Принципы квантовых вычислений

Введение

Конец ХХ и начало ХХІ века ознаменовались значительной активизацией исследований и разработок в области квантовых вычислений.

Если в ХХ в. дальнейший прогресс вычислительной техники связывали в основном с усовершенствованием микроэлектронной и с переходом к наноэлектронной элементной базе информатики, с повышением степени интеграции и быстродействия интегральных схем, с использованием параллельной и аналоговой обработки изображений, со специализацией и наращиванием количества параллельно работающих процессоров, то сейчас большие надежды стали возлагаться также на кардинально новую квантовую элементную базу, на квантовую информатику и квантовые вычисления. С основными принципами, лежащими в основе таких вычислений, мы и ознакомим вас в данной лекции.

Основные положения квантовой механики, важные для квантовых вычислений

Напомним известные положения квантовой механики, важные для понимания особенностей квантовой информатики.

Физическое состояние и поведение квантовых объектов описываются комплексной функцией $$\Psi(*)$$, которую называют "волновой" и аргументы которой $$(*)$$ выбирают в зависимости от того, с какой стороны, с какой точки зрения рассматривается квантовый объект. Если нас интересует, например, пространственное расположение электронов вокруг ядра атома или в молекуле, то аргументами волновой функции будут пространственные координаты электронов $$\overrightarrow{r}=(x,y,z)$$ относительно центра массы. Волновая функция в этом случае описывает пространственную структуру электронной "шубы" атома или молекулы – своего рода "стоячую волну" вокруг ядра или нескольких ядер. Соответствующие примеры мы уже рассматривали в предыдущих разделах. Вспомните, например, атомные и молекулярные орбитали.

Волновая функция "нормируется" так, чтобы интеграл от квадрата ее модуля по всему пространству равнялся единице: $$ \iiint\left|\Psi(\overrightarrow{r})\right|^2 dV=1. $$

При этом величину $$\left|\Psi(\overrightarrow{r})\right|^2 dV$$ можно трактовать как "плотность электронной шубы" в точке $$\overrightarrow{r}=(x,y,z)$$ пространства или как плотность вероятности того, что электрон находится внутри элемента пространства $$dV$$ с координатами $$\overrightarrow{r}=(x,y,z)$$.

Если же нас интересует, скажем, динамическое поведение квантового объекта во внешнем магнитном поле, то аргументами волновой функции являются время $$t$$ и вектор $$\overrightarrow{m}$$ магнитного момента этого объекта, в частности его проекция на направление силовых линий поля. А волновая функция описывает в этом случае особенности состояний равновесия и прецессии квантового объекта в магнитном поле. Она тоже нормируется так, чтобы интеграл от квадрата ее модуля по всем возможным направлениям в любой момент времени равнялся единице. Тогда $$\left|\Psi(t,\overrightarrow{m})\right|^2$$ можно рассматривать как плотность вероятности соответствующей ориентации магнитного момента объекта или как плотность распределения многих идентичных квантовых объектов по ориентации их в магнитном поле в момент времени $$t$$.

Рассмотрение волновой функции как комплексной функции разных наборов аргументов называют разными "представлениями" квантового объекта, которые, как правило, не являются альтернативными, а, наоборот, существенно дополняют друг друга.

Если силовое поле квантового объекта не зависит от времени (другими словами – является стационарным), то волновая функция этого объекта может быть записана в виде $$ \Psi(t,*)=e^{-i\omega t}\psi(*) $$ где $$i=\sqrt{-1}$$ – мнимая единица, $$\omega$$ – круговая частота собственных колебаний. Независимый от времени множитель – комплексная функция $$\psi(*)$$ – является решением стационарного уравнения Шредингера $$ \widehat{H}\psi(*)=E\psi(*), $$ в котором $$\widehat{H}$$ – известный дифференциальный оператор Гамильтона для данной конкретной системы, $$E$$ – действительное число (энергия квантового объекта), а на функцию $$\psi(*)$$ наложено условие нормирования квадрата ее модуля на единицу. Решение такого уравнения – это известная задача Штурма-Лиувилля на собственные значения. Спектр энергии может быть дискретным или непрерывным. Когда квантовый объект находится в связанном состоянии (например, электрон в кулоновском поле ядра атома) и $$E < 0$$, то спектр энергии всегда дискретный, т.е. уравнение (8.3) имеет решения лишь при определенных значениях энергии $$E$$.

Если на квантовый объект действует внешнее силовое поле, изменяющееся во времени, то эволюция волновой функции под действием этого поля описывается нестационарным уравнением Шредингера $$ i\hbar\frac{\partial\Psi(t,*)}{\partial t}=\widehat{H}\Psi(t,*), $$

где $$\hbar$$ – приведенная постоянная Планка, а в оператор Гамильтона $$\widehat{H}$$ как слагаемое входит оператор внешнего силового поля, изменяющегося во времени.

Еще одной важной для данной темы особенностью квантовой физики является более глубокое понимание процессов наблюдения. В классической физике считалось, что за физическим объектом можно наблюдать и выполнять измерения его характеристик, не влияя на его состояние. Однако на самом деле наблюдение или измерение возможны лишь в результате прямого или опосредствованного взаимодействия соответствующего сенсора с объектом. В квантовой физике понимание этого стало принципиальным, так как во время взаимодействия квантового объекта с сенсором их надо рассматривать уже как единую систему и в уравнения (8.3) и (8.4) к оператору Гамильтона $$\widehat{H}$$ надо прибавить соответствующий квантовый оператор взаимодействия. Из-за этого решение уравнения Шредингера и волновая функция квантового объекта изменяются. Во многих случаях процесс измерения является кратковременным взаимодействием, оператор взаимодействия зависит от времени и, следовательно, состояние объекта и поведение всей системы описываются нестационарным уравнением Шредингера (8.4). Если измерительное устройство включено постоянно, для стационарного уравнения (8.3) принципиально важным становится то, что объект перестал быть консервативным, а является уже одной из составляющих частей квантовой системы "объект + сенсор".

Важным является также то, что в результате взаимодействия, вообще говоря, наблюдается не то состояние квантового объекта, которое он имел до взаимодействия, а то, в которое он перешел.

При наблюдениях или измерениях состояния квантовых объектов, выполняемых с помощью классических сенсоров, действует следующее "правило редукции": сразу после наблюдения или измерения квантовый объект оказывается в том базовом состоянии, которое было только что зафиксировано.

Кубит – основной элемент квантовой информатики

В классической вычислительной технике обычно используют такие бистабильные элементы, как триггеры, ячейки памяти, логические вентили, в которых другие состояния, кроме двух ("0" или "1"), невозможны или не используются. В классической информатике за единицу количества информации – "бит" – приняли количество информации, которое сохраняется в таком бистабильном элементе.

В квантовой информатике в качестве основного тоже принят квантовый объект, который может находиться в двух различных базовых состояниях. Его назвали "кубит" (от англ. "qubit" – сокращение от "quantum bit" = квантовый бит). Так же назвали и квантовую единицу информации.

Волновые функции кубита в двух его основных ("базовых") состояниях обычно обозначают как $$\psi(|0\rangle)$$ и $$\psi(|1\rangle)$$ и называют "базисом". Эти функции всегда нормированы на "1" и "ортогональны" между собой (сокращенно говорят "ортонормированы").

Теперь обратите внимание на то, что уравнения Шредингера – как (8.3), так и (8.4) – являются линейными. В том плане, что, если функции $$\Psi_1$$ и $$\Psi_2$$ являются решениями уравнения Шредингера, то и любая их линейная комбинация тоже является его решением. Вследствие этого принципиальной особенностью квантовых объектов, в т.ч. и кубита, является то, что он может находиться не только в двух указанных "базовых" состояниях, но и во многих других состояниях, которые описываются волновой функцией $$ \Psi=A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle), $$ где A и B – произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условию нормирования функции $$\Psi$$ на единицу, т.е. условию $$ |A|^2+|B|^2=1. $$

Такие состояния называют "гибридными" или "смешанными". В классических бистабильных элементах это невозможно, что качественно отличает их от кубитов.

Известно, что комплексные числа $$A$$ и $$B$$, которые в квантовой механике называют комплексными амплитудами, можно представить в виде $$A=ae^{i\alpha}$$, $$B=be^{i\beta}$$. Тогда выражение (8.5) с учетом условия (8.6) можно переписать в виде: $$ \Psi=e^{i\alpha}\left\lfloor a\Psi(|1\rangle)+ \sqrt{1-a^2}e^{i(\beta-\alpha)}\Psi(|0\rangle)\right\rfloor, $$ где $$a$$ – любое действительное число из интервала от – 1 до 1. Значение фазы $$\alpha$$ не влияет ни на значение $$|\Psi|^2$$, ни на выполнение условия нормировки (8.6). Поэтому состояния с разными фазами $$\alpha$$ физически различить нельзя, и их считают одним и тем же физическим состоянием. Физически разные состояния кубита описываются волновыми функциями вида $$ \Psi=a\Psi(|1\rangle)+\sqrt{1-a^2}e^{i\varphi}\Psi(|0\rangle). $$

Каждому из физически различных состояний кубита, заданных формулой (8.8), можно поставить во взаимно однозначное соответствие свой единичный вектор так называемой "сферы Блоха" (рис 8.1).

Азимутальный угол $$\varphi$$ называют "фазой". Если базовым состояниям соответствуют два ортогональных базисных вектора, например, состоянию $$|0\rangle$$ – орт $$OC$$ оси $$OX$$, а состоянию $$|1\rangle$$ – орт $$OD$$ оси $$OZ$$, то указанный на рис 8.1 угол $$\theta$$ определяется соотношением $$\cos\theta=a$$. Выделенному на рис 8.1 вектору $$OM$$ соответствует состояние с волновой функцией $$ \Psi=\Psi(|1\rangle)\cos\theta+e^{i\varphi}\Psi(|0\rangle)\sin\theta. $$

Но это – лишь одно из возможных соответствий между точками сферы Блоха и состояниями кубита.

Чаще используют другое, тоже взаимно однозначное соответствие. Оно удобно тем, что базовым состояниям кубита соответствуют не ортогональные, а противоположные орты на сфере Блоха. Исторически сложилось так, что одним из основных вариантов реализации кубита считалось ядро атома со спином, магнитный момент которого в магнитном поле может иметь лишь одну из двух базовых ориентаций: в направлении поля, или против поля. Каждому из гибридных состояний магнитного момента ядра тогда соответствует коллинеарный ему вектор на сфере Блоха. Для этого волновую функцию, соответствующую состоянию кубита, изображенному вектором $$OM$$, представляют в виде: $$ \Psi = \Psi(|1\rangle)e^{-i\varphi}\cos(\theta/2) + \Psi(|0\rangle)e^{i\varphi}\sin(\theta/2). $$

При таком представлении базовому состоянию кубита $$|1\rangle$$ соответствует орт $$OD$$ (для него угол $$\theta=0; \; \cos(\theta/2)=1; \; \sin(\theta/2)=0$$, азимутальный угол $$\varphi$$, вообще говоря, не определен, но считается, что $$\varphi = 0$$), а базовому состоянию $$|0\rangle$$ – противоположный орт $$OE$$ оси $$OZ$$ (для него угол $$\theta=\pi; \; \cos(\theta/2)=0; \sin(\theta/2)=1$$, азимутальный угол $$\varphi$$ тоже, вообще говоря, не определен, но считается, что $$\varphi=\pi$$). Орту $$OC$$ оси $$OX$$ ($$\varphi=0;\; \theta=\pi/2;\; \cos(\theta/2) = \sin(\theta/2) = \sqrt{2}/2;\; e^{i*2}=1$$) соответствует гибридное состояние, которое описывается волновой функцией $$ \Psi = \Psi(|1\rangle)e^{-i*0} \cos\frac{\pi}{4} + \Psi(|0\rangle)e^{i*0} \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Psi(|1\rangle) + \frac{\sqrt{2}}{2} \Psi(|0\rangle), $$ а орту оси $$OY$$ ($$\varphi=\pi/2;\; \theta=\pi/2;\; \cos(\theta/2) = \sin(\theta/2)=\sqrt{2}/2$$) – гибридное состояние, которое описывается волновой функцией $$ \Psi=\frac{\sqrt{2}}{2}\Psi(|1\rangle)e^{-i\pi/2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\Psi(|0\rangle)e^{i\pi/2} = i\frac{\sqrt{2}}{2}\Psi(|0\rangle) - i\frac{\sqrt{2}}{2}\Psi(|1\rangle). $$ Орту оси $$OX$$, противоположному к орту $$OC$$, соответствует гибридное состояние, которое описывается волновой функцией $$ \Psi=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Psi(|1\rangle)-\frac{\sqrt{2}}{2}\Psi(|0\rangle). $$

Точкам на "экваторе" сферы Блоха соответствуют максимально смешанные ("запутанные", "сцепленные") состояния, описываемые волновыми функциями $$ \Psi=\frac{\sqrt{2}}{2}\Psi(|1\rangle)e^{-i\varphi} + \frac{\sqrt{2}}{2}\Psi(|1\rangle)e^{i\varphi}], $$ где $$\varphi}$$ – произвольная фаза, своя для каждой точки экватора.

Чтобы сделать наглядной принципиальное различие между классическим бистабильным элементом и кубитом, проведем такую аналогию. Элемент изображения (пиксель), соответствующий классическому бистабильному элементу, может быть лишь черным или белым, – даже не полутоновым. А пиксель, соответствующий кубиту, может иметь любой цвет и любые цветовые оттенки! И как цветной пиксель несет намного больше информации, чем черно-белый, так и кубит сохраняет в себе несравненно больше информации, чем один классический бит.

При считывании состояния кубита взаимодействие с устройством считывания изменяет ситуацию. Если устройство считывания является классически бистабильным, т.е. может считывать лишь "0" или "1", и его состояния соответствуют базовым состояниям кубита, то такое устройство однозначно считывает лишь базовые состояния. Любое другое (гибридное) состояние, в котором находится кубит перед считыванием, определяет лишь вероятности считывания "0" и "1": $$ P(0)=\sin^2\frac{\theta}{2};\quad P(1)=\cos^2\frac{\theta}{2}. $$

Когда имеется возможность измерять состояние многих идентичных кубитов, находящихся в одинаковых условиях, или многократно считывать состояние одного и того же кубита, который каждый раз перед считыванием приводится в то же самое квантовое состояние, то эти вероятности можно экспериментально найти как относительную частоту считывания того или другого состояния. При этом мы находим величину $$\cos^2(\theta/2)$$, т.е. можем знать проекцию вектора состояния кубита на сфере Блоха лишь на одну из координатных осей. Чтобы определить все проекции вектора состояния, надо провести несколько серий измерений. Процедуру определения истинного состояния кубита называют "томографией квантового состояния".

После считывания классически бистабильным устройством кубит согласно правилу редукции остается в том базовом состоянии, которое было считано. Оно совпадает с состоянием кубита перед считыванием только в тех случаях, если это состояние изначально было базовым.

Чтобы сделать интуитивно понятным то, что происходит при "считывании" состояния кубита классическим сенсором, приведем такую аналогию. В день выборов президента Вы пришли на избирательный участок, чтобы проголосовать за одного из двух кандидатов, которые остались в списке. Ни один из них Вас целиком не устраивает, Вы хотели бы иметь другого, лучшего президента. Но в бюллетене для голосования, который Вам выдали, надо выбрать однозначно. Вот Вы и голосуете за одного из кандидатов. Это и есть аналог измерения состояния кубита классическим устройством.

Даже при "считывании" состояния кубита не классическим, а тоже квантовым устройством, вследствие взаимодействия с ним начальное состояние кубита, вообще говоря, изменяется. Математически доказана теорема "о невозможности клонирования квантовых состояний", которая указывает на невозможность копирования произвольного квантового состояния без его изменения. Это возможно исключительно только в базовых состояниях.

Таким образом, в кубите "сохраняется" несравненно больше информации, чем один классический бит, но считать из него классическим прибором можно лишь один бит информации. Внутреннее состояние кубита до считывания определяет лишь вероятность считывания "0" или "1", а после считывания становится таким, которое было считано.

Квантовый регистр и сплетенные состояния

Еще более разительными оказались особенности совокупности взаимосвязанных кубитов – квантовых регистров. Когда кубиты взаимодействуют между собой, то квантовая механика обязывает рассматривать регистр как единую квантовую систему. Если энергия взаимодействия между кубитами значительно меньше, чем энергия взаимодействия внутри каждого кубита, то можно говорить о "базисных" состояниях квантового регистра, которые состоят из "базовых" состояний каждого кубита. Такие состояния обычно обозначают как $$|x_1\ldots x_n\rangle$$, где каждая переменная принимает значение "0" или "1" и указывает на базовое внутреннее состояние соответствующего кубита. Квантовый регистр, как систему кубитов, в таких состояниях описывают ортонормированными "базисными" волновыми функциями $$\Psi(|x_1\ldots x_n\rangle)$$. Согласно принципу суперпозиции квантовый регистр из $$n$$ кубитов может находиться и во многих других "гибридных" состояниях, которые описываются волновыми функциями, являющимися линейными комбинациями "базисных" волновых функций: $$ \Psi=\sum_{\overrightarrow{i}=|00\ldots 0\rangle}^{\overrightarrow{i}=|11\ldots 1\rangle} A_{\overrightarrow{i}}\Psi(|\overrightarrow{i}\rangle), $$

Здесь векторный индекс $$\overrightarrow{i}$$ – это $$n$$-разрядные двоичные коды, которые пробегают все возможные значения от $$|00\ldots 0\ldots 0\rangle$$ до $$|11\ldots 1\ldots 1\rangle$$; $$A_{\overrightarrow{i}}$$ – комплексные числа. Их называют "амплитудами". Они должны удовлетворять условию нормирования на единицу: $$ \sum_{\overrightarrow{i}=|00\ldots 0\rangle}^{\overrightarrow{i}=|11\ldots 1\rangle} \left|A_{\overrightarrow{i}}\right|^2 = 1. $$

Как видим, в отличие от классического $$n$$-разрядного регистра, который может находиться лишь в $$2^n$$ различных состояниях, квантовый регистр может находиться в гораздо более мощном множестве различных состояний. Каждому состоянию можно поставить во взаимно однозначное соответствие единичный вектор $$2^n$$-мерного пространства, которое является т.н. "гильбертовым пространством". Уже 4-разрядный регистр, например, может находиться в состояниях, которые описываются единичными векторами 16-мерного гильбертова пространства.

Большинство состояний квантового регистра никак нельзя описать волновыми функциями отдельных кубитов. Такие состояния называют "сплетенными" (англ. entangled). В случае системы из трех кубитов таким является, например, состояние регистра, описываемое волновыми функциями $$ \Psi=\frac{\sqrt{2}}{2}[\Psi(|111\rangle)-\Psi(|000\rangle)] \text{ или } \Psi=\frac{\sqrt{3}}{3}[\Psi(|111\rangle)-i\Psi(|100\rangle)+\Psi(|011\rangle)]. $$

Когда квантовый регистр находится в "сплетенном" состоянии, то любое взаимодействие с любым из его кубитов непременно приводит к изменению состояния не только этого кубита, а и всего квантового регистра в целом. Это свойство на английском языке называют "entanglement" – сплетенность.

Некоторое представление об этом непривычном для классической физики квантовом явлении дает приведенная на рис 8.2 фотография 4-х взаимосвязанных волн на поверхности жидкости и объяснение к ней.

Но, наверное, важнейшим для информатики является обусловленный сцеплением параллелизм преобразований информации. Ведь определенным образом влияя на один или на несколько из взаимосвязанных кубитов, находящихся в сплетенном состоянии, мы вызываем взаимосогласованное одновременное изменение $$2^n$$ комплексных чисел – амплитуд в выражении (8.16). Параллелизм обработки информации с увеличением числа кубитов возрастает экспоненциально!

Уже, например, при $$n=100$$ мы одновременно нацелено изменяем $$2^{100}\approx 10^{30}$$ комплексных чисел! Подчеркнем: изменяем одновременно и взаимосогласованно. Такой параллелизм явно не по силам классической вычислительной технике.

Впрочем, потенциальными возможностями небывалого параллелизма в обработке квантовой информации надо еще суметь воспользоваться.

Квантовые логические операции, их особенности

В классической вычислительной технике для обработки информации применяют логические операции, операндами которых являются булевы переменные, – состояния классических бистабильных элементов, которые могут принимать лишь одно из двух значений ("0" или "1"). В случае кубитов операндами являются квантовые состояния или соответствующие им векторы многомерного пространства. Поэтому и количество возможных вариантов их элементарных преобразований бесконечно возрастает. "Квантовая логика" оказалась несравненно богаче классической.

В случае одного кубита возможны все преобразования вида $$ A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow C\Psi(|1\rangle)+D\Psi(|0\rangle), $$ где $$A,B,C,D$$ – произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условию нормировки $$ |A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2=1. $$ Такие преобразования называют "унитарными".

Обращаясь к сфере Блоха (рис 8.1), можно увидеть их геометрическую интерпретацию: все унитарные преобразования соответствуют определенному повороту вектора состояния кубита. Поэтому все они могут быть сведены к комбинации лишь двух видов преобразований, один из которых соответствует повороту вектора состояния кубита по азимуту $$\varphi$$ на какой-либо угол от 0 до $$2\pi$$ (или от $$-\pi$$ до $$\pi$$), а второй – изменению угла $$\theta$$ с осью $$OZ$$.

Наиболее употребительны такие однокубитные преобразования:

тождественное: $$ A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle), $$ инверсия (отрицание): $$ A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow -B\Psi(|1\rangle)-A\Psi(|0\rangle). $$ В первом случае вектор состояния на сфере Блоха остается неподвижным, во втором – изменяется на диаметрально противоположный.

Установка (запись) "0": $$ A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow \Psi(|0\rangle), $$ установка (запись) "1": $$ A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow \Psi(|1\rangle). $$

В обоих случаях независимо от начального состояния кубит переводится в состояние "0" или "1" (вектор состояния на рис 8.1 совпадает с базисным вектором $$|0\rangle$$ или $$|1\rangle$$).

Инверсия фазы: $$ A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow -A\Psi(|1\rangle)-B\Psi(|0\rangle). $$ (вектор состояния поворачивается вокруг оси $$OZ$$ на угол $$\pi$$).

Перевод в смешанное состояние (преобразование Адамара) $$\widehat{H}$$: $$ A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\left[(A+B)\Psi(|0\rangle) + (B-A)\Psi(|1\rangle)\right]. $$ В частности, оно переводит "базовые" состояния в суперпозицию с максимальным сцеплением: $$ \widehat{H}\Psi(|1\rangle) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left[\Psi(|0\rangle)-\Psi(|1\rangle)\right];\quad \widehat{H}\Psi(|0\rangle) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left[\Psi(|0\rangle)+\Psi(|1\rangle)\right]. $$ Считывание информации из кубита классическим устройством можно описать как вероятностное унитарное преобразование $$ A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow \left\{ \begin{aligned} "\Psi(|1\rangle)\text{ с вероятностью }P(1)=|A|^2;\\ "\Psi(|0\rangle)\text{ с вероятностью }P(0)=|B|^2. \end{aligned} \right. $$

Множество квантовых логических операций над многими кубитами еще мощнее. Выполнение уже одной квантовой логической операции над одним из взаимосвязанных кубитов приводит к изменению состояния всей квантовой системы в целом. Например, операция установления одного из кубитов в "0" приведет к тому, что в суперпозиции (8.16) станут равными нулю амплитуды всех слагаемых с теми векторами состояния, в которых на соответствующем месте стоит "1". А обязательная перенормировка приведет к тому, что изменятся амплитуды и всех других слагаемых. Таким образом, логическая операция над одним из взаимосвязанных кубитов является уже многокубитной. Такой является и совокупность однокубитных операций, которые одновременно действуют на несколько взаимосвязанных кубитов.

Наиболее известной и часто употребляемой многокубитной квантовой логической операцией является "контролируемое отрицание" (Controlled-NOT), которую сокращенно обозначают $$C_{NOT}$$. В ней один из кубитов считается "управляемым" ("контролируемым"), а другие – "управляющими" ("контролирующими"). Состояние управляемого кубита меняется на противоположное лишь в том случае, если все управляющие кубиты находятся в состоянии $$|1\rangle$$. В квантовых схемах вентиль $$C_{NOT}$$ изображают так, как показано на рис 8.3,а. Некоторые управляющие кубиты могут быть активными в состоянии "0", тогда на схеме их изображают темным кружочком (рис 8.3,б).

Частным случаем является трехкубитная операция Тоффоли, которая определяется формулами $$ \widehat{T}|1,1,x\rangle=|1,1,\neg x\rangle;\quad \widehat{T}|x,y.0\rangle = |x,y,x\wedge y\rangle. $$ Т.е., если оба управляющие кубита находятся в базовом состоянии "1", а управляемый кубит – в любом состоянии, кроме "0", то состояние управляемого кубита изменяется на противоположное. Если же управляемый кубит находится в базовом состоянии "0", а управляющие – в любых базовых состояниях ("0" или "1"), то в результате преобразования управляемый кубит переходит в чистое состояние, которое является конъюнкцией состояний управляющих кубитов.

Действие вентиля Тоффоли в последнем случае изображено в виде схемы на рис 8.3,в. С его помощью можно реализовать любую классическую логическую операцию.

Одновременное применение операции Адамара к каждому кубиту квантового регистра называют операцией (или преобразованием) Уолша-Адамара. Она позволяет перевести квантовый регистр из любого базисного состояния в максимально сплетенное.

Часто употребляется также двухкубитная логическая операция SWAP обмена квантовых состояний: $$ SWAP|x,y\rangle = |y,x\rangle . $$

Одновременное считывание информации из всех кубитов квантового регистра можно описать вероятностным преобразованием $$ \Psi=\sum_{\overrightarrow{i}=|00\ldots 0\rangle}^{\overrightarrow{i}=|11\ldots 1\rangle} A_{\overrightarrow{i}}\Psi(\left|\overrightarrow{i}\right\rangle) \rightarrow \Psi(\left|\overrightarrow{i}\right\rangle) \text{ с вероятностью } P(\left|\overrightarrow{i}\right\rangle)=\left|A_{\overrightarrow{i}}\right|^2, $$ где $$\overrightarrow{i}$$ – $$n$$-разрядные двоичные коды, пробегающие все значения от $$|00\ldots 0\ldots 0\rangle$$ до $$|11\ldots 1\ldots 1\rangle$$. Квантовый регистр оказывается в базисном состоянии $$\Psi(\left|\overrightarrow{i}\right)$$.

Возможны и операции частичного считывания информации лишь с некоторых кубитов регистра. Вероятность каждого результата равняется тогда сумме квадратов амплитуд всех слагаемых, в составе которых эти кубиты находятся в соответствующих состояниях. И только эти слагаемые сохраняются в сумме, которая описывает состояние регистра в результате считывания.

Квантовые алгоритмы и квантовые вычисления, их преимущества

Как и в классических вычислениях, обработку информации путем применения квантовых логических операций можно описывать по-разному:

Оба эти подхода, как и в классической вычислительной технике, с точки зрения конечного результата обработки информации являются эквивалентными.

Доказано, что из квантовых вентилей можно построить квантовые логические схемы для вычисления любой классической функции. Считается, что для квантовых вычислений имеет силу даже "усиленный" тезис Черча–Тьюринга–Дойча, а именно: с помощью квантовых логических схем (квантовых алгоритмов) можно смоделировать любой физический процесс, ограниченный в пространстве и времени.

Обоснован ряд функционально полных наборов квантовых логических операций (вентилей).

В 1997 г. была детально разработана одна из возможных теоретических моделей универсальной квантовой машины Тьюринга [Bernstein E., Vazirani U.V. Quantum complexity theory. // Society for Industrial and APPLIED Mathematics Journal on Computing. – 1997. – v. 26, No. 5. – P. 1411-1473].

Однако серьезное внимание научного сообщества к квантовым вычислениям было привлечено лишь тогда, когда были предложены алгоритмы квантовых вычислений для задач, непосильных для мощнейших классических ЭВМ.

Первым из них был квантовый алгоритм факторизации, т.е. разложения многозначных целых чисел на простые множители, предложенный в 1994 г. П. Шором. Наиболее эффективный из известных классических алгоритмов факторизации требует для решения этой задачи количество вычислительных операций порядка $$exp(a\sqrt[3]{n})$$, где $$a$$ – константа, $$n$$ – количество десятичных знаков в разлагаемом на множители числе. Уже при $$n \geq 200$$ задача не может быть решена за разумное время даже на мощнейших многопроцессорных современных суперкомпьютерах. На этом факте основан, кстати, популярнейший ныне криптографический протокол RSA, обеспечивающий надежную защиту важной информации от посторонних лиц. Квантовый алгоритм П. Шора требует для решения этой задачи количество квантовых вычислительных операций, которое не экспоненциально, а только полиномиально зависит от $$n$$. Поэтому квантовый компьютер, в состав которого входят порядка 1000 кубитов, с тактовой частотой порядка 1 ГГц был бы способен управиться с факторизацией целых чисел длиной 200 десятичных знаков уже за несколько минут!

Алгоритм П. Шора стал настоящим открытием для вычислительной математики. Ведь оказалось, что классы сложности задач для классических и для квантовых вычислений не совпадают, что квантовые вычисления некоторых важных типов задач могут быть намного более эффективными, чем классические.

Это подтвердил и опубликованный Л. Гровером в 1996 г. алгоритм быстрого поиска в неструктурированной базе данных. В то время как классический поиск нужной записи требует в среднем $$N/2$$ операций, где $$N$$ – общее число записей, предложенный Л. Гровером квантовый алгоритм позволяет найти нужную запись приблизительно за $$\sqrt{N}$$ квантовых операций.

Эффективность алгоритмов П. Шора и Л. Гровера основана на использовании существенных преимуществ сплетенных состояний и экспоненциально возрастающего квантового параллелизма обработки информации в таких состояниях.

С тех пор разработано уже немало эффективных квантовых алгоритмов для решения таких практически важных задач, как быстрые квантовые преобразования Фурье, выявление периодичности очень сложных функций и нахождение их периодов, распознавание структур абстрактной алгебры и их функций, проверка тождественности очень сложных формул логики предикатов, вычисление и преобразование числовых матриц больших размеров, нахождение собственных значений и собственных векторов матричных операторов, решение многомерных задач дискретной оптимизации и т.п.

Квантовые вычисления значительно эффективнее, чем классические, при моделировании поведения многокомпонентных квантовых систем, – сложных молекул, химических радикалов, взаимодействий между ними, атомных ядер, других ансамблей из многих элементарных частиц, биологических мембран и т.п.

И в результате стало очевидным то, что работать над практической реализацией квантовых вычислений несомненно следует. Поэтому конец ХХ – начало ХХІ в. ознаменовались значительной активизацией исследований и разработок квантовых алгоритмов, подходов к программированию квантовых вычислений, а также путей реализации кубитов и квантовых схем.

Декогерентизация и квантовая коррекция ошибок

Эксперименты уже с первыми действующими образцами квантовых процессоров из небольшого числа кубитов выявили тот досадный факт, что отдельные кубиты и тем более группы кубитов не удается долго удерживать в "когерентном" состоянии, когда сохраняются постоянными разности фаз между волновыми функциями. Дело в том, что ни отдельный кубит, ни квантовый регистр в целом на самом деле никогда не являются полностью изолированными от окружающей среды системами. Как ни стараются экспериментаторы, им не удается полностью исключить влияние хаотического теплового движения частиц, внешних случайных электромагнитных полей, внешнего гравитационного поля, космических потоков нейтрино и других частиц, шумов физического вакуума и т.д. Квантовые логические операции тоже не выполняются абсолютно точно. Действуя нацелено на один, на два или на группу кубитов, не удается полностью устранить нежелательное, пусть и совсем незначительное, частичное влияние на соседние кубиты. Если обратиться к рис 8.1, то влияние всех этих посторонних шумовых факторов наглядно можно представить как хаотические отклонения ("дрейф") вектора состояния кубита под действием посторонних влияний от своего "идеального" положения $$OM$$.

Более того, когда кубит находится в связи со своим окружением, его состояние, строго говоря, описывается уже т.н. "матрицей плотности". В данном случае речь идет о плотности вероятности различных состояний системы "кубит – окружение". Вектор состояния кубита может иметь длину уже меньше единицы, т.е. его острие находится не обязательно на поверхности, а может располагаться и внутри сферы Блоха. Чем больше энергия взаимодействия кубита с окружением относительно его внутренней энергии, тем больше могут быть эти отклонения.

За продолжительное время вектор состояния может неконтролируемо "дрейфовать" довольно далеко. А это изменяет связь его фазы с фазами других кубитов. Имеет место постепенная потеря когерентности. А время от времени совпадение нескольких внешних влияний действует как процесс считывания: кубит скачком переходит в одно из своих базовых состояний. В случае взаимодействия ряда кубитов, особенно в сплетенных состояниях, это приводит к непредвиденному изменению состояния всего квантового регистра. И чем больше кубитов в регистре, тем чаще имеет место потеря когерентности. Это явление называют "декогерентизацией" (от англ. "decoherence"). Из-за этого в квантовых вычислениях происходят ошибки, и дальше эволюция квантового процессора становится уже неконтролируемой.

Чтобы легче понять, что такое декогерентизация, снова взгляните на рис 8.2 и вообразите себе, что под одним из поплавков промелькнула рыбка или на него случайно упал листочек, в результате чего фаза его колебаний, а может и частота, немного сбились. Ясно, что результат интерференции волн изменится, а поскольку все поплавки сплетены, то это немного повлияет и на колебания других поплавков.

К счастью, однако, оказалось, что с разрушительным влиянием декогерентизации можно успешно бороться с помощью хорошо продуманных методов кодирования, периодического контроля, своевременного выявления и квантовой коррекции ошибок.

Методы выявления и коррекции сбоев и ошибок были хорошо разработаны уже в классической вычислительной технике, где на практике доказана высокая эффективность "избыточного" кодирования, когда п бит данных специальными способами кодируются ($$n+k$$)-битным кодом. Это позволяет эффективно обнаруживать одно-, двух- и даже многобитовые ошибки и корректировать их. Подобная идея используется и в квантовом случае. Правда, квантовая коррекция ошибок оказалась намного более сложной, ведь речь идет не о битах, а о кубитах, – вместе со всеми их особенностями. Дополнительно затрудняет дело невозможность "клонирования", т.е. создания нескольких копий состояния кубитов.

Имеются, однако, и специфически квантовые преимущества. Например, уже в случае одного кубита можно считать допустимыми не все его квантовые состояния. Сферу Блоха (рис 8.1) можно разбить на отдельные участки, например, аппроксимируя ее правильным многогранником, и считать допустимыми лишь квантовые состояния, которые представлены векторами, проведенными к центру граней. Если из-за внешних влияний вектор состояния сместится за некоторое время (период контроля) из своего допустимого положения, но останется в пределах грани, то при периодическом контроле он может быть принудительно возвращен в центр грани, что позволяет поддерживать допустимое состояние кубита неизменным как угодно долго.

Эффективные методы кодирования, диагностики отклонений и их квантовой коррекции уже найдены и детально разработаны. Мы не станем здесь их объяснять, так как это – задача другого курса лекций. Укажем лишь, что найденные методы позволяют поддерживать контролируемый процесс квантовых вычислений как угодно долго, если вероятность ошибки при выполнении одной квантовой логической операции ниже определенного уровня – порядка одной ошибки на 10⁴–10⁵ квантовых операций.

Программа периодического контроля, выявления, диагностики и квантовой коррекции ошибок должна запускаться в начале квантовых вычислений и работать в фоновом режиме. Из-за необходимости избыточного кодирования значительно (иногда в несколько раз) возрастает и суммарное количество требуемых для квантовых вычислений кубитов. Но благодаря этому квантовые вычисления становятся практически возможными даже при наличии декогерентизации.

Технические требования к элементной базе квантового процессора

Функциональная схема электронного комплекса для квантовых вычислений, как это представляется сегодня, изображена на рис 8.4.

Цикл работы комплекса начинается с "инициализации" – занесения в первую часть квантового регистра через устройство 3 нужного набора начальных данных. Соответствующие кубиты переводятся при этом в заведомо заданные базовые квантовые состояния. Через устройство 4 все другие кубиты переводятся в базовое квантовое состояние "0". Дальше с помощью устройства 5 сначала выполняется преобразование Уолша-Адамара, вследствие чего квантовый регистр переходит в одно из максимально сплетенных состояний. А потом выполняется ряд предусмотренных программой квантовых операций, в ходе которых происходят целенаправленные взаимосогласованные преобразования одновременно миллиардов и миллиардов миллиардов комплексных амплитуд. Достигается такая степень параллелизма, которая "и не снилась" классическим компьютерам.

Когда преобразования заканчиваются, с помощью устройства 6 информация считывается с кубитов и передается в классический компьютер. Программой работы может быть предусмотрено также промежуточное считывание состояния лишь нескольких или даже одного из всех кубитов. По результатам промежуточного считывания выбирается одно из многих возможных продолжений программы, и цикл повторяется.

Предполагается и многоразовое повторение одной программы при разных вариантах начальных данных. Такого рода комплекс обеспечивает эффективное объединение преимуществ как классических, так и квантовых вычислений.

Элементная база практически полезного квантового процессора должна удовлетворять следующим техническим требованиям:

Возможные пути реализации кубитов

На сегодня предложены и экспериментально проверены уже десятки вариантов физической реализации кубитов. Естественными кубитами сами по себе являются ядра атомов, имеющих не нулевой полуцелый спин, в простейшем случае – спин ½. Такими являются, например, ядро водорода $$^1H$$, ядра изотопа углерода $$^{13}C$$, фтора $$^{19}F$$, фосфора $$^{31}P$$ и т.д. Во внешнем магнитном поле собственный магнитный момент таких ядер в "базовых" состояниях ориентируется в направлении силовых линий этого поля или в противоположном направлении. Измерения классическими приборами всегда дают или тот, или другой результат. Их обозначают "$$\uparrow$$" (спин вверх) и "$$\downarrow$$" (спин вниз) или $$|1\rangle$$ и $$|0\rangle$$. Хотя на самом деле ядро такого атома чаще всего находится в одном из "гибридных" состояний, которое описывается волновой функцией (8.5).

Квантовым регистром из тысяч кубитов, в принципе, могла бы быть уже небольшая нанотрубка из атомов изотопа углерода $$^{13}C$$ длиной до 10 нм. Но большой, пока что непреодолимой, проблемой является точная, нацеленная "адресация" к отдельным ядрам с целью записи и считывания их квантового состояния и для управления квантовыми логическими операциями. Такая точная адресация к отдельным атомам УНТ современной технике еще не по силам. Поэтому квантовые вычисления на ядерных спинах пробуют реализовать сейчас в других вариантах. Одним из них является использование молекул, в состав которых входят атомы разных элементов с полуцелым спином ядра (рис 8.5).

"Спиновые" кубиты на разных ядрах или даже на одинаковых ядрах, но по-разному химически связанных в молекуле, имеют разные резонансные частоты. Благодаря этому для адресной записи данных в такие кубиты, для выполнения квантовых логических операций над ними и для считывания из них информации можно использовать короткие сверхвысокочастотные радиоимпульсы разной частоты и хорошо развитые методики исследований ядерного магнитного резонанса (ЯМР). Детальнее мы рассмотрим это в следующей лекции.

На ансамблях порядка 10 таких кубитов уже экспериментально испытаны, например, квантовая телепортация, работа квантового алгоритма Гровера, квантовое преобразование Фурье и т.д. Однако число подобных спиновых кубитов с достаточно различающимися резонансными частотами практически не удается сделать больше, чем несколько десятков.

Интересным вариантом реализации кубитов является использование особенностей состояния электронов в "квантовых точках". Электроны в таких "точках" могут находиться лишь в дискретных энергетических состояниях с расстояниями между уровнями энергии порядка $$\hbar^2/(2md^2)$$, где $$d$$ – размер "квантовой точки", $$m$$ – эффективная масса электрона в ней. Наиболее низкое ("основное") состояние электрона в такой квантовой точке можно принять за $$|0\rangle$$, а ближайший возбужденный знергетический уровень с достаточно продолжительным "временем жизни" – за $$|1\rangle$$. Переходы из одного энергетического состояния в другое могут происходить путем поглощения или излучения кванта света соответствующей энергии и частоты, а взаимодействие между квантовыми точками можно организовать посредством электрического поля или через обменное "спин-спиновое" взаимодействие электронов.

Как кубиты могут быть использованы и отдельные ионы или атомы, локализованные в определенных местах с помощью специальной конфигурации системы электродов и создаваемого ими электрического поля или с помощью т.н. "оптической решетки", возникающей в результате интерференции лазерных пучков света. Если такие ионы-кубиты выстроить на небольших расстояниях в цепочку, то в ней можно возбуждать коллективные механические (ультразвуковые) колебания, которые ведут к возникновению сплетенных состояний и предоставляют возможность управлять их эволюцией. "Записывать" и "считывать" информацию с таких кубитов можно с помощью точно направленных импульсов резонансного лазерного излучения.

В качестве кубитов могут рассматриваться также и отдельные кванты электромагнитного поля – фотоны видимого или инфракрасного света, импульсы ультракоротких радиоволн, кванты акустических волн. Базовыми состояниями фотонов могут быть взаимно ортогональные направления их поляризации, противоположные фазы колебаний и т.п. Для того, чтобы локализовать фотоны и иметь возможность индивидуально адресоваться к ним, кванты электромагнитного поля "замыкают" в соответствующих оптических или сверхвысокочастотных резонаторах, волноводах, электродинамических полостях.

Разрабатываются и исследуются также много других "экзотических" вариантов, среди которых, например, разные "моды" акустических колебаний, отдельные электроны, локализованные в жидком сверхтекучем гелии, и т.п. В следующих лекциях мы ознакомим вас лишь с наиболее "продвинутыми" вариантами физической реализации квантовых процессоров.

Основные положения лекции 9

Основным элементом квантового процессора является кубит. Так же называют и соответствующую единицу квантовой информатики. Кубит, как квантовый объект, может находиться не только в двух базовых состояниях $$|0\rangle$$ и $$|1\rangle$$, но и в любом гибридном состоянии. Множество состояний кубита может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с точками сферы единичного радиуса – т.н. сферы Блоха. В наиболее распространенной интерпретации принято, что состоянию $$|0\rangle$$ соответствует южный, состоянию $$|1\rangle$$ – северный полюс сферы Блоха, а волновая функция кубита в гибридных состояниях описывается выражением $$ \Psi=\Psi(|1\rangle)e^{-i\varphi}\cos(\theta/2) + \Psi(|0\rangle)e^{i\varphi}\sin(\theta/2), $$ где $$\theta$$ и $$\varphi$$ – углы сферической системы координат, $$\Psi(|0\rangle)$$ и $$\Psi(|1\rangle)$$ – волновые функции кубита в базовых состояниях, а множители при них – это комплексные числа ("амплитуды").

В кубите "хранится" несравненно больше информации, чем один классический бит, но считать из него классическим прибором можно лишь один бит информации. Вероятности считывания "0" и "1" задаются выражением $$ P(1)=\cos^2(\theta/2);\quad P(0)=\sin^2(\theta/2). $$

Совокупность слабо связанных кубитов, в которой энергия взаимодействия между кубитами значительно меньше, чем энергия взаимодействия внутри каждого кубита, называют квантовым регистром. Состояния квантового регистра, при которых каждый кубит находится в одном из "базовых" состояний, называют "базисными" и обозначают как $$|x_1\ldots x_n\rangle$$, где каждая переменная принимает значение "0" или "1" и указывает на базовое внутреннее состояние соответствующего кубита. Квантовый регистр из $$n$$ кубитов может находиться и во многих других "смешанных" состояниях, которые образуют гильбертово пространство с размерностью $$2^n$$. Состояния квантового регистра, которые нельзя описать волновыми функциями отдельных кубитов или нескольких групп кубитов, называют "сплетенными". Оказывая влияние на один или на несколько из взаимосвязанных кубитов, находящихся в сплетенном состоянии, мы вызываем одновременное взаимосогласованное изменение $$2^n$$ комплексных чисел (амплитуд). Благодаря этому достигают невиданного в классической информатике параллелизма обработки информации, который с увеличением числа кубитов возрастает экспоненциально.

"Квантовая логика" оказалась несравненно богаче классической. Ведь операндами квантовых логических операций являются не булевы переменные (0 и 1), а квантовые состояния или соответствующие им векторы многомерного пространства. Поэтому и количество возможных вариантов даже однокубитных логических операций бесконечно возрастает. Все однокубитные логические операции имеют своей геометрической интерпретацией определенный поворот вектора состояния кубита на сфере Блоха. Все они могут быть сведены к комбинации лишь двух поворотов: на определенный угол $$\theta$$ и на определенный азимутальный угол $$\varphi$$. Наиболее употребительны следующие однокубитные логические операции: инверсия (отрицание); инверсия фазы; преобразование Адамара; запись $$\Psi(|0\rangle)$$ или $$\Psi(|1\rangle)$$.

Множество квантовых логических операций над многими кубитами еще мощнее. Выполнение уже одной квантовой логической операции над одним из взаимосвязанных кубитов приводит к изменению состояния всей квантовой системы в целом. Наиболее известной и часто употребляемой многокубитной квантовой логической операцией является "контролируемое отрицание" (Controlled-NOT, $$C_{NOT}$$). В ней один из кубитов считается "управляемым" ("контролируемым"), а другие – "управляющими" ("контролирующими"). Состояние управляемого кубита изменяется на противоположное лишь в том случае, если все управляющие кубиты находятся в базовом состоянии $$\Psi(|1\rangle)$$. Многокубитная квантовая логическая операция Уолша-Адамара переводит квантовый регистр из любого базисного состояния в максимально сплетенное. Часто употребляется также двухкубитная логическая операция обмена квантовых состояний $$SW\!\!AP |x,y\rangle=|x,y\rangle$$.

Обработку информации путем применения квантовых логических операций можно описывать по-разному: как выполнение в определенной последовательности элементарных преобразований (в этом случае говорят о квантовых алгоритмах или программах) или как последовательную обработку потока данных сетью квантовых логических вентилей или "гейтов" (тогда говорят о квантовых схемах). Оба эти подхода, как и в классической вычислительной технике, являются эквивалентными. Считается, что для квантовых вычислений действует тезис Черча-Тьюринга-Дойча: с помощью квантовых логических схем (квантовых алгоритмов) можно смоделировать любой физический процесс, ограниченный в пространстве и во времени.

Разработано уже немало эффективных квантовых алгоритмов для решения таких практически важных задач, как быстрые квантовые преобразования Фурье, факторизация 200-300-значных целых чисел, поиск в неструктурированной базе данных, преобразование числовых матриц больших размеров, нахождение собственных значений и собственных векторов матричных операторов, решение многомерных задач дискретной оптимизации и т.п. Квантовые вычисления значительно эффективнее классических при моделировании поведения многокомпонентных квантовых систем – сложных молекул, химических радикалов, взаимодействий между ними, атомных ядер, других ансамблей из многих элементарных частиц, биологических мембран и др. Во всех этих задачах используются существенные преимущества сплетенных состояний и экспоненциально возрастающий квантовый параллелизм обработки информации в таких состояниях. Поэтому конец ХХ - начало ХХІ в. ознаменовались значительной активизацией исследований и разработок квантовых алгоритмов, подходов к программированию квантовых вычислений, а также путей реализации кубитов и квантовых схем.

Эксперименты уже с первыми действующими образцами квантовых процессоров вывили тот факт, что отдельные кубиты и тем более группы кубитов не удается долго удерживать в "когерентном" состоянии. Как ни стараются экспериментаторы, им не удается полностью исключить влияние хаотических внешних воздействий. Квантовые логические операции тоже не выполняются абсолютно точно. Поэтому и наблюдается постепенная потеря когерентности. В случае взаимодействия многих кубитов, особенно в сплетенных состояниях, это приводит к непредвиденному изменению состояния всего квантового регистра. Такие явления называют "декогерентизацией". Из-за нее в квантовых вычислениях происходят ошибки, и дальше эволюция квантового процессора становится уже неконтролируемой. Однако показано, что с разрушительным влиянием декогерентизации можно успешно бороться с помощью хорошо продуманных методов избыточного кодирования, периодического контроля, своевременного выявления и квантовой коррекции ошибок. Найденные методы позволяют поддерживать контролируемый процесс квантовых вычислений как угодно долго, если вероятность ошибки при выполнении одной квантовой логической операции ниже определенного уровня – порядка одной ошибки на 10⁴–10⁵ квантовых операций.

Для эффективности использования квантовый процессор должен функционировать в комбинации с быстродействующим классическим компьютером. Элементная база квантового процессора должна удовлетворять целому ряду технических требований: не менее чем порядка 1000 кубитов; возможность надежной записи информации в значительное число кубитов и промежуточного считывания состояния некоторых кубитов; выполнение функционально полного набора квантовых логических операций; возможность считывания конечного результата из всей выходной части квантового регистра; время сохранения когерентности должно быть достаточным для выполнения по крайней мере 10⁴–10⁵ квантовых логических операций и др.

Предложены и экспериментально проверены уже десятки вариантов физической реализации кубитов. Их реализуют на основе магнитных моментов электронов и ядер атомов в постоянном магнитном поле ("спиновые кубиты"), на основе дискретных энергетических состояний электронов в "квантовых точках", ионах или атомах, локализованных в определенных местах с помощью специальной конфигурации системы электродов или с помощью т.н. "оптической решетки". Как кубиты могут рассматриваться также и отдельные кванты электромагнитного поля – фотоны видимого или инфракрасного света, импульсы ультракоротких радиоволн, разные "моды" акустических колебаний и т.п. Предложены и исследуются много вариантов и совсем "экзотических" кубитов.

Набор для практики

Вопросы для самоконтроля