Распределение информации и устойчивость решений

Продолжим обсуждение проблемы устойчивости решений. В следующем примереПример взят из работы: П.Р. Стронгин. Моделирование некоторых механизмов ценообразования// Дис. на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: ВЦ РАН, 1997. рассматривается игра двух лиц, в роли которых выступают два разнотипных участника рынка - производитель и потребитель товара. Оказывается, отношения таких разнотипных участников не могут быть приведены в состояние, отвечающее рассмотренной выше концепции равновесия по Нэшу. Вместе с тем, эта модель позволяет обнаружить существование другого типа устойчивого поведения сторон, называемого равновесием по Штакельбергу. Источником этой новой формы устойчивости является (как и в случае равновесия по Нэшу ) стремление сторон к обеспечению своих интересов путем максимизации соответствующих критериев эффективности. Однако при этом учитываются последствия разнородности участников. Предполагается, что производитель P2 (выбирая стратегию y своего поведения) быстро приспосабливается к существующим условиям спроса (определяемым стратегией x потребителя P1 ). Как следствие, любая ситуация, возникающая в такой модели, может быть охарактеризована парой стратегий вида (x,y(x)). Взаимодействие сторон в таких моделях, характеризуемых несимметричным распределением информации, часто интерпретируют как отношения "лидера" и "ведомого"Взаимодействия такого типа впервые рассматривались экономистом Г.Штакельбергом, изучавшим в начале ХХ века стратегии фирм, конкурирующих на одном и том же рынке. (роль которых в нашем случае играют, соответственно потребитель и производитель).

Пример 1.3 (отношения производителя и потребителя на рынке одного товара). Примем, что зависимость спроса D на (бесконечно дробимый) однородный товар от цены p за единицу этого товара описывается функцией вида$$D(p)= \left\{ \begin{aligned} A(p_{\max}-p),0\le p\le p_{\max},\\ 0,p>p_{\max},\\ \end{aligned} \right.$$ где коэффициент A является строго положительным. Как следует из (4.1), спрос на товар линейно убывает с ростом цены и полностью исчезает, если цена превышает значение pmax. Максимально возможный спрос составляет величину$$D_{\max}=Ap_{\max}$$ и соответствует нулевой цене.

Примем также, что поступление товара на рынок характеризуется функцией предложения:$$S(p)= \left\{ \begin{aligned} 0,p<p_{\min},\\ B(p-p_{\min}),p\ge p_{\min},\\ \end{aligned} \right.$$ где коэффициент B является строго положительным. Согласно (4.3), предложение товара линейно возрастает с ростом цены,однако при ценах, не достигающих уровня pmin, товар не предлагается. Для простоты рассмотрения условимся, что цена pmin совпадает с удельными издержками c на производство единицы товара, которые будем считать постоянными. Полагая, что c<pmax, ограничим дальнейшее рассмотрение диапазоном цен$$0<c=p_{\min}\le p\le p_{\max},$$ в котором функции спроса и предложения являются линейными (см. рис.1.9).

Замечание 1.13 (о функциях спроса и предложения ). 1. Понятия функций спроса и предложения являются достаточно старыми (см., например, книгуМаршалл А. Принципы экономической науки. Т. I-III. М.: ПРОГРЕСС, УНИВЕРС. 1993. А.МаршаллаМаршалл Альфред (1842-1924) - английский экономист, основатель Кембриджской школы политэкономии. . Они широко используются для анализа различных рынков, таких, например, как рынки нефти, зерна, автомобилей и др. Эти понятия нашли применение и в анализе различных финансовых рынков. К их числу относятся рынки кредитов, капиталов, ценных бумаг, активов, страховок и др. При этом построение функций спроса и предложения для каждой конкретной задачи может потребовать достаточно сложных исследований.

2. В ряде актуальных задач, касающихся рынков одного товара со многими потребителями и производителями, можно использовать агрегированные функции спроса и предложения, сводя множество всех участников к единственному продавцу и единственному покупателю. Возможность такого агрегирования требует специального изучения в каждом конкретном случае. К числу первых примеров успешного анализа взаимодействий на рынке со многими участниками, основанного на сведении этих взаимодействий к отношениям двух сторон, относятся рынки с совершенной конкуренцией, характеризуемые следующими допущениямиСм., например, работу: Петров А.А., Поспелов И.Г. , Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат. 1996.:

Первое условие подразумевает анонимность производителей и потребителей. Товар одних производителей считается неотличимым от товара других (т.е. торговые марки и метки качества не используются), и, следовательно, потребители не имеют оснований предпочесть продукт одного производителя продукту другого. С другой стороны, благодаря однородности потребителей, производитель заинтересован продать товар тому из них, кто предложил большую цену. При этом другие критерии выбора покупателя, такие, например, как первоочередное обслуживание пришедших первыми, не рассматриваются.

3. Существуют реальные рынки, для которых справедлива принятая в (4.1)и (4.2) линейная зависимость соответственно спроса и предложения от цены p за единицу товара (при вариациях цены в пределах диапазона (4.4). К их числу относятся, например, некоторые рынки пшеницыПиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М.: Экономика, Дело. 1992..

Однако в общем случае указанное допущение линейных функций спроса и предложения является некоторым упрощением реально наблюдаемых взаимосвязей. Применимость предположения о линейном характере обсуждаемых зависимостей существенно расширяется, если рассматриваются малые колебания цены относительно некоторого значения. Именно этот случай мы и будем рассматривать.

4. В экономической литературе при описании функций спроса и предложения цена p обычно откладывается по оси ординат, а ось абсцисс служит для задания количества товара. Для целей рассмотрения, проводимого ниже, удобнее связать цену с осью абсцисс (как это и сделано на рис.1.9). Такое использование координатных осей также встречается в литературе.

Продолжим рассмотрение модели. Цена peq, при которой существует баланс спроса и предложения и, следовательно, весь произведенный товар покупается, формально определяется как решение уравнения$$S(p_{\text{eq}})=D(p_{\text{eq}}).$$ При этом peq обычно называется равновесной ценой. Согласно (4.1) и (4.3)-(4.5), ее единственное значение определяется выражением$$p_{\text{eq}}=(Ap_{\max}+Bc)/(A+B)$$ и принадлежит диапазону (4.4). В рамках рассматриваемого примера мы будем связывать интересы потребителя и производителя с результатами купли-продажи товара в условиях баланса спроса и предложения, т.е. при цене peq.

Квадратичная функция E(p), где$$E(p)=pD(p),$$ характеризует затраты потребителя на приобретение товара в объеме, соответствующем спросу при цене p. Эта функция обращается в ноль при p=0 и p=pmax и достигает максимального значения$$E_m=A(p_{\max})^2/4$$ в точке$$p_m=p_{\max}/2;$$ см. рис.1.9 (шкала затрат нанесена на оси ординат справа). Спрос в объеме D(p) не может быть удовлетворен при цене p, не достигающей равновесного значения peq. Однако интересующие нас значения D(peq) и E(peq), соответствующие объему закупки в состоянии баланса спроса и предложения и связанными с этой закупкой затратами, являются реализуемыми.

Из (4.2) и (4.7) следуют оценки$$A=4E_m/(p_{\max})^2,\quad D_{\max}=4E_m/p_{\max},$$ которые в сочетании с (4.1) позволяют представить функцию спроса в виде$$D(p)=4E_m(p_{\max}-p)/(p_{\max})^2;$$ при этом предполагается, что цена p принадлежит диапазону (4.4). Будем интерпретировать величину Em как (заданные) максимально возможные затраты потребителя.

Теперь введем квадратичную функцию$$\pi(p)=(p-c)D(p)=4E_m(p_{\max}-p)(p-c)/(p_{\max})^2,$$ которую при цене p=peq можно интерпретировать как прибыль, получаемую производителем от продажи товара в количестве S(peq=D(peq)). Согласно (4.11), $$\pi(c)=\pi(p_{\max})=0$$ и$$\pi_m=\max\{\pi(p):c\le p\le p_{\max}\}=E_m(1-c/p_{\max})^2,$$ причем указанный максимум достигается при цене$$p_\pi=(p_{\max}+c)/2$$ (рис.1.9 представляет кривую $$\pi(p)$$ для случая, когда $$p_\pi=p_\text{eq}$$ ).

Симметричное распределение информации и проблема равновесия по Нэшу

Рассмотрим поведение участников рынка, представленного описанной моделью, как некоторую игру двух лиц, в которой роль первой стороны (P1) играет потребитель, а роль второй стороны (P2) - производитель. При этом стратегии сторон P1 и P2 состоят соответственно в выборе потребителем цены pmax>c из (4.10), при которой исчезает спрос на товар, и в выборе производителем параметра B>0 из (4.3).

Примем, что интересы потребителя состоят в максимизации объема товара D(peq), который ему удается закупить по цене peq, не превышая затрат Em. Таким образом, критерий эффективности потребителя имеет вид$$M_1(p_{\max},B)=D(p_\text{eq}),\quad c<p_{\max}<\infty.$$

Критерий эффективности производителя в предположении, что его интересы состоят в максимизации прибыли при p=peq, имеет вид:$$M_2(p_{\max},B)=\pi(p_\text{eq}),\quad 0<B<\infty.$$

Согласно (4.6), (4.9) и (4.10),$$D(p_\text{eq})=4E_m(p_{\max}-c)B/[4E_m+B(p_{\max})^2]$$ и, в соответствии с (4.6), (4.11),$$\pi(p_\text{eq})=(4E_m)^2(p_{\max}-c)^2B/[4E_m+B(p_{\max})^2]^2.$$ Теперь из (4.16), (4.17) вытекает, что$$B\pi (p_\text{eq})=D^2(p_\text{eq}),$$ откуда, учитывая (4.14), (4.15), выводим равенство$$M_1(p_{\max},B)=[BM_2(p_{\max},B)]^{1/2}.$$ Как следует из (4.19), интересы сторон не являются ни совпадающими, ни противоположными.

Исследуем вопрос о существовании ситуации стратегического равновесия по Нэшу, считая, что стороны, осуществляющие независимо друг от друга выбор своих стратегий, располагают одинаковой информацией. Полагая параметр $$B\in (0,\infty)$$ заданным, определим стратегию pmax потребителя, обеспечивающую максимальную закупку D(peq) из (4.16). Из выражения$$\frac{dD(p_\text{eq})}{dp_{\max}}=\frac{4E_mB\left[4E_m-Bp_{\max}(p_{\max}-2c)\right]}{\left[4E_m+Bp^2_{\max}\right]^2}$$ следует, что при pmax} производная (4.20) имеет нулевое значение в точках плоскости (pmax,B), координаты которых удовлетворяют соотношению$$B=4E_m/p_{\max}(p_{\max}-2c).$$

Указанным точкам соответствует верхняя кривая на рис.1.10.

Поскольку в точках этой кривой вторая производная$$\frac{d^2D(p_\text{eq})}{dp^2_{\max}}=\frac{8E_mB^2\left[Bp^2_{\max}(p_{\max}-3c)-4E_m(3p_{\max}-c)\right]}{\left[4E_m+Bp^2_{\max}\right]^3}$$ является отрицательной, то при pmax}>2c объем закупки D(peq) достигает максимума по pmax в точках из (4.21).

При $$c<p_{\max}\le 2c$$ производная (4.20) является положительной. Следовательно, кривая (4.21) есть геометрическое место точек, в которых достигается максимум D(peq) по pmax из диапазона $$(c,\infty)$$. Подставляя выражение для B из (4.21) в правую часть формулы (4.16), выводим, что объем закупки D(peq) в точках кривой (4.21) определяется соотношением$$D(p_\text{eq})=2E_m/p_{\max}.$$

Отсюда вытекает, что объем закупки растет с уменьшением цены pmax, стремясь к величине Em/c при $$p_{\max}\to 2c$$. Стрелка, которая нанесена на верхнюю кривую, представленную на рис.1.10, указывает направление перемещения, сопровождаемого отмеченным выше ростом объема закупки.

Теперь определим стратегию B производителя, максимизирующую его прибыль $$\pi(p_\text{eq})$$ из (4.17) при заданном значении параметра $$p_{\max}\in (c,\infty)$$. Согласно (4.12), (4.13), максимум $$\pi(p_\text{eq})$$ достигается при условии $$p_\text{eq}=p_\pi$$. Из этого равенства и из определяющих его левую и правую части выражений (4.6) и (4.13) выводим, что максимальное значение прибыли $$\pi(p_\text{eq})$$ достигается при выполнении условия$$B=4E_m/(p_{\max})^2.$$ Точки, удовлетворяющие указанному условию, представлены нижней кривой на рис.1.10. Значение прибыли $$\pi(p_\text{eq})$$ в точках этой кривой определяется выражением (4.12). Следовательно, величина $$\pi(p_\text{eq})=\pi(p_\pi)$$ растет с увеличением параметра pmax, приближаясь к значению Em при $$p_{\max}\to \infty$$. Указанное направление роста прибыли отмечено стрелкой на нижней кривой, изображенной на рис.1.10.

Из (4.21) и (4.22) следует, что при всех значениях $$p_{\max}\in (2c,\infty)$$ кривая, соответствующая первому из этих выражений, лежит выше кривой, соответствующей второму выражению. Т.е. эти кривые не имеют точек пересечения. Следовательно, в данной задаче нет стратегических пар, удовлетворяющих условиям (3.3) равновесия по Нэшу для критериев (4.14) и (4.15).

Несимметричное распределение информации и устойчивость по Штакельбергу

Примем, что производитель (P2) адаптирует свое поведение к условиям рынка значительно быстрее, чем изменяется поведение потребителя (P2). Т.е. производитель успевает максимизировать прибыль $$\pi(p_\text{eq})$$ по параметру B столь быстро, что при этом стратегию pmax потребителя можно считать неизменной. Принятое допущение можно интерпретировать как фиксирование последовательности действий сторон. Первый ход делает потребитель, выбирая стратегию x=pmax, а затем свой ход делает производитель, что позволяет ему выбирать стратегию y=B как функцию известного значения x=pmax.

При сделанных предположениях производитель имеет возможность использовать стратегию-функцию y*(x)=B*(pmax), максимизирующую его критерий-прибыль из 4.15, т.е. обеспечивающую выполнение условия$$M_2(x,y^*(x))=\max\{M_2(x,y):0<y<\infty\}.$$ Все возможные при таком поведении стратегические пары$$(x,y^*(x))=(p_{\max},B^*(p_{\max}))$$ необходимо удовлетворяют равенству (4.22), поскольку оно определяет значение параметра B, доставляющее максимум критерию M2 при заданном значении параметра pmax. Следовательно, выбор потребителем стратегии x=pmax определяет конкретную точку вида (4.24), которая лежит на нижней кривой, изображенной на рис.1.10. При этом потребитель заинтересован в выборе стратегии x*, которой соответствует точка указанной кривой, характеризуемая максимальным (на кривой) значением критерия M1 из (4.14). Т.е.$$M_1(x^*,y^*(x^*))=\max\{M_1(x,y^*(x)):c<x<\infty\}.$$

Определение 1.6 ( равновесие по Штакельбергу ). Пара стратегий (x*,y*(x*)), удовлетворяющая условиям (4.23) и (4.25), называется стратегической точкой равновесия по Штакельбергу . {См., например, работу: Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985.}.

Определим точку равновесия по Штакельбергу в рассматриваемом примере. Как следует из (4.22) (с учетом введенных обозначений x=pmax и y=B ),$$y^*(x)=4E_m/x^2.$$

Далее, из (4.14) и (4.16) вытекает, что$$M_1(x,y^*(x))=2E_m(x-c)/x^2,$$ причем производная по x от этой величины обращается в ноль при$$x^*=2c.$$ Поскольку вторая производная от величины (4.27) в точке (4.28) является отрицательной, то значение $$x$$ из правой части (4.28) обеспечивает максимум критерия (4.27). Следовательно, согласно (4.26) и (4.28), точка с координатами$$(p_{\max},B)=(2c,E_m/c^2)$$ соответствует ситуации равновесия по Штакельбергу (см. рис.1.10). При этом, как следует из (4.27) и (4.28),$$D^*=M_1(x^*,y^*(x^*))=E_m/2c,$$ $$\pi^*=M_2(x^*,y^*(x^*))=E_m/4.$$

В заключение сравним решение (4.29) с точкой$$(p_{\max},B)=(3c,E_m/c^2),$$ отмеченной темным кружком на рис.1.10. Согласно (4.16) и (4.17), этой точке соответствуют значения$$M_1(3c,E_m/c^2)=8E_m/13c>D^*,$$ $$M_2(3c,E_m/c^2)=64E_m/169>\pi^*,$$ где D* и $$\pi^*$$ соответственно из (4.30) и (4.31). Как следует из (4.33) и (4.34), устойчивая по Штакельбергу точка (4.29) не является эффективным решением, поскольку ее превосходит неустойчивое решение, определяемое точкой (4.32).