Квантовый алгоритм является линейной трансформацией в пространстве кубитов, но эта трансформация специального вида - ортогональная линейная трансформация.
Определение. Линейная трансформация Т в векторном пространстве $$R^N$$ называется ортогональной, если образы базисных векторов $$Т(е_1), Т(е_2), \dots , Т(е_N)$$ ортогональны друг другу и все они имеют единичную длину
Определение. Множество из N взаимно ортогональных векторов длины 1 в $$R^N$$ называется ортонормальным базисом $$R^N$$.
Матрица ортогональной трансформации называется ортогональной матрицей.
Главные свойства ортогональных матриц: скалярное произведение любых двух столбцов ортогональной матрицы равно нулю; скалярное произведение любого столбца с самим собой равно единице. Эти свойства непосредственно следуют из определения ортогональных матриц.
Давайте рассмотрим несколько примеров ортогональных трансформаций:
Поворот в $$R^2$$ на угол $$\аlpha$$. Из геометрии ясно, что вектора $$R_{\alpha} (е_1)$$ и $$R_{\аlpha}(е_2)$$ являются единичными векторами и ортогональны друг другу Нетрудно проверить, что и скалярные произведения столбцов матрицы $$R_{\alpha}$$( удовлетворяют всем указанным свойствам:
$$\begin{pmatrix}\cos \alpha-\sin \alpha\\ \sin \alpha \cos \alpha \end{pmatrix}$$Фактически можно показать, что любая ортогональная трансформация в $$R^2$$ представляет собой либо поворот, либо отражение, как в выше приведенных примерах 1-2. Приведем некоторые аргументы в пользу этого утверждения. Пусть Т - ортогональная трансформация в $$R^2$$ и пусть $$u_1 = Т(е_1)\; and\; u_2 = Т(е_2)$$. Так как Т - ортогональна, то $$u_1$$ и $$u_2$$ - единичные вектора, ортогональные друг другу Все единичные вектора на плоскости могут быть получены друг из друга в результате поворота на некоторый угол. Предположим, что $$u_1$$ получено поворотом $$е_1$$ на угол $$\alpha$$ против часовой стрелки.
Тогда:
$$u_1=\begin{pmatrix}\cos \alpha\\ \sin \alpha \end{pmatrix}$$Так как вектор $$u_2$$ перпендикулярен $$u_1$$, то существуют лишь две возможности получения $$u_2$$ из $$u_1$$ путем поворота - повернуть $$u_1$$ на $$90\circ$$ против часовой стрелки, либо по часовой стрелке:
В первом случае Т - это поворот с матрицей, записанной выше, во-втором случае - поворот с матрицей:
Далее мы собираемся установить несколько свойств ортогональных трансформаций.
Теорема. Линейная трансформация Т ортогональна, если и только если она сохраняет скалярное произведение:
Доказательство. Предположим, что Т ортогонально. Из определения ортогональной трансформации следует, что утверждение справедливо для базисных векторов: $$Т(е_i) * Т(е_j) = е_i * е_j$$. Для доказательства истинности утверждения для произвольных векторов u и v представим их в виде линейной комбинации базисных векторов:
Тогда
$$T(u)*T(v)=T\left( \sum_{i=1}^Nb_ie_i \right )* T\left ( \sum_{j=1}^Nc_je_j\right)\\ = \left (\sum_{i=1}^Nb_iT(e_i) \right )* \left (\sum_{j=1}^Nc_jT(e_j) \right )=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Nb_ic_j(T(e_i)*T(e_j))\\ \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^Nb_ic_j(e_i*e_J)= \left (\sum_{i=1}^Nb_ie_i \right )* \left ( \sum_{j=1}^Nc_je_j\right )=u*v$$Мы заключаем, что Т сохраняет скалярное произведение.
Доказательство в другую сторону следует из того, что если Т сохраняет скалярное произведение, то $$Т(е_i) * Т(е_j) = е_i * е_j$$ . Так что Т преобразует базис $${е_1, \dots , е__N}$$ в другой ортонормальный базис. Следовательно, Т - ортогональная трансформация.
Из теоремы следует, что ортогональная трансформация сохраняет длину вектора и углы между векторами, поскольку эти характеристики можно выразить через скалярное произведение.
Заметим также, что скалярное произведение двух векторов может быть выражено, используя длины векторов:
$$u*v=\frac12(|u+v|^2-|u|^2-|v|^2)$$Следовательно, любая линейная трансформация, сохраняющая длины векторов, также сохраняет их скалярное произведение и должна быть ортогональной. Итогом приведенного обсуждения является следующая
Теорема. Следующие четыре утверждения эквивалентны:
Т - ортогональная трансформация;Т - сохраняет скалярное произведение;Т - сохраняет длины и углы;Т - сохраняет длины векторов.В выше приведенном обсуждении мы доказали, что $$(1) \Leftrightarrow (2) \Righrarrow (3) \Rightarrow (4) \Rightarrow (2)$$.
В классе линейных трансформаций существует трансформация со свойствами, подобными числовой единице. Тождественная трансформация I, действующая в векторном пространстве V - это трансформация, не изменяющая ни один из векторов: I(v) = v для всех векторов v.
Рассмотрим тождественную трансформацию в $$R^N$$. Так как $$I(е_1) = е_1, \dots , I(е_N) = е_N$$, то матрица тождествеиной трансформации является диагональной матрицей с единицами по диагонали и нулями для остальных элементов (матрицу тождественной трансформации называют единичной матрицей по аналогии с единицей). Эту матрицу также будем обозначать как I:
Тождественная трансформация I имеет очевидные свойства относительно композиции трансформаций: $$Т \circ I = I \circ Т = Т$$ для всех трансформаций Т векторного пространства V. Как следствие, те же свойства справедливы для единичной матрицы I относительно умножения матриц: АI = IА = А.
Линейные трансформации можно обобщить, задав для них свойство, подобное инверсии чисел.
1Операция деления вещественных чисел позволяет ввести понятие обратного числа. Число b = 1/а называется числом, обратным к числу а, или инверсией числа а. Очевидны равенства аb = bа = 1. Все вещественные числа за исключением числа 0, имеют обратные числа.
Определение. Линейная трансформация S называется инверсией (обращением) Т (обозначается $$S= Т^{-1}$$), если $$Т \circ S= S \circ Т= I$$. Аналогично для матриц: $$В=А^{-1}$$,если АВ=ВА=I.
Упражнение. Проверьте что
$$ \begin{pmatrix}12\\35 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}-52\\3-1 \end{pmatrix}$$Для вещественных чисел 0- единственное число, не имеющее обратного числа. для матриц существуют ненулевые матрицы, не имеющие обратных матриц.
Упражнение. Покажите, что матрица
$$\begin{pmatrix}11\\11 \end{pmatrix}$$не имеет обратной матрицы.
Приведем без доказательства следующее утверждение относительно квадратных матриц размера N * N. Если АВ = I, то ВА = I. Из этого следует, что подобное утверждение справедливо для линейных трансформаций в $$R^N$$: Если $$D \circ S=I$$, но $$S \circ D = I$$.
Упражнение. Покажите, что выше приведенное утверждение не вьшолняется для линейных трансформаций в бесконечномерном векторном пространстве. Пусть D, S - линейные трансформации в пространстве полиномов, такие что $$D(Х^n) = nX^{n-1}$$ и $$S(Х^n) = \frac{1}{n+1}X^{n+1}$$. Покажите, что $$D\circ S=I$$, но $$S \circ D \ne I$$.
Определение. Транспонированной матрицей А (обозначается $$А^Т$$) называется матрица, у которой строка с индексом k, является столбцом матрицы А с тем же индексом k.
Вот пример транспонирования матрицы:
$$\begin{pmatrix}123\\456 \\789 \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}147\\258 \\369 \end{pmatrix}$$Теорема. Каждая ортогональная матрица обратима. Обратная матрица совпадает с транспонированной матрицей: $$А^{-1} = А^Т$$.
Доказательство. Нам нужно показать, что $$А^ТА = I$$. Поскольку $$А^Т$$ -транспонированная матрица, то элемент с индексами j, k матрицы произведения представляет скалярное произведение j-го и k-го столбцов. Для диагональных элементов, когда j = k, это произведение равно единице - длине вектора, в остальных случаях ввиду ортогональности векторов оно равно нулю. Отсюда следует, что матрица произведения является единичной матрицей - матрицей I- матрицей тождественной трансформации.
Квантовый алгоритм является линейной трансформацией в пространстве кубитов, но эта трансформация специального вида - ортогональная линейная трансформация.
Определение. Линейная трансформация Т в векторном пространстве $$R^N$$ называется ортогональной, если образы базисных векторов $$Т(е_1), Т(е_2), \dots , Т(е_N)$$ ортогональны друг другу и все они имеют единичную длину
Определение. Множество из N взаимно ортогональных векторов длины 1 в $$R^N$$ называется ортонормальным базисом $$R^N$$.
Матрица ортогональной трансформации называется ортогональной матрицей.
Главные свойства ортогональных матриц: скалярное произведение любых двух столбцов ортогональной матрицы равно нулю; скалярное произведение любого столбца с самим собой равно единице. Эти свойства непосредственно следуют из определения ортогональных матриц.
Давайте рассмотрим несколько примеров ортогональных трансформаций:
Поворот в $$R^2$$ на угол $$\аlpha$$. Из геометрии ясно, что вектора $$R_{\alpha} (е_1)$$ и $$R_{\аlpha}(е_2)$$ являются единичными векторами и ортогональны друг другу Нетрудно проверить, что и скалярные произведения столбцов матрицы $$R_{\alpha}$$( удовлетворяют всем указанным свойствам:
$$\begin{pmatrix}\cos \alpha-\sin \alpha\\ \sin \alpha \cos \alpha \end{pmatrix}$$Фактически можно показать, что любая ортогональная трансформация в $$R^2$$ представляет собой либо поворот, либо отражение, как в выше приведенных примерах 1-2. Приведем некоторые аргументы в пользу этого утверждения. Пусть Т - ортогональная трансформация в $$R^2$$ и пусть $$u_1 = Т(е_1)\; and\; u_2 = Т(е_2)$$. Так как Т - ортогональна, то $$u_1$$ и $$u_2$$ - единичные вектора, ортогональные друг другу Все единичные вектора на плоскости могут быть получены друг из друга в результате поворота на некоторый угол. Предположим, что $$u_1$$ получено поворотом $$е_1$$ на угол $$\alpha$$ против часовой стрелки.
Тогда:
$$u_1=\begin{pmatrix}\cos \alpha\\ \sin \alpha \end{pmatrix}$$Так как вектор $$u_2$$ перпендикулярен $$u_1$$, то существуют лишь две возможности получения $$u_2$$ из $$u_1$$ путем поворота - повернуть $$u_1$$ на $$90\circ$$ против часовой стрелки, либо по часовой стрелке:
В первом случае Т - это поворот с матрицей, записанной выше, во-втором случае - поворот с матрицей:
Далее мы собираемся установить несколько свойств ортогональных трансформаций.
Теорема. Линейная трансформация Т ортогональна, если и только если она сохраняет скалярное произведение:
Доказательство. Предположим, что Т ортогонально. Из определения ортогональной трансформации следует, что утверждение справедливо для базисных векторов: $$Т(е_i) * Т(е_j) = е_i * е_j$$. Для доказательства истинности утверждения для произвольных векторов u и v представим их в виде линейной комбинации базисных векторов:
Тогда
$$T(u)*T(v)=T\left( \sum_{i=1}^Nb_ie_i \right )* T\left ( \sum_{j=1}^Nc_je_j\right)\\ = \left (\sum_{i=1}^Nb_iT(e_i) \right )* \left (\sum_{j=1}^Nc_jT(e_j) \right )=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Nb_ic_j(T(e_i)*T(e_j))\\ \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^Nb_ic_j(e_i*e_J)= \left (\sum_{i=1}^Nb_ie_i \right )* \left ( \sum_{j=1}^Nc_je_j\right )=u*v$$Мы заключаем, что Т сохраняет скалярное произведение.
Доказательство в другую сторону следует из того, что если Т сохраняет скалярное произведение, то $$Т(е_i) * Т(е_j) = е_i * е_j$$ . Так что Т преобразует базис $${е_1, \dots , е__N}$$ в другой ортонормальный базис. Следовательно, Т - ортогональная трансформация.
Из теоремы следует, что ортогональная трансформация сохраняет длину вектора и углы между векторами, поскольку эти характеристики можно выразить через скалярное произведение.
Заметим также, что скалярное произведение двух векторов может быть выражено, используя длины векторов:
$$u*v=\frac12(|u+v|^2-|u|^2-|v|^2)$$Следовательно, любая линейная трансформация, сохраняющая длины векторов, также сохраняет их скалярное произведение и должна быть ортогональной. Итогом приведенного обсуждения является следующая
Теорема. Следующие четыре утверждения эквивалентны:
Т - ортогональная трансформация;Т - сохраняет скалярное произведение;Т - сохраняет длины и углы;Т - сохраняет длины векторов.В выше приведенном обсуждении мы доказали, что $$(1) \Leftrightarrow (2) \Righrarrow (3) \Rightarrow (4) \Rightarrow (2)$$.
В классе линейных трансформаций существует трансформация со свойствами, подобными числовой единице. Тождественная трансформация I, действующая в векторном пространстве V - это трансформация, не изменяющая ни один из векторов: I(v) = v для всех векторов v.
Рассмотрим тождественную трансформацию в $$R^N$$. Так как $$I(е_1) = е_1, \dots , I(е_N) = е_N$$, то матрица тождествеиной трансформации является диагональной матрицей с единицами по диагонали и нулями для остальных элементов (матрицу тождественной трансформации называют единичной матрицей по аналогии с единицей). Эту матрицу также будем обозначать как I:
Тождественная трансформация I имеет очевидные свойства относительно композиции трансформаций: $$Т \circ I = I \circ Т = Т$$ для всех трансформаций Т векторного пространства V. Как следствие, те же свойства справедливы для единичной матрицы I относительно умножения матриц: АI = IА = А.
Линейные трансформации можно обобщить, задав для них свойство, подобное инверсии чисел.
1Операция деления вещественных чисел позволяет ввести понятие обратного числа. Число b = 1/а называется числом, обратным к числу а, или инверсией числа а. Очевидны равенства аb = bа = 1. Все вещественные числа за исключением числа 0, имеют обратные числа.
Определение. Линейная трансформация S называется инверсией (обращением) Т (обозначается $$S= Т^{-1}$$), если $$Т \circ S= S \circ Т= I$$. Аналогично для матриц: $$В=А^{-1}$$,если АВ=ВА=I.
Упражнение. Проверьте что
$$ \begin{pmatrix}12\\35 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}-52\\3-1 \end{pmatrix}$$Для вещественных чисел 0- единственное число, не имеющее обратного числа. для матриц существуют ненулевые матрицы, не имеющие обратных матриц.
Упражнение. Покажите, что матрица
$$\begin{pmatrix}11\\11 \end{pmatrix}$$не имеет обратной матрицы.
Приведем без доказательства следующее утверждение относительно квадратных матриц размера N * N. Если АВ = I, то ВА = I. Из этого следует, что подобное утверждение справедливо для линейных трансформаций в $$R^N$$: Если $$D \circ S=I$$, но $$S \circ D = I$$.
Упражнение. Покажите, что выше приведенное утверждение не вьшолняется для линейных трансформаций в бесконечномерном векторном пространстве. Пусть D, S - линейные трансформации в пространстве полиномов, такие что $$D(Х^n) = nX^{n-1}$$ и $$S(Х^n) = \frac{1}{n+1}X^{n+1}$$. Покажите, что $$D\circ S=I$$, но $$S \circ D \ne I$$.
Определение. Транспонированной матрицей А (обозначается $$А^Т$$) называется матрица, у которой строка с индексом k, является столбцом матрицы А с тем же индексом k.
Вот пример транспонирования матрицы:
$$\begin{pmatrix}123\\456 \\789 \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}147\\258 \\369 \end{pmatrix}$$Теорема. Каждая ортогональная матрица обратима. Обратная матрица совпадает с транспонированной матрицей: $$А^{-1} = А^Т$$.
Доказательство. Нам нужно показать, что $$А^ТА = I$$. Поскольку $$А^Т$$ -транспонированная матрица, то элемент с индексами j, k матрицы произведения представляет скалярное произведение j-го и k-го столбцов. Для диагональных элементов, когда j = k, это произведение равно единице - длине вектора, в остальных случаях ввиду ортогональности векторов оно равно нулю. Отсюда следует, что матрица произведения является единичной матрицей - матрицей I- матрицей тождественной трансформации.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.