В данной лекции мы рассмотрим несколько перспективных вариантов реализации квантового процессора на основе явления спинового магнитного резонанса. Именно на них в начале ХХІ в. возлагались наибольшие надежды.
Как мы уже отметили в предыдущей лекции, спин атомного ядра, электрона или другой элементарной частицы в конце ХХ в. рассматривался как один из наиболее естественных вариантов реализации кубита. Прежде, чем ознакомить вас с предложенными конструкциями квантовых процессоров на основе явления спинового магнитного резонанса, напомним вкратце сведения о поведении ядра или элементарной частицы с не нулевым спином и соответственно с не нулевым магнитным моментом во внешнем магнитном поле.
Квантово-механический анализ этого поведения показывает, что во внешнем магнитном поле каждое разрешенное (при отсутствии магнитного поля) стационарное состояние частицы со спином $$s$$ расщепляется на $$(2s+1)$$ разрешенных состояний. Строго говоря, с самого начала это не одно, а $$(2s+1)$$ разрешенных состояний с разными значениями спинового квантового числа. Но при отсутствии магнитного поля они не отличаются между собой по энергии, "вырождены". А вот при наличии внешнего магнитного поля "вырождение" снимается, и эти разные состояния уже явным образом отличаются по энергии и по ориентации магнитного момента частицы относительно этого поля.
На рис 9.1 показано расщепление разрешенного уровня энергии частицы в постоянном магнитном поле с индукцией $$\overrightarrow{B}$$ и соответствующие каждому разрешенному энергетическому уровню ориентации вектора магнитного момента относительно направления поля при нескольких разных значениях спина $$s$$.
(рис 9.1) Расщепление энергетического уровня частицы со спином в постоянном магнитном поле: 1 – расщепленные энергетические уровни; 2 – разрешенные ориентации магнитного момента относительно направления поля
При значении спина $$s=1/2$$ (рис 9.1.а) каждый разрешенный энергетический уровень расщепляется на 2 разрешенных уровня, нижнему из которых соответствует ориентация магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ частицы параллельно, а верхнему – антипараллельно вектору $$\overrightarrow{B}$$. Оба энергетических уровня отстоят от первоначального уровня $$E_0$$ на величину $$B\mu$$. Энергетическое расстояние между разрешенными уровнями
$$
\Delta E=2\mu B=2B\gamma \hbar s,
$$
где $$\gamma$$ – т.н.
При значении спина $$s=1$$ (рис 9.1.б) каждый разрешенный энергетический уровень расщепляется на 3 разрешенных энергетических уровня, которым соответствует ориентация магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ частицы параллельно, ортогонально или противоположно к вектору $$\overrightarrow{B}$$. Состоянию с ориентацией $$\overrightarrow{\mu}$$ параллельно к вектору $$\overrightarrow{B}$$ соответствует уровень энергии, лежащий ниже начального уровня $$E_0$$ на величину $$B\mu$$, состоянию с ориентацией $$\overrightarrow{\mu}$$ противоположно вектору $$\overrightarrow{B}$$ – уровень энергии, расположенный выше $$E_0$$ на такую же величину, а состоянию с ортогональной ориентацией – уровень энергии, равный $$E_0$$.
При значении спина $$s=2$$ (рис 9.1.г) каждый разрешенный энергетический уровень расщепляется на 5 разрешенных энергетических уровней с ориентацией магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ частицы параллельно или противоположно к вектору $$\overrightarrow{B}$$, ортогонально или под углами $$60^{\circ}$$ и $$120^{\circ}$$ к нему. Энергетическое расстояние между соседними разрешенными уровнями, как и в предыдущих случаях, определяется формулой (10.1).
При использовании для реализации кубита ядерных спинов, как правило, используют ядра с наименьшим полуцелым спином $$s=1/2$$. В этом случае энергетическая схема наиболее проста, и поэтому легче разобраться с квантовым поведением такого кубита.
Простейший
(рис 9.2)
В гибридных состояниях ориентация магнитного момента кубита относительно постоянного магнитного поля $$\overrightarrow{B}$$ задается двумя углами $$(\theta,\varphi)$$, которые отсчитываются от направления магнитного поля так, как принято в сферической системе координат и как было показано в ).
Квантово-механический расчет (так же, как и классический) показывает, что влияние постоянного магнитного поля $$\overrightarrow{B}$$ на магнитный момент $$\overrightarrow{\mu}$$ кубита при наличии у микрочастицы механического момента вращения ($$\hbar s$$) приводит к прецессии магнитного момента вокруг направления магнитного поля с частотой $$ f_{\textit{ПР}}=B\gamma $$ которую называют частотой "ларморовой прецессии". Это означает, что в лабораторной системе координат азимутальный угол $$\varphi$$ магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ не является фиксированным, а все время изменяется по закону $$ \varphi=\varphi_0+2\pi f_{\textit{ПР}}t. $$
Разные гибридные состояния кубита с одинаковым углом $$\theta$$ различаются начальной фазой $$\varphi_0$$.
) остается неподвижным и характеризуется парой углов $$\theta,\varphi_0$$. Это – т.н.
Кроме постоянного магнитного поля $$\overrightarrow{B}$$, которое считается продольным, на
(рис 9.3)
Если сквозь обмотки катушек $$L_{X1}$$ и $$L_{X2}$$ пропускать переменный электрический ток с частотой $$\omega$$, то в зазоре между сердечниками этих катушек создается переменное магнитное поле $$b_X(t)=b\sin(\omega t)$$ такой же частоты, ориентированное вдоль оси $$OX$$. Если пропускать переменный электрический ток с частотой $$\omega$$ сквозь обмотки катушек $$L_{Y1}$$ и $$L_{Y2}$$, то в зазоре между их сердечниками создается переменное магнитное поле $$b_Y(t)=b\cos(\omega t)$$ такой же частоты, ориентированное вдоль оси $$OY$$. Если частоты и амплитуды магнитных полей $$b_X(t)$$ и $$b_Y(t)$$ одинаковы, а сдвиг фаз между ними равен $$\pi/2$$, то в сумме они образуют магнитное поле $$\overrightarrow{b}(t)$$ с круговой поляризацией (рис 9.3 справа). Вектор магнитной индукции $$\overrightarrow{b}$$ равномерно вращается в плоскости $$OXY$$ с угловой скоростью $$\omega$$, оставаясь все время ортогональным к вектору $$\overrightarrow{B}$$ постоянного магнитного поля кубита, который направлен вдоль оси $$OZ$$. В случае резонанса, когда угловая частота $$\omega$$ поперечного магнитного поля с круговой поляризацией точно равняется угловой частоте ларморовой прецессии $$\omega_{\textit{ПР}}=2\pi f_{\textit{ПР}}$$, вектор магнитной индукции $$\overrightarrow{b}$$ вращается с такой же частотой, как и магнитный момент $$\overrightarrow{\mu}$$ кубита.
Поэтому в ПСК, вращающейся с угловой скоростью $$\omega_{\textit{ПР}}$$ вокруг оси $$OZ$$, вектор магнитной индукции $$\overrightarrow{b}$$ неподвижен. Из-за этого в ПСК вокруг вектора $$\overrightarrow{b}$$ тоже начинается дополнительная прецессия магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ с частотой
$$
f_P=b\gamma,
$$
которую называют "
На рис 9.4 слева показан случай, когда момент включения радиочастотного импульса (относительно фазы ларморовой прецессии) выбран так, чтобы в ПСК вектор магнитной индукции $$\overrightarrow{b}$$ был направлен перпендикулярно к вектору Блоха ОМ и к его проекции ON на координатную плоскость OXY.
(рис 9.4)
Направление ОМ совпадает с направлением магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$. Поскольку вектор ОМ перпендикулярен к $$\overrightarrow{b}$$, то прецессия Раби в данном случае происходит так, что конец М перемещается вдоль большого круга DMED, выделенного штриховой линией. Поэтому изменяется лишь угол $$\theta$$, азимутальный угол $$\varphi_0$$ остается в ПСК неизменным.
Если длительность импульса резонансного поперечного магнитного поля $$\overrightarrow{b}(t)$$
$$
\tau_{\pi}=\pi/\omega_P=1/(2\pi f_P)
$$
то за время его действия магнитный момент $$\overrightarrow{\mu}$$ спинового кубита повернется вокруг вектора магнитной индукции $$\overrightarrow{b}$$ точно на угол $$\pi$$. В технике ЯМР такой резонансный радиочастотный импульс называют
На рис 9.4 справа показан другой случай, когда радиочастотный импульс включается в такой момент времени, когда направление вектора $$\overrightarrow{b}$$ совпадает с направлением оси OY в ПСК. В этом случае прецессия Раби магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ в ПСК происходит так, что конец вектора перемещается вдоль малого круга ABCFA, выделенного штриховой линией. В ходе такой прецессии одновременно изменяются оба угла $$\theta,\varphi_0$$. Регулируя длительность радиочастотного импульса, можно согласованно изменить эти углы в пределах окружности ABCF.
Таким образом, квантово-механический анализ показывает, что, выбирая момент включения и продолжительность импульса резонансного поперечного магнитного поля $$\overrightarrow{b}(t)$$, можно довольно точно манипулировать ориентацией магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$, и, следовательно, состоянием спинового кубита.
Если возвратиться к квантовым логическим операциям над кубитом (лекция 9), то оказывается, что, точно подбирая моменты включения и продолжительность радиоимпульсов резонансного поперечного магнитного поля $$\overrightarrow{b}(t)$$, можно обеспечить поворот вектора Блоха на заданную величину в любом направлении, т.е. выполнить над спиновым кубитом любую заданную квантовую логическую операцию.
Легко понять, что в случае, изображенном на рис 9.4 слева, $$\pi$$-импульс приводит к инверсии квантового состояния спинового кубита, т.е. выполняет над ним квантовую логическую операцию отрицания.
Если
Уже найдены и хорошо отработаны в экспериментах стандартные последовательности радиочастотных импульсов для выполнения таких квантовых логических операций, как отрицание, инверсия фазы, преобразование Адамара и т.п.
Если частота колебаний в импульсах поперечного магнитного поля $$\overrightarrow{b}(t)$$ значительно отличается от резонансной для данного спинового кубита, то такие импульсы практически не влияют на состояние этого кубита. Они вызывают лишь незначительные по амплитуде периодические колебания на вынужденной частоте, которые прекращаются после выключения импульса. Это обстоятельство позволило, во-первых, в большинстве случаев упростить генератор поперечного магнитного поля, используя лишь одну пару катушек. Ведь магнитное поле с линейной поляризацией можно рассматривать как сумму двух полей с круговой поляризацией $$\overrightarrow{b_1}(t)$$ и $$\overrightarrow{b_2}(t)$$ одинаковой амплитуды, вращение в которых происходит в противоположных направлениях. В ПСК вектор $$\overrightarrow{b_1}$$ оказывается неподвижным, а вектор $$\overrightarrow{b_2}$$ вращается в противоположную сторону с удвоенной угловой скоростью, вследствие чего не влияет на состояние кубита.
Во-вторых, тот факт, что радиоимпульсы с частотой, которая не является резонансной, не влияют на состояние кубита, позволяет манипулировать разными кубитами независимо, если их резонансные частоты отличаются на величину, значительно превосходящую
Рассмотрение перспективных вариантов квантовых процессоров на основе ядерного магнитного резонанса мы начнем с варианта, предложенного Б. Кейном (.
(рис 9.5) Эскиз структуры ЯМР квантового процессора, предложенной Б. Кейном (B. Kane. A silicon-based nuclear spin quantum computer. // Nature. – 1998. – V. 393. – P.133)
Роль спиновых кубитов в этом квантовом процессоре играют ядра атомов стабильного изотопа фосфора $$^{31}P$$ со спином ½. Конструкционной основой процессора является пластина изотопно чистого кремния ($$^{28}Si$$), ядра атомов которого имеют нулевой спин. В естественном кремнии обычно содержится приблизительно 4,7% изотопа $$^{29}Si$$, ядра атомов которого имеют спин ½. Они могут неконтролировано взаимодействовать с кубитами, нарушая процессы квантовых преобразований. Поэтому этот нежелательный изотоп должен быть удален так, чтобы его концентрация в пластине не превышала 0,01%. Такой кремний называют "бесспиновым".
Атомы фосфора $$^{31}P$$ вводят в кремний путем ионной имплантации на заданную небольшую глубину ($$\approx 10$$ нм), располагая их (с помощью нанолитографии и маски из тяжелого металла) на одинаковых расстояниях порядка 20 нм друг от друга.
В постоянном магнитном поле с индукцией $$B = 3$$ Тл резонансная частота $$f_{\textit{ПР}}=\omega_{\textit{ПР}}/(2\pi)$$ прецессии спина ядра $$^{31}P$$ составляет порядка 100 МГц, т.е. попадает в радиодиапазон электромагнитных волн.
Четыре из 5 электронов внешней оболочки атома фосфора образуют регулярные ковалентные связи с соседними атомами кремния. Их спины попарно скомпенсированы. Внешний же, 5-й, электрон размещается на локальном примесном донорном уровне с достаточно большим радиусом атомной орбитали (АО), которая на рис 9.5 условно показана в виде круга. Его штрихованная внешняя окружность соответствует значению $$|\Psi|^2\approx 0,05$$. На самом деле АО тянется и дальше, так что АО соседних атомов фосфора слегка перекрываются.
Спиновый магнитный момент этого внешнего электрона не скомпенсирован. Он взаимодействует и с внешним магнитным полем, и с магнитным моментом ядра $$^{31}P$$, и с собственным орбитальным магнитным моментом и с магнитными моментами соседних атомов.
После имплантации атомов фосфора $$^{31}P$$ поверхность кремния оксидируют. На окисле над каждым атомом фосфора $$^{31}P$$ формируют металлический электрод A, электрически изолированный от подложки и от других электродов слоем окисла ($$SiО_2$$). Электроды A, которые расположены с таким же периодом, как и атомы фосфора, используются для индивидуального управления кубитами.
Если на электрод A подать положительный электрический потенциал, то АО 5-го электрона под действием этого потенциала несколько деформируется и смещается в сторону электрода (рис 9.6, посредине). Если же подать отрицательный потенциал, то АО смещается в противоположную сторону и еще больше деформируется (рис 9.6, справа). Из-за этого изменяется энергия взаимодействия магнитного момента ядра с магнитным моментом этого электрона, и соответственно изменяется резонансная
(рис 9.6)
Спиновый магнитный момент 5-го электрона в постоянном магнитном поле $$\overrightarrow{B}$$ тоже может быть ориентирован параллельно или антипараллельно направлению поля. Для того, чтобы все такие электроны под действием тепловых колебаний не могли неконтролировано переходить из одного состояния в другое и тем самым нарушать состояние ядерного спина, рабочая температура кристалла не должна превышать 0,1 К. При столь низких температурах донорные атомы $$^{31}P$$ всегда остаются не ионизированными, а ориентация спина их 5-го электрона может изменяться лишь при взаимодействии с резонансным электромагнитным полем.
Взаимодействие ядерных магнитных моментов с электронными приводит к тому, что спустя некоторое время и все ядерные магнитные моменты ориентируются в том же направлении, что и электронные спины. Это используют, в частности для "инициализации" квантового регистра, т.е. для перевода всех "ядерных" кубитов в базовое состояние $$|0\rangle$$.
Для выполнения квантовой логической операции над отдельным кубитом на соответствующий электрод A подают определенный потенциал и дальше с помощью последовательности радиоимпульсов с частотой, резонансной именно при этом потенциале, осуществляют нужную логическую операцию. Другие кубиты, имеющие существенно другие резонансные частоты, на эти манипуляции не откликаются. Интенсивность радиоимпульсов такова, что амплитуда вектора магнитной индукции $$\overrightarrow{b}$$ составляет лишь порядка 1 мТл (при постоянном магнитном поле 2-3 Тл).
Независимые однокубитные логические операции удается выполнять на разных частотах даже одновременно над несколькими кубитами, если подавать на соответствующие им электроды A разные потенциалы.
Для выполнения двухкубитных квантовых логических операций используют металлические электроды B, размещенные над промежутками между атомами $$^{31}P$$ (рис 9.4). Когда на такой электрод подают положительный потенциал, то внешние атомные орбитали двух соседних с ним атомов $$^{31}P$$ сдвигаются и вытягиваются в направлении к этому электроду и благодаря этому начинают значительно сильнее перекрываться. Образуется достаточно связанная система уже из 4-х спинов: двух ядерных и двух электронных. Она имеет свои резонансные частоты, зависящие от потенциала на электроде B. И с помощью соответствующей последовательности радиоимпульсов с заранее известными резонансными частотами удается выполнять над парами соседних кубитов двухкубитные логические операции "контролируемое отрицание" (Controlled-NOT), обмен квантовых состояний (SWAP) и прочие. Если подать положительные потенциалы на 2 соседних электрода B, то начинают существенно взаимодействовать между собой АО сразу трех соседних атомов $$^{31}P$$, благодаря чему, используя последовательности радиоимпульсов с соответствующими резонансными частотами, удается выполнять и трехкубитные квантовые логические операции: "контролируемое отрицание" (Controlled-NOT), операцию Тоффоли и т.д. Детальный механизм выполнения таких операций, требуемые последовательности радиочастотных импульсов мы описывать не будем, так как они довольно громоздки и интересны лишь специалистам в данной узкой области. Значительно осложняет объяснение также то, что для двухкубитных и многокубитных квантовых логических операций уже нет такой наглядной геометрической интерпретации, как поворот вектора состояния в пределах двумерной сферы Блоха.
Считывание конечного состояния спиновых кубитов на ядрах атомов фосфора $$^{31}P$$ (после завершения процесса квантовых вычислений) оказалось совсем не простой задачей. Предложено несколько путей ее решения. Большинство из них предусматривает передачу состояния основного кубита с помощью квантовой логической операции SWAP на специальный считывающий кубит, расположенный рядом. Затем с помощью электромагнитных взаимодействий спиновое состояние ядра атома передается на состояние спина внешнего электрона этого атома. И уже это состояние считывается. В одном из вариантов для этого используют одноэлектронный транзистор. Наноостровок этого измерительного одноэлектронного транзистора располагают точно над атомом фосфора $$^{31}P$$. Последний выполняет в таком случае роль затвора транзистора. Потенциал открывания транзистора при этом зависит от спинового состояния внешнего электрона атома. Поэтому, измеряя потенциал открывания, можно определить спиновое состояние электрона и, опосредованно, спиновое состояние кубита.
Вид сверху считывающих кубитов с одноэлектронными транзисторами эскизно показан на рис 9.7. Серым фоном выделен участок пластины бесспинового кремния ($$^{28}Si$$). В верхнем ряду регулярно расположены атомы фосфора $$^{31}P$$, образующие основной квантовый регистр (ОКР). Рядом с кубитами, с которых надо считывать квантовую информацию, расположены считывающие кубиты (СК). Заштрихованными прямоугольниками показаны управляющие электроды A, B, C. Электроды A показаны несколько укороченными, чтобы не закрывать изображения кубитов. На самом деле их длина такая же, как и у электродов В. Назначение этих электродов описано выше. Электрод С используют для передачи квантового состояния кубитов ОКР (в данном случае двух, расположенных справа) на состояния спинов не спаренных электронов в соответствующих считывающих кубитах (СК).
(рис 9.7) Вид сверху считывающих кубитов с одноэлектронными транзисторами: ОКР – основной квантовый регистр; СК – считывающие кубиты; А, В, С – управляющие электроды; НО – наноостровки одноэлектронных транзисторов; ЭИ и ЭС – их электроды истока и стока
Наноостровки (НО) одноэлектронных транзисторов показаны полупрозрачными для того, чтобы были видны размещенные под ними атомы $$^{31}P$$, которые и являются считывающими кубитами.
Детальный квантовый "механизм" считывания довольно сложен, и мы не будем его описывать.
ЯМР квантовый процессор, предложенный Б. Кейном, позволяет строить довольно большие квантовые регистры. Например, линейка из двух тысяч кубитов, расположенных с периодом 20 нм, имеет длину лишь 40 мкм. Положительной стороной такого квантового процессора является также и то, что все кубиты одинаковы, и в то же время с использованием электродов A и B имеется возможность индивидуально управлять каждым кубитом и небольшими группами кубитов. Ядерные спины атомов $$^{31}P$$ хорошо изолированы от окружающей среды, и при сверхнизких температурах ($$\le0,1$$ К) их квантовое состояние является достаточно стабильным.
Тем не менее в экспериментах пока что удалось без сбоев выполнять 104 и более квантовых логических операций лишь на квантовых регистрах с ограниченным количеством кубитов. Основной причиной сбоев является здесь неточность выполнения логических операций над кубитами. Управляющие потенциалы, которые подаются на электроды A и B извне, всегда пусть и очень мало, но все-таки искажаются тепловыми флуктуациями. Из-за этого расчетная частота радиоимпульсов несколько отличается от фактической резонансной частоты ЯМР кубитов. При малом расхождении частот вектор $$\overrightarrow{b}(t)$$ радиочастотного импульса уже не является неподвижным в ПСК, а медленно поворачивается, что вносит изменения в точность выполнения квантовых логических операций. Не являются абсолютно точными также длительность радиочастотных импульсов и моменты их включения. Небольшие, казалось бы, незначительные неточности быстро накапливаются при росте количества кубитов в квантовом регистре и при росте количества последовательных логических операций (т.е. при увеличении длины программы вычислений). И управиться с нарастанием декогерентизации пока что не удалось.
Сигналы от одноэлектронных транзисторов при считывании конечного состояния кубитов оказались слабыми, что предопределяет значительные погрешности считывания. Чтобы повысить надежность считывания, была предложена идея ".
(рис 9.8)
Здесь в проекции сверху показан один из участков пластины кремния, на котором видно 5 строк атомов $$^{31}P$$ по 8 атомов в каждой строке. На самом деле каждая строка довольно длинная и может состоять из 1-2 тысяч кубитов. Это – отдельный квантовый регистр. Строк тоже может быть не 5, а много тысяч. Образованные ими квантовые регистры функционируют параллельно, одинаково и независимо друг от друга. Для управления их работой, как и в варианте Б. Кейна, используют металлические электроды A и B, проложенные над одноименными кубитами сквозь весь массив. На рис 9.8 они показаны в виде заштрихованных полосок. Если, например, в ансамбле используется 10 тысяч строк, расположенных с периодом 30 нм, то на пластине кремния они занимают область шириной 0,3 мм, т.е. легко размещаются между полюсами пары катушек, с помощью которых создается поперечное магнитное поле. Большое количество параллельно функционирующих квантовых регистров значительно облегчает задачу считывания их конечного состояния. Ведь в одинаковом конечном состоянии оказываются сразу тысячи одноименных кубитов. И их состояние становится возможным измерять с помощью хорошо отработанных методов.
Параллельная работа целого ансамбля одинаковых квантовых регистров позволяет также, благодаря усреднению, уменьшить влияние многих технологических неточностей, например, некоторых незначительных технологических отклонений в расположении атомов $$^{31}P$$, в ширине управляющих электродов и т.п.
Тем не менее, управляющие потенциалы и радиоимпульсы резонансного магнитного поля, с помощью которых выполняются квантовые логические операции над кубитами, остаются общими и одинаково влияют на все аналогичные кубиты. Эти незначительные отклонения приводят к накоплению одинаковых ошибок. И параллельная работа тысяч квантовых регистров не уменьшает влияние декогерентизации.
В 2011 г. [Ju C., Suter D., Du J. An endohedral fullerene-based nuclear spin quantum computer. // Physics Letters A. – 2009. – V. 375. – P. 1441–1444] был предложен другой вариант ЯМР квантового процессора, в котором в качестве кубитов используются атомы со спином ядра $$I = ^1\!\!\!/\!_2$$, капсулированные внутри фуллерена. Такими кубитами могут быть, например, атомы изотопов азота $$^{15}N$$ или фосфора $$^{31}P$$, капсулированные внутри фуллерена $$C_{60}$$. Изолированные углеродной оболочкой от окружения, эти атомы не являются химически связанными, а являются в достаточной мере "свободными". У самой молекулы $$C_{60}$$ суммарный ядерный и суммарный электронный спин равны нулю, и поэтому молекула фуллерена не реагирует на внешнее магнитное поле.
Атомы $$^{15}N$$ и $$^{31}P$$ могут иметь лишь два значения ядерного магнитного квантового числа: $$m_1=\pm 1/2$$. А суммарный электронный спин у каждого из названных "свободных" атомов $$S=3/2$$. И поэтому магнитное квантовое число электронной оболочки такого атома может принимать 4 разных значения $$m_S=\pm 1/2;\pm 3/2$$.
Во внешнем магнитном поле основной энергетический уровень капсулированного внутри фуллерена атома расщепляется на 8 разрешенных энергетических уровней, как показано на рис 9.9.а. Штриховыми стрелками показаны разрешенные ($$\Delta m_S=\pm 1$$) электронные переходы между этими энергетическими уровнями, а пунктирными стрелками – разрешенные ядерные переходы ($$\Delta m_I=\pm 1$$).
(рис 9.9)
Во внешнем магнитном поле с индукцией $$B=1$$ Тл резонансная частота $$f_{\textit{ПР.Э}}$$ прецессии магнитного момента электронов составляет приблизительно 28 ГГц. Резонансная частота $$f_{\textit{ПР,Я}}$$ прецессии магнитного момента ядра существенно зависит от ориентации магнитного момента электронов, т.е. от значения магнитного квантового числа $$m_S$$.
Спектр ядерного магнитного резонанса для $$^{15}N@C_{60}$$ в магнитном поле с индукцией $$B=1$$ Тл показан на рис 9.9.б. Вдоль горизонтали отложена частота в мегагерцах. Как видим, ЯМР наблюдается .а пунктирными стрелками. Частота, при которой наблюдается каждый пик, является частотой прецессии магнитного момента ядра при соответствующем значении квантового числа $$m_S$$, которое написано рядом с пиком.
Спектр электронного спинового резонанса (ЕСР), показанный на рис 9.9.в, наблюдается .а штриховыми стрелками. Расстояние между ними порядка 20 МГц очень мало по сравнению с $$f_{\textit{ПР.Э}}$$. Левый пик наблюдается, когда магнитный момент ядра находится в состоянии $$m_I=-1/2$$ (ориентирован в направлении магнитного поля), правый – в состоянии $$m_I=+1/2$$ (ориентирован навстречу магнитному полю).
, вверху). Внешнее постоянное однородное магнитное поле ориентировано вдоль вертикали.
(рис 9.10)
Кроме однородного, создается также постоянное градиентное магнитное поле $$B_{\text{ГР}}$$. Характер зависимости магнитной индукции в нем от координаты показан на рис 9.10 внизу. На каждый кубит действует свое по величине дополнительное магнитное поле. И согласно формуле (10.3) каждый кубит имеет свою частоту электронного спинового резонанса. Величина градиента магнитного поля подобрана так, чтобы резонансные частоты соседних кубитов отличались на величину (порядка 40 МГц), достаточную для того, чтобы состоянием каждого кубита можно было манипулировать независимо.
Квантовое состояние каждого кубита определяется пространственной ориентацией магнитного момента ядра. За базовое состояние $$|0\rangle$$ принимается ориентация в направлении магнитного поля ($$m_I=-1/2$$), а за базовое состояние $$|1\rangle$$ – ориентация против направления магнитного поля ($$m_I=+1/2$$). Кроме квантового состояния различают еще 2 режима работы кубитов – пассивный и активный. .б). При низких температурах обычно $$m_S = –3/2$$, и все кубиты находятся в пассивном режиме.
Если надо выполнить однокубитную квантовую логическую операцию над $$і$$-м кубитом, то сначала этот кубит переводят в активный режим. Для этого используют микроволновый $$\pi$$-импульс на частоте $$f_{\textit{ПР.Э}}$$, которая соответствует значению магнитного поля $$В_і$$ в точке расположения этого кубита. Другие кубиты на этот импульс не откликаются, так как имеют другую резонансную частоту ЭСР. После действия этого микроволнового импульса электронный спин поворачивается на угол $$\pi$$, и значение $$m_S$$ изменяется с (–3/2) на (+3/2). Время надежного пребывания электронного спина в таком состоянии уже при температуре 5 К превышает 1 с, а при более низких температурах становится еще более длительным. В активном режиме с помощью импульсов поперечного магнитного поля на частоте $$f_{3/2}$$ (рис 9.9.б) можно выполнить любые квантовые логические операции над магнитным моментом ядра, как было описано в предыдущих подразделах. Другие кубиты на такие радиоимпульсы не реагируют, так как находятся в пассивном режиме и имеют существенно другую резонансную частоту. После завершения квантовых логических операций над магнитным моментом ядра с помощью еще одного микроволнового $$\pi$$-импульса электронный спин еще раз поворачивают на угол $$\pi$$, и значение $$m_S$$ изменяется с (+3/2) на (–3/2), благодаря чему кубит возвращается в пассивный режим. Дальше таким же образом можно выполнять квантовые логические операции над следующим кубитом.
Для выполнения двухкубитных квантовых логических операций используют взаимодействие электронных магнитных моментов соседних кубитов. Именно для этого и было выбрано столь малое расстояние между кубитами (3,5 нм). Детальный механизм выполнения таких операций является многостадийным и довольно громоздким. Поэтому описывать его во всех деталях мы не будем. Раскроем лишь его физическую суть. Она заключается в том, что сначала первый кубит переводится в активный режим. Квантовое состояние $$|I1\rangle$$ магнитного момента его ядра передается в состояние $$|S1\rangle$$ его электронного магнитного момента. Затем и второй кубит переводится в активный режим. В результате взаимодействия электронных магнитных моментов квантовое состояние $$|S1\rangle$$ передается на квантовое состояние $$|S2\rangle$$ электронного магнитного момента второго кубита. Далее с помощью соответствующих радиочастотных и микроволновых импульсов выполняется требуемая двухкубитная логическая операция над квантовыми состояниями $$|S2\rangle$$ и $$|I2\rangle$$ (это – квантовое состояние ядерного магнитного момента 2-го кубита). Образующееся в результате квантовое состояние $$|S2\rangle$$ передается в квантовое состояние $$|S1\rangle$$, а из него – в квантовое состояние $$|I1\rangle$$. И в завершение оба кубита возвращаются в пассивный режим. Разработаны детальные последовательности манипуляций, требуемых для выполнения всех основных двухкубитных квантовых логических операций. Разрабатываются последовательности манипуляций, требуемых для выполнения некоторых трехкубитных и многокубитных квантовых логических операций.
Несомненными преимуществами этого варианта ЯМР квантового процессора являются его "молекулярно малые" размеры и то, что здесь удалось обойтись совсем без управляющих электродов. Ядерные магнитные моменты хорошо изолированы молекулами фуллерена от многих посторонних влияний. Однако за отсутствие электродов здесь приходится расплачиваться заметным увеличением числа манипуляций (микроопераций, т.е. микроволновых и радиоимпульсов), требуемых для выполнения квантовых логических операций. А это приводит к более быстрому накоплению отклонений в состоянии кубитов, обусловленных неточностью выполнения отдельных манипуляций, т.е. к росту скорости декогерентизации. Пока еще не решенной в этом варианте проблемой остается и считывание конечного состояния кубитов – из-за их малости и близости друг к другу.
Из-за сравнительно низкой частоты прецессии ядерных спинов (порядка 100 МГц) и соответственно малой
Структура одного из предложенных квантовых процессоров на основе ЭСР показана в сечении на рис 9.11. На подложке из кремния ($$Si$$) с кристаллографической ориентацией <001> методом молекулярно-лучевой эпитаксии наращивают следующие монокристаллические слои толщиной по 10-20 нм: сначала переходной (буферный) слой $$Si-Ge$$, потом слой $$Si_{0,4}Ge_{0,6}$$.
Задачей буферного слоя (Буф) является постепенное наращивание концентрации германия и минимизация механического напряжения, которое возникает вследствие изменения периода кристаллической решетки при возрастании доли германия в твердом растворе $$Si-Ge$$. В слое $$Si_{0,4}Ge_{0,6}$$, который называют D1-слоем, формируют полевые транзисторы (ПТ), которые в дальнейшем будут использованы для считывания состояния электронного спина. Каналы проводимости этих транзисторов проходят перпендикулярно к плоскости рисунка.
Дальше наращивают B-слой с составом $$Si_{0,23}Ge_{0,77}$$ и D2-слой с составом $$Si_{0,4}Ge_{0,6}$$. В последний методом ионной имплантации вводят донорные атомы фосфора $$^{31}P$$ так, чтобы они были размещены точно над каналами транзисторов ПТ. Затем эпитаксиально наращивают T-слой с составом $$Si_{0,15}Ge_{0,85}$$ и снова B-слой с составом $$Si_{0,23}Ge_{0,77}$$. В завершение наращивают слой германия ($$Ge$$), на котором формируют управляющие электроды Эл – точно над атомами $$^{31}P$$.
(рис 9.11) Структура полупроводникового квантового процесора на основе ЭСР, предложенная Ди Винченцо и др. (D. Di Vincenzo et аl. Electron-spin-resonance transistors for quantum computing in silicon-germanium heterostructures. // Phys. Rev. A. – 2000. – V. 62. – 012306). Справа – положение дна зоны проводимости в разных слоях гетероэпитаксиальной структуры: П – потенциальная яма ("ловушка") для электронов
Как и в кристалле кремния, 4 внешних электрона атомов фосфора $$^{31}P$$ образуют здесь ковалентные химические связи с соседними атомами кремния или германия. Их спины взаимно скомпенсированы. А спиновый магнитный момент 5-го внешнего электрона как раз и играет здесь роль кубита. (В отличие от кубитов на магнитном моменте ядра атома $$^{31}P$$).
Радиус атомной орбитали (АО) этого электрона в твердом растворе $$Si_{0,4}Ge_{0,6}$$ намного превышает размеры его АО в чистом кремнии, и поэтому атомы фосфора $$^{31}P$$ (т.е. спиновые кубиты) могут взаимодействовать и располагаться на значительно больших расстояниях друг от друга – вплоть до 200 нм. Это существенно упрощает требования к нанолитографическим процессам изготовления структуры. При периоде расположения 100 нм квантовый регистр из 2000 кубитов имеет длину приблизительно 0,2 мм.
Последовательность наращиваемых слоев B, D2, T и B специально выбрана так, чтобы обеспечить выполнение двух важных требований. Одно из них – сделать так, чтобы донорные электроны кубитов оказались в потенциальной яме – "ловушке", не позволяющей им перемещаться по вертикали за границы B-слоев. Именно при таком составе, как в B-слоях ($$Si_{0,23}Ge_{0,77}$$), дно зоны проводимости располагается выше всего. Соответствующая энергетическая диаграмма показана на рис 9.11 справа. Энергия, соответствующая положению дна зоны проводимости, отложена здесь вдоль оси абсцисс. А вдоль оси ординат (сверху вниз) отложена координата. Пунктирными линиями показано соответствие значений координаты и гетероэпитаксиальных слоев. Видно, что B-слои в такой гетероструктуре и в самом деле образуют потенциальные барьеры для электронов. При толщине свыше 20 нм их высота, составляющая около 20 мэВ, является непреодолимой для электронов при температуре ниже 1 К. Образованная потенциальная "ловушка" на рис 9.11 справа обозначена буквой П.
Вторым важным требованием является то, чтобы изменения электрического потенциала на управляющем электроде (Эл) позволяли существенно влиять на резонансную частоту соответствующего кубита. Используется тот известный из экспериментов факт, что при переходе от D2-слоя с составом $$Si_{0,4}Ge_{0,6}$$ к механически более напряженному T-слою с другим составом ($$Si_{0,15}Ge_{0,85}$$) значительно – от 1,995 до 1,563 – изменяется т.н. $$g$$-фактор, определяющий величину гиромагнитного отношения $$\gamma$$ для электронов. А согласно формуле (9.3) можно изменять и частоту прецессии спинового магнитного момента электрона.
Когда на управляющий электрод Эл подается положительный электрический потенциал, под его влиянием атомная орбиталь внешнего электрона соответствующего кубита деформируется и смещается из D2-слоя в T-слой, вследствие чего изменяется резонансная частота его прецессии в магнитном поле. Зависимость резонансной частоты от потенциала $$U$$ на управляющем электроде для одной из экспериментальных конструкций квантового процессора в магнитном поле с индукцией 2 Тл показана на рис 9.12.
(рис 9.12) Характер зависимости частоты ЭСР от потенциала на управляющем электроде
Здесь выделяются 3 области значений потенциала:
область 1 – малые (а также отрицательные) значения, при которых АО внешнего электрона сосредоточена в основном в D2-слое структуры, где фактор $$g$$ = 1,995, и поэтому резонансная частота практически не изменяется;
область 2 – относительно малых значений потенциала, при котором АО внешнего электрона уже заметно смещается в T-слой, вследствие чего резонансная частота существенно зависит от потенциала; и
область 3 – область насыщения, когда приложенный потенциал уже таков, что АО внешнего электрона практически целиком смещена в T-слой, дальнейшему ее смещению в направлении электрода мешает барьерный B-слой, и поэтому резонансная частота практически тоже не зависит от потенциала.
Для ) подают потенциал со значением внутри области 2 (рис 9.12). А дальше с помощью последовательности радиоимпульсов с частотой, резонансной именно при этом потенциале, выполняют нужную логическую операцию. Другие кубиты, имеющие существенно другие резонансные частоты, на эти радиочастотные манипуляции не откликаются. Независимые однокубитные логические операции, как и в случае ЯМР квантового процессора, удается выполнять на разных частотах одновременно над несколькими кубитами, если подать на соответствующие им управляющие электроды разные потенциалы внутри области 2.
Для выполнения двухкубитных квантовых логических операций на металлические электроды Эл над двумя соседними атомами $$^{31}P$$ подают электрический потенциал из области 3. Атомные орбитали внешних электронов обоих атомов практически целиком смещаются в T-слой и значительно расширяются по сравнению с их размерами в D2-слое, – из-за значительного уменьшения энергии их электростатического взаимодействия с остовами атомов $$^{31}P$$. Благодаря этому соседние АО намного сильнее перекрываются, образуется достаточно связанная система из двух электронных спинов, которая имеет свои резонансные частоты. И с помощью соответствующей последовательности микроволновых импульсов с заведомо известными резонансными частотами над парами соседних кубитов выполняют заданные двухкубитные логические операции (Controlled-NOT, SWAP и прочие). Если подать положительные потенциалы на три соседних электрода Эл, то начинают существенно взаимодействовать между собой внешние АО сразу трех соседних атомов $$^{31}P$$, благодаря чему, используя последовательности микроволновых импульсов с соответствующими резонансными частотами, можно выполнять и трехкубитные квантовые логические операции (CNOT, операцию Тоффоли и т.п.).
). Канал проводимости такого транзистора, размещенный точно под атомом $$^{31}P$$, хорошо ощущает зарядовое состояние этого атома. Для считывания квантовое состояние магнитного спинового момента электрона с помощью манипуляций с потенциалом и радиочастотными импульсами передают на зарядовое состояние атома, что и фиксируется на выходе полевого транзистора. И хотя изменения электрического тока сквозь такой транзистор незначительны и составляют лишь порядка 1 нА, при температуре ниже 1 К этого достаточно для надежного считывания.
Описанный квантовый процессор на основе электронного спинового резонанса имеет следующие преимущества над полупроводниковыми ЯМР квантовыми процессорами:
Однако и в этом варианте спинового квантового процессора пока что не удалось преодолеть декогерентизацию настолько, чтобы в квантовом регистре, состоящем из многих сотен кубитов, достигалось безошибочное выполнение 104–105 квантовых логических операций.
Во внешнем магнитном поле с индукцией $$B$$ разрешенное стационарное состояние частицы со спином $$s$$ расщепляется на $$(2s+1)$$ разрешенных состояний. Энергетическое расстояние между разрешенными уровнями энергии $$\Delta E=2\mu B$$, где $$\mu$$ – магнитный момент частицы. Из-за наличия у частицы, кроме магнитного, еще и механического момента вращения ($$\hbar s$$) имеет место прецессия обеих моментов вокруг направления магнитного поля с частотой $$f_{\textit{ПР}}=B\gamma$$, где $$\gamma$$ – гиромагнитное отношение. Если перейти в подвижную систему координат (ПСК), вращающуюся вокруг направления магнитного поля $$B$$ с частотой прецессии, то в ней вектор состояния кубита является неподвижным.
Кроме постоянного магнитного поля $$\overrightarrow{B}$$ на спиновый кубит можно подействовать переменным поперечным магнитным полем $$\overrightarrow{b}(t)$$, вектор индукции которого вращается вокруг $$\overrightarrow{B}$$ с частотой прецессии. В ПСК этот вектор тоже является неподвижным и вызывает дополнительную прецессию магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ вокруг вектора $$\overrightarrow{b}$$ с частотой Раби $$f_P=b\gamma$$, которая намного меньше, чем $$f_{\textit{ПР}}$$. Регулируя момент включения и длительность импульса резонансного поперечного магнитного поля $$\overrightarrow{b}(t)$$, можно довольно точно манипулировать ориентацией магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$, а, следовательно, и квантовым состоянием спинового кубита, т.е. выполнять над ним все требуемые квантовые логические операции.
Когда частота радиочастотного импульса поперечного магнитного поля $$\overrightarrow{b}(t)$$ значительно отличается от резонансной для данного спинового кубита, то такие импульсы практически не влияют на состояние этого кубита. Это позволяет манипулировать разными кубитами независимо, если их резонансные частоты заметно отличаются.
В квантовом процессоре, предложенном Б. Кейном, роль спиновых кубитов играют ядра атомов фосфора $$^{31}P$$ со спином ½. Основой процессора является пластина изотопно чистого кремния ($$^{28}Si$$). Четыре из 5 электронов внешней оболочки атома фосфора $$^{31}P$$ образуют ковалентные связи с соседними атомами кремния. Их спины попарно скомпенсированы. Внешний, 5-й, электрон образует локальный примесный донорный уровень с достаточно большим радиусом атомной орбитали (АО). Спиновый магнитный момент этого электрона взаимодействует и с магнитным моментом ядра $$^{31}P$$, и с собственным орбитальным магнитным моментом, и с внешним магнитным полем, и с соседними кубитами (атомами фосфора $$^{31}P$$). Над каждым кубитом формируют металлический электрод A, электрически изолированный слоем окисла. Для выполнения квантовой логической операции над кубитом на соответствующий электрод A подают определенный потенциал, смещающий и деформирующий АО внешнего электрона. Из-за этого изменяется энергия взаимодействия магнитного момента ядра с магнитным моментом электрона, и соответственно изменяется резонансная частота прецессии спина ядра $$^{31}P$$. И дальше с помощью последовательности радиоимпульсов с частотой, резонансной именно при этом потенциале, выполняют нужную логическую операцию. Другие кубиты, имеющие существенно другие резонансные частоты, на эти манипуляции не откликаются. Для выполнения двухкубитных квантовых логических операций используют металлические электроды B, размещенные над промежутками между кубитами.
ЯМР квантовый процессор, предложенный Б. Кейном, теоретически позволяет реализовать квантовые регистры из тысяч кубитов, обеспечивая при этом возможность индивидуально управлять каждым кубитом и небольшими группами кубитов.
Однако при считывании конечного состояния кубитов сигналы оказались довольно таки слабыми, что предопределяет значительные погрешности считывания. Чтобы повысить надежность считывания, предложена идея использования "ансамблевого" ЯМР квантового процессора. При этом на пластине бесспинового кремния создается много рядов спиновых кубитов – целый ансамбль квантовых регистров. Благодаря тысячам параллельно функционирующих квантовых регистров их конечное состояние становится возможным считывать с помощью хорошо отработанных методов. Параллельная работа ансамбля одинаковых квантовых регистров уменьшает также влияние многих технологических неточностей (незначительных технологических отклонений в расположении атомов $$^{31}P$$, в ширине управляющих электродов и т.п.).
Интересен вариант ЯМР квантового процессора, в котором в качестве кубитов используют атомы со спином ядра $$I = ^1\!\!\!/\!_2$$, капсулированные внутри фуллерена. Атомы изотопов $$^{15}N$$ или $$^{31}P$$, капсулированные внутри фуллерена $$C_{60}$$, могут иметь лишь два значения ядерного магнитного квантового числа $$m_I=\pm 1/2$$. Суммарный электронный спин у них $$S=3/2$$, и поэтому магнитное квантовое число электронной оболочки такого атома может принимать 4 разные значения $$m_S=\pm 1/2; \pm 3/2$$. Во внешнем магнитном поле основной энергетический уровень такого кубита расщепляется на 8 разрешенных энергетических уровней. Резонансные переходы между этими уровнями под действием микроволновых и радиоимпульсов и используют для установки нужного состояния кубитов, для выполнения квантовых логических операций и для считывания конечного состояния. Квантовый регистр состоит из цепи молекул $$^{15}N@C_{60}$$ или $$^{31}P@C_{60}$$, иммобилизованных на диэлектрической подложке и выстроенных в одну линию с периодом расположения 3,5 нм. Кроме постоянного однородного создается также градиентное магнитное поле, благодаря которому на каждый кубит действует свое по величине дополнительное магнитное поле. И поэтому каждый кубит имеет свою частоту электронного спинового резонанса, что позволяет адресно изменять состояние каждого кубита. Для выполнения двухкубитных квантовых логических операций используют взаимодействие электронных магнитных моментов соседних кубитов. Преимуществами этого варианта ЯМР квантового процессора являются его "молекулярно малые" размеры и то, что здесь удалось обойтись без управляющих электродов. Однако проблема считывания конечного состояния кубитов остается пока не решенной.
Из-за относительно низкой частоты прецессии ядерных спинов (порядка 100 МГц) и соответственно малой частоты Раби квантовый процессор на ЯМР работает относительно медленно. В отличие от этого частота прецессии в условиях электронного спинового резонанса (ЭСР) в магнитных полях порядка 2-3 Тл в сотни раз выше (50-100 ГГц). Поэтому и квантовые логические операции на электронных спиновых кубитах выполняются намного быстрее. В одном из предложенных квантовых процессоров на основе ЭСР в качестве кубита используется магнитный момент внешнего ("донорного") электрона атома $$^{31}P$$. Такие атомы размещаются в слое с составом $$Si_{0,4}Ge_{0,6}$$ многослойной гетероструктуры, которую формируют так, чтобы обеспечить выполнение двух важных требований. Одно из них – сделать так, чтобы донорные электроны кубитов оказались в "потенциальной яме", не позволяющей им перемещаться по вертикали за границы барьерных слоев. Второе требование заключается в том, чтобы изменения электрического потенциала на управляющем электроде позволяли существенно влиять на резонансную частоту соответствующего кубита. Благодаря этому появляется возможность селективно выполнять квантовые логические операции над каждым из сотен отдельных кубитов, а также 2- и 3-кубитные логические операции. Для считывания состояния кубитов после окончания квантовых вычислений в одном из гетероэпитаксиальных слоев под кубитами формируют полевые транзисторы с каналом проводимости, размещенным точно под атомом $$^{31}P$$. Квантовый процессор на основе ЭСР имеет такие преимущества над ЯМР полупроводниковыми квантовыми процессорами: квантовые логические операции выполняются в сотни раз быстрее; не требуется изотопная очистка полупроводника; достаточна лишь одна система управляющих электродов; упрощается процесс считывания информации при завершении квантовых вычислений.
К сожалению, во всех вариантах спинового квантового процессора пока что не удалось преодолеть декогерентизацию настолько, чтобы в регистре из тысячи кубитов достигалось безошибочное выполнение требуемых 104–105 квантовых операций. Этого удается достичь пока что лишь на квантовых регистрах с ограниченным числом кубитов.
В данной лекции мы рассмотрим несколько перспективных вариантов реализации квантового процессора на основе явления спинового магнитного резонанса. Именно на них в начале ХХІ в. возлагались наибольшие надежды.
Как мы уже отметили в предыдущей лекции, спин атомного ядра, электрона или другой элементарной частицы в конце ХХ в. рассматривался как один из наиболее естественных вариантов реализации кубита. Прежде, чем ознакомить вас с предложенными конструкциями квантовых процессоров на основе явления спинового магнитного резонанса, напомним вкратце сведения о поведении ядра или элементарной частицы с не нулевым спином и соответственно с не нулевым магнитным моментом во внешнем магнитном поле.
Квантово-механический анализ этого поведения показывает, что во внешнем магнитном поле каждое разрешенное (при отсутствии магнитного поля) стационарное состояние частицы со спином $$s$$ расщепляется на $$(2s+1)$$ разрешенных состояний. Строго говоря, с самого начала это не одно, а $$(2s+1)$$ разрешенных состояний с разными значениями спинового квантового числа. Но при отсутствии магнитного поля они не отличаются между собой по энергии, "вырождены". А вот при наличии внешнего магнитного поля "вырождение" снимается, и эти разные состояния уже явным образом отличаются по энергии и по ориентации магнитного момента частицы относительно этого поля.
На рис 9.1 показано расщепление разрешенного уровня энергии частицы в постоянном магнитном поле с индукцией $$\overrightarrow{B}$$ и соответствующие каждому разрешенному энергетическому уровню ориентации вектора магнитного момента относительно направления поля при нескольких разных значениях спина $$s$$.
(рис 9.1) Расщепление энергетического уровня частицы со спином в постоянном магнитном поле: 1 – расщепленные энергетические уровни; 2 – разрешенные ориентации магнитного момента относительно направления поля
При значении спина $$s=1/2$$ (рис 9.1.а) каждый разрешенный энергетический уровень расщепляется на 2 разрешенных уровня, нижнему из которых соответствует ориентация магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ частицы параллельно, а верхнему – антипараллельно вектору $$\overrightarrow{B}$$. Оба энергетических уровня отстоят от первоначального уровня $$E_0$$ на величину $$B\mu$$. Энергетическое расстояние между разрешенными уровнями
$$
\Delta E=2\mu B=2B\gamma \hbar s,
$$
где $$\gamma$$ – т.н.
При значении спина $$s=1$$ (рис 9.1.б) каждый разрешенный энергетический уровень расщепляется на 3 разрешенных энергетических уровня, которым соответствует ориентация магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ частицы параллельно, ортогонально или противоположно к вектору $$\overrightarrow{B}$$. Состоянию с ориентацией $$\overrightarrow{\mu}$$ параллельно к вектору $$\overrightarrow{B}$$ соответствует уровень энергии, лежащий ниже начального уровня $$E_0$$ на величину $$B\mu$$, состоянию с ориентацией $$\overrightarrow{\mu}$$ противоположно вектору $$\overrightarrow{B}$$ – уровень энергии, расположенный выше $$E_0$$ на такую же величину, а состоянию с ортогональной ориентацией – уровень энергии, равный $$E_0$$.
При значении спина $$s=2$$ (рис 9.1.г) каждый разрешенный энергетический уровень расщепляется на 5 разрешенных энергетических уровней с ориентацией магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ частицы параллельно или противоположно к вектору $$\overrightarrow{B}$$, ортогонально или под углами $$60^{\circ}$$ и $$120^{\circ}$$ к нему. Энергетическое расстояние между соседними разрешенными уровнями, как и в предыдущих случаях, определяется формулой (10.1).
При использовании для реализации кубита ядерных спинов, как правило, используют ядра с наименьшим полуцелым спином $$s=1/2$$. В этом случае энергетическая схема наиболее проста, и поэтому легче разобраться с квантовым поведением такого кубита.
Простейший
(рис 9.2)
В гибридных состояниях ориентация магнитного момента кубита относительно постоянного магнитного поля $$\overrightarrow{B}$$ задается двумя углами $$(\theta,\varphi)$$, которые отсчитываются от направления магнитного поля так, как принято в сферической системе координат и как было показано в ).
Квантово-механический расчет (так же, как и классический) показывает, что влияние постоянного магнитного поля $$\overrightarrow{B}$$ на магнитный момент $$\overrightarrow{\mu}$$ кубита при наличии у микрочастицы механического момента вращения ($$\hbar s$$) приводит к прецессии магнитного момента вокруг направления магнитного поля с частотой $$ f_{\textit{ПР}}=B\gamma $$ которую называют частотой "ларморовой прецессии". Это означает, что в лабораторной системе координат азимутальный угол $$\varphi$$ магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ не является фиксированным, а все время изменяется по закону $$ \varphi=\varphi_0+2\pi f_{\textit{ПР}}t. $$
Разные гибридные состояния кубита с одинаковым углом $$\theta$$ различаются начальной фазой $$\varphi_0$$.
) остается неподвижным и характеризуется парой углов $$\theta,\varphi_0$$. Это – т.н.
Кроме постоянного магнитного поля $$\overrightarrow{B}$$, которое считается продольным, на
(рис 9.3)
Если сквозь обмотки катушек $$L_{X1}$$ и $$L_{X2}$$ пропускать переменный электрический ток с частотой $$\omega$$, то в зазоре между сердечниками этих катушек создается переменное магнитное поле $$b_X(t)=b\sin(\omega t)$$ такой же частоты, ориентированное вдоль оси $$OX$$. Если пропускать переменный электрический ток с частотой $$\omega$$ сквозь обмотки катушек $$L_{Y1}$$ и $$L_{Y2}$$, то в зазоре между их сердечниками создается переменное магнитное поле $$b_Y(t)=b\cos(\omega t)$$ такой же частоты, ориентированное вдоль оси $$OY$$. Если частоты и амплитуды магнитных полей $$b_X(t)$$ и $$b_Y(t)$$ одинаковы, а сдвиг фаз между ними равен $$\pi/2$$, то в сумме они образуют магнитное поле $$\overrightarrow{b}(t)$$ с круговой поляризацией (рис 9.3 справа). Вектор магнитной индукции $$\overrightarrow{b}$$ равномерно вращается в плоскости $$OXY$$ с угловой скоростью $$\omega$$, оставаясь все время ортогональным к вектору $$\overrightarrow{B}$$ постоянного магнитного поля кубита, который направлен вдоль оси $$OZ$$. В случае резонанса, когда угловая частота $$\omega$$ поперечного магнитного поля с круговой поляризацией точно равняется угловой частоте ларморовой прецессии $$\omega_{\textit{ПР}}=2\pi f_{\textit{ПР}}$$, вектор магнитной индукции $$\overrightarrow{b}$$ вращается с такой же частотой, как и магнитный момент $$\overrightarrow{\mu}$$ кубита.
Поэтому в ПСК, вращающейся с угловой скоростью $$\omega_{\textit{ПР}}$$ вокруг оси $$OZ$$, вектор магнитной индукции $$\overrightarrow{b}$$ неподвижен. Из-за этого в ПСК вокруг вектора $$\overrightarrow{b}$$ тоже начинается дополнительная прецессия магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ с частотой
$$
f_P=b\gamma,
$$
которую называют "
На рис 9.4 слева показан случай, когда момент включения радиочастотного импульса (относительно фазы ларморовой прецессии) выбран так, чтобы в ПСК вектор магнитной индукции $$\overrightarrow{b}$$ был направлен перпендикулярно к вектору Блоха ОМ и к его проекции ON на координатную плоскость OXY.
(рис 9.4)
Направление ОМ совпадает с направлением магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$. Поскольку вектор ОМ перпендикулярен к $$\overrightarrow{b}$$, то прецессия Раби в данном случае происходит так, что конец М перемещается вдоль большого круга DMED, выделенного штриховой линией. Поэтому изменяется лишь угол $$\theta$$, азимутальный угол $$\varphi_0$$ остается в ПСК неизменным.
Если длительность импульса резонансного поперечного магнитного поля $$\overrightarrow{b}(t)$$
$$
\tau_{\pi}=\pi/\omega_P=1/(2\pi f_P)
$$
то за время его действия магнитный момент $$\overrightarrow{\mu}$$ спинового кубита повернется вокруг вектора магнитной индукции $$\overrightarrow{b}$$ точно на угол $$\pi$$. В технике ЯМР такой резонансный радиочастотный импульс называют
На рис 9.4 справа показан другой случай, когда радиочастотный импульс включается в такой момент времени, когда направление вектора $$\overrightarrow{b}$$ совпадает с направлением оси OY в ПСК. В этом случае прецессия Раби магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ в ПСК происходит так, что конец вектора перемещается вдоль малого круга ABCFA, выделенного штриховой линией. В ходе такой прецессии одновременно изменяются оба угла $$\theta,\varphi_0$$. Регулируя длительность радиочастотного импульса, можно согласованно изменить эти углы в пределах окружности ABCF.
Таким образом, квантово-механический анализ показывает, что, выбирая момент включения и продолжительность импульса резонансного поперечного магнитного поля $$\overrightarrow{b}(t)$$, можно довольно точно манипулировать ориентацией магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$, и, следовательно, состоянием спинового кубита.
Если возвратиться к квантовым логическим операциям над кубитом (лекция 9), то оказывается, что, точно подбирая моменты включения и продолжительность радиоимпульсов резонансного поперечного магнитного поля $$\overrightarrow{b}(t)$$, можно обеспечить поворот вектора Блоха на заданную величину в любом направлении, т.е. выполнить над спиновым кубитом любую заданную квантовую логическую операцию.
Легко понять, что в случае, изображенном на рис 9.4 слева, $$\pi$$-импульс приводит к инверсии квантового состояния спинового кубита, т.е. выполняет над ним квантовую логическую операцию отрицания.
Если
Уже найдены и хорошо отработаны в экспериментах стандартные последовательности радиочастотных импульсов для выполнения таких квантовых логических операций, как отрицание, инверсия фазы, преобразование Адамара и т.п.
Если частота колебаний в импульсах поперечного магнитного поля $$\overrightarrow{b}(t)$$ значительно отличается от резонансной для данного спинового кубита, то такие импульсы практически не влияют на состояние этого кубита. Они вызывают лишь незначительные по амплитуде периодические колебания на вынужденной частоте, которые прекращаются после выключения импульса. Это обстоятельство позволило, во-первых, в большинстве случаев упростить генератор поперечного магнитного поля, используя лишь одну пару катушек. Ведь магнитное поле с линейной поляризацией можно рассматривать как сумму двух полей с круговой поляризацией $$\overrightarrow{b_1}(t)$$ и $$\overrightarrow{b_2}(t)$$ одинаковой амплитуды, вращение в которых происходит в противоположных направлениях. В ПСК вектор $$\overrightarrow{b_1}$$ оказывается неподвижным, а вектор $$\overrightarrow{b_2}$$ вращается в противоположную сторону с удвоенной угловой скоростью, вследствие чего не влияет на состояние кубита.
Во-вторых, тот факт, что радиоимпульсы с частотой, которая не является резонансной, не влияют на состояние кубита, позволяет манипулировать разными кубитами независимо, если их резонансные частоты отличаются на величину, значительно превосходящую
Рассмотрение перспективных вариантов квантовых процессоров на основе ядерного магнитного резонанса мы начнем с варианта, предложенного Б. Кейном (.
(рис 9.5) Эскиз структуры ЯМР квантового процессора, предложенной Б. Кейном (B. Kane. A silicon-based nuclear spin quantum computer. // Nature. – 1998. – V. 393. – P.133)
Роль спиновых кубитов в этом квантовом процессоре играют ядра атомов стабильного изотопа фосфора $$^{31}P$$ со спином ½. Конструкционной основой процессора является пластина изотопно чистого кремния ($$^{28}Si$$), ядра атомов которого имеют нулевой спин. В естественном кремнии обычно содержится приблизительно 4,7% изотопа $$^{29}Si$$, ядра атомов которого имеют спин ½. Они могут неконтролировано взаимодействовать с кубитами, нарушая процессы квантовых преобразований. Поэтому этот нежелательный изотоп должен быть удален так, чтобы его концентрация в пластине не превышала 0,01%. Такой кремний называют "бесспиновым".
Атомы фосфора $$^{31}P$$ вводят в кремний путем ионной имплантации на заданную небольшую глубину ($$\approx 10$$ нм), располагая их (с помощью нанолитографии и маски из тяжелого металла) на одинаковых расстояниях порядка 20 нм друг от друга.
В постоянном магнитном поле с индукцией $$B = 3$$ Тл резонансная частота $$f_{\textit{ПР}}=\omega_{\textit{ПР}}/(2\pi)$$ прецессии спина ядра $$^{31}P$$ составляет порядка 100 МГц, т.е. попадает в радиодиапазон электромагнитных волн.
Четыре из 5 электронов внешней оболочки атома фосфора образуют регулярные ковалентные связи с соседними атомами кремния. Их спины попарно скомпенсированы. Внешний же, 5-й, электрон размещается на локальном примесном донорном уровне с достаточно большим радиусом атомной орбитали (АО), которая на рис 9.5 условно показана в виде круга. Его штрихованная внешняя окружность соответствует значению $$|\Psi|^2\approx 0,05$$. На самом деле АО тянется и дальше, так что АО соседних атомов фосфора слегка перекрываются.
Спиновый магнитный момент этого внешнего электрона не скомпенсирован. Он взаимодействует и с внешним магнитным полем, и с магнитным моментом ядра $$^{31}P$$, и с собственным орбитальным магнитным моментом и с магнитными моментами соседних атомов.
После имплантации атомов фосфора $$^{31}P$$ поверхность кремния оксидируют. На окисле над каждым атомом фосфора $$^{31}P$$ формируют металлический электрод A, электрически изолированный от подложки и от других электродов слоем окисла ($$SiО_2$$). Электроды A, которые расположены с таким же периодом, как и атомы фосфора, используются для индивидуального управления кубитами.
Если на электрод A подать положительный электрический потенциал, то АО 5-го электрона под действием этого потенциала несколько деформируется и смещается в сторону электрода (рис 9.6, посредине). Если же подать отрицательный потенциал, то АО смещается в противоположную сторону и еще больше деформируется (рис 9.6, справа). Из-за этого изменяется энергия взаимодействия магнитного момента ядра с магнитным моментом этого электрона, и соответственно изменяется резонансная
(рис 9.6)
Спиновый магнитный момент 5-го электрона в постоянном магнитном поле $$\overrightarrow{B}$$ тоже может быть ориентирован параллельно или антипараллельно направлению поля. Для того, чтобы все такие электроны под действием тепловых колебаний не могли неконтролировано переходить из одного состояния в другое и тем самым нарушать состояние ядерного спина, рабочая температура кристалла не должна превышать 0,1 К. При столь низких температурах донорные атомы $$^{31}P$$ всегда остаются не ионизированными, а ориентация спина их 5-го электрона может изменяться лишь при взаимодействии с резонансным электромагнитным полем.
Взаимодействие ядерных магнитных моментов с электронными приводит к тому, что спустя некоторое время и все ядерные магнитные моменты ориентируются в том же направлении, что и электронные спины. Это используют, в частности для "инициализации" квантового регистра, т.е. для перевода всех "ядерных" кубитов в базовое состояние $$|0\rangle$$.
Для выполнения квантовой логической операции над отдельным кубитом на соответствующий электрод A подают определенный потенциал и дальше с помощью последовательности радиоимпульсов с частотой, резонансной именно при этом потенциале, осуществляют нужную логическую операцию. Другие кубиты, имеющие существенно другие резонансные частоты, на эти манипуляции не откликаются. Интенсивность радиоимпульсов такова, что амплитуда вектора магнитной индукции $$\overrightarrow{b}$$ составляет лишь порядка 1 мТл (при постоянном магнитном поле 2-3 Тл).
Независимые однокубитные логические операции удается выполнять на разных частотах даже одновременно над несколькими кубитами, если подавать на соответствующие им электроды A разные потенциалы.
Для выполнения двухкубитных квантовых логических операций используют металлические электроды B, размещенные над промежутками между атомами $$^{31}P$$ (рис 9.4). Когда на такой электрод подают положительный потенциал, то внешние атомные орбитали двух соседних с ним атомов $$^{31}P$$ сдвигаются и вытягиваются в направлении к этому электроду и благодаря этому начинают значительно сильнее перекрываться. Образуется достаточно связанная система уже из 4-х спинов: двух ядерных и двух электронных. Она имеет свои резонансные частоты, зависящие от потенциала на электроде B. И с помощью соответствующей последовательности радиоимпульсов с заранее известными резонансными частотами удается выполнять над парами соседних кубитов двухкубитные логические операции "контролируемое отрицание" (Controlled-NOT), обмен квантовых состояний (SWAP) и прочие. Если подать положительные потенциалы на 2 соседних электрода B, то начинают существенно взаимодействовать между собой АО сразу трех соседних атомов $$^{31}P$$, благодаря чему, используя последовательности радиоимпульсов с соответствующими резонансными частотами, удается выполнять и трехкубитные квантовые логические операции: "контролируемое отрицание" (Controlled-NOT), операцию Тоффоли и т.д. Детальный механизм выполнения таких операций, требуемые последовательности радиочастотных импульсов мы описывать не будем, так как они довольно громоздки и интересны лишь специалистам в данной узкой области. Значительно осложняет объяснение также то, что для двухкубитных и многокубитных квантовых логических операций уже нет такой наглядной геометрической интерпретации, как поворот вектора состояния в пределах двумерной сферы Блоха.
Считывание конечного состояния спиновых кубитов на ядрах атомов фосфора $$^{31}P$$ (после завершения процесса квантовых вычислений) оказалось совсем не простой задачей. Предложено несколько путей ее решения. Большинство из них предусматривает передачу состояния основного кубита с помощью квантовой логической операции SWAP на специальный считывающий кубит, расположенный рядом. Затем с помощью электромагнитных взаимодействий спиновое состояние ядра атома передается на состояние спина внешнего электрона этого атома. И уже это состояние считывается. В одном из вариантов для этого используют одноэлектронный транзистор. Наноостровок этого измерительного одноэлектронного транзистора располагают точно над атомом фосфора $$^{31}P$$. Последний выполняет в таком случае роль затвора транзистора. Потенциал открывания транзистора при этом зависит от спинового состояния внешнего электрона атома. Поэтому, измеряя потенциал открывания, можно определить спиновое состояние электрона и, опосредованно, спиновое состояние кубита.
Вид сверху считывающих кубитов с одноэлектронными транзисторами эскизно показан на рис 9.7. Серым фоном выделен участок пластины бесспинового кремния ($$^{28}Si$$). В верхнем ряду регулярно расположены атомы фосфора $$^{31}P$$, образующие основной квантовый регистр (ОКР). Рядом с кубитами, с которых надо считывать квантовую информацию, расположены считывающие кубиты (СК). Заштрихованными прямоугольниками показаны управляющие электроды A, B, C. Электроды A показаны несколько укороченными, чтобы не закрывать изображения кубитов. На самом деле их длина такая же, как и у электродов В. Назначение этих электродов описано выше. Электрод С используют для передачи квантового состояния кубитов ОКР (в данном случае двух, расположенных справа) на состояния спинов не спаренных электронов в соответствующих считывающих кубитах (СК).
(рис 9.7) Вид сверху считывающих кубитов с одноэлектронными транзисторами: ОКР – основной квантовый регистр; СК – считывающие кубиты; А, В, С – управляющие электроды; НО – наноостровки одноэлектронных транзисторов; ЭИ и ЭС – их электроды истока и стока
Наноостровки (НО) одноэлектронных транзисторов показаны полупрозрачными для того, чтобы были видны размещенные под ними атомы $$^{31}P$$, которые и являются считывающими кубитами.
Детальный квантовый "механизм" считывания довольно сложен, и мы не будем его описывать.
ЯМР квантовый процессор, предложенный Б. Кейном, позволяет строить довольно большие квантовые регистры. Например, линейка из двух тысяч кубитов, расположенных с периодом 20 нм, имеет длину лишь 40 мкм. Положительной стороной такого квантового процессора является также и то, что все кубиты одинаковы, и в то же время с использованием электродов A и B имеется возможность индивидуально управлять каждым кубитом и небольшими группами кубитов. Ядерные спины атомов $$^{31}P$$ хорошо изолированы от окружающей среды, и при сверхнизких температурах ($$\le0,1$$ К) их квантовое состояние является достаточно стабильным.
Тем не менее в экспериментах пока что удалось без сбоев выполнять 104 и более квантовых логических операций лишь на квантовых регистрах с ограниченным количеством кубитов. Основной причиной сбоев является здесь неточность выполнения логических операций над кубитами. Управляющие потенциалы, которые подаются на электроды A и B извне, всегда пусть и очень мало, но все-таки искажаются тепловыми флуктуациями. Из-за этого расчетная частота радиоимпульсов несколько отличается от фактической резонансной частоты ЯМР кубитов. При малом расхождении частот вектор $$\overrightarrow{b}(t)$$ радиочастотного импульса уже не является неподвижным в ПСК, а медленно поворачивается, что вносит изменения в точность выполнения квантовых логических операций. Не являются абсолютно точными также длительность радиочастотных импульсов и моменты их включения. Небольшие, казалось бы, незначительные неточности быстро накапливаются при росте количества кубитов в квантовом регистре и при росте количества последовательных логических операций (т.е. при увеличении длины программы вычислений). И управиться с нарастанием декогерентизации пока что не удалось.
Сигналы от одноэлектронных транзисторов при считывании конечного состояния кубитов оказались слабыми, что предопределяет значительные погрешности считывания. Чтобы повысить надежность считывания, была предложена идея ".
(рис 9.8)
Здесь в проекции сверху показан один из участков пластины кремния, на котором видно 5 строк атомов $$^{31}P$$ по 8 атомов в каждой строке. На самом деле каждая строка довольно длинная и может состоять из 1-2 тысяч кубитов. Это – отдельный квантовый регистр. Строк тоже может быть не 5, а много тысяч. Образованные ими квантовые регистры функционируют параллельно, одинаково и независимо друг от друга. Для управления их работой, как и в варианте Б. Кейна, используют металлические электроды A и B, проложенные над одноименными кубитами сквозь весь массив. На рис 9.8 они показаны в виде заштрихованных полосок. Если, например, в ансамбле используется 10 тысяч строк, расположенных с периодом 30 нм, то на пластине кремния они занимают область шириной 0,3 мм, т.е. легко размещаются между полюсами пары катушек, с помощью которых создается поперечное магнитное поле. Большое количество параллельно функционирующих квантовых регистров значительно облегчает задачу считывания их конечного состояния. Ведь в одинаковом конечном состоянии оказываются сразу тысячи одноименных кубитов. И их состояние становится возможным измерять с помощью хорошо отработанных методов.
Параллельная работа целого ансамбля одинаковых квантовых регистров позволяет также, благодаря усреднению, уменьшить влияние многих технологических неточностей, например, некоторых незначительных технологических отклонений в расположении атомов $$^{31}P$$, в ширине управляющих электродов и т.п.
Тем не менее, управляющие потенциалы и радиоимпульсы резонансного магнитного поля, с помощью которых выполняются квантовые логические операции над кубитами, остаются общими и одинаково влияют на все аналогичные кубиты. Эти незначительные отклонения приводят к накоплению одинаковых ошибок. И параллельная работа тысяч квантовых регистров не уменьшает влияние декогерентизации.
В 2011 г. [Ju C., Suter D., Du J. An endohedral fullerene-based nuclear spin quantum computer. // Physics Letters A. – 2009. – V. 375. – P. 1441–1444] был предложен другой вариант ЯМР квантового процессора, в котором в качестве кубитов используются атомы со спином ядра $$I = ^1\!\!\!/\!_2$$, капсулированные внутри фуллерена. Такими кубитами могут быть, например, атомы изотопов азота $$^{15}N$$ или фосфора $$^{31}P$$, капсулированные внутри фуллерена $$C_{60}$$. Изолированные углеродной оболочкой от окружения, эти атомы не являются химически связанными, а являются в достаточной мере "свободными". У самой молекулы $$C_{60}$$ суммарный ядерный и суммарный электронный спин равны нулю, и поэтому молекула фуллерена не реагирует на внешнее магнитное поле.
Атомы $$^{15}N$$ и $$^{31}P$$ могут иметь лишь два значения ядерного магнитного квантового числа: $$m_1=\pm 1/2$$. А суммарный электронный спин у каждого из названных "свободных" атомов $$S=3/2$$. И поэтому магнитное квантовое число электронной оболочки такого атома может принимать 4 разных значения $$m_S=\pm 1/2;\pm 3/2$$.
Во внешнем магнитном поле основной энергетический уровень капсулированного внутри фуллерена атома расщепляется на 8 разрешенных энергетических уровней, как показано на рис 9.9.а. Штриховыми стрелками показаны разрешенные ($$\Delta m_S=\pm 1$$) электронные переходы между этими энергетическими уровнями, а пунктирными стрелками – разрешенные ядерные переходы ($$\Delta m_I=\pm 1$$).
(рис 9.9)
Во внешнем магнитном поле с индукцией $$B=1$$ Тл резонансная частота $$f_{\textit{ПР.Э}}$$ прецессии магнитного момента электронов составляет приблизительно 28 ГГц. Резонансная частота $$f_{\textit{ПР,Я}}$$ прецессии магнитного момента ядра существенно зависит от ориентации магнитного момента электронов, т.е. от значения магнитного квантового числа $$m_S$$.
Спектр ядерного магнитного резонанса для $$^{15}N@C_{60}$$ в магнитном поле с индукцией $$B=1$$ Тл показан на рис 9.9.б. Вдоль горизонтали отложена частота в мегагерцах. Как видим, ЯМР наблюдается .а пунктирными стрелками. Частота, при которой наблюдается каждый пик, является частотой прецессии магнитного момента ядра при соответствующем значении квантового числа $$m_S$$, которое написано рядом с пиком.
Спектр электронного спинового резонанса (ЕСР), показанный на рис 9.9.в, наблюдается .а штриховыми стрелками. Расстояние между ними порядка 20 МГц очень мало по сравнению с $$f_{\textit{ПР.Э}}$$. Левый пик наблюдается, когда магнитный момент ядра находится в состоянии $$m_I=-1/2$$ (ориентирован в направлении магнитного поля), правый – в состоянии $$m_I=+1/2$$ (ориентирован навстречу магнитному полю).
, вверху). Внешнее постоянное однородное магнитное поле ориентировано вдоль вертикали.
(рис 9.10)
Кроме однородного, создается также постоянное градиентное магнитное поле $$B_{\text{ГР}}$$. Характер зависимости магнитной индукции в нем от координаты показан на рис 9.10 внизу. На каждый кубит действует свое по величине дополнительное магнитное поле. И согласно формуле (10.3) каждый кубит имеет свою частоту электронного спинового резонанса. Величина градиента магнитного поля подобрана так, чтобы резонансные частоты соседних кубитов отличались на величину (порядка 40 МГц), достаточную для того, чтобы состоянием каждого кубита можно было манипулировать независимо.
Квантовое состояние каждого кубита определяется пространственной ориентацией магнитного момента ядра. За базовое состояние $$|0\rangle$$ принимается ориентация в направлении магнитного поля ($$m_I=-1/2$$), а за базовое состояние $$|1\rangle$$ – ориентация против направления магнитного поля ($$m_I=+1/2$$). Кроме квантового состояния различают еще 2 режима работы кубитов – пассивный и активный. .б). При низких температурах обычно $$m_S = –3/2$$, и все кубиты находятся в пассивном режиме.
Если надо выполнить однокубитную квантовую логическую операцию над $$і$$-м кубитом, то сначала этот кубит переводят в активный режим. Для этого используют микроволновый $$\pi$$-импульс на частоте $$f_{\textit{ПР.Э}}$$, которая соответствует значению магнитного поля $$В_і$$ в точке расположения этого кубита. Другие кубиты на этот импульс не откликаются, так как имеют другую резонансную частоту ЭСР. После действия этого микроволнового импульса электронный спин поворачивается на угол $$\pi$$, и значение $$m_S$$ изменяется с (–3/2) на (+3/2). Время надежного пребывания электронного спина в таком состоянии уже при температуре 5 К превышает 1 с, а при более низких температурах становится еще более длительным. В активном режиме с помощью импульсов поперечного магнитного поля на частоте $$f_{3/2}$$ (рис 9.9.б) можно выполнить любые квантовые логические операции над магнитным моментом ядра, как было описано в предыдущих подразделах. Другие кубиты на такие радиоимпульсы не реагируют, так как находятся в пассивном режиме и имеют существенно другую резонансную частоту. После завершения квантовых логических операций над магнитным моментом ядра с помощью еще одного микроволнового $$\pi$$-импульса электронный спин еще раз поворачивают на угол $$\pi$$, и значение $$m_S$$ изменяется с (+3/2) на (–3/2), благодаря чему кубит возвращается в пассивный режим. Дальше таким же образом можно выполнять квантовые логические операции над следующим кубитом.
Для выполнения двухкубитных квантовых логических операций используют взаимодействие электронных магнитных моментов соседних кубитов. Именно для этого и было выбрано столь малое расстояние между кубитами (3,5 нм). Детальный механизм выполнения таких операций является многостадийным и довольно громоздким. Поэтому описывать его во всех деталях мы не будем. Раскроем лишь его физическую суть. Она заключается в том, что сначала первый кубит переводится в активный режим. Квантовое состояние $$|I1\rangle$$ магнитного момента его ядра передается в состояние $$|S1\rangle$$ его электронного магнитного момента. Затем и второй кубит переводится в активный режим. В результате взаимодействия электронных магнитных моментов квантовое состояние $$|S1\rangle$$ передается на квантовое состояние $$|S2\rangle$$ электронного магнитного момента второго кубита. Далее с помощью соответствующих радиочастотных и микроволновых импульсов выполняется требуемая двухкубитная логическая операция над квантовыми состояниями $$|S2\rangle$$ и $$|I2\rangle$$ (это – квантовое состояние ядерного магнитного момента 2-го кубита). Образующееся в результате квантовое состояние $$|S2\rangle$$ передается в квантовое состояние $$|S1\rangle$$, а из него – в квантовое состояние $$|I1\rangle$$. И в завершение оба кубита возвращаются в пассивный режим. Разработаны детальные последовательности манипуляций, требуемых для выполнения всех основных двухкубитных квантовых логических операций. Разрабатываются последовательности манипуляций, требуемых для выполнения некоторых трехкубитных и многокубитных квантовых логических операций.
Несомненными преимуществами этого варианта ЯМР квантового процессора являются его "молекулярно малые" размеры и то, что здесь удалось обойтись совсем без управляющих электродов. Ядерные магнитные моменты хорошо изолированы молекулами фуллерена от многих посторонних влияний. Однако за отсутствие электродов здесь приходится расплачиваться заметным увеличением числа манипуляций (микроопераций, т.е. микроволновых и радиоимпульсов), требуемых для выполнения квантовых логических операций. А это приводит к более быстрому накоплению отклонений в состоянии кубитов, обусловленных неточностью выполнения отдельных манипуляций, т.е. к росту скорости декогерентизации. Пока еще не решенной в этом варианте проблемой остается и считывание конечного состояния кубитов – из-за их малости и близости друг к другу.
Из-за сравнительно низкой частоты прецессии ядерных спинов (порядка 100 МГц) и соответственно малой
Структура одного из предложенных квантовых процессоров на основе ЭСР показана в сечении на рис 9.11. На подложке из кремния ($$Si$$) с кристаллографической ориентацией <001> методом молекулярно-лучевой эпитаксии наращивают следующие монокристаллические слои толщиной по 10-20 нм: сначала переходной (буферный) слой $$Si-Ge$$, потом слой $$Si_{0,4}Ge_{0,6}$$.
Задачей буферного слоя (Буф) является постепенное наращивание концентрации германия и минимизация механического напряжения, которое возникает вследствие изменения периода кристаллической решетки при возрастании доли германия в твердом растворе $$Si-Ge$$. В слое $$Si_{0,4}Ge_{0,6}$$, который называют D1-слоем, формируют полевые транзисторы (ПТ), которые в дальнейшем будут использованы для считывания состояния электронного спина. Каналы проводимости этих транзисторов проходят перпендикулярно к плоскости рисунка.
Дальше наращивают B-слой с составом $$Si_{0,23}Ge_{0,77}$$ и D2-слой с составом $$Si_{0,4}Ge_{0,6}$$. В последний методом ионной имплантации вводят донорные атомы фосфора $$^{31}P$$ так, чтобы они были размещены точно над каналами транзисторов ПТ. Затем эпитаксиально наращивают T-слой с составом $$Si_{0,15}Ge_{0,85}$$ и снова B-слой с составом $$Si_{0,23}Ge_{0,77}$$. В завершение наращивают слой германия ($$Ge$$), на котором формируют управляющие электроды Эл – точно над атомами $$^{31}P$$.
(рис 9.11) Структура полупроводникового квантового процесора на основе ЭСР, предложенная Ди Винченцо и др. (D. Di Vincenzo et аl. Electron-spin-resonance transistors for quantum computing in silicon-germanium heterostructures. // Phys. Rev. A. – 2000. – V. 62. – 012306). Справа – положение дна зоны проводимости в разных слоях гетероэпитаксиальной структуры: П – потенциальная яма ("ловушка") для электронов
Как и в кристалле кремния, 4 внешних электрона атомов фосфора $$^{31}P$$ образуют здесь ковалентные химические связи с соседними атомами кремния или германия. Их спины взаимно скомпенсированы. А спиновый магнитный момент 5-го внешнего электрона как раз и играет здесь роль кубита. (В отличие от кубитов на магнитном моменте ядра атома $$^{31}P$$).
Радиус атомной орбитали (АО) этого электрона в твердом растворе $$Si_{0,4}Ge_{0,6}$$ намного превышает размеры его АО в чистом кремнии, и поэтому атомы фосфора $$^{31}P$$ (т.е. спиновые кубиты) могут взаимодействовать и располагаться на значительно больших расстояниях друг от друга – вплоть до 200 нм. Это существенно упрощает требования к нанолитографическим процессам изготовления структуры. При периоде расположения 100 нм квантовый регистр из 2000 кубитов имеет длину приблизительно 0,2 мм.
Последовательность наращиваемых слоев B, D2, T и B специально выбрана так, чтобы обеспечить выполнение двух важных требований. Одно из них – сделать так, чтобы донорные электроны кубитов оказались в потенциальной яме – "ловушке", не позволяющей им перемещаться по вертикали за границы B-слоев. Именно при таком составе, как в B-слоях ($$Si_{0,23}Ge_{0,77}$$), дно зоны проводимости располагается выше всего. Соответствующая энергетическая диаграмма показана на рис 9.11 справа. Энергия, соответствующая положению дна зоны проводимости, отложена здесь вдоль оси абсцисс. А вдоль оси ординат (сверху вниз) отложена координата. Пунктирными линиями показано соответствие значений координаты и гетероэпитаксиальных слоев. Видно, что B-слои в такой гетероструктуре и в самом деле образуют потенциальные барьеры для электронов. При толщине свыше 20 нм их высота, составляющая около 20 мэВ, является непреодолимой для электронов при температуре ниже 1 К. Образованная потенциальная "ловушка" на рис 9.11 справа обозначена буквой П.
Вторым важным требованием является то, чтобы изменения электрического потенциала на управляющем электроде (Эл) позволяли существенно влиять на резонансную частоту соответствующего кубита. Используется тот известный из экспериментов факт, что при переходе от D2-слоя с составом $$Si_{0,4}Ge_{0,6}$$ к механически более напряженному T-слою с другим составом ($$Si_{0,15}Ge_{0,85}$$) значительно – от 1,995 до 1,563 – изменяется т.н. $$g$$-фактор, определяющий величину гиромагнитного отношения $$\gamma$$ для электронов. А согласно формуле (9.3) можно изменять и частоту прецессии спинового магнитного момента электрона.
Когда на управляющий электрод Эл подается положительный электрический потенциал, под его влиянием атомная орбиталь внешнего электрона соответствующего кубита деформируется и смещается из D2-слоя в T-слой, вследствие чего изменяется резонансная частота его прецессии в магнитном поле. Зависимость резонансной частоты от потенциала $$U$$ на управляющем электроде для одной из экспериментальных конструкций квантового процессора в магнитном поле с индукцией 2 Тл показана на рис 9.12.
(рис 9.12) Характер зависимости частоты ЭСР от потенциала на управляющем электроде
Здесь выделяются 3 области значений потенциала:
область 1 – малые (а также отрицательные) значения, при которых АО внешнего электрона сосредоточена в основном в D2-слое структуры, где фактор $$g$$ = 1,995, и поэтому резонансная частота практически не изменяется;
область 2 – относительно малых значений потенциала, при котором АО внешнего электрона уже заметно смещается в T-слой, вследствие чего резонансная частота существенно зависит от потенциала; и
область 3 – область насыщения, когда приложенный потенциал уже таков, что АО внешнего электрона практически целиком смещена в T-слой, дальнейшему ее смещению в направлении электрода мешает барьерный B-слой, и поэтому резонансная частота практически тоже не зависит от потенциала.
Для ) подают потенциал со значением внутри области 2 (рис 9.12). А дальше с помощью последовательности радиоимпульсов с частотой, резонансной именно при этом потенциале, выполняют нужную логическую операцию. Другие кубиты, имеющие существенно другие резонансные частоты, на эти радиочастотные манипуляции не откликаются. Независимые однокубитные логические операции, как и в случае ЯМР квантового процессора, удается выполнять на разных частотах одновременно над несколькими кубитами, если подать на соответствующие им управляющие электроды разные потенциалы внутри области 2.
Для выполнения двухкубитных квантовых логических операций на металлические электроды Эл над двумя соседними атомами $$^{31}P$$ подают электрический потенциал из области 3. Атомные орбитали внешних электронов обоих атомов практически целиком смещаются в T-слой и значительно расширяются по сравнению с их размерами в D2-слое, – из-за значительного уменьшения энергии их электростатического взаимодействия с остовами атомов $$^{31}P$$. Благодаря этому соседние АО намного сильнее перекрываются, образуется достаточно связанная система из двух электронных спинов, которая имеет свои резонансные частоты. И с помощью соответствующей последовательности микроволновых импульсов с заведомо известными резонансными частотами над парами соседних кубитов выполняют заданные двухкубитные логические операции (Controlled-NOT, SWAP и прочие). Если подать положительные потенциалы на три соседних электрода Эл, то начинают существенно взаимодействовать между собой внешние АО сразу трех соседних атомов $$^{31}P$$, благодаря чему, используя последовательности микроволновых импульсов с соответствующими резонансными частотами, можно выполнять и трехкубитные квантовые логические операции (CNOT, операцию Тоффоли и т.п.).
). Канал проводимости такого транзистора, размещенный точно под атомом $$^{31}P$$, хорошо ощущает зарядовое состояние этого атома. Для считывания квантовое состояние магнитного спинового момента электрона с помощью манипуляций с потенциалом и радиочастотными импульсами передают на зарядовое состояние атома, что и фиксируется на выходе полевого транзистора. И хотя изменения электрического тока сквозь такой транзистор незначительны и составляют лишь порядка 1 нА, при температуре ниже 1 К этого достаточно для надежного считывания.
Описанный квантовый процессор на основе электронного спинового резонанса имеет следующие преимущества над полупроводниковыми ЯМР квантовыми процессорами:
Однако и в этом варианте спинового квантового процессора пока что не удалось преодолеть декогерентизацию настолько, чтобы в квантовом регистре, состоящем из многих сотен кубитов, достигалось безошибочное выполнение 104–105 квантовых логических операций.
Во внешнем магнитном поле с индукцией $$B$$ разрешенное стационарное состояние частицы со спином $$s$$ расщепляется на $$(2s+1)$$ разрешенных состояний. Энергетическое расстояние между разрешенными уровнями энергии $$\Delta E=2\mu B$$, где $$\mu$$ – магнитный момент частицы. Из-за наличия у частицы, кроме магнитного, еще и механического момента вращения ($$\hbar s$$) имеет место прецессия обеих моментов вокруг направления магнитного поля с частотой $$f_{\textit{ПР}}=B\gamma$$, где $$\gamma$$ – гиромагнитное отношение. Если перейти в подвижную систему координат (ПСК), вращающуюся вокруг направления магнитного поля $$B$$ с частотой прецессии, то в ней вектор состояния кубита является неподвижным.
Кроме постоянного магнитного поля $$\overrightarrow{B}$$ на спиновый кубит можно подействовать переменным поперечным магнитным полем $$\overrightarrow{b}(t)$$, вектор индукции которого вращается вокруг $$\overrightarrow{B}$$ с частотой прецессии. В ПСК этот вектор тоже является неподвижным и вызывает дополнительную прецессию магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$ вокруг вектора $$\overrightarrow{b}$$ с частотой Раби $$f_P=b\gamma$$, которая намного меньше, чем $$f_{\textit{ПР}}$$. Регулируя момент включения и длительность импульса резонансного поперечного магнитного поля $$\overrightarrow{b}(t)$$, можно довольно точно манипулировать ориентацией магнитного момента $$\overrightarrow{\mu}$$, а, следовательно, и квантовым состоянием спинового кубита, т.е. выполнять над ним все требуемые квантовые логические операции.
Когда частота радиочастотного импульса поперечного магнитного поля $$\overrightarrow{b}(t)$$ значительно отличается от резонансной для данного спинового кубита, то такие импульсы практически не влияют на состояние этого кубита. Это позволяет манипулировать разными кубитами независимо, если их резонансные частоты заметно отличаются.
В квантовом процессоре, предложенном Б. Кейном, роль спиновых кубитов играют ядра атомов фосфора $$^{31}P$$ со спином ½. Основой процессора является пластина изотопно чистого кремния ($$^{28}Si$$). Четыре из 5 электронов внешней оболочки атома фосфора $$^{31}P$$ образуют ковалентные связи с соседними атомами кремния. Их спины попарно скомпенсированы. Внешний, 5-й, электрон образует локальный примесный донорный уровень с достаточно большим радиусом атомной орбитали (АО). Спиновый магнитный момент этого электрона взаимодействует и с магнитным моментом ядра $$^{31}P$$, и с собственным орбитальным магнитным моментом, и с внешним магнитным полем, и с соседними кубитами (атомами фосфора $$^{31}P$$). Над каждым кубитом формируют металлический электрод A, электрически изолированный слоем окисла. Для выполнения квантовой логической операции над кубитом на соответствующий электрод A подают определенный потенциал, смещающий и деформирующий АО внешнего электрона. Из-за этого изменяется энергия взаимодействия магнитного момента ядра с магнитным моментом электрона, и соответственно изменяется резонансная частота прецессии спина ядра $$^{31}P$$. И дальше с помощью последовательности радиоимпульсов с частотой, резонансной именно при этом потенциале, выполняют нужную логическую операцию. Другие кубиты, имеющие существенно другие резонансные частоты, на эти манипуляции не откликаются. Для выполнения двухкубитных квантовых логических операций используют металлические электроды B, размещенные над промежутками между кубитами.
ЯМР квантовый процессор, предложенный Б. Кейном, теоретически позволяет реализовать квантовые регистры из тысяч кубитов, обеспечивая при этом возможность индивидуально управлять каждым кубитом и небольшими группами кубитов.
Однако при считывании конечного состояния кубитов сигналы оказались довольно таки слабыми, что предопределяет значительные погрешности считывания. Чтобы повысить надежность считывания, предложена идея использования "ансамблевого" ЯМР квантового процессора. При этом на пластине бесспинового кремния создается много рядов спиновых кубитов – целый ансамбль квантовых регистров. Благодаря тысячам параллельно функционирующих квантовых регистров их конечное состояние становится возможным считывать с помощью хорошо отработанных методов. Параллельная работа ансамбля одинаковых квантовых регистров уменьшает также влияние многих технологических неточностей (незначительных технологических отклонений в расположении атомов $$^{31}P$$, в ширине управляющих электродов и т.п.).
Интересен вариант ЯМР квантового процессора, в котором в качестве кубитов используют атомы со спином ядра $$I = ^1\!\!\!/\!_2$$, капсулированные внутри фуллерена. Атомы изотопов $$^{15}N$$ или $$^{31}P$$, капсулированные внутри фуллерена $$C_{60}$$, могут иметь лишь два значения ядерного магнитного квантового числа $$m_I=\pm 1/2$$. Суммарный электронный спин у них $$S=3/2$$, и поэтому магнитное квантовое число электронной оболочки такого атома может принимать 4 разные значения $$m_S=\pm 1/2; \pm 3/2$$. Во внешнем магнитном поле основной энергетический уровень такого кубита расщепляется на 8 разрешенных энергетических уровней. Резонансные переходы между этими уровнями под действием микроволновых и радиоимпульсов и используют для установки нужного состояния кубитов, для выполнения квантовых логических операций и для считывания конечного состояния. Квантовый регистр состоит из цепи молекул $$^{15}N@C_{60}$$ или $$^{31}P@C_{60}$$, иммобилизованных на диэлектрической подложке и выстроенных в одну линию с периодом расположения 3,5 нм. Кроме постоянного однородного создается также градиентное магнитное поле, благодаря которому на каждый кубит действует свое по величине дополнительное магнитное поле. И поэтому каждый кубит имеет свою частоту электронного спинового резонанса, что позволяет адресно изменять состояние каждого кубита. Для выполнения двухкубитных квантовых логических операций используют взаимодействие электронных магнитных моментов соседних кубитов. Преимуществами этого варианта ЯМР квантового процессора являются его "молекулярно малые" размеры и то, что здесь удалось обойтись без управляющих электродов. Однако проблема считывания конечного состояния кубитов остается пока не решенной.
Из-за относительно низкой частоты прецессии ядерных спинов (порядка 100 МГц) и соответственно малой частоты Раби квантовый процессор на ЯМР работает относительно медленно. В отличие от этого частота прецессии в условиях электронного спинового резонанса (ЭСР) в магнитных полях порядка 2-3 Тл в сотни раз выше (50-100 ГГц). Поэтому и квантовые логические операции на электронных спиновых кубитах выполняются намного быстрее. В одном из предложенных квантовых процессоров на основе ЭСР в качестве кубита используется магнитный момент внешнего ("донорного") электрона атома $$^{31}P$$. Такие атомы размещаются в слое с составом $$Si_{0,4}Ge_{0,6}$$ многослойной гетероструктуры, которую формируют так, чтобы обеспечить выполнение двух важных требований. Одно из них – сделать так, чтобы донорные электроны кубитов оказались в "потенциальной яме", не позволяющей им перемещаться по вертикали за границы барьерных слоев. Второе требование заключается в том, чтобы изменения электрического потенциала на управляющем электроде позволяли существенно влиять на резонансную частоту соответствующего кубита. Благодаря этому появляется возможность селективно выполнять квантовые логические операции над каждым из сотен отдельных кубитов, а также 2- и 3-кубитные логические операции. Для считывания состояния кубитов после окончания квантовых вычислений в одном из гетероэпитаксиальных слоев под кубитами формируют полевые транзисторы с каналом проводимости, размещенным точно под атомом $$^{31}P$$. Квантовый процессор на основе ЭСР имеет такие преимущества над ЯМР полупроводниковыми квантовыми процессорами: квантовые логические операции выполняются в сотни раз быстрее; не требуется изотопная очистка полупроводника; достаточна лишь одна система управляющих электродов; упрощается процесс считывания информации при завершении квантовых вычислений.
К сожалению, во всех вариантах спинового квантового процессора пока что не удалось преодолеть декогерентизацию настолько, чтобы в регистре из тысячи кубитов достигалось безошибочное выполнение требуемых 104–105 квантовых операций. Этого удается достичь пока что лишь на квантовых регистрах с ограниченным числом кубитов.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.