные принципы построения индекса останутся прежними):

Агрегатные индексы результативных показателей, получаемых как произведение определенных величин, имеют несколько иной вид. В качестве примера приведем индекс товарооборота (стоимости) продукции. В этом случае сравниваются объемы товарооборота отчетного и базисного периодов, при этом не требуется введения каких-либо соизмерителей, поскольку значения уже сопоставимы и их можно суммировать по разным видам товаров. Агрегатный индекс товарооборота получается как простое соотношение его суммарных значений по группам товаров за разные периоды времени:

Пример 10.4. По данным таблицы из примера 10.2 определим общий индекс товарооборота.

То есть товарооборот (объем проданной молочной продукции в денежном выражении) увеличился в 1,163 раза, или на 16,3%.

Аналогичным образом рассчитывают агрегатные индексы и других результативных показателей. Например, издержки производства можно представить как произведение себестоимости единицы продукции на объем ее производства в натуральном выражении (z_q). Агрегатный индекс издержек обращения имеет вид

Величины, находящиеся в числителе и знаменателе агрегатных индексов, имеют вполне определенный экономический смысл: они характеризуют величину явления в целом по совокупности объектов за отчетный (числитель) и базисный (знаменатель) периоды. Таким образом, если частное этих величин определяет относительное изменение явления - индекс, то их разность характеризует изменение явления в абсолютном выражении в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Например, если из числителя сводного индекса товарооборота вычесть знаменатель ($$\sum p_{1} q_{1} -\sum p_{0} q_{0}$$) то получим величину, определяющую, на сколько денежных единиц изменился товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным.

И для индивидуальных, и для общих индексов действует общее правило: индексы связаны между собой так же, как и индексируемые величины. Например, товарооборот - это произведение цены на количество реализованного товара. Точно такая же зависимость выполняется для индексов этих показателей:

Аналогично индекс затрат на производство продукции является произведением индекса себестоимости и индекса физического объема продукции:

Следует отметить, что в теории и практике статистики существует несколько подходов к решению проблемы выбора системы взвешивания. В частности, при построении агрегатных индексов цен используется несколько формул расчета этих показателей, названных по имени авторов, их разработавших. Наибольшую известность получили индексы цен Пааше, Ласпейреса и Фишера.

При расчете индекса цен по формуле Пааше в качестве весов берутся количества продукции текущего периода:

С помощью этого индекса определяется изменение цен на товары, реализованные или приобретенные в текущем периоде.

При расчете индекса цен по формуле Ласпейреса в качестве весов используются количества продукции базисного периода:

Данный индекс характеризует изменение цен на товары, реализованные в базисном периоде. По такой схеме обычно строятся индексы стоимости жизни, когда хотят оценить изменение цен на фиксированный набор товаров, обычно приобретаемых определенными группами населения.

Выбор той или иной формулы для оценки динамики цен зависит от принятой в стране методологии расчета, имеющейся информации и целей исследования. Вопрос о том, какая из формул более точно характеризует изменение цен, не совсем корректен: каждый индекс предназначен для решения своей конкретной задачи. Вместе с тем желание получить один показатель для отражения динамики цен привело к появлению целого ряда работ, целью которых было найти идеальную формулу индекса. Наиболее известные работы в этой области принадлежат американскому ученому Ирвину Фишеру, который предложил свой подход к исчислению агрегатного индекса цен, а именно использовать среднюю геометрическую из индексов цен Пааше и Ласпейреса:

В данной формуле равноправно представлено количество продукции как базисного, так и текущего периодов. Это свойство позволяет применять данный индекс при исследовании цен за значительный промежуток времени, когда структура продукции претерпевает существенные изменения, и, строго говоря, не представляется возможным сделать обоснованный выбор в пользу весов базисного или отчетного периода. По этим же соображениям индекс Фишера часто используется для территориальных сопоставлений.

10.4. Средние индексы

В отличие от агрегатной формы индекса, средние индексы используются тогда, когда имеется информация об изменении индексируемой величины по отдельным единицам исследуемой совокупности (т.е. известны индивидуальные индексы).

Средний индекс - это сводный индекс, вычисленный как средневзвешенная величина из значений индивидуальных индексов.

Средний индекс получают путем преобразования агрегатного индекса. В зависимости от того, какие веса используются в соответствующей агрегатной формуле (базисного или отчетного периода), средний индекс рассчитывается по формуле средней арифметической или средней гармонической величины. Соответственно, исчисленные по одним и тем же данным агрегатный и средний индексы всегда равны.

Рассмотрим, например, как получается средний индекс физического объема товарооборота. Его агрегатная формула имеет вид

Тогда, учитывая, что индивидуальный индекс представляет собой отношение

получим [$$q_{1} = i_{q}' q_{0}$$ ]. Подставим это выражение в формулу агрегатного индекса

Получен индекс физического объема товарооборота в виде средней арифметической взвешенной из индивидуальных индексов, в которой в качестве весов используется товарооборот базисного периода (q₀ p₀).

Итак, формула среднего арифметического индекса физического объема имеет вид

Обратимся теперь к индексу цен. Его агрегатная формула имеет вид

Из формулы индивидуального индекса цен выразим и, подставив в формулу агрегатного индекса, получим

Получен средний гармонический индекс цен

Пример 10.5. По данным таблицы из примера 10.2 рассчитаем средние индексы. Для этого необходимо определить индивидуальные индексы и объем товарооборота по каждому виду молочной продукции (расчеты проведены в следующей таблице).

Исчислим средний гармонический индекс цен.

Средний арифметический индекс физического объема товарооборота равен

10.5. Анализ динамики среднего уровня показателя

На формирование среднего уровня качественного показателя оказывают влияние два фактора: во-первых, изменение индивидуальных значений самой индексируемой величины в отчетном периоде по сравнению с базисным, и, во-вторых, изменение структуры исследуемой совокупности (уменьшение или увеличение доли единиц с более низким или более высоким уровнем этого показателя). Например, на динамику средней цены влияют изменения индивидуальных уровней цен и различия в структуре продаж отчетного периода по сравнению с базисным; на формирование среднего уровня фондоотдачи - изменения фондоотдачи отдельных видов основных фондов и доли основных фондов с более высоким (низким) уровнем фондоотдачи в общей их совокупности (структурный фактор).

Относительное изменение среднего уровня качественного показателя характеризуется с помощью системы индексов переменного, постоянного состава и индекса структурных сдвигов, позволяющих оценить влияние каждого фактора на его динамику.

Покажем общую схему построения системы индексов, характеризующих динамику среднего уровня качественного показателя. Индекс переменного состава отражает изменение среднего уровня качественного показателя за счет двух факторов. Пусть х - индексируемая величина, f - вес индекса. В общем виде этот индекс рассчитывается как отношение среднего уровня показателя в отчетном периоде к среднему уровню показателя в базисном периоде. Индекс переменного состава для любых качественных показателей может быть записан следующим образом:

Индекс постоянного (фиксированного) состава показывает, как в среднем изменилось значение качественного показателя у единиц совокупности при одинаковой фиксированной ее структуре. В общем виде его можно записать следующим образом:

Формула индекса влияния структурных сдвигов, представляющего собой отношение средних величин рассматриваемого качественного показателя, рассчитанных при структуре совокупности отчетного и базисного периодов при базисном уровне качественного показателя, выглядит следующим образом:

Поскольку индекс переменного состава показывает изменение исследуемого явления за счет всех факторов, то между индексами существует следующая взаимосвязь:

$$ I_{пер.сост.} =I_{пост.сост.}' I_{стр.сд.}$$.

Так, при изучении изменения средней цены товара (например, продаваемого в разных регионах) индекс переменного состава можно записать следующим образом:

Подставляя вместо P₀ и P₁ выражения для расчета средних уровней цен товара отчетного и базисного периодов, получим его развернутую формулу

На его величину оказывают влияние два фактора: изменение цены товара в каждом регионе и структуры продаж. Абсолютное изменение среднего уровня цены товара за счет двух факторов покажет разность между числителем и знаменателем рассматриваемого индекса:

Индекс цен постоянного (фиксированного) состава показывает изменение средней цены товара только за счет изменений цен в каждом регионе. Индекс цен постоянного состава имеет вид

Абсолютное изменение среднего уровня цены за счет изменения индексируемой величины покажет разность между числителем и знаменателем данного индекса

Индекс структурных сдвигов позволяет оценить влияние на формирование среднего уровня цены изменений в структуре продаж товара:

Абсолютное изменение среднего уровня качественного показателя (в данном случае средней цены) за счет структурных сдвигов

Пример 10.6. В таблице приведены цены и объемы продаж товара "А" в трех регионах.

Индекс цен переменного состава равен

Общее измерение средней цены в абсолютном выражении

За счет действия двух факторов средняя цена увеличилась на 11,1%, или на 6,31 руб.

Для определения влияния первого фактора (цен в каждом регионе) на динамику средней цены исчислим индекс цен постоянного состава:

Тогда влияние первого фактора в абсолютном выражении можно определить как

Таким образом, в результате изменения цен товара "А" в отдельных регионах его средняя цена увеличилась на 10,8%, или на 6,15 руб.

Влияние на анализируемый показатель структурных изменений в структуре продаж товара "А" покажет индекс структурных сдвигов

В абсолютном выражении

В результате изменения структуры продаж товаров по регионам средняя цена возросла на 0,3%, или 16 копеек.

Проверим взаимосвязь индексов и абсолютных приростов:

10.6. Факторный анализ

Как отмечалось выше, индексы используются не только для характеристики интенсивности изменения социально-экономических явлений, но и для выявления влияния на этот процесс различных факторов. Так, например, на основе индексов определяют степень влияния изменения себестоимости продукции и структуры производства на динамику затрат на производство продукции; производительности труда и затрат рабочего времени - на изменение объема продукции и т.д.

Покажем это по данным примера 10.2 о ценах и объеме продаж молочной продукции (см. табл. в примере).

Пример 10.7. Проанализируем прирост товарооборота под влиянием двух факторов: изменения цен на товары и объема их продаж. Общий индекс товарооборота равен

Товарооборот в относительном выражении увеличился на 16,3%. Найдем абсолютный прирост товарооборота за счет двух факторов - разность между числителем и знаменателем этого индекса:

Как видим, товарооборот возрос на 94 204 руб. (или 16,3%) за счет двух факторов.

Общий индекс цен, как отмечалось выше, показывает относительное изменение товарооборота под влиянием цен:

Разность между числителем и знаменателем этого индекса позволяет оценить влияние цен на динамику товарооборота в абсолютном выражении:

Таким образом, за счет роста цен на молочную продукцию товарооборот увеличился на 72 280 руб., или на 12,1%.

Общий индекс физического объема товарооборота отражает в относительном измерении влияние второго фактора - количества проданных товаров на динамику изучаемого показателя:

Абсолютный прирост товарооборота за счет изменения объема продаж молочной продукции определим как разность между числителем и знаменателем этого индекса

Произведение индексов цен и физического объема товарооборота равно общему индексу товарооборота:

l_pq= l_p x l_q = 1,121 * 1,038 = 1,163 или 116,3%

Если сложить абсолютные изменения товарооборота за счет первого и второго фактора, то получим его общее абсолютное изменение:

Аналогично проводится анализ изменения затрат на производство продукции под воздействием двух факторов: изменения себестоимости продукции и объемов производства. Относительное влияние отражают индексы

Абсолютное изменение затрат на производство за счет отдельных факторов рассчитывается следующим образом:

Взаимосвязь абсолютных изменений определяется уравнением

$$\Delta zq=\Delta zq_{z} +\Delta zq_{q}$$