Средние величины в статистике

Начиная рассуждать о средних величинах, чаще всего вспоминают, как заканчивали школу и поступали в учебное заведение. Тогда по аттестату рассчитывался средний балл: все оценки (и хорошие, и не очень) складывали, полученную сумму делили на их количество. Так вычисляется самый простой вид средней, которая называется средняя арифметическая простая. На практике в статистике применяются различные виды средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, структурные средние. Тот или иной их вид используется в зависимости от характера данных и целей исследования.

Средняя величина является наиболее распространенным статистическим показателем, с помощью которого дается обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она показывает уровень признака в расчете на единицу совокупности. С помощью средних величин проводится сравнение различных совокупностей по варьирующим признакам, изучаются закономерности развития явлений и процессов общественной жизни.

В статистике применяются два класса средних: степенные (аналитические) и структурные. Последние используются для характеристики структуры вариационного ряда и будут рассмотрены далее в гл. 8.

К группе степенных средних относят среднюю арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратическую. Индивидуальные формулы для их вычисления можно привести к виду, общему для всех степенных средних, а именно

где m - показатель степенной средней: при m = 1 получаем формулу для вычисления средней арифметической, при m = 0 - средней геометрической, m = -1 - средней гармонической, при m = 2 - средней квадратической;

x_i - варианты (значения, которые принимает признак);

f_i - частоты.

Главным условием, при котором можно использовать степенные средние в статистическом анализе, является однородность совокупности, которая не должна содержать исходных данных, резко различающихся по своему количественному значению (в литературе они носят название аномальных наблюдений).

Продемонстрируем важность этого условия на следующем примере.

Пример 6.1. Вычислим среднюю заработную плату сотрудников малого предприятия.

Для расчета среднего размера заработной платы необходимо просуммировать заработную плату, начисленную всем работникам предприятия (т.е. найти фонд заработной платы), и разделить на число работающих:

А теперь добавим в нашу совокупность всего лишь одного человека (директора этого предприятия), но с окладом в 50 000 руб. В таком случае вычисляемая средняя будет совсем другая:

Как видим, она превышает 7000 руб., т.д. она больше всех значений признака за исключением одного-единственного наблюдения.

Для того чтобы таких случаев не происходило на практике, и средняя не теряла бы своего смысла (в примере 6.1 она уже не выполняет роль обобщающей характеристики совокупности, которой должна быть), при расчете средней следует аномальные, резко выделяющиеся наблюдения либо исключить из анализа и тем самым сделать совокупность однородной, либо разбить совокупность на однородные группы и вычислить средние значения по каждой группе и анализировать не общую среднюю, а групповые средние значения.

6.1. Средняя арифметическая и ее свойства

Средняя арифметическая вычисляется либо как простая, либо как взвешенная величина.

При расчете средней заработной платы по данным таблицы примера 6.1 мы сложили все значения признака и поделили на их количество. Ход наших вычислений запишем в виде формулы средней арифметической простой

где х_i - варианты (отдельные значения признака);

п - число единиц в совокупности.

Пример 6.2. Теперь сгруппируем наши данные из таблицы примера 6.1, т.д. построим дискретный вариационный ряд распределения работающих по уровню заработной платы. Результаты группировки представлены в таблице.

Запишем выражение для вычисления среднего уровня заработной платы в более компактной форме:

В примере 6.2 была применена формула средней арифметической взвешенной

где f_i - частоты, показывающие, сколько раз встречается значение признака х_i y единиц совокупности.

Расчет средней арифметической взвешенной удобно проводить в таблице, как это показано ниже (табл. 6.3):

Следует отметить, что средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда данные не сгруппированы или сгруппированы, но все частоты равны между собой.

Часто результаты наблюдения представляют в виде интервального ряда распределения (см. таблицу в примере 6.4). Тогда при расчете средней в качестве x_i берут середины интервалов. Если первый и последний интервалы открыты (не имеют одной из границ), то их условно "закрывают", принимая за величины данного интервала величину примыкающего интервала, т.д. первый закрывают исходя из величины второго, а последний - по величине предпоследнего.

Пример 6.3. По результатам выборочного обследования одной из групп населения рассчитаем размер среднедушевого денежного дохода.

В приведенной таблице середина первого интервала равна 500. Действительно, величина второго интервала - 1000 (2000-1000); тогда нижняя граница первого равна 0 (1000-1000), а его середина - 500. Аналогично поступаем с последним интервалом. За его середину принимаем 25 000: величина предпоследнего интервала 10 000 (20 000-10 000), тогда его верхняя граница - 30 000 (20 000 + 10 000), а середина, соответственно, - 25 000.

Тогда среднедушевой размер месячного дохода составит

Средняя арифметическая величина обладает рядом математических свойств. Приведем основные из них:

На изложенных свойствах средней арифметической базируется один из методов ее расчета - способ моментов, или метод отсчета от условного нуля, который используется в случае вариационных рядов с равными интервалами. Согласно этому методу среднюю арифметическую взвешенную можно вычислить по следующей формуле: x = m_i * d + c

где - момент первого порядка

За d, как правило, принимают величину интервалов, а за с - значение середины интервала, находящегося в центре ряда (если количество интервалов нечетное), или середину интервала с наибольшей частотой также из центра ряда (при четном количестве интервалов в центре ряда будут находиться два интервала).

Пример 6.4. Рассчитаем среднюю прибыль по группе банков способом моментов.

(рис 6.13) Расчет средней арифметической способом моментов

6.2. Средняя гармоническая

Средняя гармоническая величина является модифицированной формой средней арифметической. Она применяется в тех случаях, когда неизвестны значения частот у вариант ряда, зато имеются для каждого x_i произведения этих вариант на соответствующие им частоты, т.д. $$[F_{i} = x_{i}' f_{i}]$$. Величиной F_i может быть, например, товарооборот по видам товаров при расчете их средней цены; фонд заработной платы по отдельным категориям работников при расчете средней заработной платы и т.д. Ситуаций, когда нам известны не частоты, а произведения частот на соответствующие им варианты при расчете средней величины, более чем достаточно.

Формула средней гармонической взвешенной имеет следующий вид:

где F_i - произведения вариант на соответствующие им частоты;

x_i - варианты.

Если мы для каждой варианты рассчитаем частоту как то формула средней гармонической взвешенной превратится в формулу для расчета средней арифметической взвешенной:

Пример 6.5. Вернемся к примеру 6.2, где рассчитывалась средняя заработная плата 20 работников малого предприятия. Предположим, что изначально были известны данные об уровне заработной платы для каждой группы работающих и начисленный им фонд заработной платы. Тогда для расчета средней заработной платы необходимо определить численность работающих в каждой группе. Для этого разделим фонд заработной платы каждой группы работающих на их уровень заработной платы (см. графу 3 в таблице). Тогда, разделив общий фонд заработной платы на общую численность работающих, получим их среднюю заработную плату.

Как видим, и в первом, и во втором случае расчет производился по одной и той же логической формуле

но использовались разные формулы для расчета, поскольку отличались исходные данные.

Если произведения вариант на соответствующие им частоты равны между собой, т.д. F₁ = F₂ = F₃ = ... = F_n, то можно применять среднюю гармоническую простую, рассчитываемую по следующей формуле:

где п - число единиц в совокупности.

Пример 6.6. Предприятием были выделены одинаковые денежные суммы на приобретение акций двух видов, при этом цена акции вида "А" составляла 1000 руб., "В" - 1800 руб. Рассчитаем среднюю цену приобретения акций:

Поясним расчет. Мы знаем, что логическая формула для расчета средней цены приобретения одной акции такова:

Однако неизвестно, сколько было куплено акций каждого вида. Поэтому средняя арифметическая здесь не может быть использована.

Кроме того, мы знаем, что на покупку каждого вида акций была выделена одна и та же сумма. Обозначим ее через С. Тогда общая сумма, выделенная на покупку двух видов акций, будет равна 2С, а количество купленных акций каждого вида можно рассчитать следующим образом:

Если подставить эти значения в логическую формулу, то неизвестная величина С (сумма, выделенная на приобретение каждого вида акций) сократится, и расчет действительно будет проведен по формуле средней гармонической простой:

6.3. Средняя геометрическая

Для расчета среднего коэффициента или темпа роста статистического показателя используется формула средней геометрической.

Для несгруппированных данных (при отсутствии частот) или для сгруппированных данных с равными частотами применяется средняя геометрическая простая

Для сгруппированных данных с неравными частотами применяется средняя геометрическая взвешенная

Примеры расчета средней геометрической будут рассмотрены в гл. 9.

6.4. Средняя квадратическая и другие степенные средние

Если подставить в формулу средней степенной m = 2, то получим среднюю квадратическую:

взвешенную (для сгруппированных данных):

простую (для несгруппированных данных):

Средняя квадратическая величина широко применяется при оценке вариации признака, при изучении взаимосвязи явлений. Кроме того, прикладное значение имеет расчет степенных средних и более высоких порядков, например при изучении характеристик распределения случайных величин. Формулы для их вычисления получаются при подстановке в качестве m соответствующего показателя степени.

Правило мажорантности степенных средних состоит в том, что при расчете по одним и тем же данным между числовыми значениями средних, исчисленных по разным формулам, всегда сохраняется следующее неравенство: