В этой лекции мы собираемся представить введение в алгебру матриц -технику вычислений, применяемую при выполнении линейных трансформаций.
Начнем с определения скалярного произведения в $$R^N$$. Скалярное произведение двух векторов в $$R^N$$ - это число, определяемое следующим образом:
$$\begin{pmatrix}a_1\\a_2 \\ \dots \\a_N \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}b_1\\b_2 \\ \dots \\b_N \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_Nb_N$$Скалярное произведение билинейно:
$$v*(u+w)=v*u+v*w,\; (v+u)*w=v*w+u*w,\\ v*(cw)=(cv)*w=c(v*w)$$и симметрично: v*w = w * v.
Еще одно важное свойство скалярного произведения состоит в том, что оно позволяет вычислить длину вектора. Будем обозначать длину вектора v как |v| . Тогда: $$|v|=\sqrt{v*v}$$. Длина вектора называется также его нормой.
На плоскости соотношение для |v| прямое следствие теоремы Пифагора:
Для вектора $$w=\begin{pmatrix}x\\ y \\z \end{pmatrix}$$ в трехмерном пространстве теорему Пифагора применяем дважды, вначале для проекция вектора на плоскость XY: $$v= \begin{pmatrix}x\\ y\\ 0\end{pmatrix}$$,
получив $$|v|^2=x^2+y^2$$, затем к вектору v и перпендикулярному вектору $$u= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ z\end{pmatrix}$$ . В результате получаем: $$|w|^2=|v|^2+|u|^2=x^2+y^2+z^2$$
Для установления истинности формулы $$v * v = |v|^2$$ в $$R^N$$ теорему Пифагора следует применить N - 1 раз.
Теорема. Пусть u, v - два вектора в $$R^N$$ с углом $$\alpha$$ между ними. Тогда $$u*v = |u||v|\cos \alpha$$.
Доказательство. Рассмотрим треугольник, сформированный векторами u, v, u-v. По свойству скалярного произведения:
$$|u-v|^2=(u-v)*(u-v)=u*u-u*v-v*u+v*v=|u|^2+|v|^2-2u*v$$
С другой стороны по теореме косинусов:
$$|u-v|^2=|u|^2+|v|^2-2|u||v|\cos \alpha$$Из сравнения этих формул следует истинность утверждения теоремы.
Следствие. Два вектора в $$R^N$$ перпендикулярны друг другу если и только если их скалярное произведение равно нулю.
Определение. Матрица линейной трансформации Т векторного пространства $$R^N$$ - это квадратная таблица N * N из N строк и N столбцов, содержащих числа, сформированная векторами $$Т(е_1), Т(е_2), \dots, Т(е_N)$$, представляющих столбцы матрицы.
Пример. Пусть Т - поворот на $$30\circ$$ против часовой стрелки. Тогда:
Матрица, задающая Т, имеет вид:
В общем случае матрица трансформации, задающая на плоскости поворот против часовой стрелки на угол $$\alpha$$, имеет вид:
$$R_{\alpha}=\begin{pmatrix}\cos \alpha -\sin \alpha\\ \sin \alpha \cos \alpha \end{pmatrix}$$Как мы видели в предьцдущей главе, линейная трансформация определяется трансформациями базисных векторов. Следовательно, в матрице линейной трансформации содержится вся информация о трансформации.
Теперь мы определим операцию умножения матрицы на вектор из $$R^N$$.
Определение. Произведение Аv квадратной матрицы А размера N * N на вектор v из $$R^N$$ - это вектор в $$R^N$$, k-ая компонента которого представляет скалярное произведение k-й строки матрицы А на вектор v.
Теорема. Пусть Т-линейная трансформация в $$R^N$$, определяемая матрицей А, тогда результат применения Т к вектору v эквивалентен произведению Аv.
Мы не станем рассматривать формальное доказательство, а рассмотрим пример. Пусть Т - линейная трансформация в $$R^2$$, определяемая матрицей А:
Пусть $$v=\begin{pmatrix}5\\6 \end{pmatrix}$$, тогда произведение:
$$Av=\begin{pmatrix}12 \\34 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1*5+2*6\\3*5+4*6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17\\ 39\end{pmatrix}$$Результат применения трансформации Т к вектору v:
Нетрудно видеть, что эти вычисления остаются справедливыми в общем случае для любых матриц размера N * N и векторов v из $$R^N$$.
Упражнение. Пусть Т - отражение плоскости относительно прямой у = 2х. Найти матрицу, задающую трансформацию Т.
Решение. Для формирования матрицы необходимо найти $$Т(е_1)$$ и $$Т(е_2)$$. Покажем на этом примере, как это можно сделать. Выберем два вектора, для которых трансформация Т известна. Для вектора $$v_1={1\choose 2}/T(v_1)=v_1$$, поскольку точка (1,2) принадлежит прямой у = 2х. Для вектора $$v_2= {2\choose-1}T(v_2)=-v_2$$, поскольку скалярное произведение векторов $$v_1$$ и $$v_2$$ равно 0, следовательно, вектора $$v_1$$ и $$v_2$$ перпендикулярны.
Представим вектор $$е_1$$ как линейную комбинацию векторов $$v_1$$ и $$v_2$$: $$е_1 = c_{1v1} + с_2v_2$$:
$$ {1\choose 0}=c_1 {1\choose 2}+c_2 {2\choose -1}$$Получаем два уравнения с двумя неизвестными: $$2c_1 - c_2 = 0$$ и $$c_1 + 2с_2 = 1$$ Решая уравнения получаем: $$с_1 = 1/5,\; с_2 = 2/5$$. Теперь, зная трансформации векторов $$v_1$$ и $$v_2$$ можно вычислить трансформацию вектора $$е_1$$:
$$T(e_1)=1/5T(v_1)+2/5T(v_2)=1/5 {1\choose 2}-2/5 {2\choose -1}= {-3/5 \choose 4/5}$$Подобным образом находим $$t(e_2)= {4/5\choose 3/5}$$. Рассматривая $$Т(е_1)$$ и $$Т(е_2)$$ как столбцы матрицы Т, получим:
В классических вычислениях сложные задачи не решаются за один шаг Типично для достижения ответа требуется выполнить последовательность операций. Подобным образом и квантовый алгоритм проектируется не как единственная линейная трансформация, а как композиция нескольких простых линейных трансформаций.
Прежде всего, нам нужно выяснить, как вычислить матрицу композиции $$Т \circ S$$ линейных трансформаций, если известны матрицы трансформаций Т и S.
Начнем обсуждение с соглашения о порядке операций. Традиционно для математики записывать аргумент функции f (х) или линейной трансформации Т(v) справа от имени функции. Композиция $$Т \circ S$$, когда она применяется к вектору v дает $$Т \circ S(v) = Т(S(v))$$. Это означает, что в композиции $$Т \circ S$$ множитель, который стоит справа, применяется первым.
Пусть Т и S - две линейные трансформации с матрицами А и В соответственно. Нам необходимо вычислить матрицу С композиции $$Т \circ S$$. Напомним, что k-й столбец матрицы С - образ $$е_k$$ при трансформации $$Т \circ S$$: $$Т \circ S(е_к) = Т(S(е_к))$$. Однако, $$S(е_к)$$ -это просто k-й столбец матрицы В. Отсюда следует, что k-й столбец С - это произведение матрицы А на k-й столбец В. Матрицу С, вычисляемую таким образом, назовем произведением матриц А и В: С = АВ.
Например,
$$ \begin{pmatrix}12\\34 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}51\\20 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1*5+2*21*1+2*0\\3*5+4*23*1+4*0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}91\\233 \end{pmatrix}$$Нетрудно заметить, что элемент матрицы произведения С, стоящий на пересечении строки с индексом m и столбца с индексом k, является скалярным произведением строки с индексом m матрицы А и столбца с индексом k матрицы В.
Подводя итог, - матрица композиции двух линейных трансформаций является произведением матриц этих трансформаций.
Мы можем также определить сумму двух матриц размера N * N, где элемент с индексами m и k матрицы суммы представляет сумму элементов с теми же индексами матриц слагаемых:
Некоторые алгебраические свойства матричных операций совпадают со свойствами чисел: А(В + С) = АВ + АС, (А + В)С = АС + ВС. Однако, есть важная разница. Рассмотрим две матрицы:
Вычислим произведение АВ и ВА:
Этот пример показывает, что произведение матриц не коммутативно: $$АВ \ne ВА$$.
Этот пример также показывает, что произведение ненулевых матриц может быть нулевой матрицей.
Все же произведение матриц обладает свойством ассоциативности (АВ)С = А(ВС). Это следует из того факта, что умножение матриц соответствует композиции линейных трансформаций $$(Т \circ S) \circ R = Т \circ (S \circ R)$$, так как обе стороны, примененные к вектору v, дают один и тот же результат:T(S(R(v)))
В заключение этой лекции рассмотрим одно из применений линейной алгебры к задачам тригонометрии. Рассмотрим композицию поворота на угол $$\alpha$$ и поворота на угол $$\beta$$. Очевидно
$$R_{\alpha}\circR_{\beta}=R_{\alpha+\beta}$$Выпишем эквивалентное соотношение для матриц поворота:
$$\begin{pmatrix}\cos \alpha -\sin \alpha\\ \sin \alphacos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \beta -\sin\beta \\ \sin \beta \cos \beta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\alpha + \beta ) -\sin (\alpha + \beta)\\ \sin (\alpha+\beta) \cos (\alpha + \beta) \end{pmatrix}$$Произведение матриц в левой части равенства дает:
$$\begin{pmatrix}cos \alpha cos \beta- \sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \sin \beta-\sin \alpha \cos \beta\\ \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix}$$Сравнивая полученный результат с матрицей правой части равенства, приходим к известному тригонометрическому тождеству:
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \аlpha \cos \beta - \sin \аlpha \sin \beta,\\ \sin (\аlpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \соs \аlpha \sin \beta$$И это наиболее экономичное доказательство этой важной формулы.
В этой лекции мы собираемся представить введение в алгебру матриц -технику вычислений, применяемую при выполнении линейных трансформаций.
Начнем с определения скалярного произведения в $$R^N$$. Скалярное произведение двух векторов в $$R^N$$ - это число, определяемое следующим образом:
$$\begin{pmatrix}a_1\\a_2 \\ \dots \\a_N \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}b_1\\b_2 \\ \dots \\b_N \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_Nb_N$$Скалярное произведение билинейно:
$$v*(u+w)=v*u+v*w,\; (v+u)*w=v*w+u*w,\\ v*(cw)=(cv)*w=c(v*w)$$и симметрично: v*w = w * v.
Еще одно важное свойство скалярного произведения состоит в том, что оно позволяет вычислить длину вектора. Будем обозначать длину вектора v как |v| . Тогда: $$|v|=\sqrt{v*v}$$. Длина вектора называется также его нормой.
На плоскости соотношение для |v| прямое следствие теоремы Пифагора:
Для вектора $$w=\begin{pmatrix}x\\ y \\z \end{pmatrix}$$ в трехмерном пространстве теорему Пифагора применяем дважды, вначале для проекция вектора на плоскость XY: $$v= \begin{pmatrix}x\\ y\\ 0\end{pmatrix}$$,
получив $$|v|^2=x^2+y^2$$, затем к вектору v и перпендикулярному вектору $$u= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ z\end{pmatrix}$$ . В результате получаем: $$|w|^2=|v|^2+|u|^2=x^2+y^2+z^2$$
Для установления истинности формулы $$v * v = |v|^2$$ в $$R^N$$ теорему Пифагора следует применить N - 1 раз.
Теорема. Пусть u, v - два вектора в $$R^N$$ с углом $$\alpha$$ между ними. Тогда $$u*v = |u||v|\cos \alpha$$.
Доказательство. Рассмотрим треугольник, сформированный векторами u, v, u-v. По свойству скалярного произведения:
$$|u-v|^2=(u-v)*(u-v)=u*u-u*v-v*u+v*v=|u|^2+|v|^2-2u*v$$
С другой стороны по теореме косинусов:
$$|u-v|^2=|u|^2+|v|^2-2|u||v|\cos \alpha$$Из сравнения этих формул следует истинность утверждения теоремы.
Следствие. Два вектора в $$R^N$$ перпендикулярны друг другу если и только если их скалярное произведение равно нулю.
Определение. Матрица линейной трансформации Т векторного пространства $$R^N$$ - это квадратная таблица N * N из N строк и N столбцов, содержащих числа, сформированная векторами $$Т(е_1), Т(е_2), \dots, Т(е_N)$$, представляющих столбцы матрицы.
Пример. Пусть Т - поворот на $$30\circ$$ против часовой стрелки. Тогда:
Матрица, задающая Т, имеет вид:
В общем случае матрица трансформации, задающая на плоскости поворот против часовой стрелки на угол $$\alpha$$, имеет вид:
$$R_{\alpha}=\begin{pmatrix}\cos \alpha -\sin \alpha\\ \sin \alpha \cos \alpha \end{pmatrix}$$Как мы видели в предьцдущей главе, линейная трансформация определяется трансформациями базисных векторов. Следовательно, в матрице линейной трансформации содержится вся информация о трансформации.
Теперь мы определим операцию умножения матрицы на вектор из $$R^N$$.
Определение. Произведение Аv квадратной матрицы А размера N * N на вектор v из $$R^N$$ - это вектор в $$R^N$$, k-ая компонента которого представляет скалярное произведение k-й строки матрицы А на вектор v.
Теорема. Пусть Т-линейная трансформация в $$R^N$$, определяемая матрицей А, тогда результат применения Т к вектору v эквивалентен произведению Аv.
Мы не станем рассматривать формальное доказательство, а рассмотрим пример. Пусть Т - линейная трансформация в $$R^2$$, определяемая матрицей А:
Пусть $$v=\begin{pmatrix}5\\6 \end{pmatrix}$$, тогда произведение:
$$Av=\begin{pmatrix}12 \\34 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1*5+2*6\\3*5+4*6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17\\ 39\end{pmatrix}$$Результат применения трансформации Т к вектору v:
Нетрудно видеть, что эти вычисления остаются справедливыми в общем случае для любых матриц размера N * N и векторов v из $$R^N$$.
Упражнение. Пусть Т - отражение плоскости относительно прямой у = 2х. Найти матрицу, задающую трансформацию Т.
Решение. Для формирования матрицы необходимо найти $$Т(е_1)$$ и $$Т(е_2)$$. Покажем на этом примере, как это можно сделать. Выберем два вектора, для которых трансформация Т известна. Для вектора $$v_1={1\choose 2}/T(v_1)=v_1$$, поскольку точка (1,2) принадлежит прямой у = 2х. Для вектора $$v_2= {2\choose-1}T(v_2)=-v_2$$, поскольку скалярное произведение векторов $$v_1$$ и $$v_2$$ равно 0, следовательно, вектора $$v_1$$ и $$v_2$$ перпендикулярны.
Представим вектор $$е_1$$ как линейную комбинацию векторов $$v_1$$ и $$v_2$$: $$е_1 = c_{1v1} + с_2v_2$$:
$$ {1\choose 0}=c_1 {1\choose 2}+c_2 {2\choose -1}$$Получаем два уравнения с двумя неизвестными: $$2c_1 - c_2 = 0$$ и $$c_1 + 2с_2 = 1$$ Решая уравнения получаем: $$с_1 = 1/5,\; с_2 = 2/5$$. Теперь, зная трансформации векторов $$v_1$$ и $$v_2$$ можно вычислить трансформацию вектора $$е_1$$:
$$T(e_1)=1/5T(v_1)+2/5T(v_2)=1/5 {1\choose 2}-2/5 {2\choose -1}= {-3/5 \choose 4/5}$$Подобным образом находим $$t(e_2)= {4/5\choose 3/5}$$. Рассматривая $$Т(е_1)$$ и $$Т(е_2)$$ как столбцы матрицы Т, получим:
В классических вычислениях сложные задачи не решаются за один шаг Типично для достижения ответа требуется выполнить последовательность операций. Подобным образом и квантовый алгоритм проектируется не как единственная линейная трансформация, а как композиция нескольких простых линейных трансформаций.
Прежде всего, нам нужно выяснить, как вычислить матрицу композиции $$Т \circ S$$ линейных трансформаций, если известны матрицы трансформаций Т и S.
Начнем обсуждение с соглашения о порядке операций. Традиционно для математики записывать аргумент функции f (х) или линейной трансформации Т(v) справа от имени функции. Композиция $$Т \circ S$$, когда она применяется к вектору v дает $$Т \circ S(v) = Т(S(v))$$. Это означает, что в композиции $$Т \circ S$$ множитель, который стоит справа, применяется первым.
Пусть Т и S - две линейные трансформации с матрицами А и В соответственно. Нам необходимо вычислить матрицу С композиции $$Т \circ S$$. Напомним, что k-й столбец матрицы С - образ $$е_k$$ при трансформации $$Т \circ S$$: $$Т \circ S(е_к) = Т(S(е_к))$$. Однако, $$S(е_к)$$ -это просто k-й столбец матрицы В. Отсюда следует, что k-й столбец С - это произведение матрицы А на k-й столбец В. Матрицу С, вычисляемую таким образом, назовем произведением матриц А и В: С = АВ.
Например,
$$ \begin{pmatrix}12\\34 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}51\\20 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1*5+2*21*1+2*0\\3*5+4*23*1+4*0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}91\\233 \end{pmatrix}$$Нетрудно заметить, что элемент матрицы произведения С, стоящий на пересечении строки с индексом m и столбца с индексом k, является скалярным произведением строки с индексом m матрицы А и столбца с индексом k матрицы В.
Подводя итог, - матрица композиции двух линейных трансформаций является произведением матриц этих трансформаций.
Мы можем также определить сумму двух матриц размера N * N, где элемент с индексами m и k матрицы суммы представляет сумму элементов с теми же индексами матриц слагаемых:
Некоторые алгебраические свойства матричных операций совпадают со свойствами чисел: А(В + С) = АВ + АС, (А + В)С = АС + ВС. Однако, есть важная разница. Рассмотрим две матрицы:
Вычислим произведение АВ и ВА:
Этот пример показывает, что произведение матриц не коммутативно: $$АВ \ne ВА$$.
Этот пример также показывает, что произведение ненулевых матриц может быть нулевой матрицей.
Все же произведение матриц обладает свойством ассоциативности (АВ)С = А(ВС). Это следует из того факта, что умножение матриц соответствует композиции линейных трансформаций $$(Т \circ S) \circ R = Т \circ (S \circ R)$$, так как обе стороны, примененные к вектору v, дают один и тот же результат:T(S(R(v)))
В заключение этой лекции рассмотрим одно из применений линейной алгебры к задачам тригонометрии. Рассмотрим композицию поворота на угол $$\alpha$$ и поворота на угол $$\beta$$. Очевидно
$$R_{\alpha}\circR_{\beta}=R_{\alpha+\beta}$$Выпишем эквивалентное соотношение для матриц поворота:
$$\begin{pmatrix}\cos \alpha -\sin \alpha\\ \sin \alphacos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \beta -\sin\beta \\ \sin \beta \cos \beta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\alpha + \beta ) -\sin (\alpha + \beta)\\ \sin (\alpha+\beta) \cos (\alpha + \beta) \end{pmatrix}$$Произведение матриц в левой части равенства дает:
$$\begin{pmatrix}cos \alpha cos \beta- \sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \sin \beta-\sin \alpha \cos \beta\\ \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix}$$Сравнивая полученный результат с матрицей правой части равенства, приходим к известному тригонометрическому тождеству:
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \аlpha \cos \beta - \sin \аlpha \sin \beta,\\ \sin (\аlpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \соs \аlpha \sin \beta$$И это наиболее экономичное доказательство этой важной формулы.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.