Статистика

Показатели вариации в статистике

Показывать лекцию целиком

7.1. Абсолютные и относительные показатели вариации

Рассмотрим две совокупности сотрудников рекламных агентств.

Распределение сотрудников первого агентства по уровню месячной заработной платы представлено в табл. 7.1.

Распределение сотрудников первого агентства по уровню месячной заработной платы
Размер месячной заработной платы, руб. Середина интервала, xi Число сотрудников, чел., fi xi*fi
4 000-6 000 5 000 10 50 000
6 000-8 000 7 000 6 42 000
8 000-10 000 9 000 19 171 000
10 000-12 000 11 000 26 286 000
14 000-16 000 15 000 10 150 000
16 000-18 000 17 000 5 85 000
Сумма - 95 1 031 000

Распределение сотрудников второго агентства по уровню месячной заработной платы представлено в табл. 7.2.

Распределение сотрудников второго агентства по уровню месячной заработной платы
Размер месячной заработной платы, руб. Середина интервала, xi Число сотрудников, чел., fi xi*fi
1 500-4 500 3 000 9 27 000
4 500-7 500 6 000 26 156 000
7 500-10 500 9 000 24 216 000
10 500-13 500 12 000 18 216 000
13 500-16 500 15 000 14 210 000
16 500-19 500 18 000 10 180 000
19 500-22 500 21 000 9 189 000
Сумма - 110 1 194 000

Рассчитаем средний уровень заработной платы:

  • для первого агентства:

  • для второго агентства:

    • Как видим, средние в двух совокупностях практически совпадают между собой (с разницей в 1 руб.). Однако если вы вдруг случайно встретите сотрудников этих агентств и поинтересуетесь уровнем оплаты их труда, то вас заверят, что платят у них вовсе не одинаково! Почему?! Оказывается, что разброс значений вокруг средней в этих совокупностях абсолютно разный. Значит, такой характеристики, как средняя, вовсе не достаточно, чтобы делать выводы о совокупности. Для этого используют показатели вариации.

    Вариацией называется изменчивость значений признака у единиц статистической совокупности. Для измерения величины вариации используются абсолютные и относительные показатели вариации.

    К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

    Размах вариации (R) вычисляется как разность между максимальным и минимальным значениями признака

    $$$ R=x_{max} -x_{min}$$$

    Среднее линейное отклонение (d) представляет собой среднюю арифметическую величину из абсолютных значений отклонений отдельных значений признака от их средней. Если данные не сгруппированы, то рассчитывается невзвешенное среднее линейное отклонение

    $$\overline{d}_{прост.}=\frac {\sum (x_i-\overline{x})} n$$

    Для сгруппированных данных, представленных в виде вариационного ряда, используется взвешенное среднее линейное отклонение, где весами выступают частоты соответствующих вариант:

    $$\overline{d}_{взвеш.}=\frac {\sum (x_i-\overline{x})f_i} {\sum f_i}$$

    Дисперсией ($$ \sigma^{2} $$) называется средняя арифметическая величина, полученная из квадратов отклонений значений признака от их средней

  • для несгруппированных данных:

    $$\sigma_{прост.}^2=\frac {\sum (x_i-\overline{x})^2} n$$
  • для сгруппированных данных: $$\sigma_{взвеш.}^2=\frac {\sum (x_i-\overline{x})^2 f_i} {\sum f_i}$$

    • Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением (его называют также стандартным отклонением):

  • для несгруппированных данных: $$\sigma_{прост.}=\sqrt{\frac {\sum (x_i-\overline{x})^2} n}$$

  • для сгруппированных данных: $$\sigma_{взвеш.}=\sqrt{\frac {\sum (x_i-\overline{x})^2 f_i} {\sum f_i}}$$

    • Абсолютные показатели вариации, за исключением дисперсии, имеют те же единицы измерения, что и исследуемый показатель вариационного ряда. Поэтому, если экономическая интерпретация, например, среднего линейного отклонения, проста и понятна физически, то в случае с дисперсией она затруднена. Однако дисперсия рассчитывается в статистическом анализе гораздо чаще, чем другие показатели вариации. Связано это с тем, что дисперсия широко используется в таких видах статистического анализа, как корреляционный, регрессионный, дисперсионный, при оценках результатов выборочного наблюдения. Кроме того, именно с помощью дисперсии можно оценить влияние случайных и систематических факторов на формирование значений случайной величины.

    Для сравнения вариации одного и того же показателя в разных совокупностях (например, заработной платы двух рекламных агентств) или вариации разных показателей в одной совокупности (например, вариации заработной платы и возраста в одном рекламном агентстве) используют относительные показатели вариации. К ним относят:

  • коэффициент осцилляции: $$V_R=\frac R {\overline {x}} \cdot 100%$$

  • относительное линейное отклонение: $$V_{\overline {d}}=\frac {\overline {d}} {\overline {x}} \cdot 100%$$

  • коэффициент вариации: $$V_{\sigma}=\frac \sigma {\overline {x}} \cdot 100%$$

    • Принято считать, что если значение $$V_{\sigma}$$ > 33%, то совокупность неоднородна, и для дальнейшего статистического анализа следует либо исключить крайние значения признака, либо разбить совокупность на однородные группы (требование однородности данных присутствует практически во всех видах статистического анализа).

    Рассчитаем показатели вариации для приведенных в табл. 7.1 и 7.2 вариационных рядов (табл. 7.3 и 7.4).

    Расчет абсолютных и относительных показателей вариации для первого агентства
    Размер месячной заработной платы, руб. Середина интервала, xi Число сотрудников, чел., yj (xi-x)*f (xi-x)2*f
    4 000-6 000 5 000 10 58 530 342 576 090
    6 000-8 000 7 000 6 23 118 89 073 654
    8 000-10 000 9 000 19 35 207 65 238 571
    10 000-12 000 11 000 26 3 822 561 834
    12 000-14 000 13 000 19 40 753 87 582 571
    14 000-16 000 15 000 10 41 470 171 976 090
    16 000-18 000 17 000 5 30 735 188 928 045
    Сумма - 95 233 675 945 936 855

    По первому агентству получим следующие данные.

    Размах вариации:

    R = xmax - xmin = 18 000 - 4000 = 14 000 (руб.).

    Среднее линейное отклонение (так как ряд сгруппирован и частоты не равны между собой) рассчитываем как взвешенную величину:

    Дисперсия:

    Среднее квадратическое отклонение:

    Коэффициент осцилляции:

    Относительное линейное отклонение:

    Коэффициент вариации:

    Судя по коэффициенту вариации, совокупность по данному признаку можно считать однородной.

    Проведем расчет аналогичных характеристик вариации по второму агентству (табл. 7.4).

    Расчет абсолютных и относительных показателей вариации для второго агентства
    Размер месячной заработной платы, руб. Середина интервала, xi Число сотрудников, чел., yj (xi - x)*f (xi - x)2*f
    1 500-4 500 3 000 9 70 686 555 167 844
    4 500-7 500 6 000 26 126 204 612 594 216
    7 500-10 500 9 000 24 44 496 82 495 584
    10 500-13 500 12 000 18 20 628 23 639 688
    13 500-16 500 15 000 14 58 044 240 650 424
    16 500-19 500 18 000 10 71 460 510 653 160
    19 500-22 500 21 000 9 91 314 926 471 844
    Сумма - 110 482 832 2 951 672 760

    Показатели вариации по второму агентству:

    Размах вариации:

    R = 22 500 - 1500 = 21 000 (руб.);

    Среднее линейное отклонение:

    Дисперсия:

    Среднее квадратическое отклонение - 5180 (руб.).

    Коэффициент осцилляции - 193%.

    Относительное линейное отклонение - 40%.

    Коэффициент вариации - 48%.

    Таким образом, по данному признаку вторая совокупность сотрудников неоднородна.

    Сравнение относительных показателей вариации по двум совокупностям говорит о том, что дифференциация по уровню заработной платы во втором агентстве гораздо выше, чем в первом, хотя их средние практически совпадают между собой.

    7.2. Свойства дисперсии, расчет дисперсии способом моментов

    Дисперсия обладает рядом математических свойств. Приведем основные из них:

  • если xi = c, где с - постоянная величина, то дисперсия будет равна нулю;
  • если из всех значений признака вычесть постоянную величину с, то дисперсия от этого не изменится:

  • если все индивидуальные значения признака уменьшить в d раз, то дисперсия уменьшится в d2 раз:

    • На приведенных свойствах дисперсии основан один из методов ее расчета - способ моментов. Согласно ему, дисперсию можно вычислить по следующей формуле (применяется только в случае вариационных рядов с равными интервалами):

    где с - значение середины интервала, находящегося в центре ряда (если количество интервалов четное, то берется середина интервала из центра ряда с наибольшей частотой);

    d - величина интервалов;

    - момент второго порядка;

    - момент первого порядка.

    По данным табл. 7.5 определим дисперсию способом моментов.

    Расчет дисперсии способом моментов

    или

    Если при расчете дисперсии способом моментов взять за постоянную величину с нуль, а за d - единицу, то приведенная выше формула примет следующий вид:

    Таким образом получаем, что дисперсия равна разности между средней из квадратов индивидуальных значений признака и квадрата средней.

    Применим данный способ расчета дисперсии. Пусть известно, что средняя арифметическая величина, рассчитанная для вариационного ряда, равна 56 дол., а средний квадрат его индивидуальных значений - 3322. Определим дисперсию.

    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^