Ряды динамики в статистике

9.1. Понятие и виды рядов динамики

Ряд значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке и характеризующих развитие явления во времени, называется рядом динамики. Примеры рядов динамики приведены в табл. 9.1-9.4.

Как видно из приведенных таблиц, динамический ряд всегда состоит из двух элементов: моментов или временных периодов (t), по отношению к которым приводятся статистические данные, и значений статистического показателя, характеризующих размер рассматриваемого явления в соответствующие моменты или периоды времени, называемые в статистике уровнями динамического ряда (у). Для графического изображения ряда динамики показатель, обозначающий время t, откладывается на оси абсцисс, а значения исследуемого признака у - на оси ординат.

По признаку времени различают моментные и интервальные ряды динамики. В моментном ряду динамики представлены значения статистического показателя по состоянию на определенные последовательные моменты времени (например, на начало каждого рассматриваемого года, квартала, месяца). Интервальный ряд динамики - совокупность значений статистического показателя, относящихся к нескольким последовательным периодам времени, например, за ряд лет, кварталов, месяцев.

Данные о количестве предприятий и организаций Российской Федерации (см. табл. 9.1) относятся к 1 января каждого года, поэтому данный ряд является моментным.

Динамический ряд, представленный в табл. 9.4 и характеризующий выручку от реализации рекламных услуг в расчете на одного работника, является интервальными, поскольку содержит значения показателя за годовые промежутки времени.

Деление динамических рядов на моментные и интервальные обусловлено разными методологическими подходами, применяемыми к их анализу, поэтому всегда следует обращать внимание, к какому виду относится исследуемый ряд.

Следует обратить внимание на тот факт, что сами статистические показатели по своему содержанию являются либо моментными, характеризующими состояние объекта на дату (например, запасы товаров на дату, наличие основных фондов и оборотных средств на дату, численность населения на дату и т.д.), либо интервальными, характеризующими результат некоторого процесса за период времени (например, объем производства за месяц, число родившихся за год, объем поставок товаров за квартал и т.д.). Некорректно сказать: на 1 июля 2006 г. продано товаров на 100 млн. руб. В этом случае возникает вопрос - за какой период времени эта сумма характеризует объем продаж: за 1 июля, за предыдущий месяц, квартал, полугодие, поскольку объем продаж отражает не состояние, а результат процесса реализации и, следовательно, является интервальным показателем. Аналогично, некорректно говорить о численности населения города в 2005 г., поскольку оно непрерывно меняется за счет рождаемости, смертности, миграции. Можно говорить о численности населения города по состоянию на определенную дату или о средней численности населения в 2005 г.

В зависимости от вида статистического показателя динамические ряды подразделяют на ряды абсолютных, относительных и средних величин.

Примерами рядов динамики абсолютных величин являются данные о количестве предприятий и организаций Российской Федерации за период 2001-2006 гг. (см. табл. 9.1); данные о числе рекламных агентств за период 1999-2002 гг. (см. табл. 9.4, строка "Число рекламных агентств - всего"). В этих рядах рассматриваемый показатель представляет собой абсолютную величину.

Ряды абсолютных величин являются исходными для построения рядов динамики относительных и средних величин.

Динамические ряды относительных величин могут содержать информацию об изменении удельных весов какого-либо показателя в общей совокупности объектов за определенный временной период (см. табл. 9.2), индексов (см. табл. 9.3); темпов роста показателя за определенный период времени (см. табл. 9.4, данные строки "Число рекламных агентств, в процентах к предыдущему году"); изменение во времени показателей интенсивности, например демографических коэффициентов: смертности, рождаемости, брачности, разводимости, естественного прироста и т.д.

Ряды динамики средних величин содержат информацию об изменении во времени показателя, являющегося средним для рассматриваемого явления. Так, среднедушевые доходы и расходы населения, средняя заработная плата, средний размер выданного банками кредита, приведенные за определенные временные промежутки, например, по месяцам года, кварталам, годам и т. п., образуют динамические ряды средних величин. В таблице 9.4 приводятся два таких ряда: первый образуют данные строки "Среднесписочная численность работников в расчете на одно рекламное агентство", второй - строка "Выручка от реализации рекламных услуг в расчете на одного работника".

В зависимости от расстояния во времени различают ряды динамики с равноотстоящими уровнями и неравноотстоящими уровнями. Методы анализа таких рядов также различаются между собой.

При построении динамического ряда следят за тем, чтобы его уровни отвечали требованиям сопоставимости: характеризовали один и тот же объект или явление, относились к одной и той же территории, к сопоставимому периоду времени, были рассчитаны по единой методологии с одинаковыми единицами измерения значений этого показателя.

Однако экономические явления, как никакие другие, более всего подвержены изменениям со стороны их качественных характеристик. С течением времени меняются методологии расчета показателей, расширяются или ссужаются границы их определения. Например, до октября 1995 г. ценз отнесения предприятий к кругу малых составлял не более 200 работников, а с октября 1995 г. - не более 100 работников, соответственно, встала проблема сопоставимости уровней динамических рядов, характеризующих число малых предприятий, результаты их деятельности, до и после периода внесения изменения.

Для приведения статистической информации к сопоставимому виду в теории статистики применяется особая вычислительная процедура - смыкание рядов динамики, под которой подразумевается объединение нескольких динамических рядов, относящихся к разным периодам времени и с первоначально несопоставимыми уровнями, в один динамический ряд с новыми, уже сопоставимыми уровнями, расположенными в хронологической последовательности. Но чтобы провести смыкание следует иметь информацию о значениях показателя хотя бы для одного периода времени, рассчитанных как по старой, так и по новой методологии или в старых и новых границах и т. п.

Пример 9.1. Рассмотрим

Произведем смыкание двух динамических рядов в один. Для получения ряда абсолютных величин произведем следующие действия:

Сомкнутый ряд динамики относительных величин получают следующим образом. Год, в котором произошли методологические изменения, принимают за 100%. В нашем случае - это 2001 г. Затем все остальные уровни пересчитываются в процентах к нему: для уровней, исчисленных по старой методологии, в качестве базы сравнения выступают значение показателя в 2001 г., определенное по старой методологии (это - 125), для уровней, рассчитанных по новой методологии, - значение показателя в 2001 г., исчисленное по новой методологии (это - 90). Таким образом, получаем:

Сомкнутый ряд динамики относительных величин позволяет получить представление о темпах развития малого предпринимательства за весь рассматриваемый период.

9.2. Показатели ряда динамики

При анализе динамического ряда рассчитываются следующие показатели:

Цепные и базисные показатели вычисляются для характеристики изменения уровней динамического ряда и различаются между собой базами сравнения: цепные рассчитываются по отношению к предыдущему уровню (переменная база сравнения), базисные - к уровню, принятому за базу сравнения (постоянная база сравнения).

Средние показатели представляют собой обобщенные характеристики ряда динамики. С их помощью сравнивают интенсивность развития явления по отношению к различным объектам, например по странам, отраслям, предприятиям и т.д., или периодам времени.

9.2.1. Средний уровень ряда динамики

Конкретное числовое значение статистического показателя, относящееся к моменту или периоду времени, называется уровнем ряда динамики и обозначается через y_i (где i - показатель времени).

Методика расчета среднего уровня зависит от вида динамического ряда, а именно: является ли он моментным или интервальным, с равными или неравными временными промежутками между соседними датами.

Если дан интервальный ряд динамики абсолютных или средних величин с равными периодами времени, то для расчета среднего уровня применяется формула средней арифметической простой:

где y₁, y₂, y_i, …, y_n - уровни динамического ряда;

п - число уровней ряда.

Пример 9.2. По данным таблицы определим среднемесячный размер страхового возмещения, выплаченного страховой компанией, в расчете на один пострадавший объект за полугодие:

Если временные промежутки интервального динамического ряда неравны, то значение среднего уровня находят по формуле средней арифметической взвешенной, в которой в качестве весов используют длину временных периодов, соответствующих уровням ряда динамики (t_i)

Пример 9.3. По данным, представленным в таблице, определим среднемесячный размер страхового возмещения, выплаченного страховой компанией, в расчете на один пострадавший объект:

В моментных рядах динамики с одинаковыми временными промежутками между датами средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней хронологической простой

где y_n - значения показателя на конец рассматриваемого периода.

Пример 9.4. По приведенным ниже данным о размере денежных средств на счете вкладчика на начало каждого месяца определим средний размер вклада в I квартале 2006 г.:

Средний уровень моментного ряда динамики равен:

Хотя I квартал включает три месяца (январь, февраль, март), в расчете должны быть использованы четыре уровня ряда (включая данные на 1 апреля). Это легко доказать. Действительно, если исчислять средние уровни по месяцам, то получим:

в январе

в феврале

в марте

Рассчитанные средние образуют интервальный ряд динамики с равными временными промежутками, в котором средний уровень исчисляется, как мы видели выше, по формуле средней арифметической простой:

Аналогично, если требуется рассчитать средний уровень моментного ряда динамики с равными интервалами между датами за первое полугодие, то в качестве последнего уровня в формуле средней хронологической простой следует взять данные на 1 июля, а если за год - данные на 1 января следующего года.

В моментных рядах динамики с неравными промежутками между датами для определения среднего уровня применяется формула средней хронологической взвешенной:

где t_i - длина временного периода между двумя соседними датами.

Пример 9.5. По данным о запасах товаров на начало месяца определим средний размер товарных запасов в 2006 г.

Средний уровень ряда равен:

Расстояние между датами

Если имеется полная информация о значениях моментного статистического показателя на каждую дату, то среднее значение этого показателя за весь период исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

где y_i - значения показателя

t_i - длина периода, в течение которого это значение статистического показателя оставалось неизменным.

Если мы дополним пример 9.4 информацией о датах изменения денежных средств на счете вкладчика в I квартале 2006 г., то получим:

Итак, с 1 по 4 января (четыре дня) значение показателя оставалось равным 132 000 руб., с 5 по 27 января (23 дня) его значение составило 112 289 руб., с 28 января по 19 февраля (23 дня) - 147 289 руб., с 20 по 23 февраля (четыре дня) - 149 289 руб., с 24 февраля по 2 марта (семь дней) - 151 870 руб., с 3 по 31 марта (29 дней) - 148 500 руб. Для удобства проведения расчетов представим эти данные в таблице:

По формуле средней арифметической взвешенной находим значение среднего уровня ряда

Как видим, среднее значение отличается от полученного в примере 9.4, оно является более точным, так как в вычислениях использовалась более точная информация. В примере 9.4 были известны лишь данные на начало каждого месяца, при этом не оговаривалось, когда же именно происходили изменения показателя, была применена формула хронологической средней.

В заключение отметим, что расчет среднего уровня ряда теряет свой аналитический смысл в случаях большой изменяемости показателя внутри ряда, а также при резкой смене направления развития явления.

9.2.2. Показатели абсолютного изменения уровней динамического ряда

Абсолютные приросты рассчитываются как разность между двумя значениями соседних уровней динамического ряда (цепные приросты) или как разность между значениями текущего уровня и уровня, принятого за базу сравнения (базисные приросты). Показатели абсолютного прироста имеют те же единицы измерения, что и уровни динамического ряда. Они показывают, на сколько единиц изменился показатель при переходе от одного момента или периода времени к другому.

Базисные абсолютные приросты рассчитывают по формуле

где у_i - i-й текущий уровень ряда,

y₁ - первый уровень ряда динамики, принятый за базу сравнения.

Формула для определения цепных абсолютных приростов имеет вид

где у_i - 1 - уровень, предшествующий i-му уровню динамического ряда.

Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц в среднем ежемесячно, или ежеквартально, или ежегодно и т.д. изменялось значение показателя в течение рассматриваемого периода времени. В зависимости от того, какими данными мы располагаем, его можно рассчитать следующими способами:

- цепные абсолютные приросты показателя;

где y_n - последний уровень ряда

Пример 9.6. По данным таблицы определим показатели абсолютных приростов размера страхового возмещения, выплаченного страховой компанией.

* Сумма всех рассчитанных цепных абсолютных приростов дает базисный абсолютный прирост последнего периода.

Среднемесячный абсолютный прирост за полугодие равен

Таким образом, в среднем ежемесячно размер выплат страхового возмещения увеличивался на 1,2 тыс. руб.

9.2.3. Показатели относительного изменения уровней динамического ряда

Характеристиками относительного изменения уровней ряда динамики являются коэффициенты и темпы роста значений показателя и темпы их прироста.

Коэффициент роста представляет собой соотношение двух уровней динамического ряда, выраженное в виде простого кратного отношения. Он показывает, во сколько раз изменилось значение показателя в одном периоде (моменте) времени по сравнению с другим. Темп роста - это коэффициент роста, выраженный в процентах. Он показывает, сколько процентов составляет значение показателя в данном периоде, если уровень, с которым проводится сравнение, принять за 100%.

Так же, как и абсолютные приросты, коэффициенты и темпы роста могут быть цепными и базисными.

Цепные коэффициент и темп роста измеряют относительное изменение текущего уровня показателя по сравнению с предшествующим ему уровнем:

коэффициент роста:

темп роста:

Базисные коэффициент и темп роста характеризуют относительное изменение текущего уровня показателя по сравнению с базисным (чаще всего с первым) уровнем:

коэффициент роста

темп роста

Цепные и базисные коэффициенты роста имеют между собой следующую связь:

Средние темп роста и коэффициент роста в динамических рядах с равноотстоящими уровнями рассчитываются по формуле средней геометрической простой

- цепные коэффициенты роста;

- цепные темпы роста.

Эти формулы могут быть приведены к следующему виду:

Для того чтобы определить, на сколько процентов текущий уровень показателя больше или меньше значения предшествующего или базисного уровня, рассчитываются темпы прироста. Они исчисляют путем вычитания 100% из соответствующих темпов роста:

цепные темпы прироста:

базисные темпы прироста:

Средний темп прироста рассчитывается аналогичным образом: из среднего темпа роста вычитаются 100%:

Пример 9.7. В таблице приведены рассчитанные коэффициенты роста, темпы роста и прироста показателя, характеризующего среднемесячный размер выплаченного компанией страхового возмещения за период с января по июнь.

По формуле средней геометрической простой определим среднемесячный коэффициент роста показателя за период с февраля по июнь:

или

Средний темп роста, соответственно, равен 101,1%. Следовательно, в среднем ежемесячно размер выплат страхового возмещения увеличивался в 1,011 раза, или на 1,1%.

Если известны средние темпы (или коэффициенты) роста за некоторые неравные отрезки времени, то средний темп роста за весь период исчисляется по формуле средней геометрической взвешенной:

где Т_i - средний темп роста за i-й период времени;

t_i - длина i-го периода.

Пример 9.8. Среднегодовые коэффициенты роста числа страховых компаний в одной из областей России составили за период 1991-1995 гг. - 1,18; 1995-2000 гг. - 1,24; 2000-2004 - 1,56. Определим среднегодовой коэффициент роста числа страховых компаний за весь период с 1991 по 2004 гг.

Решение:

Таким образом, за период с 1991 по 2004 гг. среднегодовой темп роста числа страховых компаний в одной из областей России составил 131,1%, соответственно, среднегодовой темп прироста - 31,1%.

Для более полного анализа динамики расчет цепных показателей роста и прироста уровней динамического ряда часто сопровождаются указаниями абсолютных значений 1% прироста.

Абсолютное значение 1% прироста (А_i) определяется как отношение значения абсолютного прироста показателя к его темпу прироста в i-й момент времени:

В последней графе таблицы примера 9.7 рассчитаны цепные абсолютные значения 1% прироста.

9.3. Методы анализа основной тенденции в рядах динамики

Комплексный анализ динамических рядов, как правило, включает не только расчет характеристик интенсивности изменения уровней ряда при переходе от одного момента или промежутка времени к другому (абсолютных приростов, коэффициентов и темпов роста и прироста), а также нахождение обобщенных средних характеристик (среднего уровня ряда, средних темпов роста и прироста), но и выявление основных закономерностей в развитии динамического ряда. Определение тенденции развития, построение модели, описывающей изменение явления во времени, прогнозирование явления - все это важнейшие задачи при изучении динамических рядов экономических и социальных показателей.

На формирование уровней динамического ряда влияет множество различных факторов, которые по характеру воздействия можно объединить в три группы:

Соответственно, для анализа закономерности изменения уровней ряда динамики во времени применяют следующую модель:

где Т_t - основная тенденция ряда (тренд);

S_t - циклические (в частности, сезонные) колебания;

е_t - случайные колебания.

В аддитивной модели ряд динамики представлен как сумма перечисленных компонент [y_t = T_t + S_t + e_t], в мультипликативной модели - как их произведение [$$ y_{t} = T_{t}' S_{t}' e_{t}$$]. В дальнейшем будем исходить из предположения мультипликативной формы связи между компонентами ряда динамики.

Тенденцией развития, или трендом, называется сформировавшееся направление развития явления во времени под воздействием постоянно действующих факторов. Судить о наличии тенденции в динамическом ряду на основе его визуального анализа можно лишь тогда, когда четко видно, что при переходе от одного момента времени к другому уровни ряда возрастают или убывают. Однако, как правило, нельзя сразу сказать, есть или нет тенденция в изменении уровней динамического ряда. Для этого применяются специальные методы.

К методам выявления основной тенденции развития динамического ряда (Т_t) относятся:

Рассмотрим их подробнее.

9.3.1. Метод укрупнения интервалов

Применение метода укрупнения интервалов рассмотрим на основе данных табл. 9.13.

Как видим, визуальный анализ данных не позволяет сделать какие-либо выводы о наличии тенденции в данном динамическом ряду: в отдельные месяцы, например, в феврале, марте, августе, октябре и декабре, поставки товаров снижались по сравнению с предыдущими месяцами, в остальные периоды - возрастали.

Применим к исходным данным метод укрупнения интервалов, образовав новый динамический ряд с более крупными временными периодами - кварталами, и рассчитаем средний месячный объем поставок в каждом квартале (табл. 9.14).

Итак, по новым, более крупным интервалам уже четко видно, что значения исследуемого признака во временном аспекте имеют тенденцию к возрастанию.

Применение рассмотренного метода в основном ограничивается теми ситуациями, когда исходные данные относятся к дням, неделям или месяцам года, так как значения исследуемого признака по более мелким временным интервалам больше подвержены случайным колебаниям. Если временные промежутки представляют собой годы, то укрупнение интервалов становится малоэффективным.

9.3.2. Метод скользящей средней

Следующий способ выявления тенденции в динамическом ряду основан на расчете и анализе так называемых скользящих (подвижных) средних.

Скользящими (подвижными) средними называются средние арифметические значения показателя, исчисленные по новым m-членным укрупненным интервалам. Правила построения этих интервалов следующие. Первый из интервалов включает первые m уровней ряда динамики, второй интервал образуется путем исключения первого члена укрупненного интервала и замены его последующим элементом ряда динамики, имеющим номер (m + 1) и т.д. - до включения в интервал последнего уровня ряда. По вычисленным подобным путем подвижным средним делают вывод о существовании тенденции в динамическом ряду.

Если в качестве укрупненного интервала используют период в три месяца, то первая подвижная трехчленная средняя вычисляется как средняя арифметическая из данных за январь, февраль и март, вторая - как средняя арифметическая из данных за февраль, март, апрель и т.д. Значения подвижных средних относят к конкретному временному периоду, соответствующему середине укрупненного интервала.

Проведем сглаживание ряда методом скользящей средней по трем членам (табл. 9.15).

Сглаживание ряда динамики методом скользящей средней по трем членам

В нашем примере первая скользящая средняя относится к февралю, вторая - к марту и т. д.

В тех случаях, когда сглаживание проводится по четному числу уровней ряда динамики, середина временного интервала сглаживания будет находиться между двумя моментами (периодами) времени. Например, если проводить сглаживание по четырем членам, середина первого интервала будет находиться между февралем и мартом, второго интервала - между мартом и апрелем и т.д. В таких случаях возникает необходимость центрирования полученных результатов для отнесения сглаженных значений показателя к конкретным периодам или моментам времени. Расчет центрированных скользящих средних может проводиться в два этапа:

Методика расчета центрированных скользящих средних показана ниже (табл. 9.16).

Сглаживание ряда динамики методом скользящей средней по четырем членам

9.3.3. Аналитическое сглаживание (выравнивание) рядов динамики

Аналитическое выравнивание динамических рядов - это нахождение определенной модели (уравнения тренда), которая математически описывает тенденцию развития явления во времени. При этом уровни показателя рассматриваются только как функция от времени. В отличие от рассмотренных выше методов, таких, как укрупнение интервалов, скользящих средних, направленных в основном на то, чтобы ответить на вопрос: есть ли тенденция в динамическом ряду или нет, и определить ее направление, аналитическое выравнивание позволяет более точно установить характер развития явления, а главное - описать его математически, уловить все нюансы и направления развития и, что, пожалуй, наиболее интересно, использовать в дальнейшем полученную модель для прогнозирования.

Первым шагом в проведении аналитического выравнивания является выбор вида математической функции, которую предполагается использовать в качестве модели тренда. При этом можно руководствоваться формой кривой, полученной на основе отображения на графике эмпирических данных. Схема построения графика достаточно проста: по оси абсцисс откладываются временные периоды (даты), по оси ординат - значения уровней динамического ряда.

При анализе рядов динамики в качестве линии тренда чаще всего используются следующие функции:

линейная:

y_t= a₀ + a₁t;

парабола 2-го порядка:

y_t= a₀ + a₁t + a₂t²;

показательная:

$$y_{t} = a_{0}' a_{1}^{2}$$

гиперболическая:

Кроме того, возможности современного программного обеспечения (например, система STATISTICA) позволяют использовать в качестве модели тренда математическую функцию любого (задаваемого пользователем) произвольного вида.

Выравнивание по линейной функции (прямой). Выбор в пользу выравнивания по линейной функции производят либо по результатам графического анализа эмпирических данных, либо если уровни ряда меняются в арифметической прогрессии (в этом случае рассчитанные цепные абсолютные приросты уровней приблизительно одинаковы).

При выравнивании по линейной функции (прямой) используется уравнение вида

y_t= a₀ + a₁t,

где t - условный показатель времени.

Параметры уравнения определяются на основе метода наименьших квадратов путем решения системы нормальных линейных уравнений

В качестве примера рассмотрим динамический ряд, представленный в табл. 9.17.

Итак, рассчитанные нами цепные абсолютные приросты относительно постоянны, поэтому можно говорить о целесообразности выбора в качестве аналитической функции уравнения прямой.

При нахождении параметров уравнения показатель времени удобно обозначить так, чтобы выполнялось следующее равенство: $$[\sum_t = 0]$$. Для этого при нечетном количестве уровней ряда моменту (периоду) времени, находящемуся в центре ряда, придается значение t = 0, предыдущим - присваивают значения -1, -2, -3 и т.д. , а последующим - значения 1, 2, 3 и т.д. (т.е. с шагом 1 от середины ряда в одну и другую сторону от центра).

Предположим, что мы рассматриваем динамический ряд, имеющий пять уровней (за период с 2002 по 2006 г.), тогда условный показатель времени обозначим так, как это показано в табл. 9.18.

При четном количестве уровней в середине ряда находятся два момента (периода) времени. Одному из них присваивают значение t = -1, а другому t = +1. Тогда предыдущие моменты времени получают значения -3, -5 и т.д., а последующие значения - +3, +5 и т.д. (т.е. с шагом 2 в одну и другую сторону от центра).

При подобном способе обозначения времени система уравнений упрощается

Тогда коэффициенты уравнения а₀ и а₁ находят следующим образом:

Определим по данным табл. 9.17, в которой представлен ряд динамики с четным числом уровней, параметры уравнения прямой (табл. 9.19).

Тогда

Искомое уравнение прямой имеет вид: y_t= 125,5 + 11,414t.

Подставляя в полученное уравнение соответствующее значение t, рассчитаем выравненные теоретические значения показателя (см. последнюю графу табл. 9.11). При этом сумма выравненных значений должна равняться сумме эмпирических значений (753), если это не так, то параметры уравнения определены неверно.

График, построенный по выравненным значениям показателя, будет отражать тенденцию развития явления во времени (рис. 9.1).

На основе полученного уравнения тренда можно строить прогнозные значения показателя для разных периодов времени путем подстановки в полученное уравнение значений временной компоненты. Например, для 2007 г. получим следующую ожидаемую величину дохода:

y_i= 125,5 + 11,414t = 125,5 + 11,414 * 7 = 205,398 (млн руб.).

Выравнивание по параболе второго порядка. При ускоренном или замедленном изменении уровней динамического ряда, когда постоянны рассчитанные вторые разности уровней (цепные абсолютные приросты цепных абсолютных приростов), для аналитического выравнивания применяют параболу второго порядка:

y_i= a₀ + a₁t + a₂t².

Параметры уравнения находят на основе метода наименьших квадратов, при этом обозначение условного показателя времени t абсолютно аналогично обозначению времени при построении прямой.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения параболы имеет вид:

Если принять обозначение времени, при котором выполняется равенство $$\sum_t = 0$$, рассматриваемую систему уравнений можно упростить. Она примет следующий вид:

Проведем аналитическое выравнивание данных, характеризующих динамику инвестиций за период 2001-2006 гг. (табл. 9.20).

Рассчитанные вторые разности демонстрируют относительное постоянство, поэтому в качестве аналитической функции для выравнивания возьмем уравнение параболы второго порядка. Наш выбор подтверждает и графический анализ данных (рис. 9.2).

Проведем необходимые расчеты для определения параметров уравнения в табл. 9.21.

Построим и решим систему уравнений (табл. 9.15):

Таким образом, искомое уравнение параболы имеет вид

y_i =158,406 + 29,543t + 3,451t².

Выравнивание по показательной функции. Если уровни ряда меняются в геометрической прогрессии, т.д. рассчитанные цепные коэффициенты роста относительно постоянны, то для выравнивания используют показательную функцию вида

$$ y_{i} = a_{0}' a_{1}^t$$

Параметры показательного уравнения определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений:

Если принять обозначении времени t, при котором выполняется условие $$\sum_t = 0$$, система гораздо упрощается:

Проведем аналитическое выравнивание данных, характеризующих изменение числа страховых компаний региона за период 2000-2006 гг. (табл. 9.22).

Динамика числа страховых компаний региона за 2000-2006 гг.

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Число страховых компаний, yi	215	220	223	229	235	241	248
Цепные коэффициенты роста	-	1,023	1,014	1,027	1,026	1,026	1,029

Относительно постоянные цепные коэффициенты роста позволяют в качестве аналитического выражения тренда выбрать показательную функцию.

Проведем необходимые расчеты для определения параметров выбранного уравнения в табл. 9.23.

Составим и решим систему нормальных уравнений:

Показательное уравнение будет иметь вид

y_i= 229,8 * 1,03t

Подставляя в полученное уравнение значения условного показателя времени t, рассчитаем выравненные значения `y_i.

Выравнивание по гиперболе. Если уровни динамического ряда снижаются, постепенно замедляя свою скорость, но по логике никогда не смогут достичь нуля, то для проведения аналитического выравнивания выбирают уравнение гиперболы:

Параметры этого уравнения определяются на основе решения следующей системы нормальных уравнений:

При нахождении параметров гиперболы применение принципа "отсчета от условного нуля", который использовался при нахождении параметров прямой, параболы и показательной функции, становится невозможным из-за выражения 1/t при котором $$t \neq 0$$. Поэтому моменты (периоды) времени просто нумеруются, т.д. условному показателю времени присваиваются значения (1, 2, 3 и т.д.) начиная с первого уровня ряда.

Произведем аналитическое выравнивание данных, характеризующих изменение себестоимости единицы продукции вида "А" в течение года (табл. 9.24).

Составим систему уравнений

откуда находим значения параметров

Уравнение гиперболы примет вид

Подставив в полученное уравнение значения условного показателя времени t, рассчитаем выравненные значения y_i и поместим их в расчетную таблицу. Как видим, выравненные значения достаточно близки к эмпирическим данным, что позволяет надеяться на получение достоверных прогнозов на основе построенной модели.

При проведении аналитического выравнивания зачастую бывает трудно заранее определить подходящий вид уравнения тренда, особенно если эмпирические данные графически явно не демонстрируют относимость к какой-либо аналитической функции. Тогда поступают следующим образом: строят несколько уравнений тренда. Затем для каждого из них вычисляют остаточную дисперсию и модель с наименьшей величиной остаточной дисперсии признают лучшей из имеющихся на данный момент.

Остаточная дисперсия исчисляется по формуле

Это более простой метод, но есть и другие, более сложные методы.

9.4. Методы измерения сезонных колебаний уровней динамического ряда

На практике в рядах динамики часто наблюдают некие устойчивые периодические колебания уровней либо вокруг линии тренда, либо по отношению к среднему уровню ряда. Причем эти колебания регулярно повторяются на протяжении некоторого периода: значения показателя возрастают или убывают в зависимости от момента времени, а затем по истечении некоторого временного срока, называемого циклом, возвращаются на свои предыдущие позиции (если колебания происходят вокруг среднего уровня ряда), либо повторяется характер их изменения (если значения уровней колеблются вокруг линии тренда (рис. 9.3а, б).

В зависимости от длины цикла различают периодические колебания: циклические (долгопериодические, когда длина цикла составляет несколько лет), сезонные (внутригодичные колебания по месяцам или кварталам года), недельные, дневные (регулярные колебания по дням недели), часовые (в зависимости от часа дня).

Сезонные колебания наиболее ярко проявляются в торговле (классическим примером является продажа овощей, фруктов и ягод, носящая сезонный характер), а также в производстве отдельных видов продукции (например, производство мороженого, кондитерских изделий), в потреблении электроэнергии и т.д.

Периодические колебания изучают с помощью индексов сезонности.

Строго говоря, термин "индексы сезонности" подразумевает, что индексы будут строиться для изучения периодических колебаний показателя по месяцам или кварталам в течение календарного года, т.д. для изучения сезонных колебаний. Но методология построения данной группы индексов позволяет их использовать и при изучении других видов периодических колебаний, таких как циклические, дневные, недельные, часовые.

а - вокруг линии тренда; б - вокруг среднего уровня ряда

Известны два способа определения индексов сезонности:

При методе постоянной средней индексы сезонности находят по формуле

где `y_t - средний уровень показателя для момента (периода) времени i;

`y_общ - общий средний уровень показателя за весь исследуемый период времени.

Покажем порядок расчета индексов сезонности по отношению к среднему уровню на примере изучения сезонных колебаний объема платных услуг населению по месяцам года.

Исходные данные и результаты расчетов приведены в табл. 9.25.

Расчет индексов сезонности

Месяц	объем платных услуг, млн руб.	Индекс сезонности Si
		2003	2004	2005	2006	в среднем за четыре года, `yt
Январь	17,2	17,5	17,3	18,4	17,6	106,0
Февраль	16,1	16,6	16,2	15,2	16,0	96,4
Март	16,4	16,7	16,3	17,2	16,6	100,0
Апрель	15,6	16,0	16,8	14,9	15,8	95,2
Май	15,8	16,0	16,0	16,8	16,1	97,0
Июнь	15,5	15,6	18,3	18,5	17,0	102,4
Июль	15,1	15,6	17,1	17,7	16,4	98,8
Август	15,8	16,0	16,6	17,9	16,6	100,0
Сентябрь	15,0	15,3	15,5	16,9	15,7	94,6
Октябрь	15,5	15,8	16,4	16,3	16,0	96,4
Ноябрь	16,8	17,0	17,9	17,9	17,4	104,8
Декабрь	18,0	18,4	18,7	19,1	19,5	111,4
Средний уровень ряда	16,1	16,4	16,9	17,2	16,6	-

Средние уровни y_t для каждого месяца определяются по формуле средней арифметической простой за четыре года:

для января:

для февраля:

Общий средний уровень объема платных услуг населению за четыре года можно определить:

как среднюю арифметическую из полученных средних y_t для каждого из 12 месяцев:

как среднюю арифметическую из четырех средних уровней, исчисленных для каждого года:

Тогда индексы сезонности для каждого месяца равны:

для января:

для февраля:

Графическое изображение полученных индексов сезонности будет характеризовать "сезонную волну" в изменении рассматриваемого показателя (рис. 9.4).

Если прогнозируется, что в 2007 г. объем платных услуг увеличится до 210 млн руб. в год, то используя индексы сезонности можно оценить, какой будет величина этого показателя в каждом месяце данного года (т.е. составить прогноз на каждый месяц):

определим средний месячный уровень:

рассчитаем предполагаемое значение показателя по месяцам 2007 г.:

для января: 17,5 * 1,06 = 18,55 (млн руб.);

для февраля: 17,5 * 0,964 = 16,87 (млн руб.) и т.д.

В тех случаях, когда в ряду динамики наблюдается достаточно ярко выраженная тенденция роста его уровней (т.е. ряд содержит тренд), более правильно рассчитывать индексы сезонности методом переменной средней по следующей формуле:

где y_ti - фактическое значение показателя для i-го периода года t;

y_ti - значение показателя для i-го периода внутри t-го года, определенное методом аналитического выравнивания;

- частные индексы сезонности для i-го периода каждого года t;

m - число лет;

S_i - средний индекс сезонности для i-го периода внутри года (месяца или квартала).

Алгоритм расчета следующий:

по эмпирическим данным, применяя метод аналитического выравнивания, находят уравнение тренда;

на основе уравнения тренда, подставляя в него соответствующие значения условного показателя времени, рассчитывают выравненные уровни динамического ряда;

находят частные индексы сезонности как отношение эмпирических значений уровней ряда к соответствующим выровненным значениям

рассчитывают среднюю арифметическую величину из полученных индексов сезонности для каждого из одноименных моментов времени (например, если приведены данные за четыре года, то для каждого месяца получим четыре частных индекса сезонности, из которых находят среднюю)

где m - число одноименных моментов времени, соответствующее числу лет.

Рассчитаем индексы сезонности по данным о реализации товаров группы "А" населению за два года (табл. 9.26).

Построим график, отражающий изменение объема реализации товаров группы "А" населению (рис. 9.5).

Как видим, в данном ряду наблюдается тенденция роста его уровней. Индексы сезонности будем исчислять методом переменной средней. Для этого проведем следующие расчеты (табл. 9.27).

Расчет параметров уравнения и частных индексов сезонности

Год	Квартал	yti	t	t2	yti x t2	`yti
2005	I	52,5	-7	49	-367,5	52,701	99,6
	II	54	-5	25	-270,0	53,065	101,8
	III	52,5	-3	9	-157,5	53,429	98,3
	IV	53	-1	1	-53,0	53,793	98,5
2006	I	54,5	+1	1	54,5	54,157	100,6
	II	56,5	+3	9	169,5	54,339	104,0
	III	53,5	+5	25	267,5	54,885	97,5
	IV	55,3	+7	49	387,1	55,249	100,1
Итого		431,8	0	168	30,6

Определим параметры уравнения не y_t = a₀ + a₁t.

Рассчитаем частные индексы сезонности (S_ti) (последняя графа табл. 9.27).

Определим средние индексы сезонности, учитывая, что данные приведены за два года, т.д. m = 2 (табл. 9.28).

Расчет индексов сезонности методом переменной средней