Рассмотрим следующую задачу: Возьмем вектор $$v={3\choose 2$$ на плоскости ХУ и повернем его против часовой стрелки на $$20\circ$$. Каковы будут координаты результирующего вектора $$R_{20\circ} (v)$$? Нетрудно найти решение, используя геометрию треугольников, но есть лучший подход, основанный на теоретическом анализе свойств трансформации поворотов. Если у нас есть два вектора v и w, то не имеет значение, найдем ли мы раньше сумму этих векторов и повернем суммарный вектор на угол $$\alpha$$ или вначале повернем каждый из векторов v и w на угол $$\alpha$$, а затем найдем суммарный вектор. Окончательный результат будет один и тот же.
Линейные трансформации - английский термин " Transformation" мы решили переводить как " Трансформация", а не как " Преобразование". Это позволяет подчеркнуть специфичность этот термина, играющего важный смысл в данном тексте. Термин " Преобразование" используется в других контекстах.
Это свойство поворотов алгебраически записывается следующим образом:
$$R_{alpha}(v+w)=R_{\alpha}(v)+R_{\alpha}(w)$$Это же свойство применимо и к результату умножения вектора на число для любого вещественного числа с:
$$R_{\alpha}(cv)=cR_{\alpha}(v)$$Заметим, что довольно просто вычислить результат трансформации, когда он применяется к базисным векторам $${1\choose 0}$$ и $${0\choose 1}$$
$$R_{\alpha}{1\choose 0}={\cos \alpha \choose \sin \alpha},\\
R_{\alpha}{0\choose 1}={-\sin \alpha \choose \cos \alpha}$$
Теперь мы можем вычислить результат трансформации поворота, применимой к вектору $$v={3\choose 2}$$, записав его следующим образом:
$${3\choose 2}=3{1\choose 0}+2{0\choose 1}$$В результате получим:
$$R_{20\circ}{3\choose 2}=3R_{20\circ}{1\choose 0}+2R_{20\circ}{0\choose 1}=3{\cos20\circ\choose \sin 20\circ}+2{-\sin20\circ\choose \cos20\circ}\approx{2.135\choose 2.905}$$Теперь мы хотим применить идею такого способа вычислений в более общей ситуации.
Рассмотрим векторное пространство - множество векторов, для которых определена операция сложения векторов и операция умножения векторов на числа. Пусть эти операции удовлетворяют некоторому списку свойств. Мы не собираемся перечислять здесь свойства из этого списка, достаточно сказать, что все они являются естественными свойствами, соответствующие ожиданиям. Примером может служить свойство, применимое для любой пары векторов v, w и произвольного числа с: с(v + w) = сv + сw.
Примерами векторных пространств являются:
n-кубитов.Существует алгебраическая конструкция, которая унифицирует все приведенные выше примеры. Пространство $$R^N$$ определяется как множество кортежей размера N, содержащих вещественные числа. Операции сложения векторов и умножения на число выполнятся над компонентами векторов:
Философия, предложенная Рене Декартом, состоит в том, чтобы иметь две модели для векторов на плоскости: геометрическую модель, где вектора представляются направленными отрезками на плоскости, и алгебраическую, где вектора задаются парой чисел. Преимущество геометрической модели в том, что она допускает визуализацию, в то время как алгебраическая модель удобнее при проведении вычислений. Некоторые задачи проще решаются на геометрической модели, другие - на алгебраической.
Пространство $$R^N$$ имеет базис $${е_1, е_2, \dots , е_N}$$, где
$$e_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end{pmatrix}, e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end{pmatrix}, \dots, e_N=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\ 1 \end{pmatrix}$$Каждый вектор в $$R^N$$ может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:
$$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \dots \\ a_N \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1 \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ a_2 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end{pmatrix}+\dots+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\ a_N \end{pmatrix}=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3+\dots+a_Ne_N$$Сравнивая эту формулу с выражением для 2-кубита
$$a_0|00\rangle +a_1|01\rangle +a_2|10\rangle +a_3|11\rangle ,$$можно заметить, что в пространстве 2-кубита базис содержит четыре чистые вектора состояний $${|100\rangle , |01\rangle , |10\rangle , |11\rangle }$$. Этот подход очевидным способом обобщается на пространство n-кубита.
Размерность векторного пространства задается числом базисных векторов. Мы видели, что размерность пространства $$R^N$$ равна N. Размерность векторного пространства n-кубитов равна $$2^$$.
В дополнение к выше приведенным примерам конечномерных пространств следует упомянуть и пространства бесконечной размерности. Примером такого пространства является множество полиномов от одной переменной Х. Также, как и для векторов на плоскости, здесь определена операция сложения полиномов и операция умножения полинома на число. Что является базисом в пространстве полиномов? Полином записывается следующим образом:$$a_0+a_1X+a_2X^2+\dots+a_nX^n$$.
Мы видим, что коэффициенты $$а_0, а_1, а_2,\dots$$ можно интерпретировать как координаты вектора, $$а {Х^0, Х^1, Х^2, \dots}$$ как базис в пространстве полиномов. Так как степеней полинома может быть бесконечно много, то и пространство полиномов является бесконечномерным.
Определение. Трансформация Т векторного пространства V называется линейной, если она удовлетворяет следующим двум свойствам:
Поворот на плоскости представляет пример линейной трансформации. Другими примерами являются отражение плоскости относительно прямой, проходящей через начало координат, и растяжение плоскости с фиксированным коэффициентом растяжения.
Ключевое свойство линейной трансформации в том, что она полностью определяется трансформациями базисных векторов. Предположим, что Т -линейная трансформация в и нам известны трансформации базисных векторов $$Т(е_1), \dots , Т(е_N)$$. Тогда для произвольного вектора
трансформация вектора вычисляется так:
$$Т(v) = Т(а_1е_1 -а_2е_2 +\dots+а_Nе_N) = Т(а_1е_1)+Т(а_2е_2)+\dots+Т(а_Nе_N)=\\ = а_1Т(е_1) + а_2Т(е_2) +\dots +а_NТ(е_N)$$Этот метод мы использовали при вычислении образа вектора $$ {3\choose 2} $$ для трансформации поворота вектора.
Еще один пример для тех, кто знаком с дифференциальным исчислением. Давайте рассмотрим трансформацию D в пространстве полиномов, где каждый полином f (Х) трансформируется в свою производную: $$D(f) = f\ptime$$. Линейные свойства трансформации D представляют известные правила дифференцирования для суммы переменных и умножения переменной на константу:
Следовательно, взятие производной можно рассматривать как линейную трансформацию. Из правил дифференцирования следуют трансформации базисных векторов в пространстве полиномов $$D(Х^k) = kХ^{k-1}$$ . Нетрудно видеть, что взятие производной для полинома выполняется в полном соответствии с нашим подходом к трансформациям - полином представляется в виде комбинации базисных векторов, а его производная вычисляется, используя линейные свойства трансформации, например,
$$D(X^5+3X^2-4X+1)=D(X^5)+3D(X^2)-4D(X)+D(1)=5X^4+6X-4$$Давайте теперь обсудим приложение теории линейных трансформаций к квантовой криптографии. Вспомним, что в схеме получения секретного потока ключей Алиса и Боб получают фотоны, формирующие запутанные пары. Каждая пара в находится в состоянии $$\frac{1}{\sqrt2|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2|11\rangle }$$. Когда они вьшолняют измерения, то с вероятностью 0.5 они получают "0", с такой же вероятностью они могут получить " 1". Благодаря запутанности их результаты измерений будут совпадать.
Представим себе, что Ева пытается атаковать эту схему и способна заменить поток запутанных пар потоком незапутанных пар в случайно выбранных состояниях $$|00\rangle$$ и $$|11\rangle$$. В этом случае Алиса и Боб по-прежнему будут иметь согласованные результаты измерений и в примерно половине случаев результаты будут равны 0, а в остальных -1. Так как эти состояния сгенерированы Евой, то Ева будет знать результаты наблюдений Боба и Алисы и, следовательно, будет знать секретный ключ.
Как могут Алиса и Боб обнаружить атаку Евы? Предположим, что Алиса и Боб оба вращают свои поляризационные фильтры на один и тот же угол У. Можно ли предсказать результаты измерений? Математически это эквивалентно применению трансформации поворота каждого кубита, а затем проведению измерений. Квантовые состояния фотонов трансформируются следующим образом:
$$|0\rangle \to \cos \alpha |0\rangle +\sin \alpha |1\rangle\\ |1\rangle \to -\sin \alpha |0\rangle +\cos \alpha |1\rangle $$Так как одна и та же трансформация применима к первому и второму фотону пары, в результате получим:
$$ \frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2}|11\rangle \to\\ \frac{1}{\sqrt 2}(\cos\alpha |0\rangle +\sin \alpha |1\rangle )(\cos \alpha |0\rangle +\sin\alpha |1\rangle )+\\ \frac{1}{\sqrt 2}(-\sin \alpha |0\rangle +\cos \alpha |1\rangle )(-\sin \alpha |0\rangle +\cos \alpha |1\rangle )=\\ =\frac{1}{\sqrt 2}(\cos \alpha |00\rangle +\sin \alpha |01\rangle +\sin \alpha \cos\alpha |10\rangle +\sin^2 \alpha |11\rangle )\\ +\frac{1}{\sqrt 2}(\sin^2 \alpha|00\rangle -\sin \alpha \cos \alpha |01\rangle -\sin \alpha \cos \alpha |10\rangle +\cos^2 \alpha)|11\rangle \\ =\frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2}|11\rangle $$Мы пришли к неожиданному результату - после выполнения поворота запутанное состояние не изменилось! Это означает, что после поворота их поляризационных фильтров приходим к одним и тем же новым осям, так что не будет никаких изменений в статистике наблюдений. Алиса и Боб по-прежнему будут одновременно наблюдать нули и единицы со 100% корреляцией.
Теперь давайте посмотрим, что произойдет при получении Алисой и Бобом фотонов, посланных Евой, в незапутанном состоянии:
$$|00\rangle \to (\cos \alpha |0\rangle +\sin \alpha |1\rangle )(\cos \alpha |0\rangle +\sin \alpha |1\rangle )\\ =\cos^2 \alpha |00\rangle +\sin \alpha \cos \alpha |01\rangle +\sin \alpha \cos \alpha |10\rangle +\sin^2 \alpha |11\rangle $$Мы видим, что в этом случае для некоторых наблюдений Алиса может получить 1, в то время как Боб будет наблюдать 0. Достаточно просто вычислить вероятность такой ситуации как функцию угла $$\alpha$$.
Для проверки целостности канала Алисе и Бобу достаточно измерить часть их потока с различным выравниванием поляризационных фильтров. Затем они могут обменяться результатами измерений по открытому каналу 100% совпадение результатов указывает на отсутствие атаки. Естественно, что биты, используемые для тестирования, не должны использоваться при генерации секретного ключа.
В заключение этой главы поясним идею параллелизма в квантовых вычислениях. Здесь мы сформулируем лишь саму идею в упрощенной форме, детали появятся последующих лекциях. Как уже упоминалось в лекции о квантовой механике, квантовый алгоритм представляет линейную трансформацию состояний в пространстве n-кубитов. Предположим, что мы хотим получить значения функции f (х) для $$х = 0,1,2,\dots , 2^n - 1$$. Предположим еще, что значения этой функции - это целые числа из n битов. Мы можем определить линейную трансформацию F в пространстве п-кубитов, которая трансформирует базисный вектор $$|k\rangle$$ в другой базисный вектор $$|f(k) \rangle$$. Тогда начальное состояние:
квантовый алгоритм F преобразует в состояние:
$$\sum_{k=0}^{2^n-1}a_k|f(k) \rangle $$Мы видим, что при выполнении квантового алгоритма появляется возможность получить состояние, включающее все $$2^n$$ значений функции f . Заметьте, что для классического компьютера цикл, содержащий $$2^n$$ итераций не может быть выполнен за сколь либо разумное время (например, время возраста вселенной) даже для относительно малых значений n, например, n = 100. Отсюда следует, что квантовый компьютер допускает "массивные" вычисления, аналогов которым нет в вычислениях на классических компьютерах.
Рассмотрим следующую задачу: Возьмем вектор $$v={3\choose 2$$ на плоскости ХУ и повернем его против часовой стрелки на $$20\circ$$. Каковы будут координаты результирующего вектора $$R_{20\circ} (v)$$? Нетрудно найти решение, используя геометрию треугольников, но есть лучший подход, основанный на теоретическом анализе свойств трансформации поворотов. Если у нас есть два вектора v и w, то не имеет значение, найдем ли мы раньше сумму этих векторов и повернем суммарный вектор на угол $$\alpha$$ или вначале повернем каждый из векторов v и w на угол $$\alpha$$, а затем найдем суммарный вектор. Окончательный результат будет один и тот же.
Линейные трансформации - английский термин " Transformation" мы решили переводить как " Трансформация", а не как " Преобразование". Это позволяет подчеркнуть специфичность этот термина, играющего важный смысл в данном тексте. Термин " Преобразование" используется в других контекстах.
Это свойство поворотов алгебраически записывается следующим образом:
$$R_{alpha}(v+w)=R_{\alpha}(v)+R_{\alpha}(w)$$Это же свойство применимо и к результату умножения вектора на число для любого вещественного числа с:
$$R_{\alpha}(cv)=cR_{\alpha}(v)$$Заметим, что довольно просто вычислить результат трансформации, когда он применяется к базисным векторам $${1\choose 0}$$ и $${0\choose 1}$$
$$R_{\alpha}{1\choose 0}={\cos \alpha \choose \sin \alpha},\\
R_{\alpha}{0\choose 1}={-\sin \alpha \choose \cos \alpha}$$
Теперь мы можем вычислить результат трансформации поворота, применимой к вектору $$v={3\choose 2}$$, записав его следующим образом:
$${3\choose 2}=3{1\choose 0}+2{0\choose 1}$$В результате получим:
$$R_{20\circ}{3\choose 2}=3R_{20\circ}{1\choose 0}+2R_{20\circ}{0\choose 1}=3{\cos20\circ\choose \sin 20\circ}+2{-\sin20\circ\choose \cos20\circ}\approx{2.135\choose 2.905}$$Теперь мы хотим применить идею такого способа вычислений в более общей ситуации.
Рассмотрим векторное пространство - множество векторов, для которых определена операция сложения векторов и операция умножения векторов на числа. Пусть эти операции удовлетворяют некоторому списку свойств. Мы не собираемся перечислять здесь свойства из этого списка, достаточно сказать, что все они являются естественными свойствами, соответствующие ожиданиям. Примером может служить свойство, применимое для любой пары векторов v, w и произвольного числа с: с(v + w) = сv + сw.
Примерами векторных пространств являются:
n-кубитов.Существует алгебраическая конструкция, которая унифицирует все приведенные выше примеры. Пространство $$R^N$$ определяется как множество кортежей размера N, содержащих вещественные числа. Операции сложения векторов и умножения на число выполнятся над компонентами векторов:
Философия, предложенная Рене Декартом, состоит в том, чтобы иметь две модели для векторов на плоскости: геометрическую модель, где вектора представляются направленными отрезками на плоскости, и алгебраическую, где вектора задаются парой чисел. Преимущество геометрической модели в том, что она допускает визуализацию, в то время как алгебраическая модель удобнее при проведении вычислений. Некоторые задачи проще решаются на геометрической модели, другие - на алгебраической.
Пространство $$R^N$$ имеет базис $${е_1, е_2, \dots , е_N}$$, где
$$e_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end{pmatrix}, e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end{pmatrix}, \dots, e_N=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\ 1 \end{pmatrix}$$Каждый вектор в $$R^N$$ может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:
$$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \dots \\ a_N \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1 \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ a_2 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end{pmatrix}+\dots+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\ a_N \end{pmatrix}=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3+\dots+a_Ne_N$$Сравнивая эту формулу с выражением для 2-кубита
$$a_0|00\rangle +a_1|01\rangle +a_2|10\rangle +a_3|11\rangle ,$$можно заметить, что в пространстве 2-кубита базис содержит четыре чистые вектора состояний $${|100\rangle , |01\rangle , |10\rangle , |11\rangle }$$. Этот подход очевидным способом обобщается на пространство n-кубита.
Размерность векторного пространства задается числом базисных векторов. Мы видели, что размерность пространства $$R^N$$ равна N. Размерность векторного пространства n-кубитов равна $$2^$$.
В дополнение к выше приведенным примерам конечномерных пространств следует упомянуть и пространства бесконечной размерности. Примером такого пространства является множество полиномов от одной переменной Х. Также, как и для векторов на плоскости, здесь определена операция сложения полиномов и операция умножения полинома на число. Что является базисом в пространстве полиномов? Полином записывается следующим образом:$$a_0+a_1X+a_2X^2+\dots+a_nX^n$$.
Мы видим, что коэффициенты $$а_0, а_1, а_2,\dots$$ можно интерпретировать как координаты вектора, $$а {Х^0, Х^1, Х^2, \dots}$$ как базис в пространстве полиномов. Так как степеней полинома может быть бесконечно много, то и пространство полиномов является бесконечномерным.
Определение. Трансформация Т векторного пространства V называется линейной, если она удовлетворяет следующим двум свойствам:
Поворот на плоскости представляет пример линейной трансформации. Другими примерами являются отражение плоскости относительно прямой, проходящей через начало координат, и растяжение плоскости с фиксированным коэффициентом растяжения.
Ключевое свойство линейной трансформации в том, что она полностью определяется трансформациями базисных векторов. Предположим, что Т -линейная трансформация в и нам известны трансформации базисных векторов $$Т(е_1), \dots , Т(е_N)$$. Тогда для произвольного вектора
трансформация вектора вычисляется так:
$$Т(v) = Т(а_1е_1 -а_2е_2 +\dots+а_Nе_N) = Т(а_1е_1)+Т(а_2е_2)+\dots+Т(а_Nе_N)=\\ = а_1Т(е_1) + а_2Т(е_2) +\dots +а_NТ(е_N)$$Этот метод мы использовали при вычислении образа вектора $$ {3\choose 2} $$ для трансформации поворота вектора.
Еще один пример для тех, кто знаком с дифференциальным исчислением. Давайте рассмотрим трансформацию D в пространстве полиномов, где каждый полином f (Х) трансформируется в свою производную: $$D(f) = f\ptime$$. Линейные свойства трансформации D представляют известные правила дифференцирования для суммы переменных и умножения переменной на константу:
Следовательно, взятие производной можно рассматривать как линейную трансформацию. Из правил дифференцирования следуют трансформации базисных векторов в пространстве полиномов $$D(Х^k) = kХ^{k-1}$$ . Нетрудно видеть, что взятие производной для полинома выполняется в полном соответствии с нашим подходом к трансформациям - полином представляется в виде комбинации базисных векторов, а его производная вычисляется, используя линейные свойства трансформации, например,
$$D(X^5+3X^2-4X+1)=D(X^5)+3D(X^2)-4D(X)+D(1)=5X^4+6X-4$$Давайте теперь обсудим приложение теории линейных трансформаций к квантовой криптографии. Вспомним, что в схеме получения секретного потока ключей Алиса и Боб получают фотоны, формирующие запутанные пары. Каждая пара в находится в состоянии $$\frac{1}{\sqrt2|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2|11\rangle }$$. Когда они вьшолняют измерения, то с вероятностью 0.5 они получают "0", с такой же вероятностью они могут получить " 1". Благодаря запутанности их результаты измерений будут совпадать.
Представим себе, что Ева пытается атаковать эту схему и способна заменить поток запутанных пар потоком незапутанных пар в случайно выбранных состояниях $$|00\rangle$$ и $$|11\rangle$$. В этом случае Алиса и Боб по-прежнему будут иметь согласованные результаты измерений и в примерно половине случаев результаты будут равны 0, а в остальных -1. Так как эти состояния сгенерированы Евой, то Ева будет знать результаты наблюдений Боба и Алисы и, следовательно, будет знать секретный ключ.
Как могут Алиса и Боб обнаружить атаку Евы? Предположим, что Алиса и Боб оба вращают свои поляризационные фильтры на один и тот же угол У. Можно ли предсказать результаты измерений? Математически это эквивалентно применению трансформации поворота каждого кубита, а затем проведению измерений. Квантовые состояния фотонов трансформируются следующим образом:
$$|0\rangle \to \cos \alpha |0\rangle +\sin \alpha |1\rangle\\ |1\rangle \to -\sin \alpha |0\rangle +\cos \alpha |1\rangle $$Так как одна и та же трансформация применима к первому и второму фотону пары, в результате получим:
$$ \frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2}|11\rangle \to\\ \frac{1}{\sqrt 2}(\cos\alpha |0\rangle +\sin \alpha |1\rangle )(\cos \alpha |0\rangle +\sin\alpha |1\rangle )+\\ \frac{1}{\sqrt 2}(-\sin \alpha |0\rangle +\cos \alpha |1\rangle )(-\sin \alpha |0\rangle +\cos \alpha |1\rangle )=\\ =\frac{1}{\sqrt 2}(\cos \alpha |00\rangle +\sin \alpha |01\rangle +\sin \alpha \cos\alpha |10\rangle +\sin^2 \alpha |11\rangle )\\ +\frac{1}{\sqrt 2}(\sin^2 \alpha|00\rangle -\sin \alpha \cos \alpha |01\rangle -\sin \alpha \cos \alpha |10\rangle +\cos^2 \alpha)|11\rangle \\ =\frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2}|11\rangle $$Мы пришли к неожиданному результату - после выполнения поворота запутанное состояние не изменилось! Это означает, что после поворота их поляризационных фильтров приходим к одним и тем же новым осям, так что не будет никаких изменений в статистике наблюдений. Алиса и Боб по-прежнему будут одновременно наблюдать нули и единицы со 100% корреляцией.
Теперь давайте посмотрим, что произойдет при получении Алисой и Бобом фотонов, посланных Евой, в незапутанном состоянии:
$$|00\rangle \to (\cos \alpha |0\rangle +\sin \alpha |1\rangle )(\cos \alpha |0\rangle +\sin \alpha |1\rangle )\\ =\cos^2 \alpha |00\rangle +\sin \alpha \cos \alpha |01\rangle +\sin \alpha \cos \alpha |10\rangle +\sin^2 \alpha |11\rangle $$Мы видим, что в этом случае для некоторых наблюдений Алиса может получить 1, в то время как Боб будет наблюдать 0. Достаточно просто вычислить вероятность такой ситуации как функцию угла $$\alpha$$.
Для проверки целостности канала Алисе и Бобу достаточно измерить часть их потока с различным выравниванием поляризационных фильтров. Затем они могут обменяться результатами измерений по открытому каналу 100% совпадение результатов указывает на отсутствие атаки. Естественно, что биты, используемые для тестирования, не должны использоваться при генерации секретного ключа.
В заключение этой главы поясним идею параллелизма в квантовых вычислениях. Здесь мы сформулируем лишь саму идею в упрощенной форме, детали появятся последующих лекциях. Как уже упоминалось в лекции о квантовой механике, квантовый алгоритм представляет линейную трансформацию состояний в пространстве n-кубитов. Предположим, что мы хотим получить значения функции f (х) для $$х = 0,1,2,\dots , 2^n - 1$$. Предположим еще, что значения этой функции - это целые числа из n битов. Мы можем определить линейную трансформацию F в пространстве п-кубитов, которая трансформирует базисный вектор $$|k\rangle$$ в другой базисный вектор $$|f(k) \rangle$$. Тогда начальное состояние:
квантовый алгоритм F преобразует в состояние:
$$\sum_{k=0}^{2^n-1}a_k|f(k) \rangle $$Мы видим, что при выполнении квантового алгоритма появляется возможность получить состояние, включающее все $$2^n$$ значений функции f . Заметьте, что для классического компьютера цикл, содержащий $$2^n$$ итераций не может быть выполнен за сколь либо разумное время (например, время возраста вселенной) даже для относительно малых значений n, например, n = 100. Отсюда следует, что квантовый компьютер допускает "массивные" вычисления, аналогов которым нет в вычислениях на классических компьютерах.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.