Рынок как система с явными потерями

3.1. Постановка задачи

В этой главе мы рассмотрим методы расчёта пропускной способности рынка с полнодоступной группой потребителей в системе с явными потерями.

Мы уже отмечали, что математическая модель рынка характеризуется следующими элементами:

В этом параграфе рассмотрим простейшую модель:

Задано:

Рынок, на вход которого поступает предложение - партии товаров, а на выходе, которого имеется $$\nu$$ групп потребителей, каждая из которых обслуживается полнодоступно без приоритетов. Товар может быть приобретён любой из этих групп.

На рынок поступает простейший поток партий товаров

$$F_1(t)=1-e^{-\lambda \cdot t}$$

$$F_1 (t)=P(z_i <t)$$ - вероятность поступления товара за время меньше $$t$$ с параметром $$\lambda$$.

Будем считать, что длительность потребления (длительность занятия любой группы потребителей) - случайная величина и подчиняется показательному закону распределения с параметром $$\beta$$ (рис. 3.1) .

Вероятность того, что за время $$t$$ одна группа потребителей освободится:

$$F_1 (t) =P(z_i <t)=1-e^{-\beta \cdot t_{потр}} = \beta \cdot t_{потр} +O(t)$$,

где $$t_{потр}$$ - длительность потребления;

$$\frac{1}{\beta}$$ - средняя длительность потребления.

Параметр $$\beta$$ в этом выражении полностью аналогичен параметру $$\lambda$$ показательного закона распределения промежутка $$z_i$$ между поступлением простейшего потока товаров. Вероятность того, что за время $$t$$ поступит одна партия товара:

$$F_1 (t)=P(z_i <t)=1-e^{-\beta \cdot t_{потр}}=\beta \cdot t_{потр}+O(t)$$

Параметр $$\lambda$$ показывает плотность потока занятий групп потребителей $$\frac{1}{\lambda}$$ - средняя длительность интервала между поставками двух партий товаров).

Аналогично $$\beta$$ можно рассматривать как плотность потока освобождений потребителей, $$1/\beta$$- средняя длительность занятия группы потребителей одной партией товара.

В качестве дисциплины обслуживания примем обслуживание партий товаров с явными потерями, то есть при занятости всех потребителей поступивший товар получает отказ в реализации и на рынок не возвращается. Потерянное предложение не оказывает на систему никакого влияния.

Требуется найти вероятность занятия $$i$$ любых линий из числа $$\nu$$ в фиксированный моментвремени $$t - P_i (t)$$.

Найти $$P_i (t)$$ - вероятность того, что в момент $$t$$ занято ровно $$i$$ потребителей.

3.2. Дифференциальные уравнения Эрланга

Введём понятия макросостояния группы потребителей. Сообщество из $$v$$ групп потребителей может иметь одно микросостояние из набора $$(\nu+1)$$ состояний:

$$x_0$$ - свободны все группы потребителей;

$$x_1$$ - занята ровно одна группа потребителей ;

…

$$x_i$$ - занято ровно $$i$$ групп потребителей;

…

$$x_v$$ - заняты все $$v$$ потребителей

Диаграмма состояний и переходов показана на рисунке 3.3:

Вероятность того, что система в момент времени $$t$$ находится в состоянии $$x_i$$ обозначим $$P_i(t)$$ ; $$i=0,1,2 ,... , \nu$$.

Так как все возможные состояния представляют собой полную группу

событий, то для любого момента $$t$$:

$$\sum_{i=0}^{\nu} P_i(t)=1$$

I. Запишем дифференциальное уравнение для $$P_0(t)$$.

Рассмотрим отрезок (рис. 3.3) времени $$[t , t+\Delta t )$$ :

$$F_1 (\Delta t)= P(z < \Delta t) =1 - e^{-\lambda \cdot \Delta t} + O(\Delta t)$$ - вероятность того, что за время $$\Delta t$$ поступит партия товаров;

$$1-F_1(\Delta t)=e^{-\lambda \cdot \Delta t}=1-\lambda \cdot \Delta t +O(\Delta t)$$ - вероятность того, что за время $$\Delta t$$ партия товаров не поступит;

$$F_2(\Delta t)=P(t_{потр}< \Delta t)=1-e^{-\beta \cdot \Delta t} =\beta \cdot \Delta t +0(\Delta t)$$ - вероятность того, что за время $$\Delta t$$ группа потребителей освободится;

$$1-F_2(\Delta t)=e^{-\beta \cdot \Delta t }=1-\beta \cdot \Delta t +0(\Delta t )$$ - вероятность того, что за время $$\Delta t$$ группа потребителей не освободится.

Найдём вероятность того, что в момент $$t+\Delta t$$ система будет находиться

в состоянии $$x_0$$ ( все группы потребителей свободны) -

$$P_0(t+\Delta t)= \sum_{j=0}^{\nu}P_{j_0}(t)$$

Это может произойти двумя способами (число стрелок в $$x_0$$ - две):

Первый вариант (I) - в момент $$t$$ система находилась в состоянии $$x_0$$ , и за время $$\Delta t$$ не поступило ни одного вызова (система не перешла в состояние $$x_1$$);

Bторой вариант (II) - в момент $$t$$ система находилась в состоянии $$x_1$$ , и за время $$\Delta t$$ группа потребителей освободилась, и система перешла в состояние $$x_0$$ (рис. 3.5) .

Возможностью перехода рынка из $$x_2$$ в $$x_0$$ (одновременно освободилось две группы потребителей) при малом $$\Delta t$$ можно пренебречь, так как поток

освобождений ординарный, то есть

$$P_0(t+\Delta t)= \sum_{j=0}^{1}P_{j_0}(t)$$

По теореме сложения вероятностей:

$$P_0 (t+\Delta t) \approx P (I) +P(II)$$

$$P(I)$$ найдём по теореме умножения. Вероятность того, что в момент $$t$$ рынок был в состоянии $$x_0$$ , равна $$P_0 (t)$$. Вероятность того, что за время $$\Delta t$$ не придёт ни одной партии товара, равна $$e^{-lambda \cdot t} \approx 1-\lambda \cdot t$$.

Так как $$F_1(\Delta t)=P(z_i < t)=1-e^{-\lambda \cdot t}$$, отсюда:

$$P(z_i \geq \Delta t)=1-(1-e ^{-\lambda \cdot t })=e^{-\lambda \cdot t }$$

Вспомним ряд Маклорена - $$e^x = x_00!+x_11!+x_ 22!+...$$ .

С точностью до величины высшего порядка малости - $$e^{-\lambda \cdot t } \approx 1-\lambda \cdot \Delta t$$.

Следовательно, $$P(I) \approx P_0 (t)\cdot (1-\lambda \cdot \Delta t)$$.

Найдём $$P(II)$$. Вероятность того, что в момент $$t$$ система была в состоянии $$x _1$$ , равна $$P_1 (t)$$. Вероятность того, что за время $$\Delta t$$ одна линия освободится, равна $$F_2 (\Delta t)=P(t_{потреб} <\Delta t)=1-e^{-\beta \cdot \Delta t} \approx \beta \cdot \Delta t$$.

С точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости,

чем $$\Delta t$$: $$1-e^{-\beta \cdot \Delta t} \approx 1-(1-\beta \cdot \Delta t) \approx \beta \cdot \Delta t$$

Следовательно, $$P(II)=P_1 (t) \cdot \beta \cdot \Delta t$$.

Подставляя вместо $$P(I)$$ и $$P(II)$$ их значения, получим:

$$\frac {P_0 (t+\Delta t) -P_0(t)}{\Delta t} \approx = -\lambda \cdot P_0 (t) + \beta \cdot P_1(t)$$

Переходя к пределу при $$\Delta t \rightarr \infty$$, получим:

$$\frac {dP_0 (t)}{dt} \approx -\lambda \cdot P_0 (t)+\beta \cdot P_(1)(t)$$

Аналогичные дифференциальные уравнения составим и для других

вероятностей состояний.

I.Возьмём любое $$i (0<i<\nu)$$ и найдём вероятность $$P_i (t+\Delta t)$$ того, что в момент $$t+\Delta t$$ система будет в состоянии $$x_I$$ (рис. 3.6)

Вообще $$P_i(t+\Delta t)= \sum_{j=0}^{\nu} P_{ji}(t)$$.

Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы трёх событий (по числу стрелок, направленных в $$x_i$$ ):

$$P_i(t+\Delta t) \approx P(I)+P(II)+P(III)$$

Событие $$I$$ - в момент t рынок был в состоянии $$x_i$$, а за время $$\Delta t$$ не

перешла из него ни в $$x_{i+1}$$ , ни в $$x_{i-1}$$ (ни одна партия товара не поступила и ни одна из $$i$$ групп потребителей не освободилась);

Событие I$$I$$ - в момент $$t$$ рынок был в состоянии $$x_{i-1}$$ (заняты $$i-1$$ группа потребителей), а за время $$\Delta t$$ перешёл в состояние $$x_i$$ (поступил одна группа товаров);

$$III$$ - в момент $$t$$ рынок был в состоянии $$x_i+1$$ (занята $$i+1$$ группа потребителей)

а за время $$\Delta t$$ одна группа потребителей освободилась.

То есть $$P_i(t+\Delta t)= \sum_{j=0}^{\nu} P_{ji}(t)$$

Найдём P (I) . Вероятность того, что за время $$\Delta t$$ не поступит ни одной партии товаров и не освободится ни одна группа потребителей, равна:

$$e^{-\lambda \cdot \Delta t}\cdot (e^{-\beta \cdot \Delta t})^i=e^{-(\lambda+i\cdot \beta) \cdot \Delta t}$$,

где $$e^{-\beta \cdot \Delta t} $$ - вероятность того, что не освободятся группы потребителей с первой по $$i$$-ю.

Пренебрегая малыми величинами высших порядков, имеем:

$$e^{-(\lambda+i\cdot \beta)}\cdot \Delta t \approx 1-(\lambda+i\cdot \beta)\cdot \Delta t$$

Таким образом: $$P(I)=P_i (t)\cdot [1-(\lambda+i\cdot \beta)\cdot \Delta t]$$

Найдём $$P (II)$$. Вероятность поступления одного одной партии товара за $$\Delta t$$ равна:

$$1-e^{-\lambda \cdot \Delta t}\approx 1-(1-\lambda \cdot \Delta t)\approx \lambda \cdot \Delta t$$

Следовательно:

$$P (II)=P_{i-1}(t)\cdot \lambda \cdot \Delta t$$

Найдём $$P(III)$$. Вероятность освобождения за время $$\Delta t$$ одной из $$(i+1)$$ занятых групп потребителей (или первая, или вторая, … или $$(i+1)$$-я):

$$(i+1)\cdot (1-e^{-\beta \cdot \Delta t})\approx (i+1)\cdot (1-1+\beta \cdot \Delta t)\approx (i+1)\cdot \beta \cdot \Delta t$$

Следовательно:

$$P (III)\approx P_{i+1}(t)\cdot (i+1)\cdot \beta \cdot \Delta t$$

Подставляя значения $$P(I)$$, $$P(II)$$ и $$P(III)$$, получим:

$$P_i (t+\Delta t)=P_i (t)\cdot [1-(\lambda +i\cdot \beta)\cdot \Delta t]+P_{i-1}(t)\cdot \lambda \cdot \Delta t+P_{i+1}(t)\cdot (i+1)\cdot \beta \cdot \Delta t$$

Перенесём $$P_i(t)$$ в левую часть, разделим на $$\Delta t$$ и, переходя к пределу, получим дифференциальное уравнение для $$P_i(t)$$ при $$0<i<\nu$$ :

$$\frac{dP_i(t)}{dt}=-\lambda \cdot P_{i-1}(t)-(\lambda + I \cdot \beta)P_i(t)+(i+1)\cdot \beta \cdot P_{i+1}(t)$$

III. Составим уравнение для последней вероятности $$P_{\nu} (t)$$ - это вероятность того, что все $$\nu$$ групп потребителей будут заняты (рис. 3.7).

Это может произойти двумя способами:

I - в момент времени $$t$$ рынок находился в состоянии $$x_{\nu}$$ и за время $$\Delta t$$ ни одна группа потребителей не освободилась. Вероятность того, что за время $$\Delta t$$ не освободится первая группа потребителей, равна $$e^{-\beta \cdot \Delta t}$$. Вероятность того, что не освободится и первая, и вторая, … , и $$\nu$$-я группа потребителей равна:

$$e^{-\nu \cdot \beta \cdot \Delta t} \approx 1-\nu \cdot \beta \cdot \Delta t$$. Тогда $$P(I) \approx P_{\nu} (t) \cdot (1-\nu \cdot \beta \cdot \Delta t)$$;

II - в момент времени $$t$$ система находилась в состоянии $$x_{\nu-1}$$ и за время $$\Delta t$$ произошло занятие одной группы потребителей. Вероятность поступления одного партии товаров за $$\Delta t$$ равна $$1-e^{-\lambda \cdot \Delta t}\approx 1-(1-\lambda \cdot \Delta t)\approx \lambda \cdot \Delta t$$.

Тогда $$P(II)=P_{\nu-1}(t)\cdot \lambda \cdot \Delta t$$.

Вероятность того, что в момент $$t+\Delta t$$ система будет находиться в состоянии $$x_{\nu}$$:

$$P_{\nu} (t+\Delta t) \approx P_{nu} (t) \cdot (1-\nu \cdot \beta \cdot \Delta t)+P_{\nu-1}(t)\cdot \lambda \cdot \Delta t$$

$$\frac{dP_{\nu}(t)}{dt}=\lambda \cdot P_{\nu-1}(t)-\nu \cdot \beta \cdot P_{\nu_{\lambda}}$$

Таким образом, получена система дифференциальных уравнений для вероятностей $$P_0(t) ,P_1(t),…, P_{\nu} (t)$$

$$\frac{dP_0(t)}{dt}= \lambda \cdot P_0(t)-\beta \cdot P_1$$ … $$[[dP] \downarrow \nu (t_))/dt=\lambda \cdot P_{\downarrow }i(t)-[(\lambda + I \cdot \beta) \cdot P]_{ \downarrow }i(t)+[(i+1)\cdot \beta )\cdot P]_{ \downarrow }(i+1)_{(t)}$$ … $$\frac{dP_{\nu}(t)}{dt}=\lambda \cdot P_{\nu-1}(t)-\nu \cdot \beta \cdot P_{\nu_{\lambda}}$$

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями Эрланга.

Эти уравнения описывают так называемый процесс рождения и гибели.

Прежде чем перейти к решению системы Эрланга, рассмотрим

закономерности изменения $$P_0(t) ,P_1(t),…, P_{\nu}(t)$$.

3.3. Стационарный режим. Распределение Эрланга

Естественно принять начальные условия:

$$P_0 (t)=1 ; P_1 (0)=P_2 (0)=...=P_{\nu} (0)=0$$

При начале работы рынка $$P_ 0 (t)$$ будет уменьшаться,

а далее $$P_1 (t),P_2 (t),…,P_v (t)$$ - возрастать. Но беспредельно вероятности возрастать не могут.

Доказано, что для систем с явными потерями переходный процесс затухает, и система при $$t \to \infty$$ переходит в стационарный режим, так называемый установившийся режим обслуживания, то есть при $$t \to \infty$$ все вероятности $$P_0 (t),P_1 (t),…,P_{\nu} (t)$$ стремятся к постоянным пределам $$P_0, P_1, …,P_{\nu}$$; а все их производные - к нулю.

Чтобы найти предельные вероятности $$P_0, P_1, …,P_v$$ (вероятности состояний системы в установившемся режиме), заменим в уравнениях Эрланга все вероятности $$P_i (t), 0 \leq i \leq \nu$$, их пределами $$P_i$$, а все производные положим равным нулю. Получим следующую систему алгебраических уравнений:

$$-\lambda \cdot P_0+\beta \cdot P_1=0$$,

$$\lambda \cdot P_0-(\lambda + \beta)\cdot P_1+2\cdot \beta \cdot P_2=0$$,

$$\lambda \cdot P_1-(\lambda + 2\cdot \beta)\cdot P_2+3\cdot \beta \cdot P_3=0$$

…

$$\lambda \cdot P_{i-1}-(\lambda + I \cdot \beta)\cdot P_i+(i+1)\cdot \beta \cdot P_{i+1}=0$$, $$0<i<\nu$$

…

$$\lambda \cdot P_{\nu -1}-v\cdot \beta \cdot P_{\nu} = 0$$

К этим уравнениям необходимо добавить условие $$\sum_{i=0}^{\nu} P_i=1$$ .

Решим систему этих уравнений относительно $$P_ 0, P_ 1, …,P_{\nu}$$.

Из первого уравнения имеем

$$P_1=\frac{\lambda}{\beta}\cdot P_0$$

$$P_2=\frac{\lambda + \beta}{2\beta}\cdot P_1 + \frac{\lambda}{2\cdot \beta}\cdot P_0$$

Из второго - $$P_2 =\lambda+2\cdot \beta \cdot P_1$$.

Подставляя вместо $$P_1$$ значение, выраженное из первого уравнения, получим:

$$P_2=\frac{(\lambda + \beta)\cdot \lambda}{2\beta \cdot \beta}\cdot P_0+\frac{\lambda}{2\cdot \beta}\cdot P_0 = \frac{\lambda ^2}{2\cdot \beta ^2}$$

Обобщённый вид формулы:

Посмотрим, что собой представляет отношение $$\frac{\lambda}{\beta}$$:

$$\lambda$$ - это параметр потока, численно равный для простейшего потока интенсивности, то есть среднему числу партий товаров в единицу времени;

- математическое ожидание средней длительности потребления одной партии товаров.

Следовательно, $$\lambda \cdot$$ - есть интенсивность поступающего предложения

$$\lambda \cdot =A$$

Выражение для P_i перепишется в следующем виде:

$$P_i=\frac{A_i}{i!}P_0$$

Для определения $$P_ 0$$ воспользуемся условием нормировки

$$\sum_{j=0}^{}\nu = P_i=1$$,

$$\sum_{j=0}^{\nu}\frac{A_i}{i!}P_{0_i}=1$$

отсюда

$$P_0=\frac{1}{ \sum\nolimits_{j=0}^{\nu}\frac{A_i}{i!}}$$

Окончательно выражение для $$P_ i$$ примет вид:

$$P_i=\frac{\frac{A_i}{i!}}{ \sum\nolimits_{j=0}^{\nu}\frac{A_i}{i!}}$$

$$\sum_{j=0}^{\nu}P_i(t)=1$$

Огибающие:

При $$\nu \to \infty$$ распределение Эрланга переходит в распределение Пуассона.

Эту формулу часто обозначают следующим образом:

$$P_i=E_{i,\nu} (A) =E_i (A)$$ - вероятность того, что в произвольный момент

времени стационарного режима в полнодоступной группе ёмкостью $$\nu$$ потребителей, на которую поступает интенсивность партий товаров $$Y$$, создаваемая простейшим потоком товаров, занято $$i$$ потребителей.

$$P_i=\frac{\frac{Y^i}{i!}}{ \sum\nolimits_{j=0}^{\nu} \frac{Y^j}{j!}}$$

3.4. Потери в полнодоступной группе при обслуживании простейшего потока товаров

В предыдущих главах мы уже обсуждали типы потерь в полнодоступной группе при обслуживании простейшего потока товаров. Теперь можно проанализировать эти потери с помощью формулы Эрланга.

Качество обслуживания потока можно оценивать по следующим типам потерь:

$$P_{заяв.}$$ потери по числу поступивших заявок на поставку товара - $$P_{заяв.}$$

$$P_{заяв.}=\frac{\overline С_{пост}-\overline C_{обсл}}{\overline C_{пост.}}$$;

где $$\overline C_{пост}$$ число поступивших заявок

$$\overline C_{обсл}$$ - $$\tau$$ число обслуженных заявок

$$\overline C_{потер.}$$ - $$\tau$$ потерянных заявок

б) потери по объему товара - $$P_{тов.}=\frac{Y_{пост}-Y_{обсл}}{Y_{пост}}=\frac{Y_{потер.}}{Y_{пост}}$$;

$$P_{тов.}=$$

где $$Y_{пост}$$ - величина объема поступившего товара

$$Y_{обсл}$$ - величина обслуженного товара

$$Y_{потер.}$$- величина потерянного товара

в) потери по времени реализации - $$P_ t$$ .

- определяется как доля времени, в течение, которого заняты все потребители - $$P_t$$ .

В самом общем случае имеет место соотношение:

$$P_{тов} \leq P_{заяв} \leq P_t$$

$$P_{заяв} \leq P_t$$, так как может быть такой случай, когда все потребители заняты, но партия товаров не поступает.

$$P_{тов} \leq P_{заяв}$$, так как длительность занятия потребителей повторными предложениями может быть значительно меньше средней длительности потребления.

Рассмотрим соотношение между $$P_{тов}$$, $$P_{заяв}$$ и $$P_t$$ для простейшего потока.

3.5. Средняя пропускная способность группы потребителей полнодоступного рынка

Средняя интенсивность предложения, обслуживаемой одной группой потребителей полнодоступного рынка при общем числе потребителей $$\nu$$:

$$\eta=\frac{Y_{обсл.}}{\nu}$$, $$Y_{обсл.} =Y-Y_{потер.} =Y-E_{\nu} (Y) \cdot Y=Y \cdot [1-E_{\nu, \nu} (Y)]$$

Записывая выражение для $$P_{\nu}$$и $$P _{\nu-1}$$, легко убедиться, что:

$$P_{\nu}=\frac{Y}{\nu}\cdot P_{\nu -1}$$ или $$P_{\nu}=\frac{Y}{\nu} \cdot E_{\nu, \nu -1}(Y)$$

Подставляя отсюда $$Y$$ в выражение для $$Y_{обсл}$$ , получим:

$$\cdot [1-E_{\downarrow}(\nu , \nu)(Y)]$$

$$\eta = \frac{E_{\nu , \nu}(Y)}{E_{\nu -1}(Y)}\cdot [1- E_{\downarrow}(\nu , \nu)(Y)]$$

При малой величине потерь:

$$\eta \approx \frac{E_{\nu , \nu}(Y)}{E_{\nu -1}(Y)}$$

$$\eta = f (v)$$ при $$P=const$$

Рассматривая график можно сделать вывод: для повышения использования групп потребителей необходимо объединять потоки и группы потребителей обслуживающих рынок. Эффект от объединения групп тем выше, чем меньше величина. При v>100 приращение пропускной способности незначительно (кривая почти параллельна оси).

Замечание 1. При $$\nu \to \infty$$ формула Эрланга может быть заменена формулой Пуассона:

$$E_{\nu }(Y)=\frac{\frac{Y^{\nu }}{\nu !}}{ \sum\nolimits_{i=0}^{\nu} \frac{Y_i}{i!} } \to \frac{Y^{\nu}}{i!}e^{-Y}$$, так как $$\lim_{\to \infty } \sum_{i=0}^{\nu } \frac{Y^i}{i !} = e^Y$$

Замечание 2. Формула Эрланга $$E_{i,\nu} (Y)$$ позволяет вычислить вероятность занятия $$i$$ любых (случайных) групп потребителей из $$\nu$$ групп потребителей.

3.6. Графические зависимости между параметрами первой формулы Эрланга

Потери являются функцией двух переменных $$\nu,Y$$:

$$P=E_v (Y) = f (\nu,Y)=\frac{\frac{Y^{\nu }}{\nu !}}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu} \frac{Y_i}{i !}}$$

Практический интерес представляет область малых потерь: $$0.001 \div 0.01$$

Поступающая нагрузка изменилась с 32.5 Отн.ед. до 37.9 Отн.ед., то есть на 17%, а потери возросли в 10 раз! Это область малых потерь.

На практике приходится часто решать задачу, при увеличении поставки на рынок товаров, как должно, изменится число потребителей, чтобы величина потерь оставалась постоянной. Это можно определить только, используя график.

При $$P=const$$ в достаточно большом интервале изменения величины поступающего предложения при $$Y>10$$ Отн. Ед. приближённо имеет линейный характер $$V \approx \alpha \cdot Y+а$$.

3.7. Пример. Расчет рынка нефти.

В этом разделе мы покажем, как можно рассчитать параметры нефтяного рынка. А именно, будет рассчитана связь между предложением и спросом, будут рассчитаны потери. Нефть пока является одного из глобальных факторов, влияющих на мировую экономику.

Наш пример покажет, что спрос зависит от предложения, что при перепроизводстве товара, повышаются потери и цена перестает быть двигателем спроса, а приобретает другую функцию.

Для выбора исходных данных, позволяющих провести расчет, мы приведем таблицы показателей взятых из Интернета [22].

В табл. 3.2 приведены данные по производству нефти, а табл. 3.3 данные по потреблению нефти за 2012.

Отметим, что ниже не ставится задача получить результаты для конкретного случая. Цель продемонстрировать применение методов теории массового обслуживания для расчёта характеристик рынка.

Согласно данным табл.3.3 средняя величина потребления одной группы равна -3,235.5 млн. баррелей в день.

Для расчета относительного потребления примем $$P_{max}= 3 500 000$$ баррелей/день

Разделим потребителей на группы каждая, из которых потребляет $$P_{max}$$.

Обратим внимание, что одна страна может содержать несколько групп потребителей. Например, Россия при принятой величине $$P_{max}$$ может быть представлена, как $$45730 000 : 3 500 000 \approx 13$$ групп.

Результаты расчета при предложении в диапазоне от 7 млн. баррелей/день до 140 млн. баррелей/день показаны в табл. 3.4 и на графике.

Поток предложения будем считать простейшим, система продажи полнодоступная, с явными потерями (далее мы рассмотрим в других главах систему с ожиданием). Все эти условия позволяют применить формулу Эрланга.

В табл. 3.4 в столбце 2 приведены величины поставки в единицах относительного потребления в диапазоне 7 млн. баррелей/день до 140 млн. баррелей/день. В столбце 4 показаны потери $$Е_{1,n}$$. Они определены по таблице Эрланга в соответствии со значением относительного потребления (столбец 2) [8, Приложения A и B], [ 23, Extract from the table of Erlang Loss Formula].

Рис. 3.13 построен на базе табл. 3.4.

На этом рисунке следует обратить внимание, что потери вначале растут медленно, а при значении величины поставки 12 отн. единиц начинают быстро расти. Эту точку мы будем называть "точкой насыщения рынка". Она говорит о том, что группы потребителей не способны справляется с предлагаемой поставкой. В теории массового обслуживания величину потерь свыше 30-50% считать началом кризиса. Поэтому расчет остановился на значениях в этой области.

На рис. 3.13 приводятся графики отражающие результаты, приведенные в табл.3.4. Другая кривая, на этом рисунке отражает потери для уменьшенного числа групп, равного 10. Таблицы расчета этого варианта не приводится.

Сравнение этих кривых, как и для последующих рисунков, будет проведено далее в конце этого раздела.

В табл. 3.5 приведены результаты расчета обслуженного предложения рынка нефти.

В столбцах 2,3 приведены данные полученные в табл. 3.2 и на их основании в столбцах 4,5 приведены результаты вычисления величины обслуженного предложения (величина возможной продажи нефти в млн. баррелей/день) для 15 групп потребителей.

По результатам табл. 3.5 на рис. 3.13 построены кривые для случаев 10 и 15 групп потребителей (расчеты для случая 10 групп потребителей, в табл. 3.5 не приводятся).

По этим кривым видно, что при небольших величинах возможного потребления от 2 до 14 единиц (для случая10 групп 16) отн. единиц потребления (в абсолютных единицах от 7 до 70 млн. баррелей в день) обслуженное предложение (потребление) возрастает. После этой точки рост останавливается и стремится к величине примерно 48- 50 баррелей в день. Это говорит о том, что при возрастающей величине предложения спрос возрастает не пропорционально предложению (при неизменных ценах). Влияние цены на показатели рынка мы обсуждали при рассмотрении относительного потребления.

В табл. 3.6 приведены результаты расчета дохода - нетто от обслуженного предложения рынка нефти при следующих условиях - 15 потребителей

по 3, 5млн. баррелей /день. Предполагается, что себестоимость поставляемого товара пропорциональна его величине (в общем случае возможны другие варианты - показательное возрастание, уменьшение себестоимости при увеличении поставки и т.д.)

В этой таблице можно заметить, что доход в случае 15 потребителей имеет максимум при потреблении 16 относительных единиц. При этом величина дохода нетто равна 1236.21 млн. долл./день.

Соответствующие кривые для двух различных групп потребителей приводятся на рис. 3.14.

Приведенные на рис. 3.15 графики рассматривают доходы для двух случаев - группа 15 и группа10 потребителей.

Понижение числа групп потребителей или, что эквивалентно этому явлению - снижение объёма потребления, наблюдается при повышении цены.

Анализируя эти рисунки можно заметить, что при уменьшении числа групп потребления:

Надо отметить еще одну особенность, что в режиме насыщения увеличение предложения без увеличения суммарного относительного потребления увеличивает потери. Напомни, что увеличение суммарного относительного потребления может быть достигнуто либо увеличением реального потребления ($$P_{реал.}$$), либо за счёт увеличения числа потребителей (см. рис. 3.12, раздел 3.7, задача 4).

Но в режиме насыщения рынка увеличение одного или увеличение обеих показателей в большинстве случаев затруднительно.

Снижение цены может служить только для конкурентной борьбы

(увеличение числа потребителей за счет других участников рынка)

Также на основе этой диаграммы можно рассмотреть эффект появления на рынке нового производителя (объёма поставки) без увеличения числа потребителей рынка. Например, появление поставок Ирана, после его долгого отсутствия на рынке приведет, только к увеличению потерь или перераспределению потребителей.

3.7. Задачи

Задача 1. Определение интенсивности потребления

Задано: Структурный состав потребителей товара предлагаемой продукции на рынке делится на 5 категорий $$n_1=50; n_2=40; n_3=30; n_4=20; n5=10;$$

средний объем одной покупки (единиц товара) одним потребителем каждой категории во время наибольшего спроса (ВНС) . $$\overline {c_1}=10; \overline {c_2}=10; \overline {c_3}=4; \overline {c_4}=3; \overline {c_5}=2; $$ (не учитываются доли покупок с возвратом и другие виды нестандартных действий)

средняя длительность потребления для потребителей разных категорий в днях. $$\overline {T_1}= 2, \overline {T_2}=3; \overline {T_3}=5.; \overline {T_4}=10; \overline {T_5}=15;$$.

Максимально возможное потребление одним потребителем товара 20 единиц в месяц.

Рассчитать: интенсивность потребления, поступающих товаров на рассматриваемом рынке от потребителей всех категорий в ВНС.

Решение.

Определим объем товара, который будет приобретен за один месяц всеми категориями покупателей (обслуженное предложение $$Y_{обсл.} (t_1, t_2)$$)

$$\sum_{i=1}^{5}\overline c_i =10 \times 2 +10 \times 3+ 4 \times 5 +3 \times 10 +2 \times 15=130$$ товара

Потребление в отн. единицах равно

$$Y_{обсл.} =130/20=6.5$$ отн.ед.

Задача. 2. Определение интенсивности поступающего предложения

Задача формулируется следующим образом.

Задано: Структурный состав поставщиков (производителей) товара предлагаемой продукции на рынке делится на 5 категорий $$n_1=50; n_2=40; n_3=30; n_4=20; n_5=10;$$

средний объем одной поставки (единиц товара) одним поставщиком каждой категории (ВНС) .

$$\overline {c_1}=10; \overline {c_2}=10; \overline {c_3}=4; \overline {c_4}=3; \overline {c_5}=2; $$

средняя длительность потребления для потребителей разных категорий в днях.

$$\overline {T_1}= 2, \overline {T_2}=3; \overline {T_3}=5.; \overline {T_4}=10; \overline {T_5}=15;$$

Максимально возможное потребление одним потребителем товара 20 единиц в месяц.

Рассчитать: интенсивность, поступающего предложения товаров на рассматриваемом рынке от потребителей всех категорий в ВНС.

Задача решается, так же как и в предыдущем случае и даёт тот же результат.

Следует специально подчеркнуть, что для определения величины поступающего предложения в относительных единицах применяется величина максимального потребления одним потребителем товара.

Задача 3. Влияние изменения величины предложения на величину потерь в группах потребителей

Полнодоступные группы потребителей $$\nu _1 =20$$, $$\nu _2 =40$$ и $$\nu _ 3 =60$$ обслуживают простейшие потоки вызовов. На группу потребителей $$\nu _1$$ в выходной и будний дни поступает предложение интенсивностью $$y_{1В} =12,4$$ отн.ед, $$y_{1Б} =11,1$$ отн.ед. на группу $$\nu _2 -y_{2В} =30,0$$ отн.ед, $$y_{2Б} =27,5$$ отн.ед. на пучок $$\nu _3 - у_{3В}=49,0$$ отн.ед, $$y_{3Б} =45,0$$ отн.ед.

Определить:

а) потери по числу поступивших заявок на поставку товара $$p_{заяв.}$$, потери по объему товара $$p_{тов}$$, потери по времени реализации - $$p_t$$.

в группах $$\nu _1$$, $$\nu _2$$ и $$\nu _3$$;

б) соотношения между относительными величинами изменения потерь и поступающего предложения в каждой из этих групп.

Решение:

а) Согласно (3.15) $$p_{заяв} = p_{тов}, = p_t =E_{\nu} (y)$$. По таблицам первой формулы Эрланга находим:

$$E _{\nu 1} (y_{1Б} )=E_{20} (11,1)=0,0050$$; $$E_{\nu 1} (у_{1В})=E_{20} (12,4)=0,0127$$;

$$E_{\nu 2} (y_{2Б})=E_{40} (27,5)=0,0053$$; $$E_{\nu 2} (y_{2В} )=E_{40} (27,5)=0,0144$$;

$$E_{\nu 3} (y_{3Б} ) =E_{60} (45,0)=0,0054$$; $$Е_{\nu 3} (y_{3В} )=E_{60} (49,0)=0,0172$$.

б) Относительные величины изменения потерь $$\delta _{потерь}$$ и изменения предложения

$$\delta _{предлож.}$$ определяются из соотношений

$$\delta _{потерь}= E_{\nu } (у_В) - E_{\nu} (y_Б )/ E_{\nu } (у_Б) \times 100%$$ $$\delta _{предлож.} = у_В - y_Б / у_Б \times 100\%$$

При $$\nu 1 =20$$ $$\delta _{потерь}= E_{\nu } (12.4) - E_{\nu } (11.1 )/ E_{\nu } (11.1) \times 100\% = 154%$$

$$\delta _{предлож.} = у_В - y_Б / у_Б \times 100\%=(12.4 - 11.1/11.4) \times 100%= 11.7%$$

Аналогично определяем:

при $$\nu _2 =40 \delta _{потерь 2} =172\%, \delta _{предлож2} =9,1\%$$

при $$\nu _3 =60 \delta _{потерь3} =219\%, \delta _{предлож3} = 8,9\%$$.

Соотношения между \delta _{потерь} и \delta _{предлож} для групп $$\nu _1$$ , $$\nu _2$$ и $$\nu _3$$ соответственно составляют:

$$\delta _{потерь1} /\delta _{предлож1} =13.2$$;

$$\delta _{потерь2} / \delta _{предлож2} =18.9$$;

$$\delta _{потерь3} / \delta _{предлож3} =24. 6$$.

Следует подчеркнуть, что при рассмотренных в этой задаче значениях предложениям, увеличение поступающего предложения примерно на 10% (11.1%, 9.1%, 8,9%)приводит к увеличению потерь в 2,5-3 раза, т. е. потери возрастают в 10-25 раз быстрее по сравнению с величиной интенсивности поступающей нагрузки.

Задача 4. Изменение числа групп потребления для сохранениния величины потерь

От трех групп поставщиков поступают товары, образующие простейшие потоки и создающие потоки предложений, интенсивности которых составляют $$y_1=10$$, $$y_2 =20$$ и $$y_3 =40$$ Эрл. Эти потоки товаров обслуживаются полнодоступными группами потребителей.

Определить: а) требуемое число групп потребления, если потери не должны превышать $$E_{\nu } (у)_1 \leq 0,005$$ и $$E_{\nu } (y)_2 \leq 0,02$$;

б) соотношения между относительными величинами приращения числа групп потребителей и возможностей увеличения интенсивности поступающей нагрузки при сохранении заданного качества обслуживания.

Решение:

а) По таблицам формулы Эрланга при заданных величинах интенсивности поступающего предложения $$у$$ и заданных значениях потерь $$Е_{\nu } (у)$$ определяются требуемые емкости групп потребителей:

б) Относительные величины приращения числа групп потребителей $$\delta _{\nu }$$ и увеличения интенсивности поступающего предложения \delta _{предлож.} определяются из соотношений:

\delta _{\nu}= \nu _i - \nu _{i-1}/\nu _{i-1} \times 100\% ; \delta _{предлож}= y_i - y_{i-1}/y_{i-1} \times 100\% i=2 или 3

\delta _{предлож1}= y_2 - y_1/y_1 \times 100\% \delta _{предлож2}= y_3 - y_2/y_2 \times 100\%

При $$Е_{\nu } (у)_1 \leq 0,005 \delta _{\nu 1}= \nu _2 - \nu _1/\nu _1 \times 100\% = 68.4\% ; \delta _{\nu 1}= \nu _3 - \nu _2/\nu _2 \times 100\% = 77.4\%$$;

При $$Е_{\nu } (у)_2 \leq 0,005$$ $$\delta _{\nu 1}= \nu _2 - \nu _1/\nu _1 \times 100\% = 64.7\%$$; $$\delta_{\nu 1}= \nu _3 - \nu _2/\nu _2 \times 100\% = 78.6\%$$.

Решение этой задачи показывает, условия сохранения заданной величины потерь:

а) если на полнодоступную групп потребителей поступают нагрузки интенсивностью $$y=10 \div 40$$ отн.ед., то в области малых потерь увеличение потерь с $$E_{\nu} (y) 1 \leq 0,005$$ до $$E_{\nu} (y) 2 \leq 0,02$$ (в 4 раза) позволяет уменьшить требуемые емкости групп потребителей только примерно на 10%;

б) в области малых потерь и относительно небольших значений интенсивности поступающего предложения ($$y=10 \div 40$$ отн.ед) емкости требуемых групп потребителей возрастают медленнее по сравнению с величиной поступающего предложения. При фиксированной величине потерь увеличение интенсивности поступающей нагрузки в 2 раза требует увеличения емкости групп потребителей на 65-80 %.