Исследование операций и модели экономического поведения

Об устойчивости баланса спроса и предложения

Разбить на страницы
Показывать лекцию целиком

В рамках рассмотренного примера интересы потребителя и производителя связывались с результатами купли-продажи товара в условиях баланса спроса и предложения, т.е. при цене peq из (4.6). Поэтому возникает вопрос об устойчивости такого баланса.

Отметим, что вопрос о балансе спроса и предложения, будучи, с одной стороны, вопросом уже классическим, остается, тем не менее, одним из дискуссионных вопросов. Этот сохраняющийся интерес определяется тем обстоятельством, что реальные процессы в экономике могут демонстрировать как тенденции приближения к балансу спроса и предложения, так и различные формы отклонения от него, не связанные с действием внешних факторов.

Обсуждение устойчивости предполагает принятие некоторых допущений, характеризующих динамику спроса и предложения. Введем дискретное время t $$(t=0,1,\ldots)$$ и положим, что объем товара St, поступающего на рынок в момент t, определяется ценой, существовавшей на рынке в предшествующий период, т.е.$$S_t=S(p_{t-1}).$$ Введенная зависимость отражает наличие временной задержки (обычно называемой временным лагом ) между моментом принятия решения об изготовлении товара и фактическим выпуском этого товара. Приняв дополнительное предположение, что весь поставленный на рынок товар покупается, получим условие$$D(p_t)=S(p_{t-1}),$$ определяющее цену pt. При этом мы исходили из того, что не существует каких-либо запасов товаров на складах.

Принятое условие баланса фактически вводит понятие временного равновесия на рынке товара. Это равновесие в момент t характеризуется клиринговой ценой pt, сменяемой в следующий момент t+1 другой клиринговой ценой pt+1, также соответствующей временному равновесию. Из (4.1), (4.3) и (5.1) следует, что при ценах из диапазона (4.4)$$p_t=p_{\max}+\lambda (c-p_{t-1}),$$ где параметр $$\lambda$$ определяется выражением$$\lambda = B/A.$$ Учитывая выражение (4.6), определяющее равновесную цену peq, представим полученное разностное уравнение в виде равенства$$p_t-p_\text{eq}=\lambda(p_\text{eq}-p_{t-1}).$$ Это равенство позволяет вывести оценку$$|(p_t-p_\text{eq})/(p_\text{eq}-p_{t-1})|=\lambda,$$ из которой следует, что при значениях $$\lambda<1$$ цены pt, соответствующие временным равновесиям, будут с течением времени приближаться к равновесной цене peq. Левая диаграмма на рис.1.11 иллюстрирует колебания значений цены pt, соответствующие этому случаю (при $$\lambda =2/3$$ ).

(рис 1.11)

Вертикальные стрелки, обозначенные на диаграмме, указывают объемы предложения, соответствующие текущей цене. Горизонтальные стрелки указывают объемы спроса, при которых имеет место временный баланс (5.1). Изображенная на рисунке последовательность горизонтальных и вертикальных стрелок получила название паутины. Левая диаграмма на рис.1.11 представляет случай " скручивающейся паутины ", соответствующей устойчивому балансу спроса и предложения.

При значениях $$\lambda >1$$ равновесие спроса и предложения, определяемое ценой peq, является неустойчивым. Правая диаграмма на рис.1.11 иллюстрирует раскручивающуюся паутину (для случая, когда значение $$\lambda = 1,5$$ ).

Роль посредников в стабилизации баланса спроса и предложения

Примем, что рассматриваемый рынок включает еще одного участника - спекулянта, который при понижении цены закупает $$\Delta$$ единиц товара (т.е. выступает в роли дополнительного потребителя) и позже продает эти $$\Delta$$ единиц (выступая уже в роли поставщика). Заметим, что эти функции может выполнять и сам производитель путем организации временного складирования части товара.

Ситуации, в которой спекулянт закупает товар, соответствует временный баланс вида$$D(p_t)+\Delta=S(p_{t-1}),$$ а ситуации, в которой он сбывает товар, - баланс вида$$D(p_{t+1})=S(p_t)+\Delta.$$ Если цена pt+1, по которой осуществляется продажа, превышает цену pt, по которой осуществлялась закупка, то проведенная спекулянтом операция купли-продажи дает ему доход, равный величине $$(p_{t+1}-p_t)\Delta>0$$. Получение этого дохода и составляет мотивацию поведения спекулянта. Этот случай (при $$\lambda=1,5$$ ) иллюстрирует рис.1.12.

(рис 1.12)

Помимо отрезков прямых, представляющих функции спроса и предложения, на рисунке нанесены также отрезки, соответствующие функциям $$D(p)+\Delta$$ и $$S(p)+\Delta$$ из (5.4) и (5.5). Как следует из рисунка, виток паутины, отвечающий последовательности временных балансов вида (5.1) в модели без спекулянта, является раскручивающимся. Два последних звена этого витка обозначены на рисунке пунктирными стрелками. Однако виток, представленный сплошными линиями со стрелками и соответствующий временным балансам вида (5.4)и (5.5), оказывается скручивающимся.

Таким образом, операции купли-продажи, проводимые спекулянтом, могут уменьшать колебания цены. Это обстоятельство отмечалось рядом исследователей (см., например, книгуСамуэльсон П. Экономика. Т.2. М.: НПО АЛГОН ВНИИСИ, 1993. П. СамуэльсонаСамуэльсон Пол (р. 1915) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1970). ). При этом подчеркивалось, что спекулянт является традиционным участником большинства реальных рынков.

Рассмотрим конкретный вариант описанной выше схемы поведения спекулянтаКонструкция, описываемая ниже, взята из работы: Стронгин П.Р. Моделирование спекуляций на отклонениях котировки от равновесной цены// Математическое моделирование в образовании. Программные средства 2. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 1994. С. 123-142.. Пусть в момент t-1 справедливо неравенство pt-1>peq. Тогда, согласно неравенству pt<peq, вытекающему из (5.3), в следующий момент t происходит снижение цены. Пусть спекулянт, ориентируясь на это снижение, закупает товар в объеме$$\Delta = \gamma S(p_{t-1}),\quad \gamma>0,$$ что повышает спрос в момент t ; см. (5.4). В результате цена в момент t определяется из условия$$D(p_t)+\gamma S(p_{t-1})=S(p_{t-1}).$$

В случае падения цены, т.е. при выполнении условия pt<pt-1, будет наблюдаться снижение предложения, которому соответствует неравенство S(pt)<S(pt-1). В результате произойдет повышение цены в момент t+1. Ориентируясь на это повышение, спекулянт выбрасывает на рынок хранимый объем товара $$\Delta$$, что приводит к повышению предложения в момент t+1 ; см. (5.5). Поэтому цена pt+1, соответствующая моменту t+1, определяется из условия$$D(p_{t+1})=S(p_t)+\gamma S(p_{t-1}).$$ Если при этом для каждого момента времени $$t\ge 1$$ выполняются неравенства$$p_{\min}=c<p_t<p_{eq}<p_{t+1}<p_{t-1}<p_{\max},$$ то описанная схема поведения спекулянта обеспечивает затухание колебаний цены (т.е. скручивание паутины). При этом прибыль$$\pi_s=\Delta (p_{t+1}-p_t),$$ получаемая спекулянтом в результате купли-продажи партии товара объемом $$\Delta$$, является положительной на каждом витке паутины.

Следующая теорема устанавливает условия выбора значений коэффициента $$\gamma$$, обеспечивающие описанную стабилизацию баланса спроса и предложения.

Теорема 1.3. Пусть выполняются условия$$0<\lambda\le 1/2(1+\sqrt{5}),$$ $$p_\text{eq}<p_{t-1}<p_{\max},$$ где $$\lambda$$ из (5.2). Тогда закупка спекулянтом в момент t партии товара объемом $$\Delta$$ из (5.6) с целью продажи этой партии в момент t+1 по цене pt+1 обеспечивает выполнение условий (5.9), если значение коэффициента $$\gamma>0$$ лежит в интервале$$\Gamma_1<\gamma=\gamma(t)<\Gamma_2,$$ где$$\Gamma_1=\theta(\lambda-1)/\lambda,\quad \Gamma_2=\theta \lambda^2/(\lambda+1)^2,$$ $$\theta=\theta(t)=1-D(p_{t-1})/S(p_{t-1}).$$

Доказательство 1. Для выполнения входящего в (5.9) неравенства pt<peq, где, согласно (4.6) и (5.2),$$p_\text{eq}=(p_{\max}+\lambda c)/(1+\lambda),$$ необходимо и достаточно выполнения условия D(pt)>D(peq). Последнее условие в сочетании с равенствами (4.5) и (5.7) ведет к соотношениям$$(1-\gamma)S(p_{t-1})=D(p_t)>D(p_\text{eq})=S(p_\text{eq}).$$ Отсюда следует неравенство$$S(p_{t-1})-S(p_\text{eq})>\gamma S(p_{t-1}),$$ приводимое, с учетом (4.3), к виду$$B(p_{t-1}-p_\text{eq})>\gamma S(p_{t-1}).$$ Поскольку, согласно (4.1), (4.3), (5.15) и (5.16),$$\begin{aligned} p_{t-1}-p_\text{eq}=[\lambda (p_{t-1}-c)+(p_{\max}-p_{t-1})]/(1+\lambda)=\\ \qquad\qquad=[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})]/(A+B)=\theta S(p_{t-1})/(A+B),\\ \end{aligned}$$ то требование (5.17) представимо в виде неравенства$$\gamma<\theta \lambda /(1+\lambda),$$ которое заведомо выполняется при $$\gamma<\Gamma_2$$ ; см. (5.13), (5.14). При этом, согласно (5.12) и (5.15),$$0<\theta<1,$$ поскольку D(pt-1)<S(pt-1) при peq<pt-1.

2. Из (4.1) и (5.7) вытекает, что при pt-1>peq$$\begin{aligned} p_t=[Ap_{\max}-(1-\gamma)S(p_{t-1})]/A=\\ =[D(p_{t-1})-S(p_{t-1})+\gamma S(p_{t-1})]/A+p_{t-1}=\\ =\lambda (p_{t-1}-c)(\gamma-\theta)+p_{t-1}.\\ \end{aligned}$$ Отсюда следует, что для выполнения входящего в (5.9) неравенства pt>pmin=c должно выполняться условие$$(p_{t-1}-c)(\lambda (\gamma-\theta)+1)>0.$$ Это условие заведомо выполняется, если коэффициент $$\gamma$$ удовлетворяет левому неравенству из (5.13), поскольку pt-1>c и, согласно (5.19), $$\theta(\lambda-1)/\lambda>(\lambda\theta-1)/\lambda$$.

3.Условие pt+1>peq, входящее в (5.9), равносильно отношению D(pt+1)<S(peq), которое, учитывая (5.8), приводимо к виду:$$S(p_t)+\gamma S(p_{t-1})<S(p_\text{eq})$$ или$$\gamma S(p_{t-1})<B(p_\text{eq}-p_t).$$

Из (4.2), (4.6) и (5.20) следует, что$$p_\text{eq}-p_t=B[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})-D(p_{t-1})]/A(A+B)-\gamma S(p_{t-1})/A.$$ Подставляя правую часть этого равенства в (5.21), выводим, что pt+1>peq, если$$\gamma (\lambda +1)^2S(p_{t-1})<\lambda^2[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})].$$ Последнее условие эквивалентно требованию $$\gamma<\Gamma_2$$.

4. Условие pt+1<pt-1, входящее в (5.9) и обеспечивающее "скрутку" паутины, равносильно неравенству D(pt+1)>D(pt-1), которое, согласно (5.8), можно записать в виде:$$S(p_t)+\gamma S(p_{t-1})>D(p_{t-1}).$$ Из (4.2), (5.2) и (5.20) выводим, что$$\begin{aligned} S(p_t)=\lambda Ap_{\max}-\lambda (1-\gamma)S(p_{t-1})-Bc=\\ =\lambda D(p_{t-1})+\lambda \gamma S(p_{t-1})+(1-\lambda)S(p_{t-1}).\\ \end{aligned}$$ Подставляя правую часть полученного выражения в (5.22), выводим неравенство$$(\lambda-1)[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})]<\gamma (\lambda+1)S(p_{t-1}),$$ для справедливости которого достаточно выполнения условия$$\gamma>\theta(\lambda -1)/(\lambda+1).$$ Последнее условие заведомо выполняется при $$\gamma>\Gamma_1$$, где $$\Gamma_1$$ из (5.14). В заключение отметим, что интервал (5.13) не пуст (т.е. $$\Gamma_1<\Gamma_2$$ при значениях $$\lambda$$ из диапазона (5.11).

Мотивация поведения спекулянта

Согласно (5.6) и (5.10), прибыль, получаемая спекулянтом в результате каждой описанной выше операции купли-продажи, составляет величину$$\pi_s(\gamma)=\gamma S(p_{t-1})(p_{t+1}-p_t).$$ Максимум этой величины достигается при$$\gamma^*=\lambda \theta/2(2+\lambda),$$ где $$\lambda$$ и $$\theta$$ из (5.2) и (5.15).

Действительно, из (5.8) выводим, что$$p_{t+1}=p_{\max}-[S(p_t)+\gamma S(p_{t-1})]/A.$$ Отсюда, учитывая (5.20), определяем разность$$p_{t+1}-p_t=[B(p_{t-1}-p_t)-2\gamma S(p_{t-1})]/A.$$ Подстановка pt из (5.20) в правую часть полученного равенства дает$$p_{t+1}-p_t=[\lambda (S(p_{t-1})-D(p_{t-1}))-\gamma (\lambda +2)S(p_{t-1})]/A.$$ Используя определение (5.23) и обозначение $$\theta$$ из (5.15), окончательно выводим, что$$\pi_s(\gamma)=\gamma S^2(p_{t-1})[\lambda \theta-\gamma(\lambda+2)]/A.$$ Теперь определим значение $$\gamma^*$$ как решение уравнения$$\frac{d\pi_s(\gamma)}{d\gamma}=S^2(p_{t-1})[\lambda \theta-2\gamma(\lambda+2)]/A=0.$$ Очевидно, что таким решением является значение $$\gamma^*$$ из (5.24). При этом вторая производная от $$\pi_s$$ по $$\gamma$$ отрицательна в точке $$\gamma^*$$.

Непосредственной проверкой можно установить, что значение коэффициента $$\gamma^*$$ из (5.24) принадлежит интервалу $$(\Gamma_1,\Gamma_2)$$ из (5.13), если величина $$\lambda$$ из (5.2) удовлетворяет условиям$$\sqrt{2}-1<\lambda<\sqrt{5}-1.$$ При этих условиях, как следует из рассмотренной теоремы, стремление спекулянта к максимизации своей прибыли ведет к стабилизации равновесной цены peq. Отметим, что исследованная схема поведения спекулянта ведет (с каждым новым витком паутины) к уменьшению объема ( осуществляемых им закупок. Возможны, однако, схемы, обеспечивающие стабилизацию равновесия спроса и предложения и при постоянном объеме закупокСм., например, работу: Стронгин П.Р. О стабилизации цены в модели экономического равновесия со спекулянтом//Математическое моделирование и оптимальное управление. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 1996. С. 126-150..

Отметим, что точке равновесия по Штакельбергу, обнаруженной в рассмотренном выше примере, соответствует единичное значение $$\lambda$$, поскольку для всех точек кривой (4.29), на которой находится точка равновесия (4.29), справедливо равенство A=B ; ср. (4.9) и (4.22). Следовательно, равновесная цена$$p_\text{eq}=3c/2,$$ соответствующая точке (4.29), может быть стабилизирована действиями спекулянта. Далее, поскольку равновесная цена (5.25), соответствующая устойчивому по Штакельбергу решению (4.29), лишь в полтора раза превышает удельные издержки c, то введенное ранее допущение постоянства этих издержек также вполне приемлемо.

Страницы:

В рамках рассмотренного примера интересы потребителя и производителя связывались с результатами купли-продажи товара в условиях баланса спроса и предложения, т.е. при цене peq из (4.6). Поэтому возникает вопрос об устойчивости такого баланса.

Отметим, что вопрос о балансе спроса и предложения, будучи, с одной стороны, вопросом уже классическим, остается, тем не менее, одним из дискуссионных вопросов. Этот сохраняющийся интерес определяется тем обстоятельством, что реальные процессы в экономике могут демонстрировать как тенденции приближения к балансу спроса и предложения, так и различные формы отклонения от него, не связанные с действием внешних факторов.

Обсуждение устойчивости предполагает принятие некоторых допущений, характеризующих динамику спроса и предложения. Введем дискретное время t $$(t=0,1,\ldots)$$ и положим, что объем товара St, поступающего на рынок в момент t, определяется ценой, существовавшей на рынке в предшествующий период, т.е.$$S_t=S(p_{t-1}).$$ Введенная зависимость отражает наличие временной задержки (обычно называемой временным лагом ) между моментом принятия решения об изготовлении товара и фактическим выпуском этого товара. Приняв дополнительное предположение, что весь поставленный на рынок товар покупается, получим условие$$D(p_t)=S(p_{t-1}),$$ определяющее цену pt. При этом мы исходили из того, что не существует каких-либо запасов товаров на складах.

Принятое условие баланса фактически вводит понятие временного равновесия на рынке товара. Это равновесие в момент t характеризуется клиринговой ценой pt, сменяемой в следующий момент t+1 другой клиринговой ценой pt+1, также соответствующей временному равновесию. Из (4.1), (4.3) и (5.1) следует, что при ценах из диапазона (4.4)$$p_t=p_{\max}+\lambda (c-p_{t-1}),$$ где параметр $$\lambda$$ определяется выражением$$\lambda = B/A.$$ Учитывая выражение (4.6), определяющее равновесную цену peq, представим полученное разностное уравнение в виде равенства$$p_t-p_\text{eq}=\lambda(p_\text{eq}-p_{t-1}).$$ Это равенство позволяет вывести оценку$$|(p_t-p_\text{eq})/(p_\text{eq}-p_{t-1})|=\lambda,$$ из которой следует, что при значениях $$\lambda<1$$ цены pt, соответствующие временным равновесиям, будут с течением времени приближаться к равновесной цене peq. Левая диаграмма на рис.1.11 иллюстрирует колебания значений цены pt, соответствующие этому случаю (при $$\lambda =2/3$$ ).

(рис 1.11)

Вертикальные стрелки, обозначенные на диаграмме, указывают объемы предложения, соответствующие текущей цене. Горизонтальные стрелки указывают объемы спроса, при которых имеет место временный баланс (5.1). Изображенная на рисунке последовательность горизонтальных и вертикальных стрелок получила название паутины. Левая диаграмма на рис.1.11 представляет случай " скручивающейся паутины ", соответствующей устойчивому балансу спроса и предложения.

При значениях $$\lambda >1$$ равновесие спроса и предложения, определяемое ценой peq, является неустойчивым. Правая диаграмма на рис.1.11 иллюстрирует раскручивающуюся паутину (для случая, когда значение $$\lambda = 1,5$$ ).

Роль посредников в стабилизации баланса спроса и предложения

Примем, что рассматриваемый рынок включает еще одного участника - спекулянта, который при понижении цены закупает $$\Delta$$ единиц товара (т.е. выступает в роли дополнительного потребителя) и позже продает эти $$\Delta$$ единиц (выступая уже в роли поставщика). Заметим, что эти функции может выполнять и сам производитель путем организации временного складирования части товара.

Ситуации, в которой спекулянт закупает товар, соответствует временный баланс вида$$D(p_t)+\Delta=S(p_{t-1}),$$ а ситуации, в которой он сбывает товар, - баланс вида$$D(p_{t+1})=S(p_t)+\Delta.$$ Если цена pt+1, по которой осуществляется продажа, превышает цену pt, по которой осуществлялась закупка, то проведенная спекулянтом операция купли-продажи дает ему доход, равный величине $$(p_{t+1}-p_t)\Delta>0$$. Получение этого дохода и составляет мотивацию поведения спекулянта. Этот случай (при $$\lambda=1,5$$ ) иллюстрирует рис.1.12.

(рис 1.12)

Помимо отрезков прямых, представляющих функции спроса и предложения, на рисунке нанесены также отрезки, соответствующие функциям $$D(p)+\Delta$$ и $$S(p)+\Delta$$ из (5.4) и (5.5). Как следует из рисунка, виток паутины, отвечающий последовательности временных балансов вида (5.1) в модели без спекулянта, является раскручивающимся. Два последних звена этого витка обозначены на рисунке пунктирными стрелками. Однако виток, представленный сплошными линиями со стрелками и соответствующий временным балансам вида (5.4)и (5.5), оказывается скручивающимся.

Таким образом, операции купли-продажи, проводимые спекулянтом, могут уменьшать колебания цены. Это обстоятельство отмечалось рядом исследователей (см., например, книгуСамуэльсон П. Экономика. Т.2. М.: НПО АЛГОН ВНИИСИ, 1993. П. СамуэльсонаСамуэльсон Пол (р. 1915) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1970). ). При этом подчеркивалось, что спекулянт является традиционным участником большинства реальных рынков.

Рассмотрим конкретный вариант описанной выше схемы поведения спекулянтаКонструкция, описываемая ниже, взята из работы: Стронгин П.Р. Моделирование спекуляций на отклонениях котировки от равновесной цены// Математическое моделирование в образовании. Программные средства 2. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 1994. С. 123-142.. Пусть в момент t-1 справедливо неравенство pt-1>peq. Тогда, согласно неравенству pt<peq, вытекающему из (5.3), в следующий момент t происходит снижение цены. Пусть спекулянт, ориентируясь на это снижение, закупает товар в объеме$$\Delta = \gamma S(p_{t-1}),\quad \gamma>0,$$ что повышает спрос в момент t ; см. (5.4). В результате цена в момент t определяется из условия$$D(p_t)+\gamma S(p_{t-1})=S(p_{t-1}).$$

В случае падения цены, т.е. при выполнении условия pt<pt-1, будет наблюдаться снижение предложения, которому соответствует неравенство S(pt)<S(pt-1). В результате произойдет повышение цены в момент t+1. Ориентируясь на это повышение, спекулянт выбрасывает на рынок хранимый объем товара $$\Delta$$, что приводит к повышению предложения в момент t+1 ; см. (5.5). Поэтому цена pt+1, соответствующая моменту t+1, определяется из условия$$D(p_{t+1})=S(p_t)+\gamma S(p_{t-1}).$$ Если при этом для каждого момента времени $$t\ge 1$$ выполняются неравенства$$p_{\min}=c<p_t<p_{eq}<p_{t+1}<p_{t-1}<p_{\max},$$ то описанная схема поведения спекулянта обеспечивает затухание колебаний цены (т.е. скручивание паутины). При этом прибыль$$\pi_s=\Delta (p_{t+1}-p_t),$$ получаемая спекулянтом в результате купли-продажи партии товара объемом $$\Delta$$, является положительной на каждом витке паутины.

Следующая теорема устанавливает условия выбора значений коэффициента $$\gamma$$, обеспечивающие описанную стабилизацию баланса спроса и предложения.

Теорема 1.3. Пусть выполняются условия$$0<\lambda\le 1/2(1+\sqrt{5}),$$ $$p_\text{eq}<p_{t-1}<p_{\max},$$ где $$\lambda$$ из (5.2). Тогда закупка спекулянтом в момент t партии товара объемом $$\Delta$$ из (5.6) с целью продажи этой партии в момент t+1 по цене pt+1 обеспечивает выполнение условий (5.9), если значение коэффициента $$\gamma>0$$ лежит в интервале$$\Gamma_1<\gamma=\gamma(t)<\Gamma_2,$$ где$$\Gamma_1=\theta(\lambda-1)/\lambda,\quad \Gamma_2=\theta \lambda^2/(\lambda+1)^2,$$ $$\theta=\theta(t)=1-D(p_{t-1})/S(p_{t-1}).$$

Доказательство 1. Для выполнения входящего в (5.9) неравенства pt<peq, где, согласно (4.6) и (5.2),$$p_\text{eq}=(p_{\max}+\lambda c)/(1+\lambda),$$ необходимо и достаточно выполнения условия D(pt)>D(peq). Последнее условие в сочетании с равенствами (4.5) и (5.7) ведет к соотношениям$$(1-\gamma)S(p_{t-1})=D(p_t)>D(p_\text{eq})=S(p_\text{eq}).$$ Отсюда следует неравенство$$S(p_{t-1})-S(p_\text{eq})>\gamma S(p_{t-1}),$$ приводимое, с учетом (4.3), к виду$$B(p_{t-1}-p_\text{eq})>\gamma S(p_{t-1}).$$ Поскольку, согласно (4.1), (4.3), (5.15) и (5.16),$$\begin{aligned} p_{t-1}-p_\text{eq}=[\lambda (p_{t-1}-c)+(p_{\max}-p_{t-1})]/(1+\lambda)=\\ \qquad\qquad=[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})]/(A+B)=\theta S(p_{t-1})/(A+B),\\ \end{aligned}$$ то требование (5.17) представимо в виде неравенства$$\gamma<\theta \lambda /(1+\lambda),$$ которое заведомо выполняется при $$\gamma<\Gamma_2$$ ; см. (5.13), (5.14). При этом, согласно (5.12) и (5.15),$$0<\theta<1,$$ поскольку D(pt-1)<S(pt-1) при peq<pt-1.

2. Из (4.1) и (5.7) вытекает, что при pt-1>peq$$\begin{aligned} p_t=[Ap_{\max}-(1-\gamma)S(p_{t-1})]/A=\\ =[D(p_{t-1})-S(p_{t-1})+\gamma S(p_{t-1})]/A+p_{t-1}=\\ =\lambda (p_{t-1}-c)(\gamma-\theta)+p_{t-1}.\\ \end{aligned}$$ Отсюда следует, что для выполнения входящего в (5.9) неравенства pt>pmin=c должно выполняться условие$$(p_{t-1}-c)(\lambda (\gamma-\theta)+1)>0.$$ Это условие заведомо выполняется, если коэффициент $$\gamma$$ удовлетворяет левому неравенству из (5.13), поскольку pt-1>c и, согласно (5.19), $$\theta(\lambda-1)/\lambda>(\lambda\theta-1)/\lambda$$.

3.Условие pt+1>peq, входящее в (5.9), равносильно отношению D(pt+1)<S(peq), которое, учитывая (5.8), приводимо к виду:$$S(p_t)+\gamma S(p_{t-1})<S(p_\text{eq})$$ или$$\gamma S(p_{t-1})<B(p_\text{eq}-p_t).$$

Из (4.2), (4.6) и (5.20) следует, что$$p_\text{eq}-p_t=B[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})-D(p_{t-1})]/A(A+B)-\gamma S(p_{t-1})/A.$$ Подставляя правую часть этого равенства в (5.21), выводим, что pt+1>peq, если$$\gamma (\lambda +1)^2S(p_{t-1})<\lambda^2[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})].$$ Последнее условие эквивалентно требованию $$\gamma<\Gamma_2$$.

4. Условие pt+1<pt-1, входящее в (5.9) и обеспечивающее "скрутку" паутины, равносильно неравенству D(pt+1)>D(pt-1), которое, согласно (5.8), можно записать в виде:$$S(p_t)+\gamma S(p_{t-1})>D(p_{t-1}).$$ Из (4.2), (5.2) и (5.20) выводим, что$$\begin{aligned} S(p_t)=\lambda Ap_{\max}-\lambda (1-\gamma)S(p_{t-1})-Bc=\\ =\lambda D(p_{t-1})+\lambda \gamma S(p_{t-1})+(1-\lambda)S(p_{t-1}).\\ \end{aligned}$$ Подставляя правую часть полученного выражения в (5.22), выводим неравенство$$(\lambda-1)[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})]<\gamma (\lambda+1)S(p_{t-1}),$$ для справедливости которого достаточно выполнения условия$$\gamma>\theta(\lambda -1)/(\lambda+1).$$ Последнее условие заведомо выполняется при $$\gamma>\Gamma_1$$, где $$\Gamma_1$$ из (5.14). В заключение отметим, что интервал (5.13) не пуст (т.е. $$\Gamma_1<\Gamma_2$$ при значениях $$\lambda$$ из диапазона (5.11).

Мотивация поведения спекулянта

Согласно (5.6) и (5.10), прибыль, получаемая спекулянтом в результате каждой описанной выше операции купли-продажи, составляет величину$$\pi_s(\gamma)=\gamma S(p_{t-1})(p_{t+1}-p_t).$$ Максимум этой величины достигается при$$\gamma^*=\lambda \theta/2(2+\lambda),$$ где $$\lambda$$ и $$\theta$$ из (5.2) и (5.15).

Действительно, из (5.8) выводим, что$$p_{t+1}=p_{\max}-[S(p_t)+\gamma S(p_{t-1})]/A.$$ Отсюда, учитывая (5.20), определяем разность$$p_{t+1}-p_t=[B(p_{t-1}-p_t)-2\gamma S(p_{t-1})]/A.$$ Подстановка pt из (5.20) в правую часть полученного равенства дает$$p_{t+1}-p_t=[\lambda (S(p_{t-1})-D(p_{t-1}))-\gamma (\lambda +2)S(p_{t-1})]/A.$$ Используя определение (5.23) и обозначение $$\theta$$ из (5.15), окончательно выводим, что$$\pi_s(\gamma)=\gamma S^2(p_{t-1})[\lambda \theta-\gamma(\lambda+2)]/A.$$ Теперь определим значение $$\gamma^*$$ как решение уравнения$$\frac{d\pi_s(\gamma)}{d\gamma}=S^2(p_{t-1})[\lambda \theta-2\gamma(\lambda+2)]/A=0.$$ Очевидно, что таким решением является значение $$\gamma^*$$ из (5.24). При этом вторая производная от $$\pi_s$$ по $$\gamma$$ отрицательна в точке $$\gamma^*$$.

Непосредственной проверкой можно установить, что значение коэффициента $$\gamma^*$$ из (5.24) принадлежит интервалу $$(\Gamma_1,\Gamma_2)$$ из (5.13), если величина $$\lambda$$ из (5.2) удовлетворяет условиям$$\sqrt{2}-1<\lambda<\sqrt{5}-1.$$ При этих условиях, как следует из рассмотренной теоремы, стремление спекулянта к максимизации своей прибыли ведет к стабилизации равновесной цены peq. Отметим, что исследованная схема поведения спекулянта ведет (с каждым новым витком паутины) к уменьшению объема ( осуществляемых им закупок. Возможны, однако, схемы, обеспечивающие стабилизацию равновесия спроса и предложения и при постоянном объеме закупокСм., например, работу: Стронгин П.Р. О стабилизации цены в модели экономического равновесия со спекулянтом//Математическое моделирование и оптимальное управление. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 1996. С. 126-150..

Отметим, что точке равновесия по Штакельбергу, обнаруженной в рассмотренном выше примере, соответствует единичное значение $$\lambda$$, поскольку для всех точек кривой (4.29), на которой находится точка равновесия (4.29), справедливо равенство A=B ; ср. (4.9) и (4.22). Следовательно, равновесная цена$$p_\text{eq}=3c/2,$$ соответствующая точке (4.29), может быть стабилизирована действиями спекулянта. Далее, поскольку равновесная цена (5.25), соответствующая устойчивому по Штакельбергу решению (4.29), лишь в полтора раза превышает удельные издержки c, то введенное ранее допущение постоянства этих издержек также вполне приемлемо.

Предыдущее занятие Следующее занятие
Вернуться к учебному плану
^