Квантовые процессоры на переходах Джозефсона

Введение

Другим перспективным направлением реализации квантовых процессоров является использование явлений сверхпроводимости и макроскопической квантовой интерференции. В лекции 3 мы напомнили вам основные сведения об этих явлениях и рассмотрели свойства переходов Джозефсона (ПД) и сквидов на ПД. Перед изучением данной лекции мы советуем Вам перечитать еще раз лекцию 3, чтобы "освежить" в своей памяти изложенные там знания.

На основе сквидов с наноразмерными ПД строят также кубиты для квантовых вычислений. В данной лекции мы рассмотрим ряд вариантов построения таких кубитов, а также вопрос реализации на таких кубитах квантовых процессоров.

Зарядовые кубиты

Простейший из сверхпроводящих кубитов на ПД, который называют " слева. Он состоит из относительно массивного сверхпроводника (СП), который называют "берегом" или "резервуаром" (куперовских пар электронов), и расположенного рядом с ним маленького (наноразмерного) электрически изолированного сверхпроводящего островка СПО, который в англоязычной литературе получил название "the single Cooper-pair box" (SCPB или SCB). Островок СПО соединен с резервуаром СП через очень тонкий туннельный слой ТС, образующий переход Джозефсона между двумя сверхпроводниками. Близ сверхпроводящего островка СПО формируют электрод Эл, отделенный от островка толстым слоем диэлектрика Д. Внешнее устройство $$U$$ используют или для контроля состояния островка (тогда это устройство для измерения потенциала), или для управления этим состоянием (тогда это генератор напряжения).

В состоянии сверхпроводимости на островке может находиться лишь целое число избыточных куперовских пар электронов ($$n= 0, 1, 2, \ldots$$). Каждому числу пар $$n$$ отвечает своя "зарядовая" энергия $$ E_{\textit{З}}=\frac{q^2}{2C}=\frac{2n^2e^2}{C_{\Sigma}}, $$ где $$q=2en$$ – электрический заряд наноостровка, $$e$$ – электрический заряд электрона, $$C_{\Sigma}$$ – суммарная емкость сверхпроводящего наноостровка относительно его окружения. Наибольший вклад в $$C_{\Sigma}$$ вносит емкость ПД. Удельная электрическая емкость такого туннельного перехода составляет обычно порядка 5*10^-14 Ф/мкм² = 50 фФ/мкм². В частности, когда $$n=1$$, зарядовая энергия (на одну избыточную куперовскую пару) $$ E_{\textit{З1}}=\frac{2e^2}{C_{\Sigma}}. $$

Для зарядовых кубитов важно, чтобы зарядовая энергия (11.2) была больше, чем энергия т.н. "джозефсоновской связи" $$ E_{\textit{Д}}=\Delta\cdot\frac{R_{\text{КВ}}}{2R_{\text{Н}}}, $$ где $$R_{\text{КВ}}=\frac{h}{4e^2}$$ – т.н. "квант сопротивления", $$R_{\text{Н}}$$ – сопротивление туннельного ПД в "нормальном" состоянии (т.е. для обычных, не спаренных электронов проводимости), $$\Delta$$ – энергия связи куперовской пары. Нередко энергию джозефсоновской связи сокращенно называют "джозефсоновской энергией".

Зарядовая энергия $$E_{\text{З}}$$, как вытекает из (11.1), тем больше, чем меньше площадь туннельного контакта островка СПО с резервуаром СП, в то время как джозефсоновская энергия $$E_{\textit{Д}}$$ с увеличением этой площади возрастает (так как уменьшается $$R_{\text{Н}}$$). Именно поэтому условие $$E_{\textit{З}}>E_{\textit{Д}}$$ легче выполнить, используя наноразмерные островки.

Когда на контролирующем электроде Эл поддерживается потенциал $$U$$, то в сверхпроводящем островке наводится дополнительный электрический заряд $$Q=C_KU$$, где $$C_K$$ – емкость между островком и контролирующим электродом. Этот дополнительный электрический заряд вовсе не обязан быть кратным заряду электрона, так как физически – это результат смещения электронов и куперовских пар в островке относительно положительно заряженных ядер. А это смещение может быть как угодно малым. Индуцированный контролирующим электродом дополнительный заряд придает кубиту дополнительную потенциальную энергию $$ E_K=\frac{C_K^2U^2}{2C_{\Sigma}} $$

Решение стационарного уравнения Шредингера для только что описанной системы показывает, что зарядовый кубит имеет в этом случае два разрешенных значения энергии $$ E_{\pm}=\pm\frac12\sqrt{E_{\textit{З1}}^2(1-\frac{2U}{U_1})^2+E_{\textit{Д}}^2}, \text{ где } U_1=\frac{2e}{C_K}, $$ а $$E_{\textit{З1}}$$ и $$E_{\textit{Д}}$$ определяются формулами (11.2) и (11.3).

Зависимость разрешенных значений энергии зарядового кубита от потенциала контролирующего электрода показана на рис 10.1 справа. Когда потенциал на контролирующем электроде равен нулю, кубит может находиться или в нижнем энергетическом состоянии ($$E_-\approx -0,5E_{\textit{З1}}$$), которое считают базовым состоянием $$|0\rangle$$, или в верхнем энергетическом состоянии ($$E_+\approx +0,5E_{\textit{З1}}$$), которое считают базовым состоянием $$|1\rangle$$. В базовом состоянии $$|0\rangle$$ сверхпроводящий островок является электрически нейтральным, а в базовом состоянии $$|1\rangle$$ на нем находится одна избыточная куперовская пара.

Когда потенциал на контролирующем электроде возрастает, энергетическая щель между разрешенными энергетическими состояниями уменьшается, достигая минимума при $$U=0,5U_1$$, а потом снова возрастает. При $$U=0,5U_1$$ нижний разрешенный уровень энергии $$E_-\approx -0,5E_{\textit{Д}}$$, а верхний $$E_+\approx +0,5E_{\textit{Д}}$$. Переход из одного энергетического состояния в другое происходит здесь с наименьшими затратами энергии. Поэтому "рабочую точку" зарядового кубита чаще всего выбирают именно при $$U=0,5U_1$$. Исследования показали, что в этой рабочей точке удается достичь также и наибольшего времени сохранения когерентности.

Для манипуляций квантовым состоянием зарядового кубита и для считывания этого состояния сверхпроводящий островок СПО делают продолговатым (рис 10.2 слева), например, с размерами 400х50х15 нм, и формируют над ним не один, а два электрода Эл1 и Эл2. Один из них (Эл1) является контролирующим, а второй (Эл2) используется для считывания или для манипуляций состоянием кубита.

В частности, если на управляющий электрод Эл2 подать короткий (продолжительностью порядка 50 пс) импульс отрицательного напряжения с амплитудой $$U_M>0,5U_1$$, то из него в сверхпроводящий островок СПО туннельно проникает одна куперовская пара, и зарядовый кубит переходит в базовое состояние $$|1\rangle$$. Если затем на управляющий электрод Эл2 подать короткий импульс положительного напряжения с амплитудой $$U_M>0,5U_1$$, то на него из сверхпроводящего островка НПО туннельно проникает одна куперовская пара, и зарядовый кубит возвращается в базовое состояние $$|0\rangle$$.

Если импульс длится дольше, чем требуется для туннелирования куперовской пары, то он служит причиной дальнейшей эволюции волновой функции кубита с переходом в гибридное состояние. В гибридном состоянии куперовская пара электронов находится на островке СПО лишь частично. Это – чисто квантовое явление, совсем невозможное с классической точки зрения. Но эксперименты подтверждают, что это именно так. Оказалось, что, регулируя длительность короткого импульса напряжения на управляющем электроде, можно выполнять над кубитом запланированные квантовые логические операции.

Для считывания состояния зарядового кубита управляющий электрод Эл2 присоединяют ко входу чувствительного измерителя заряда на основе одноелектронного транзистора, позволяющего измерять величину суммарного электрического заряда на сверхпроводящем островке, мало влияя на этот заряд.

справа показана структура линейки зарядовых кубитов. Поскольку кулоновское взаимодействие между электрическими зарядами происходит на довольно больших расстояниях, то зарядовые кубиты в массивах всегда электростатически связаны между собой.

Зарядовые кубиты нормально функционируют лишь при сверхнизких температурах – ниже $$0,1^{\circ}K$$. Их основным недостатком является то, что до сих пор не удалось достичь в них достаточно продолжительного времени когерентности. Проведению квантовых вычислений на таких кубитах мешает также и то, что все они довольно сильно связаны электростатическими силами. Выполняя квантовую логическую операцию над одним из кубитов, мы одновременно слегка влияем и на другие, особенно на соседние кубиты.

Зато передавать вдоль линейки зарядовых кубитов неизвестное квантовое состояние с одного конца на другой удается неплохо. Поэтому их можно использовать как каналы передачи квантовой информации. Правда, в соответствии с теоремой "о невозможности клонирования квантовых состояний" лишь последний зарядовый кубит в "канале связи" будет в переданном квантовом состоянии, а все предыдущие кубиты переходят в общем случае в другое состояние.

Потоковые кубиты

Преодолеть недостатки зарядовых кубитов можно, если устранить кулоновское взаимодействие электрических зарядов, т.е. сделать так, чтобы в обоих базовых состояниях кубита $$|0\rangle$$ и $$|1\rangle$$ суммарный электрический заряд кубита равнялся нулю. Это условие выполняется в т.н. ".

Здесь условно показан замкнутый сверхпроводящий контур с одним ПД, отверстие которого пронизывает внешний магнитный поток $$\textit{Ф}_{\text{В}}$$. Благодаря макроскопической квантовой интерференции в контуре устанавливается такой сверхпроводящий ток $$І$$, чтобы суммарный магнитный поток $$\textit{Ф}$$ через контур был кратным кванту магнитного потока $$\textit{Ф}_0$$ (лекция 3, формула (3.1)). Для этого магнитный поток, обусловленный сверхпроводящим током $$І$$, уменьшает или увеличивает $$\textit{Ф}_{\text{В}}$$ на соответствующую величину. Поэтому сверхпроводящий контур может находиться в двух базовых состояниях: $$|0\rangle$$, когда ток течет в нем по часовой стрелке или $$|1\rangle$$, – когда против часовой стрелки. На ПД автоматически устанавливается нужная разность фаз $$\varphi$$ – в соответствии с приведенной в лекции 3 формулой (3.4).

Внешний магнитный поток $$\textit{Ф}_{\text{В}}$$ называют еще "потоком смещения", так как он влияет на характер зависимости потенциальной энергии кубита от суммарного магнитного потока $$\textit{Ф}$$ сквозь отверстие его сверхпроводящего контура и, следовательно, на расположение разрешенных энергетических уровней. На рис 10.4 эти зависимости показаны для двух типичных случаев, когда (а) поток смещения равен точно половине $$\textit{Ф}_0$$, и (б) когда значение $$\textit{Ф}_{\text{В}}$$ отличается от $$0,5\textit{Ф}_0$$.

В обоих случаях потоковый кубит имеет 2 потенциальных минимума. Но в случае (а) потенциал кубита является симметричным, а в случае (б) симметрия исчезает. И соответственно расходятся энергетические уровни базовых состояний кубита. Благодаря этому появляется возможность манипулировать квантовым состоянием потокового кубита с помощью импульсов высокочастотного электромагнитного поля, как это будет описано ниже.

В кубитах с несколькими ПД квантование магнитного потока сквозь отверстие сверхпроводящего контура приводит к установлению следующего соотношения между фазами на всех ПД: $$ \sum_i \varphi_i+\varphi_B=2\pi k,\quad k\in Z, $$ где $$\varphi_i$$ – перепад фазы на $$і$$-м ПД, а $$\varphi_B=\frac{2e}{\hbar}\textit{Ф}_{\text{В}}$$ – фаза, пропорциональная величине внешнего магнитного потока сквозь контур.

Применение нескольких ПД в сверхпроводящем контуре позволяет значительно уменьшить геометрические размеры контура. А это одновременно уменьшает и влияние на кубит неконтролируемых флуктуаций случайных внешних магнитных и электромагнитных полей и этим способствует сохранению когерентности кубитов.

В лекции 3 были описаны очень чувствительные магнитометры постоянного тока на сквидах с двумя ПД. В квантовых процессорах их применяют для считывания состояния сверхпроводящих потоковых кубитов.

Один из наиболее исследованных вариантов . Слева приведена его принципиальная схема.

Базовые состояния этого кубита определяются малым сверхпроводящим контуром 1 с двумя одинаковыми ПД. Внешний сверхпроводящий контур 2 с ПД большей площади (и соответственно с большим критическим током) обеспечивает возможность юстировки схемы, считывания и "записи" нужного базового состояния кубита. Изменяя магнитный поток $$\textit{Ф}_{\text{X}}$$, можно влиять на глубину потенциальных минимумов.

Справа показано, что при $$\textit{Ф}_{\text{X}}\approx 0,5\textit{Ф}_0$$ можно точно уравнять глубину потенциальных минимумов (кривая 5), а немного изменяя этот магнитный поток, можно нарушить симметрию в ту или другую сторону (кривая 6) и тем самым заставить кубит перейти в заданное начальное базовое состояние. Изменяя магнитный поток $$\textit{Ф}_{\text{С}}$$, можно влиять на высоту потенциального барьера между двумя минимумами (кривые 7 и 8), регулируя устойчивость кубита и его чувствительность к внешним воздействиям.

Вместо внешнего магнитного потока в "большой" сверхпроводящий контур 2 можно подать электрический ток смещения. Управление кубитом при необходимости можно также осуществлять дистанционно – с помощью сверхпроводящего трансформатора магнитного потока 3 и дополнительного сквида постоянного тока 4.

В описанном варианте потоковый кубит значительно лучше поддается изучению, регулированию и управлению, чем потоковый кубит с одним ПД (рис 10.3). В то же время и "лазеек" для декогерентизации становится в нем больше, и их надо тщательнее "закрывать".

Фазовые кубиты

Слева на рис 10.6 показана принципиальная схема кубита 1 с тремя ПД. В его сверхпроводящий контур входят два одинаковые ПД (ПД1 и ПД2) и третий (ПД3), имеющий намного меньшую площадь и поэтому большую зарядовую энергию $$E_{\text{З}}$$ и меньшую джозефсоновскую энергию $$E_{\text{Д}}$$.

Такие кубиты имеют уже две "степени свободы" – независимые перепады фазы на двух одинаковых ПД. Поэтому их называют "фазовыми". Зависимость потенциальной энергии фазового кубита от суммарного магнитного потока $$\textit{Ф}$$ сквозь его отверстие имеет форму периодической двумерной поверхности с потенциальными минимумами. Качественно состояния кубита с тремя ПД подобны кубиту с одним ПД, но количественные параметры существенно отличаются, и, используя дополнительную степень свободы, эксплуатационные параметры кубита удается значительно улучшить.

В одной из особенно удачных модификаций фазового кубита с тремя ПД средний переход имеет структуру "сверхпроводник-ферромагнетик-сверхпроводник" (S-F-S). Сверхпроводящий ток через такой переход стабилен лишь тогда, когда сдвиг фаз на этом ПД составляет $$\pi$$. Поэтому такой, более стабильный, кубит называют $$\pi$$-кубитом. При отсутствии внешнего магнитного поля он имеет два основных квантовых состояния, манипулировать которыми позволяет уже очень слабый магнитный поток порядка $$0,05\textit{Ф}_0$$.

Расстояние между энергетическими уровнями двух базовых состояний фазового кубита очень мало, и поэтому такой кубит может надежно функционировать лишь при температурах ниже 20 мК. Вместе с тем он может иметь нанометровые размеры и совсем небольшой ток сверхпроводимости (~10 нА), что способствует достижению высокого уровня интеграции.

Фазовый кубит 1 обычно размещают внутри сквида постоянного тока (2). Магнитный поток, пронизывающий отверстие кубита, в такой конструкции одновременно пронизывает и отверстие сквида 2, что позволяет легко измерять состояние кубита после разнообразных манипуляций с ним. Справа приведена микрофотография внешнего вида одного из образцов такого кубита.

Зарядово-фазовые кубиты

Зарядово-фазовыми называют кубиты с ПД, в которых не выполняются ни условие $$E_{\text{Д}}>>E_{\text{З}}$$, ни условие $$E_{\text{З}}>>E_{\text{Д}}$$, т.е. "джозефсоновская" и зарядовая энергии имеют один порядок величины. Два варианта принципиальной схемы таких кубитов показаны на рис 10.7. Изолированный сверхпроводящий островок СПО соединен здесь с двумя одинаковыми ПД (ПД1 и ПД2), включенными в сверхпроводящий контур. Схему слева в англоязычных публикациях называют еще "the single Cooper pair transistor" (SCT).

В случае, когда параметры ПД таковы, что $$E_З>>Е_Д$$, эта схема работает в "зарядовом" режиме. Тогда ее применяют для контроля зарядового состояния кубита путем измерения сигналов из индуктивности $$L$$. В общем же случае, когда энергии $$E_{\text{З}}$$ и $$E_{\text{Д}}$$ близки, ни величина заряда на островке, ни магнитный поток через сверхпроводящий контур не определены, так как соответствующие им операторы в уравнении Шредингера для этой структуры не коммутируют между собой. Это – типично квантово-механическое явление, аналогичное тому, как электрон в атоме не имеет ни определенной координаты, ни определенного импульса.

Система является устойчивой лишь при определенных дискретных значениях энергии, два нижайших из которых и принимаются за базовые состояния зарядово-фазового кубита. Неопределенность заряда и магнитного потока сквозь сверхпроводящий контур усложняет экспериментальное изучение таких кубитов. Но .б. Это создает дополнительные возможности при объединении многих кубитов в систему.

Манипулирование квантовым состоянием сверхпроводящих кубитов

Выше уже отмечалось, что записывать и считывать информацию в случае зарядовых кубитов можно с помощью специальных электродов, расположенных вблизи от изолированных сверхпроводящих островков (напр., непосредственно под ними), а в случае потоковых кубитов – с помощью внешнего магнитного поля и специального сквида, связанного с данным кубитом через магнитный поток. Мы отмечали и то, что магнитная связь может быть и не непосредственной, а через рамку из сверхпроводника, одно отверстие которой расположено рядом, над или под кубитом, а другое – рядом с измерительным сквидом или с источником импульсов тока записи/считывания.

Манипулировать сверхпроводящими кубитами на ПД можно также с помощью импульсов сверхвысокочастотного (СВЧ) электромагнитного поля. При теоретическом исследовании такого манипулирования к стационарному гамильтониану сверхпроводящего кубита добавляют потенциал взаимодействия кубита с электромагнитным полем и получают нестационарное уравнение Шредингера, описывающее эволюцию системы во времени. Теоретический анализ показал и экспериментальные исследования подтвердили, что сверхпроводящий кубит на ПД в этом взаимодействии ведет себя как высокодобротный колебательный контур ("осциллятор"). Он взаимодействует лишь с теми частотными компонентами электромагнитного поля, которые отвечают собственным резонансным частотам кубита $$ v_{ij}=\frac{E_i-E_j}{h}, $$ т.е. его переходам с $$i$$-го разрешенного энергетического уровня ($$E_i$$) на $$j$$-й ($$E_j$$). Если, например, кубит находится в базовом состоянии $$|0\rangle$$ и на него начинает действовать электромагнитное поле с резонансной частотой $$v_{01}$$, которая соответствует энергии перехода в состояние $$|1\rangle$$, то под влиянием этого поля происходит вполне определенная квантовая эволюция, геометрической интерпретацией которой является поворот вектора состояния на сфере Блоха. Это аналогично действию поперечного переменного магнитного поля на спиновые кубиты. В частности, вероятность $$p(|0\rangle)$$ считать с кубита состояние $$|0\rangle$$ в результате действия резонансного СВЧ поля быстро уменьшается со временем от 1 до 0.

СВЧ импульсы с длительностью, при которой вероятность пребывания кубита в состояниях $$|0\rangle$$ и $$|1\rangle$$ становится одинаковой ($$p(|0\rangle)=p(|1\rangle)=0,5$$), - называют "$$\pi/2$$-импульсами". Такие значения вероятностей означают, что после воздействия $$\pi/2$$-импульса кубит, который пребывал в состоянии $$|0\rangle$$, оказывается в смешанном состоянии с волновой функцией $$\frac{1}{\sqrt{2}}(\Psi|0\rangle+\Psi|1\rangle)$$. При дальнейшем взаимодействии с СВЧ импульсом квантовое состояние кубита эволюционирует в направлении базового состояния $$|1\rangle$$. СВЧ импульсы с длительностью, при которой кубит окончательно переходит в состояние $$|1\rangle$$, т.е. $$p(|0\rangle)\approx 0$$, а $$p(|1\rangle)\approx 1$$, – называют "$$\pi$$-импульсами". Продолжительность $$\pi/2$$- и $$\pi$$-импульсов зависит от амплитуды СВЧ колебаний: чем она больше, тем быстрее происходит изменение состояния и тем короче $$\pi$$-импульс во времени.

В случае потоковых кубитов наиболее эффективное взаимодействие имеет место тогда, когда в создаваемом электромагнитном поле вектор магнитной индукции $$\overrightarrow{B}$$ направлен перпендикулярно к плоскости сверхпроводящего контура, а в случае зарядовых кубитов – тогда, когда вектор напряженности электрического поля $$\overrightarrow{E}$$ ориентирован перпендикулярно к плоскости ПД.

Поскольку в потоковых кубитах и сквидах положение энергетических уровней зависит от внешнего магнитного поля или/и от тока смещения, то с помощью обоих этих факторов можно несколько изменять резонансные частоты и тем самым управлять извне результатом взаимодействия с электромагнитным полем. Экспериментальные исследования полностью подтвердили теоретические выводы.

Таким образом, действуя на сверхпроводящий кубит СВЧ импульсами резонансной частоты и нужной продолжительности, можно выполнять над ним квантовую логическую операцию поворота вектора состояния кубита на любой соответствующий угол.

Рассмотрим теперь случай взаимодействия СВЧ электромагнитных импульсов с парой потоковых кубитов, между которыми имеет место слабая индуктивная связь ($$k = 2M/L \approx 0,001$$, где $$L$$ – собственная индуктивность каждого кубита, $$M$$ – их взаимная индуктивность). Когда СВЧ импульс имеет резонансную частоту $$v_{10\rightarrow 11}$$, т.е. соответствующую переходу системы двух кубитов из базисного состояния $$|10\rangle$$ в базисное состояние $$|11\rangle$$, то система кубитов начинает быстро эволюционировать из базисного состояния $$|10\rangle$$ в направлении состояния $$|11\rangle$$. Вероятность $$p(|10\rangle)$$ считывания состояния $$|10\rangle$$ постепенно уменьшается от 1 до 0, в то время как $$p(|11\rangle)$$ – возрастает от 0 до 1. После действия $$\pi/2$$-импульса система находится в смешанном состоянии с волновой функцией $$\frac{1}{\sqrt{2}}(\Psi|10\rangle+\Psi|11\rangle)$$. Из базисного состояния $$|11\rangle$$ в результате взаимодействия с резонансным электромагнитным полем система эволюционирует в направлении состояния $$|10\rangle$$: после действия $$\pi/2$$-импульса она находится в смешанном состоянии с волновой функцией $$\frac{1}{\sqrt{2}}(\Psi|10\rangle + \Psi|11\rangle)$$, а после действия $$\pi$$-импульса – уже в состоянии $$|10\rangle$$.

Если СВЧ импульс действует лишь на второй кубит системы, то при начальных базисных состояниях $$|00\rangle$$ и $$|01\rangle$$ система так и остается в начальном состоянии. Если же систему сначала с помощью $$\pi/2$$-импульса, поданного на первый кубит, перевести в смешанное состояние с волновой функцией $$\frac{1}{\sqrt{2}}(\Psi|00\rangle+\Psi|10\rangle)$$ или $$\frac{1}{\sqrt{2}}(\Psi|01\rangle+\Psi|11\rangle)$$, то после действия на второй кубит $$\pi$$-импульса система переходит в сплетенное состояние с волновой функцией $$\frac{1}{\sqrt{2}}(\Psi|00\rangle+\Psi|11\rangle)$$ или соответственно – в состояние с волновой функцией $$\frac{1}{\sqrt{2}}(\Psi|01\rangle+\Psi|10\rangle)$$. Таким образом, оказалось, что систему из двух индуктивно связанных кубитов, действуя на каждый кубит отдельно резонансными СВЧ импульсами, можно использовать как квантовый логический вентиль "Контролируемое отрицание" $$C_{NOT}$$, который является универсальным квантовым вентилем. Другими словами: над парой индуктивно связанных кубитов с помощью резонансных СВЧ импульсов можно выполнить двухкубитную квантовую логическую операцию $$C_{NOT}$$.

С помощью импульсов СВЧ электромагнитного поля может быть реализована также универсальная многокубитная квантовая логическая операция, которую называют "контролируемое унитарное преобразование" (.a. Темными кружками здесь условно показаны контролирующие кубиты, а квадратиком с пометкой $$U$$ – контролируемый кубит, над которым выполняется конкретное однокубитное унитарное преобразование (любое), т.е. поворот вектора состояния этого кубита на сфере Блоха на заданные углы вокруг координатных осей. Это унитарное преобразование реализуется лишь в том случае, если все контролирующие кубиты находятся в базисном состоянии $$|111\ldots 11\rangle$$. Если же хотя бы один из них находится в другом состоянии, то унитарное преобразование состояния контролируемого кубита не реализуется.

Для выполнения указанной многокубитной квантовой логической операции в микроволновом резонаторе ($$англ$$. "cavity QED"), внутри которого размещены кубиты, возбуждается и поддерживается стоячая СВЧ волна. Все кубиты размещают в ее пучностях. Заметим, что при длине волны порядка 10 мм протяженность "пучности" составляет $$\approx 1$$ мм. И если "шаг" размещения кубитов будет составлять даже 30 мкм, то в одной "пучности" на площади 1 мм² вместятся до 1000 миниатюрных кубитов.

В этом методе используются не 2, а 3 наиболее низкие энергетические уровня кубита (рис 10.8.б): $$|0\rangle$$, $$|1\rangle$$ и $$|2\rangle$$. Эти разрешенные уровни показаны горизонтальными отрезками. Сплошная кривая – это зависимость потенциальной энергии кубита от величины полного магнитного потока сквозь его отверстие. Сокращенно ее называют "потенциальной кривой". Если внешний магнитный поток $$\textit{Ф}_{\text{В}} = 0,5\textit{Ф}_0$$, пронизывающий отверстие кубита, немного уменьшить до $$(0,5-\delta)\textit{Ф}_0$$ (малая величина $$\delta\approx 0,05$$ и меньше), то потенциальная кривая кубита становится асимметричной, и энергетический уровень, соответствующий базовому состоянию $$|0\rangle$$, несколько опускается. Переход из него на энергетический уровень $$|2\rangle$$, расположенный выше потенциального барьера между минимумами, становится резонансным со стоячей волной, и кубит за короткое время переходит с уровня $$|0\rangle$$ на уровень $$|2\rangle$$. Если теперь увеличить $$Ф_В$$ до значения $$(0,5+\delta)Ф_0$$, то асимметрия потенциала меняется на противоположную, ниже становится энергетический уровень, соответствующий базовому состоянию $$|1\rangle$$ (рис 10.8.в), и под действием резонансной стоячей волны кубит переходит с уровня $$|2\rangle$$ на уровень $$|1\rangle$$.

Оказалось, что взаимодействие возможно не только на резонансных, а и на нерезонансных частотах. Это показано на рис 10.8.г и д. Энергии кванта стоячей волны достаточно здесь для возбуждения кубита до уровня, немного ниже, чем энергетический уровень $$|2\rangle$$, но расположенного выше потенциального барьера между минимумами.

По оценке специалистов для реализации $$n$$-кубитной квантовой логической операции "контролируемое унитарное преобразование" требуется ($$2n + 11$$) "шагов" (в классической вычислительной технике это называют "микрооперациями").

Таким образом, для сверхпроводящих кубитов на ПД разработаны не только методы записи и считывания из них квантовой информации, но и эффективные методы реализации над ними функционально полного набора квантовых логических операций.

Работы по оптимизации сверхпроводящих кубитов

За последнее десятилетие выполнен значительный объем теоретических и экспериментальных исследований с целью оптимизации сверхпроводящих кубитов на ПД и схем записи, считывания из них информации, способов выполнения над ними квантовых логических операций. В разных лабораториях мира интенсивно изучали и продолжают изучать, какого типа ПД и с какими параметрами функционируют лучше всего, имеют наименьшую декогерентизацию, оказывают наименьшее влияние на другие элементы квантового процессора. Это потребовало большого объема экспериментальных работ. Мы не станем знакомить вас со всеми деталями таких исследований, однако считаем нужным дать вам общее представление о сути этой кропотливой работы.

Для того, чтобы детально разобраться в механизмах квантовых вычислений и оптимизировать их ход, очень важной является томография квантового состояния кубитов, о которой мы уже рассказывали в лекции 9. Она особенно сложна в тех случаях, когда квантовое состояние кубита является гибридным, т.е. "смесью" его базовых состояний. Напомним, что за одну серию измерений можно определить проекцию вектора Блоха лишь на одну из координатных осей. Чтобы определить все три проекции и детальнее знать квантовое состояние кубита, надо проводить несколько серий измерений. Еще сложнее разбираться в "сплетенных" состояниях нескольких кубитов.

На сегодняшний день относительно разных видов сверхпроводящих кубитов предложены и детально рассмотрены все томографические процедуры, необходимые для определения квантового состояния как отдельного кубита, так и пары взаимосвязанных сверхпроводящих кубитов и даже ансамбля из многих кубитов. Особенно ценным оказалось то, что предложенные процедуры томографических измерений для ансамблей из многих сверхпроводящих кубитов удается проводить в пределах короткого времени порядка 5-20 нс. Это ведь очень важно в случаях, когда время сохранения когерентности мало.

Теоретически и экспериментально исследуются зависимости характеристик функционирования кубитов и групп кубитов от всех конструктивных и технологических параметров: от размеров и формы элементов кубитов и от их взаимного расположения, от физической структуры переходов Джозефсона, от материалов, из которых они изготовлены, от деталей технологии изготовления и т.п. Например, для фазовых кубитов на ПД было установлено, что из разных возможных материалов сверхпроводника наибольшее время сохранения когерентности обеспечивают сверхпроводники из алюминия. Показано, что потоковые кубиты на ПД со структурой SNS (сверхпроводник – нормальный металл – сверхпроводник) работают быстрее, чем со структурой SIS (сверхпроводник – изолятор – сверхпроводник).

Оказалось, что значительно улучшить работу сверхпроводящих кубитов помогает шунтирование ПД дополнительными элементами. Разработана теоретическая модель, описывающая функционирование ПД с шунтами. Показано, что шунтирование ПД типа SIS в сверхпроводящих потоковых кубитах нелинейными переходами типа SIN (сверхпроводник –изолятор – нормальный металл) изменяет динамику кубита в лучшую сторону. В частности, значительно уменьшаются дробовой шум электрического тока, электромагнитное влияние на соседние кубиты, демпфируются колебания, возникающие обычно при выполнении логических операций над кубитами и при считывании их состояния. Экспериментально исследуются шунты с разной структурой (например, $$Nb/AlO_x/AuPd$$ и другие).

Теоретически и экспериментально исследуются структуры "кубит + считывающий сквид". Показано, что оптимальное шунтирование переходов Джозефсона во внешнем считывающем сквиде, значительно уменьшает влияние измерительного сквида на кубит и содействует удлинению состояния когерентности последнего на порядок – вплоть до значений около 200 мкс. Оптимальным признано чисто емкостное шунтирование каждого из двух симметричных ПД. Чувствительность считывания определяется при этом в основном квантовым шумом усилителя.

Выполнен теоретический анализ компаратора для быстрого (~10 пс) считывания состояния кубита на ПД с учетом реального индуктивного импеданса кубитов и флуктуаций от неконтролируемых внешних влияний (в первую очередь магнитных). Предложена квантовая схема с использованием компенсирующей обратной связи для уменьшения таких внешних влияний. Разработан экспериментальный сверхпроводящий компаратор, обеспечивающий быстрое (за 30-50 пс) считывание информации со сверхпроводящих кубитов, необходимое для реализации схем коррекции сбоев при квантовых вычислениях.

Вся эта коллективная работа значительно продвинула вперед всю технологию изготовления и использования сверхпроводящих кубитов на переходах Джозефсона, сделала эти кубиты одним из самых перспективных направлений реализации квантовых процессоров.

Организация сверхпроводящих кубитов в квантовый процессор

Одними из первых вопросов системной организации сверхпроводящих кубитов на ПД в функционально полный квантовый процессор являются вопросы о том, как лучше объединить массив кубитов в единую систему.

Можно сделать так, чтобы каждый из кубитов массива был связан с общим для всех высокодобротным колебательным $$LC$$ контуром, собственная частота которого существенно отличается от резонансных частот отдельных кубитов. Высокая добротность нужна для того, чтобы контур почти не отбирал от кубитов энергию и мало влиял на динамику каждого из них. И в то же время изменение состояния любого из кубитов через общий контур влияет на все другие кубиты.

Например, в "линейке" зарядовых кубитов, структура которой изображена на рис 10.2 справа, такой контур может быть включен последовательно с общим сверхпроводящим "резервуаром" СП.

В случае потоковых кубитов весь их массив может быть размещен в отверстии общей сверхпроводящей "катушки" индуктивности. На рис 10.9 в качестве примера приведена микрофотография экспериментального 4-кубитного квантового регистра, объединенного такой общей сверхпроводящей "катушкой".

Мы иллюстрируем лишь принцип: внутри контура катушки могут быть не 4, а даже и 1000 кубитов. Из-за того, что суммарный магнитный поток в таком контуре квантуется, уже небольшие изменения собственного магнитного потока сквозь любой из кубитов сразу же влияют на состояние всех других кубитов.

Экспериментальные исследования с пока еще небольшими (4- и 16-кубитными) квантовыми регистрами, расположенными в отверстии общей сверхпроводящей "катушки" индуктивности, показали, что система в целом ведет себя в полном соответствии с ее теоретической квантово-механической моделью. Кубиты легко переводятся в сплетенные состояния и в пределах времени когерентности ведут себя как взаимосогласованный ансамбль.

В большом массиве возможен также вариант, когда каждый кубит взаимодействует через слабую емкостную или индуктивную связь только со своими ближайшими соседями, и только совокупность всех таких связей объединяет кубиты в систему. Такой вариант, его возможности и недостатки сейчас еще всесторонне анализируются теоретически и экспериментально.

Другим системным вопросом является индивидуальная адресация к каждому или хотя бы к некоторым из кубитов в большом их массиве. Перспективной представляется матричная организация с адресацией к заданному потоковому кубиту через две независимые системы ортогональных сверхпроводящих шин. Пропускание электрического тока определенной величины одновременно через две таких шины создает импульсы магнитного потока, требуемые для считывания состояния кубита. При этом с кубитов, на которые подается магнитный поток, созданный током лишь через одну из шин, считывания не происходит. Такая система уже экспериментально испытана, и показано, что она функционирует. Влияние процесса считывания на декогерентизацию не выбранных кубитов было незначительным. Однако нужны еще дополнительные исследования.

Следующий системный вопрос – это слева.

При ее изготовлении перед технологической операцией вакуумного напыления верхнего сверхпроводника (напр., из ниобия) в относительно толстом (10–300 нм) слое изолятора вытравливают углубление так, чтобы после напыления $$Nb$$ между нижним и верхним сверхпроводниками остались лишь тонкие туннельные барьеры из $$AlO_x$$ толщиной $$\approx 1-10$$ нм. Образовавшийся ВДИ с двумя ПД на рис 10.10 слева отмечен замкнутой штриховой линией циркулирующего сверхпроводящего тока. Величину этого тока можно регулировать, изменяя горизонтальный магнитный поток $$\textit{Ф}_Y$$ сквозь его вертикальное отверстие. А от этого зависит то, при каком значении "транспортного" тока $$І_{\text{вх}}$$, текущего в сверхпроводящем трансформаторе, суммарный ток через один из ПД превысит критический, и сверхпроводимость разрушится. Т.е. таким образом можно точно регулировать максимальную величину тока через сверхпроводящий трансформатор.

Справа на рис 10.10 показана схема включения ВДИ в электрическую цепь сверхпроводящего трансформатора 3 между потоковыми кубитами 1 и 2. Экспериментальные измерения показали, что коэффициент передачи магнитного потока можно таким образом контролировано изменять минимум в 40 раз с частотой порядка нескольких мегагерц.

Еще один системный вопрос заключается в возможности временного запоминания квантового состояния кубитов с последующим возвращением их в то же самое состояние. С этой целью предложено использовать высокодобротные пьезоэлектрические резонаторы, изготовленные с помощью технологии НЭМС (наноэлектромеханических систем). Квантовая информация в таких резонаторах может сохраняться в течение десятков-сотен наносекунд. Восстановление квантового состояния происходит с надежностью, лучше 90%. Это важно, так как ряд уже предложенных программ квантовых вычислений предусматривают использование такой памяти.

И, наконец, еще одним системным вопросам является возможность передачи через внутреннюю шину связи произвольной квантовой информации от одной подсистемы процессора к другой. Это можно осуществить через линию из последовательно соединенных сверхпроводниками зарядовых кубитов. Исследована точность такой передачи в зависимости от коэффициента передачи между звеньями, от количества звеньев, продолжительности передачи и от величины динамического шума.

Реализация квантовых процессоров

Сейчас оказалось, что в направлении реализации функционально полных квантовых процессоров продвижение идет наиболее быстро именно с применением явления сверхпроводимости и переходов Джозефсона. ). Он был представлен журналистам в Музее истории компьютерных технологий в известной Кремниевой долине (США). Квантовый процессор этого компьютера состоит из 16 сверхпроводящих потоковых кубитов с ПД, организованных в матрицу 4 х 4 (микрофотография на рис 10.11.а). Вместе с периферийными электронными узлами он смонтирован в корпусе микросхемы (рис 10.11.б), которая устанавливается на криогенный носитель (справа). Последний опускают в криостат с жидким гелием.

Во время работы квантовый процессор поддерживают при температуре порядка единиц милликельвинов, очень близкой к абсолютному нулю. Работа процессора была продемонстрирована на примере дистанционного решения нескольких специфических задач. Подпрограммы выявления и исправления ошибок из-за небольшого количества кубитов задействованы не были.

В процессе исследовательской эксплуатации "D-Wave Systems Orion" успешно решил японскую головоломку "Судоку", отыскивал молекулы с заданными свойствами в химической базе данных, быстро находил нужное изображение в архиве из тысяч фотографий.

Одной из первых квантовым процессором "Орион" заинтересовалась компания Google с целью применения его в своей известной на весь мир мощной системе поиска информации в Интернете. Несколько лет специалисты компании разрабатывали и отрабатывали квантовый алгоритм поиска заданных объектов в грандиозной неструктурированной базе фото- и видеоизображений. И уже в 2009 г. компания сообщила об успешном испытании такого алгоритма, в ходе которого квантовый процессор "Орион" выполнял сортировку 20 тысяч фотографий автомобилей. Задача решалась на порядок быстрее, чем с помощью наилучших классических алгоритмов на суперкомпьютере, имеющемся в центре обработки данных компании Google. И не исключено, что пользователи Интернета, отыскивая нужную им видеоинформацию через поисковую систему Google, уже сейчас пользуются сверхбыстрым поисковым механизмом, который реализуется на квантовом процессоре.

В июне 2011 г. компания D-Wave Systems заключила первый официальный контракт с компанией Lockheed Martin на продажу, продолжительное обслуживание и поддержку новой вычислительной системы "D-Wave One" с теперь уже 128-кубитным квантовым процессором "Rainier" (рис 10.12).

Как следствие этого, в ноябре 2011 г. в Южно-Калифорнийском университете (США) заработал первый в мире "квантовый" вычислительный центр – "USC-Lockheed Martin Quantum Computing Center" – общее детище университета и компании Lockheed Martin.

Квантовый процессор "Rainier" на кубитах с переходами Джозефсона типа $$Nb/AlO_x/Nb$$ функционирует при температуре 20 микрокельвинов (0,00002 К) в тщательно экранированном от внешних магнитных полей помещении. Инфраструктура этого вычислительного центра рассчитана на перспективное использование еще не одного поколения квантовых процессоров.

Уже в середине 2012 г. появилось сообщение о том, что на квантовом процессоре "Rainier" решена трудная вычислительная задача построения двухцветного графа т.н. чисел Рамсея. Ее решение является весьма обременительным для обычных компьютеров и нуждается в очень больших вычислительных ресурсах. На современном мощном компьютере она может быть решена приблизительно за 250 лет. А квантовому компьютеру на это понадобилось только 270 миллисекунд! В решении задачи были задействованы 84 кубита, из них 28 кубитов – непосредственно для квантовых вычислений и 56 кубитов – для обеспечения избыточного кодирования, поиска и квантовой коррекции ошибок.

Квантовый процессор "Rainier" особенно эффективен для решения многофакторных задач дискретной оптимизации, так как способен довольно быстро находить т.н. "глобальный" минимум целевой функции. Было, например, продемонстрировано, как эффективно он решает задачу нахождения наиболее энергетически выгодной объемной структуры молекулы белка, состоящего из заданной последовательности многих десятков аминокислот.

. Его основной квантовый регистр (ОКР) состоит из 64 (8х8) 16-кубитных секций, подобных изображенной на рис 10.11.а.

В 2013 г. квантовый процессор "Vesuvius" приобрели у компании D-Wave упомянутая уже выше компания Google и космическое агентство NASA.

Таким образом, компания D-Wave уже вплотную приблизилась к созданию полномасштабного квантового процессора, требуемого для того, чтобы окончательно убедиться в прогнозируемых преимуществах квантовых компьютеров и оправдать все затраты на их создание.

Интересно отметить, что еще в 2008 г. в мировом научном сообществе преобладали прогнозы специалистов, которые ожидали создания полномасштабных квантовых компьютеров лишь в середине ХХІ в. А скептики говорили, что такие процессоры не будут реализованы никогда.

Тем не менее, теперь есть все основания считать, что мы УЖЕ вступили в эру квантовых компьютеров, хотя и находимся лишь в самом ее начале.

Основные положения лекции 12

С использованием переходов Джозефсона строится ряд вариантов сверхпроводящих кубитов: зарядовые, потоковые, фазовые и зарядово-фазовые кубиты.

Зарядовый кубит состоит из относительно массивного сверхпроводника, который называют "берегом" или "резервуаром", и расположенного рядом с ним наноразмерного электрически изолированного сверхпроводящего "островка", соединенного с "резервуаром" через переход Джозефсона (ПД). Рядом с островком формируют 2 электрода: контролирующий и управляющий. Зарядовая энергия $$E_{\text{З}}$$ в таких кубитах намного превышает энергию джозефсоновской связи $$E_{\text{Д}}$$. Зарядовый кубит имеет два разрешенных значения энергии, зависящих от потенциала контролирующего электрода. В нижнем энергетическом состоянии $$(|0\rangle)$$ островок является электрически нейтральным, а в верхнем $$(|1\rangle)$$ на нем находится одна избыточная куперовская пара. Регулируя длительность короткого импульса напряжения на управляющем электроде, можно выполнять над кубитом запланированные квантовые логические операции. Зарядовые кубиты легко объединять в "линейки" и в массивы, их можно использовать как каналы передачи квантовой информации.

Потоковые кубиты строят на сквидах с одним или с несколькими ПД. Площадь ПД здесь должна быть значительно больше, чем в зарядовых кубитах, чтобы выполнялось условие $$E_{\text{Д}} >> E_{\text{З}}$$. Благодаря макроскопической квантовой интерференции в контуре устанавливается такой сверхпроводящий ток, чтобы суммарный магнитный поток сквозь контур был кратным кванту магнитного потока. Поэтому сверхпроводящий контур может находиться в двух базовых состояниях: $$(|0\rangle)$$, когда ток течет в нем по часовой стрелке или $$(|1\rangle)$$, – когда против часовой стрелки. На ПД автоматически устанавливается нужная разность фаз. Расположение разрешенных энергетических уровней в кубите зависит от внешнего магнитного потока смещения. Применение нескольких ПД в сверхпроводящем контуре позволяет значительно уменьшить геометрические размеры контура, снижает влияние на кубит неконтролируемых электромагнитных полей и этим содействует сохранению когерентности кубитов.

В сверхпроводящий контур фазового кубита входят три ПД: два одинаковые и третий, имеющий намного меньшую площадь и поэтому большую зарядовую энергию. Фазовый кубит имеет две "степени свободы" – перепады фазы на двух одинаковых ПД, что позволяет значительно улучшить его эксплуатационные характеристики. Особенно удачной модификацией фазового кубита является $$\pi$$-кубит, в котором средний переход имеет структуру S-F-S. Такой кубит очень стабилен, и им легко манипулировать. Фазовый кубит обычно размещают внутри сквида постоянного тока, позволяющего измерять состояние кубита после разнообразных манипуляций с ним.

Зарядово-фазовыми называют кубиты с двумя или тремя ПД, в которых энергии $$E_{\text{З}}$$ и $$E_{\text{Д}}$$ соизмеримы. Ни величина заряда на островке, ни магнитный поток сквозь сверхпроводящий контур в таком кубите не определены. Система является устойчивой лишь при определенных дискретных значениях энергии, нижние из которых и принимаются за базовые состояния зарядово-фазового кубита. Преимуществом является то, что состоянием такого кубита можно управлять и путем изменения внешнего магнитного потока, и путем изменения напряжения смещения, и путем изменения тока смещения. Это упрощает индивидуальную адресацию при объединении многих кубитов в систему.

Теоретические исследования показали и эксперименты подтвердили, что кубит на ПД при взаимодействии с электромагнитным полем ведет себя как высокодобротный колебательный контур. Он взаимодействует лишь с теми частотными компонентами электромагнитного поля, которые соответствуют собственным резонансным частотам кубита. Под действием электромагнитного импульса с резонансной частотой вектор состояния кубита начинает поворачиваться по сфере Блоха, что позволяет выполнять над кубитом запланированные квантовые логические операции. Действуя резонансными СВЧ импульсами на каждый из двух индуктивно связанных кубитов, можно выполнить двухкубитную квантовую логическую операцию $$C_{NOT}$$ ("Контролируемое отрицание"). Для реализации $$n$$-кубитной квантовой логической операции "контролируемое унитарное преобразование" требуется ($$2n + 11$$) последовательных резонансных СВЧ импульсов.

Таким образом, для сверхпроводящих кубитов с ПД разработаны не только методы записи и считывания из них информации, а и эффективные методы реализации в них функционально полного набора квантовых логических операций.

За последнее десятилетие выполнен значительный объем теоретических и экспериментальных исследований с целью оптимизации сверхпроводящих кубитов на ПД и схем записи, считывания из них информации, способов выполнения над ними квантовых логических операций. Достаточно отработаны разные способы объединения кубитов в единую систему, способы оперативного установления и прерывания связей между кубитами, в частности, с помощью "вертикального джозефсоновского интерферометра". Для передачи произвольной квантовой информации от одной подсистемы процессора к другой в качестве внутренней шины связи предложено использовать линии последовательно соединенных зарядовых кубитов.

Сверхпроводящие кубиты на ПД оказались на данный момент самой удачной элементной базой для реализации квантовых процессоров. С 2011 г. успешно работает вычислительная система "D-Wave One" со 128-кубитным квантовым процессором "Rainier". В 2012 г. компания "D-Wave" провела успешные испытания следующей версии сверхпроводящего квантового процессора "Vesuvius", который состоит уже из 512 кубитов. Есть все основания считать, что мы УЖЕ вступили в эру квантовых компьютеров, хотя и находимся в самом ее начале.

Набор для практики

Вопросы для самоконтроля