В Главе 3 была рассмотрена модель рынка, как система обслуживания случайных потоков, в которой предполагалось, что непроданный товар не сохраняется. При занятости всех потребителей поступивший товар получает отказ в реализации и на рынок не возвращается. Потерянное предложение товара не оказывает на систему никакого влияния.
Ниже мы рассмотрим другой случай, когда непроданный товар сохраняется и ставится в очередь на реализацию.
Модель такого рынка показана на рис. 4.1.
(рис 4.1) Математическая модель рынка с ожиданием
Казалось бы, что система с сохранением непроданных товаров, более приемлема для практики. Однако при внимательном рассмотрении особенностей её применение требует анализа некоторых данных.
Например, даже при небольших потерях она переходит в режим обслуживания с очередью, что требует своих затрат, величина которых зависит от объема товара, переданного на сохранения и длительности ожидания реализации (пребывания в очереди). Не говоря о том, что многие товары имеют ограничения по срокам хранения. Это превращает условные потери, в виде накопления в хранилищах, в реальные потери (испортившиеся товары).
Постановка задачи. Группа потребителей в количестве $$\nu (1 \leq \nu < \infty )$$ обслуживается системой с ожиданием. Поступающий поток товаров - простейший с параметром $$\nu$$. Каждый поступивший товар для обслуживания приобретается любым свободным потребителем. Если все $$\nu$$ групп потребителей заняты в момент поступления товара, то он становится в очередь на ожидание реализации до освобождения занятых потребителей. Поступающие на ожидание товары могут образовать очередь различной конечной длины. Для рынка примем организацию очереди, при которой, товары, находящиеся на ожидании реализации, обслуживаются в порядке поступления в очередь (первый поступил в очередь - первый обслужен).
Длительность потребления товара полагаем случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром $$\beta$$: $$F(t)=1-e^{-\beta t}$$.
Определим:
Обозначим через $$i$$ состояние системы в произвольный момент времени $$t$$. Это значит, что в системе на обслуживании и сохранении находится $$i=0, 1, 2,...$$ партий товаров. Если в момент $$t$$ в системе находится $$i<\nu$$ партий товаров, то все они находятся на обслуживании. При $$i=\nu + r$$ партий товаров, которые находятся на обслуживании, заняты все $$\nu$$ группы потребителей, а остальные $$r=i-\nu$$ партий товаров сохраняются ($$r$$ - длина очереди).
Далее будем рассматривать состояния, содержащие определенное число $$i$$ занятых потребителей. Какие конкретные потребители заняты нам безразлично.
Для исследования процесса обслуживания товаров можно ограничиться рассмотрением состояний системы, а не отдельных потребителей. Объясняется это тем, что, во-первых, нас интересует число занятых потребителей в группе и длина очереди, а не какие именно потребители группы заняты и какие именно товары находятся на ожидании в очереди. Во-вторых, системой обслуживается простейший поток вызовов, параметр $$\lambda$$ которого не зависит от предыдущего и последующего состояний этой системы.
Так как поток простейший, то процесс обслуживания Марковский. Рассмотрение поведения системы начнём со стационарного режима, показанного на рис. 4.2.
(рис 4.2) Диаграмма гибели и размножения
Из этой диаграммы следует уравнение Колмогорова-Чепмена [1.1] для системы с ожиданием (4.1)
$$\left. \begin{array}{ccc} \lambda _0 \rho _0 = \beta _1 \rho _1 \\ \lambda _1 \rho _1 = 2\beta _2 \rho _2 \\ ...\\ \lambda _n \rho _{n-1} = n\beta _n \rho _n\\ ...\\ \lambda _{n+r} \rho _{n+r} = n\beta _n \rho _{n+r+1}\\ \end{array} \right\}$$Поскольку в рассматриваемой задаче на обслуживание поступает простейший поток товаров, то параметр потока занятий будет равен $$\lambda _i=\lambda $$, $$i = 0, 1, 2,....$$
Параметры потока освобождений
$$\begin{equation*} \begin{cases} \beta \times i,0 \leq i \leq \nu \\ \beta \times n,i > \nu \\ \end{cases} \end{equation*}$$Эта диаграмма отличается от диаграммы системы с потерями тем, что состоит из двух частей - уравнений равновесия (рис. 4.2):
Подставляя параметры занятия и освобождения в уравнение, полученное для системы с потерями и, учитывая, что $$\frac{\lambda }{\beta }=A$$ получим (4.2)
$$\begin{equation*} \begin{cases} P_i=\frac{A^i}{\nu !}(\frac{A}{\nu })^{i-\nu }P_0, i > \nu \\ P_i=\frac{A}{i !}P_0, 0 < I \leq \nu \\ \end{cases} \end{equation*}$$
$$P_0=\frac{1}{ \sum\nolimits_{0}^{ \infty } P_i}=\frac{1}{ \sum\nolimits_{0}^{ \infty } \frac{A^i}{i !}+\frac{A^i}{\nu !}} \sum\nolimits_{i-\nu +1}^{ \infty }(\frac{A}{\nu})^{i-\nu }$$
Практический интерес представляет случай с конечной очередью, т. е.
$$\lambda _i < \nu _i , i>\nu$$. Отсюда $$\lambda < \nu \beta$$ и $$A<\nu$$. Учитывая это и используя выражения для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, преобразуем формулу $$P_0$$ к виду (4.4)
$$P_0=\frac{1}{ \sum\nolimits_{0}^{ \infty } \frac{A^i}{i!}+\frac{A^i}{\nu !}\frac{A}{\nu - A}}$$
Стационарные вероятности состояний (4.2) с учетом (4.4.) запишутся в следующем виде (4.5):
$$P_i= \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\frac{A}{i!}}{ \sum\nolimits_{0}^{ \infty }\frac{A^i}{i!}+\frac{A^i}{\nu !}\frac{A}{\nu -A}}, 0 \leq i \leq \nu\\ \frac{\frac{A^i}{\nu !}(\frac{A}{\nu })^{i-\nu }}{\sum\nolimits_{0}^{ \infty }\frac{A^i}{i!}+\frac{A^i}{\nu !}\frac{A}{\nu -A}}, i > \nu \end{cases} \end{equation*}$$
Заметим, что при ограничении числа состояний рынка $$0 \leq i \leq \nu$$, т. е. при переходе к системе с потерями ф-ла (4.5) для определения вероятности $$p_i$$ приводится к первой формуле Эрланга (3.10) $$E_{i,\nu }(A)$$.
Сопоставим значения вероятности состояний значениям вероятностей в системе с ожиданием - $$P_i$$ и в системе с потерями $$E_{i,\nu }(A)$$. Для этого разделим числитель и знаменатель на $$\sum_{i=0}^{\nu }(\frac{A}{i!})^i$$
$$P_i= \begin{equation*} \begin{cases} \frac{E_{i,\nu }(A)}{1+E_{\nu }(A)\frac{A}{\nu -A}}, 0 \leq i \leq \nu \\ \frac{E_{\nu }(A)(\frac{A}{\nu })^{i-\nu }}{1+E_{\nu }(A)\frac{A}{\nu - A}}, i > \nu \end{cases} \end{equation*}$$
Так как в этой формуле знаменатель больше 1, то $$P_i < E_{i,v}) (A)$$ для всех значений $$i$$ ( $$0 \leq I \leq \nu$$). Следовательно,
$$\sum_{i=0}^{\nu }P_i < \sum_{0}^{\nu }E_{i, \nu }(A)$$
т. е. для систем с ожиданием время нахождения в состояниях, когда поступающие партии товаров немедленно обслуживаются, меньше, чем для систем с потерями.
В системах с ожиданием потери по времени $$P_t$$ есть доля времени, в течение которой все $$v$$ потребителей заняты и на ожидании находится $$r=0, 1, 2,...$$ партий товаров. Исходя из этого, потери по времени равны вероятности $$Р(\gamma > 0)$$ того, что поступивший вызов не будет немедленно обслужен, а будет ожидать начала обслуживания (реализации) в течение времени $$\gamma$$ больше нуля. Эта вероятность равна
$$P(\gamma > 0)=\sum_{i=\nu }^{\infty}P_i=\frac{E_{\nu }(A)}{1+E_{\nu }(A)\frac{A}{\nu -A}} \sum_{i=0}^{\nu }(\frac{A}{i!})^i=\frac{E_{\nu }(A)}{1+E_{\nu }(A)\frac{A}{\nu -A}}\frac{1}{1-\frac{A}{\nu }}=\frac{E_{\nu (A)\nu }}{(\nu -A)+AE_{i, \nu}(A)}$$
Вторая формула Эрланга:
$$(P\gamma > 0)=E_{\nu }(A)\frac{\nu }{(\nu - A)+AE_{\nu (A)}}$$
Так как $$\frac{\nu }{(\nu -A)+E_{I, \nu }(A)}> 1$$, то $$P(\gamma > 0) > E \nu (A)$$ вероятность того, что время ожидания ( хранения) $$\gamma > 0$$ больше вероятности того, что занято $$\nu$$ потребителей из $$\nu$$).
Эта формула определяет вероятность ожидания реализации.
Потери по времени $$P_t$$, численно равные условным потерям $$Р(\gamma > 0)$$, могут быть определены и с помощью таблиц первой формулы Эрланга. Используя эти таблицы, $$P(\gamma > 0)$$ можем определить из следующего соотношения
$$P(\gamma > 0)=\frac{1}{\frac{1}{E_{\nu } (A)}+\frac{1}{E_{\nu -1} (A)}(1-E_{\nu }(A)) }$$
С другой стороны, $$P(\gamma > 0)$$ можно рассматривать как долю партий товаров, задержанных при обслуживании, но не потерянных. Поэтому эту вероятность называют ещё условными потерями.
Системы с ожиданием называют ещё системами с условным потерями.
При фиксированных $$A$$ и $$\nu$$ вероятность условных потерь больше, чем вероятность явных потерь.
Для расчета потерь по второй формуле Эрланга можно использовать график. приведённый на рис. 4.3. Он показывает вероятность $$Р(\gamma > 0)$$ в зависимости от относительного потребления для различного числа групп потребителей.
(рис 4.3) Диаграмма вероятности P(γ 0)
При $$A > \nu$$ и $$P (\gamma > 0)=1$$ - имеет место бесконечная очередь.
Характер зависимостей между $$A$$, $$\nu$$ и $$P(\gamma > 0)$$. Сравним теперь рынок в системе с явными и условными потерями.
При одинаковой величине заданных потерь по времени $$P_t$$ и величина поступающего количества товаров системах с ожиданием должна быть меньше, чем в системах с потерями. Так, например, при потерях $$p_t = 0,02$$; $$0,05$$; $$0,1$$ при группе потребителей емкостью $$\nu =10 \div 30$$ групп допустимое поступающее количество товара в системах с ожиданием соответственно на 10, 15, 20% меньше, чем в системах с потерями.
На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что рынки с явными потерями обладают более высокой пропускной способностью. Ведь с точки зрения использования партий товаров система с ожиданием создает более благоприятные условия. Партии товаров находятся в очереди на реализацию и ожидают начала обслуживания, и после освобождения каждая группа потребителей немедленно занимается обслуживанием очередной ожидающей партии товаров. В системах же с явными потерями освободившаяся группа может некоторое время оставаться свободной и занимается только после поступления новой партии товаров.
Однако эти рассуждения не в полной мере отражают процессы обслуживания поступающего потока товаров системой с ожиданием и системой с потерями. Следует учитывать также следующие два обстоятельства:
Таким образом, следует констатировать, что в области любых значений потерь при заданной величине потерь $$P_t$$ не только поступающая, но обслуженная нагрузка в системах с потерями больше, чем в системах с ожиданием.
Естественно возникает вопрос, какие особенности систем с ожиданием обусловливают их практическое применение, и в какой области рынка такие системы целесообразно использовать?
В связи с этим необходимо, прежде всего, отметить различный качественный характер явных и условных потерь. В системах с потерями часть партий товаров теряется (не обслуживается), в системах с ожиданием обслуживаются все поступающие партии товаров, при этом часть из них с некоторой задержкой.
При малых величинах потерь, рынок не ощущает неудобств и даже экономит необходимые затраты на сохранение. Поэтому в области малых потерь предпочтительнее система с потерями, обладающая более высокой пропускной способностью.
При больших значениях потерь система с потерями не обеспечивает должного качества и непригодна для применения. Много товаров теряется, что не оправдывает затраты на сохранение.
В случае больших потерь нельзя однозначно дать оценку системам с ожиданием. Все зависит от времени задержки обслуживания партий товаров, находящихся на ожидании. Необходимо, чтобы время ожидания начала обслуживания для подавляющего большинства партий товаров не вызывало больших затрат у производителей. Иными словами, системы с ожиданием следует применять в тех случаях, когда для повышения использования целесообразно допускать большие условные потери (исчисляемые десятками процентов), если возможно при этом обеспечить мало ощутимое для производителя время задержки начала обслуживания.
Поэтому следующий вопрос касается времени пребывания на хранении (в очереди).
Вероятность $$Р(\gamma > 0)$$ показывает того, что поступивший товар будет обслужен лишь после некоторого времени хранения (пребывания в очереди). Однако не дает ответа на весьма важный для обслуживания вопрос, как распределяется время хранения до начала потребления. В связи с этим определим функцию распределения времени начала обслуживания.
Исходные предположения рассматриваемой задачи:
Обозначим через $$P(\gamma > t)$$ вероятность того, что партия товаров, поступившая в произвольный момент времени, попадет на хранение и время хранения будет больше $$t$$.
Через $$P_i (\gamma > t)$$ обозначим указанную выше вероятность в предположении, что партия товаров поступит в момент времени, когда система находится в состоянии $$i$$, и через $$P_i$$ вероятность того, что система находится в этом состоянии, т. е. в системе имеется точно $$i$$ потребляемых и сохраняющихся партий товаров.
Имея в виду, что в рассматриваемой системе рынка поступившая партия товаров попадает на хранение лишь в случае, когда в момент её поступления в системе заняты все группы потребителей, на хранении находится $$r=0, 1, 2,...$$ партий товаров, т. е. система находится в одном из состояний $$i=\nu$$, $$\nu +1$$, $$\nu +2$$, $$...$$, по формуле полной вероятности получим
$$P(\gamma > t) = \sum_{i=0}^{\infty} P_i P_i (\gamma > t)$$
Найдем вероятность $$p_i (\gamma > t)$$ Если система находится в состоянии $$i(i \geq \nu)$$, то непосредственно перед моментом поступления партии товаров в системе на ожидании реализации находится $$(i-\nu)$$ партий товаров. Поступившая партия становится в очередь и на $$(i-\nu +1)$$-м месте. Поскольку партии товаров реализуются в порядке поступления ("первым пришел - первым обслуживается"), то, исходя из этого, вероятность того, что рассматриваемая партия товаров поступит на реализацию, равна вероятности того, что закончится потребление $$(i-\nu )$$ партий товаров.
Длительность потребления одной партии товара Т (без учета времени ожидания) распределена по показательному закону.
$$F(t)=p(T <t) =1- e^{-\beta t}$$
Функция распределения промежутков между моментами освобождения групп потребителей при условии занятости всех $$v$$ потребителей есть.
$$F_{осв.} (t)= \pi_i (t) =1- e^{-\beta \nu t}$$
Эта функция распределена по показательному закону, что определяет поток освобождений как простейший поток, параметр которого $$\lambda=\beta \nu$$. В соответствии с этим вероятность $$P_j$$ того, что за время $$t$$ окончится потребление точно $$j$$ партий товаров, согласно формуле Пуассона, составляет
$$P_j=\frac{(\beta \nu t)^j}{j !}e^{-\beta \nu t}$$
а вероятность того, что за время t произойдет не более $$(i-\nu )$$ освобождений потребителей, если система находится в состоянии $$i$$,
$$p(\gamma > t)=\sum_{j=0}^{i-\nu }p_j=\sum_{j=0}^{i-\nu }\frac{(\beta \nu t)^j}{j !}e^{-\beta \nu t}$$
Далее
$$p(\gamma > t)=\sum_{j=0}^{\infty }p_i p_i(\gamma > t)= \sum_{j=0}^{\infty }p_i \sum_{j=0}^{i-\nu }\frac{(\beta \nu t)^j}{j !}e^{-\beta \nu t}$$
Подставим вместо $$P_i$$ его значение из равенства (4.5 )
$$P_i=(\frac{A^V}{\nu !})(\frac{A}{\nu})^{i-\nu}P_0$$
$$p(\gamma > t)=\sum_{i=0}^{\infty }(\frac{A^V}{\nu !})\cdot (\frac{A}{\nu })^{i-\nu }P_0 \sum_{j=0}^{i-\nu }\frac{(\beta \nu t)^j}{j !} \cdot e^{-\beta \nu t}=(\frac{A^V}{\nu !})\cdot P_0 \cdot e^{-\beta \nu t} \cdot \sum_{i=\nu }^{\infty }(\frac{A}{\nu})^{i-\nu } \cdot \sum_{j=0}^{i- \nu }\frac{(\beta \nu t)^j}{j!}$$
Изменим порядок суммирования. Учитывая, что:
$$\sum_{i=\nu }^{\infty } b^{i-\nu }\cdot \sum_{j=0}^{i-\nu }a^j=\sum_{i=0}^{i-\nu }a^j \cdot \sum_{i=\nu }^{\infty }b^{i-\nu }$$
$$\sum\nolimits_{i= \nu }^{ \infty } b^{i-\nu } \cdot \sum\nolimits_{j=0 }^{ i-\nu }a^j=b^0 \cdot a^0+b^1 \cdot (a^0 +a^1 ) +b^2 \cdot (a^0+ a^1+ a^2)+…+b^{\infty }\cdot (a^0+ a^1+…+a^{\infty })$$
$$\sum\nolimits_{j=0}^{i-\nu }a ^j \cdot \sum\nolimits_{i= \nu }^{ \infty }b^{i-\nu }=a^0 \cdot (b^0+b^1+…+b^{\infty})+a^{\infty }\cdot (b^{\infty})$$
Получим:
$$p(\gamma > t)=(\frac{A^V}{\nu !})\cdot P_0 \cdot e^{-\beta \nu t}\sum_{j=0}^{i-\nu }\frac{(\beta \nu t)^j}{j!}\cdot \sum_{i=\nu }^{\infty }(\frac{A}{\nu })^{i-\nu }=…$$
Каждое слагаемое последней суммы умножим и разделим на постоянную величину: $$(\frac{A}{\nu })^j$$
$$…=(\frac{A^V}{\nu !})\cdot P_0 \cdot e^{-\beta \nu t}\sum_{j=0}^{i-\nu }\frac{(\beta \nu t)^j}{j!}\cdot (\frac{A}{\nu })^j \cdot \sum_{i=\nu }^{\infty }(\frac{A}{\nu })^{i-(\nu +j)}$$
Обозначая $$i-(\nu +j)=x$$, получим:
$$\sum_{i=\nu }^{\infty}(\frac{A}{\nu })^{i-(\nu +j)}=\sum_{i=\nu }^{\infty }(\frac{A}{\nu })^x=\frac{1}{1-\frac{A}{\nu }}$$
Так как
$$P(\gamma > 0)= \sum\nolimits_{i=\nu }^{\infty }P_i=\frac{A^{\nu }}{\nu !}\cdot (\frac{A}{\nu !})^{i-\nu }\cdot P_0$$
и учитывая, что $$\beta = \frac{1}{t_{зан.}}$$ и $$A=\lambda \cdot t_{зан.}$$, и обозначая $$r=i-\nu $$:
$$\frac{\frac{A^V}{\nu !}}{1-\frac{A}{\nu }}\cdot P_0 \cdot e^{-\beta \cdot \nu \cdot t}\sum_{r=0}^{\infty }\frac{(\lambda t)^{\nu }}{r!}=p(\gamma > 0)e^{-\beta \cdot \nu \cdot t}\cdot e^{\lambda \cdot t}= p(\gamma > 0)e^{(\lambda - \beta \cdot \nu)\cdot t}= P(\gamma > t)$$
Тогда вероятность того, что время хранения будет больше $$t$$ равно:
$$p(\gamma >t)=p(\gamma >0)*e^((\lambda-\beta * \nu)*t) )$$
$$p(\gamma > t) =p(\gamma > 0)\cdot e^{(\lambda - \beta \cdot \nu)\cdot t})$$
Если за единицу измерения времени $$\gamma$$ и $$t$$ принять среднюю длительность потребления, то $$\beta =1$$ и $$p(\gamma > t)= p(\gamma > 0)e^{(\lambda -\nu )t}$$
Качество обслуживания поступающего потока вызовов в системах с ожиданием также характеризуют вероятности $$p_{задер.} (\gamma > t)$$ того, что время ожидания начала реализации $$\gamma$$ для партии товаров, попадающего на ожидание, будет больше $$t$$, т. е. для партий товаров, находящихся на хранении
$$p_{задер}(\gamma > t)=\frac{p(\gamma > t)}{p(\gamma > 0)}=e^{-\nu t}$$
Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание
непрерывной случайной величины $$\zeta$$ с функцией распределения $$F (t)=P(\zeta < t)$$ может быть определено из выражения
$$M= \intop\nolimits_{0}^{\infty }[1-F(t)]dt$$
Для рассматриваемой системы с ожиданием мы получим выражение
$$P(\gamma > t)$$, так как $$1-P(\gamma < t)$$, то среднее время ожидания начала реализации (учитывая, что $$\intop\nolimits_{0}^{\infty }e^{ax}dt=\frac{1}{a}\intop\nolimits_{0}^{\infty }e^{ax}$$
$$\overline{ \gamma } =\intop\nolimits_{0}^{\infty } p(\gamma > t)dt= p(\gamma > 0) \intop\nolimits_{0}^{\infty }e^{-\beta (\nu -A)t}dt=p(\gamma > 0)\frac{e^{-\beta (\nu -A)t}}{-\beta (\nu -A)}=p(\gamma > 0)\frac{e^{-\beta (\nu - A)\infty}}{-\beta (\nu -A)}-p(\gamma > 0)\frac{e^{-\beta (\nu - A)0}}{-\beta (\nu -A)}=p(\gamma > 0)\frac{1}{\beta}\frac{1}{(\nu -A)}=p(\gamma > 0)=\frac{\overline {t_{зан.}}}{(\nu -A)}$$
Где $$\overline {t}_{зан.}=1/\beta$$ - средняя длительность одного занятия одного потребителя $$\overline {\gamma}=p(\gamma > 0)\frac{\overline {t_{зан.}}}{(\nu -A)}$$- это среднее время ожидания по отношению ко всем поступившим партиям товаров (суммарное время ожидания, разделённое на все поступающие партии товаров).
Все партии товаров, поступающие на рынок, можно разделить
на партии товаров, которые обслуживаются с сохранением (ожиданием реализации), и партии товаров, которые обслуживаются без сохранения
(ожидания реализации). Обозначим через $$\overline {\gamma_{зад}}$$ - среднее время ожидания задержанных партий товаров. Время ожидания партий товаров, которые обслуживаются без сохранения (ожидания реализации) равно нулю. Тогда среднее время ожидания по отношению ко всем поступившим вызовам можно определить как среднее взвешенное:
$$\overline {\gamma}=\overline {\gamma}_{задер.}p(\gamma > 0)+0[1-p(\gamma > 0)]$$
Отсюда:
$$\overline {\gamma}=\overline {\gamma}_{задер.}p(\gamma > 0)$$
$$\overline {\gamma}_{задер.} =\frac{\overline {\gamma}}{p(\gamma > 0)}=\frac{\overline {t_{зан.}}}{(\nu -A)}$$ - суммарное время ожидания, разделённое на группы товаров, стоящие в очереди на реализацию.
Так как $$P(\gamma > 0) \leq 1$$, то $$\overline {\gamma}_{задер.} \leq \overline {\gamma}$$.
В состоянии системы $$x_{\nu }$$ все $$\nu$$ групп потребителей заняты, но очереди нет.
В состоянии $$x_{\nu+1}$$ заняты все $$\nu$$ линий и одна группа товаров стоит в очереди.
В состоянии $$x_{\nu+2}$$ стоят в очереди 2 группы товаров и так далее...
$$P_{очер}=\sum_{i=\nu +1}^{\infty }P_i=\sum_{i=\nu +1}^{\infty }\frac{E_i (A) \times (\frac{A}{\nu })^{i-\nu }}{E_{\nu }\frac{A}{\nu -A}}$$
В этом выражении обозначим $$r=i-\nu$$:
$$\sum\nolimits_{r=1}^{\infty }(\frac{A}{\nu})^r=(\frac{A}{\nu })[1+\frac{A}{\nu }+(\frac{A}{\nu })^2+…]=\frac{A}{\nu }\frac{1}{1-\frac{A}{\nu }}$$
Вероятность очереди:
$$P_{очер}=\frac{E_{\nu }}{1+E_{\nu }(A)}\frac{1}{1-\frac{A}{\nu}}\frac{A}{\nu}=p(\gamma > 0)\frac{A}{\nu }$$
Математическое ожидание числа задержанных партий товаров
$$\overline {C}_{задер.}= \sum\nolimits_{i=\nu }^{\infty }(i-\nu )P_i= \sum\nolimits_{i=\nu }^{\infty }(i-\nu ) \times E_{\nu }(A)(\frac{A}{\nu })^{i-\nu }+E_{\nu }(A)\frac{A}{\nu -A}=\frac{E_{\nu }(A)}{1+E_{\nu }(A)\frac{A}{\nu -A}} \sum\nolimits_{k=0}^{\infty}(\frac{A}{\nu })^K$$
Заменим $$\frac{A}{\nu }=x$$ и воспользуемся формулой $$\frac{d}{dx}x^k=kx^{k-1}$$
Число задержанных партий товаров будет:
$$\overline {C}_{задер.}=\frac{E_{\nu }(A)}{1+E_{\nu }(A)\frac{A}{\nu -A}}\times \frac{1}{1-\frac{A}{\nu }}\times \frac{A}{\nu }\frac{1}{1-\frac{A}{\nu }}=p(\gamma > 0)\times \frac{A}{A-\nu }$$
$$C_{задер.}=p(\gamma > 0)\times \frac{A}{A-\nu }$$
Таким образом, для оценки качества работы систем с ожиданием мы получили формулы (табл. 4.1).
| $$P(\gamma > 0)=E_{\nu }(A)\frac{\nu }{(\nu -A)+AE_{\nu }(A)}$$ | Вторая формула Эрланга (вероятность того, что время ожидания больше нуля- то есть вероятность очереди) |
| $$p(\gamma > t)= p(\gamma > 0)e^{(\lambda - \nu )t}$$ | Вероятность того, что время ожидания поступившего вызова больше $$t$$. |
| $$\overline {\gamma}=p(\gamma > 0)\frac{\overline {t_{зан.}}}{(\nu -A)}$$ | Среднее время ожидания для партий товаров, поступающих на рынок. |
| $$\overline {\gamma}_задер.=\frac{\overline {t_{зан.}}}{(\nu -A)}$$ | Среднее время ожидания товаров, находящихся в очереди. |
| $$P_{очер}= p(\gamma > 0)\frac{A}{\nu }$$ | Вероятность наличия в очереди хотя бы одной партии товаров вероятность очереди. |
| $$\overline {C}_{задер.}= p(\gamma > 0)\times \frac{A}{\nu -A}$$ | Средняя длина очереди (среднее число задержанных партий товаров) |
Проведем расчет рынка по тем же данным, которые мы задавали для рынка с явными потерями в лекции 3 (табл. 3.3). Поток предложения будем считать простейшим, система продажи полнодоступная, но в отличии от примера лекции 3 - система с ожиданием).
Для расчета потерь по второй формуле Эрланга можно использовать график, приведённый на рис. 4.3.
Поскольку мы имеем таблицы для числовой оценки Первой формулы Эрланга, мы используем следующие отношения для того, чтобы получить числовые значения $$Р (\gamma > 0)$$, для второй формулы Эрланга [4],[8] .
$$\frac{1}{E_{2,\nu }}=\frac{1}{E_{1,\nu }}-\frac{1}{E_{1,\nu -1}}$$
$$I_{2,n}= I_{1,\nu}- I_{1,\nu}$$
где $$I$$ - инверсия вероятности
$$I_{2,n}=\frac{1}{E_{2,\nu }}$$
Известна также другая формула:
$$E_{2,\nu }=\frac{E_{1,\nu }(A)}{1-A{1-E_{1, \nu }(A)/\nu }}, A< \nu$$
где элемент $$A{1-E_{1, \nu }(A)/\nu }$$ - средняя обслуженная нагрузка на канал в соответствующей системе с потерями. Для $$A\leq \nu$$ мы имеем $$E_{2, \nu } (A) = 1$$. Это - вероятность того, что, и все клиенты поставлены на ожидание.
Мы будем использовать первую группу формул. Остальные показатели мы будем рассчитывать по формулам приведенным в табл. 4.1.
Данные расчетов приведены в табл. 4.2.
| Величина поставки (Ед. относ. потреб.) $$A$$ | Величина поставки (В млн. баррелей в день) | Потери $$E_{1,n}$$ | Потери $$E_{2,n}$$ | Потери $$P(\gamma > t)$$ $$t > 1$$ | Потери $$P(\gamma > t)$$ $$t > 3$$ | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 | 2 | 7 | 0,000001 | |||
| 2 | 4 | 14 | 0, 000015 | 0 | ||
| 3 | 6 | 21 | 0, 000892 | 0.0015 | ||
| 4 | 8 | 28 | 0, 009931 | 0.0195 | 0.0072 | 0.0053 |
| 5 | 10 | 70 | 0, 03697 | 0.1056 | 0.0388 | 0.0053 |
| 6 | 12 | 42 | 0,085729 | 0.3191 | 0,0915 | 0,0159 |
| 7 | 14 | 49 | 0,144788 | 0.7792 | 0.2867 | 0.0388 |
| 8 | 16 | 56 | 0,212573 | |||
| 9 | 18 | 126 | 0,274114 | |||
| 10 | 20 | 140 | 0,329997 |
Рассмотрим результаты, полученные в табл. 4.2. Сравнивая данные столбцов 4 и 5.
Можно сделать вывод, что в системе с ожиданием вероятность передачи товара на хранение больше, чем величина потерь в системе с явными потерями. Например:
при поставке 12 относительных единиц (42 барреля в день )
явные потери составляют $$E_{1,n} =0,085729$$, а вероятность передачи на хранение равна $$E_{2,n} =0.3191$$,
при поставке 14 относительных единиц (49 баррелей в день )
явные потери составляют $$E_{1,n} =0,144788$$, а вероятность передачи на хранение равна $$E_{2,n}= 0.7792$$.
Хотя на практике передача товара на хранение не является потерей товаров, а потерей времени реализации. Реальные потери возникают только при условии долгого хранения. Тогда товар может просто испортиться и как при явных потерях снят с реализации, или затраты на хранение станут экономически не выгодными.
В табл. 4.2 показаны вероятности задержки реализации на время $$t$$ (столбец 6) и $$3t$$ (столбец 7). Расчет приведен для времени потребления 0,5 дня. Напомним, что относительное потребление рассчитано на поставку в течение дня, тогда $$t=1$$ день.
Тогда вероятность хранения больше одного дня больше вероятности явных потерь, но если время хранения равно 3 дням, то вероятность превышения сроков хранения меньше величины явных потерь.
Кроме того следует отметить, что система с потерями позволяет поставку большего количества товаров, чем система с ожиданием. В рассматриваемой таблице - это 16, 18 и 20 отн. единиц, хотя при больших потерях. Система с ожиданием позволяет реализовать без хранения величину поставки товаров, которая равна количеству потребителей.
Определить: соотношение потерь в полнодоступных группах емкостью $$\nu =50$$ и $$100$$ партий товаров, при системе с ожиданием при показательном распределении длительности занятия и по системе с потерями, при заданном значении потерь $$Е \nu (у) = 0,02$$. Рассчитать:
Решение. По таблицам первой формулы Эрланга при заданных величинах $$\nu =50$$ и $$100$$ и $$E \nu (у)=0,02$$ отыскиваем значения поступающего предложения $$A$$: при $$\nu_1 = 50, y_1 =40,2$$ отн.ед.; при $$\nu_2 =100, y_2 =88$$ отн.ед.
Используя (4.8) и полученные значения у, рассчитываем условные потери $$p(\gamma > 0)$$:
$$E_{2,\nu }=\frac{E_{1,\nu }(A)}{1-A{1-E_{1,\nu }(A)/\nu}}$$
Для $$\nu =50$$
$$p(\gamma > 0)=\frac{0.02}{1-\frac{40.2}{50}(1-0.02)}=0.094$$
Для $$\nu =100$$
$$p(\gamma > 0)=\frac{0.02}{1-\frac{88}{100}(1-0.02)}=0.145$$
$$p(\gamma > 0)=\frac{0.02}{1-\frac{40.2}{50}(1-0.02)}=0.094$$
Среднее время ожидания для партий товаров, поступающих на рынок $$\overline {\gamma}$$.
$$\overline {\gamma}=p(\gamma > 0)\frac{\overline {t}_{зан}}{(\nu -A)}$$
(предполагая, что $$\overline {t}_{зан}=1$$)
при $$\nu =50$$; $$\overline {\gamma}=p(\gamma > 0)/(\nu -A)=0.094/9.8=0.0096$$,
при $$\nu =100$$; $$\overline {\gamma}=p(\gamma > 0)/(\nu -A)=0.145/12=0.0121$$
среднее время ожидания товаров, находящихся в очереди, $$\overline {\gamma}_{задер.}=\frac{\overline {t_{зан.}}}{(\nu -A)}$$
(предполагая, что $$\overline {t}_{зан}=1$$)
при $$\nu =50$$; $$\overline {\gamma}_{задер}=1/(\nu -A)=1/9.8=0.102$$
при $$\nu =100$$; $$\overline {\gamma}_{задер}=1/(\nu -A)=1/12=0.083$$
и среднюю длину очереди $$C_{задер.}$$
$$C_{задер.}=p(\gamma > 0)\times \frac{A}{A-\nu }=\overline {\gamma}\times A$$
при $$\nu =50$$; $$C_{задер.}=\overline {\gamma}_{задер.} \times A=0.0096 \times 40.2=0.4$$
при $$\nu =100$$; $$C_{задер.}=\overline {\gamma}_{задер.} \times A=0.0121 \times 88=1.0648$$
Приведенная задача показывает, что:
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.