Нечеткие множества

Цель лекции. Познакомить с нечеткими множествами. Научить ставить задачу для построения нечетко-множественной модели. Показать, как строить нечеткие множества и производить действия над ними в Mathcad. Представить методы решения нечетко-множественной модели в процессе решения задач.

6.1 Нечетко-множественное моделирование

При моделировании широкого класса реальных объектов возникают необходимость принимать решения в условиях неполной нечеткой информации. Современным перспективным направлением моделирования различного вида неопределенностей является теория нечетких множеств. В рамках теории нечетких множеств разработаны методы формализации и моделирования рассуждений человека, таких понятий как "более или менее высокий уровень инфляции", "устойчивое положение на рынке", "более ценный" и т.д.

Впервые понятие нечетких множеств предложил американский ученый Л.А.Заде (1965 г ). Его идеи послужили развитию нечеткой логики . В отличие от стандартной логики с двумя бинарными состояниями (1/0, Да/Нет, Истина/Ложь), нечеткая логика позволяет определять промежуточные значения между стандартными оценками. Примерами таких оценок являются: "скорее да, чем нет", "наверное да", "немного вправо", "резко влево" в отличие от стандартных: "вправо" или "влево", "да". В теории нечетких множеств введены нечеткие числа как нечеткие подмножества специализированного вида, соответствующих высказываниям типа "значение переменной примерно равно а". В качестве примера рассмотрим треугольное нечеткое число, где выделяются три точки: минимально возможное, наиболее ожидаемое и максимально возможное значение фактора. Треугольные числа – это самый часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем, чаще всего их используют в качестве прогнозных значений параметра. Например, ожидаемое значение инфляции на следующий год. Пусть наиболее вероятное значение – 10%, минимально возможное – 5%, а максимально возможное – 20%, тогда все эти значения могут быть сведены к виду нечеткого подмножества или нечеткого числа A: А: (5, 10, 20)

С введением нечетких чисел оказалось возможным прогнозировать будущие значения параметров, которые меняются в установленном расчетном диапазоне. Вводится набор операций над нечеткими числами, которые сводятся к алгебраическим операциям с обычными числами при задании определенного интервала достоверности (уровня принадлежности). Применение нечетких чисел позволяет задавать расчетный коридор значений прогнозируемых параметров. Тогда ожидаемый эффект оценивается экспертом также как нечеткое число со своим расчетным разбросом (степенью нечеткости).

Нечеткая логика, как модель человеческих мыслительных процессов, встроена в системы искусственного интеллекта и в автоматизированные средства поддержки принятия решений (в частности, в системы управления технологическими процессами).

6.2 Основные понятия теории нечетких множеств

Множество — неопределяемое понятие математики. Георг Кантор (1845 – 1918) – немецкий математик, чьи работы лежат в основе современной теории множеств, дает такое понятие: "…множество — это многое, мыслимое как единое".

Множество, включающее в себя все объекты, рассматриваемые в задаче, называют универсальным множеством. Универсальное множество принято обозначать буквой $$U$$. Универсальное множество является максимальным множеством в том смысле, что все объекты являются его элементами, т.е. утверждение $$x\notin U$$ в рамках задачи всегда истинно. Минимальным множеством является пустое множество – $$\varnothing$$, которое не содержит ни одного элемента. Все остальные множества в рассматриваемой задаче являются подмножествами множества $$U$$. Напомним, что множество $$A$$ называют подмножеством множества $$B$$, если все элементы $$A$$ являются также элементами $$B$$. Задание множества $$A$$ — это правило, позволяющее относительно любого элемента $$x$$ универсального множества $$U$$ однозначно установить, принадлежит $$x$$ множеству $$A$$ или не принадлежит. Другими словами, это правило, позволяющее определить, какое из двух высказываний, $$x\notin A$$ или $$x\notin A$$, является истинным, а какое ложным. Одним из способов задания множеств является задание с помощью характеристической функции.

Характеристической функцией множества $$A$$ называют функцию $$\mu_A(x)$$, заданную на универсальном множестве $$U$$ и принимающую значение единица на тех элементах множества $$U$$, которые принадлежат $$A$$, и значение нуль на тех элементах, которые не принадлежат $$A$$:

$$\mu_A(x)= \left\{ \begin{array}{lc} 0,\; x\notin A \\ 1, \; x \in A\; (x \in U) \end{array} \right\ $$

В качестве примера рассмотрим универсальное множество $$U={1,2,3,...,10}$$ и два его подмножества: $$A$$ — множество чисел, меньших 7, и $$B$$ — множество чисел, немного меньших 7. Характеристическая функция множества $$A$$ имеет вид

$$\mu_A(x)= \left\{ \begin{array}{lc} 0,\; x < 7 \\ 1, \; x \ge7 \end{array} \right\ $$

Множество $$A$$ в данном примере является обычным множеством.

Записать характеристическую функцию множества $$B$$, используя лишь 0 и 1, невозможно. Например, включать ли в $$B$$ числа 1 и 2? "намного" или "ненамного" число 3 меньше 7? Ответы на эти и подобные им вопросы могут быть получены в зависимости от условий задачи, в которой используются множества $$U$$ и $$B$$, а также от субъективного взгляда того, кто решает эту задачу. Множество $$B$$ называется нечетким множеством. При составлении характеристической функции нечеткого множества $$\mu_B(x)$$ решающий задачу (эксперт) может высказать свое мнение относительно того, в какой степени каждое из чисел множества $$U$$ принадлежит множеству $$B$$. В качестве степени принадлежности можно выбрать любое число с отрезка $$[0, 1]$$. При этом $$\mu_B(x)=1$$ означает полную уверенность эксперта в том, что $$x_1\in B;\; \mu_B(x_2)=0$$ — столь же полную уверенность, что $$x_2\notin B;\; \mu_B(x_3)=0.5$$ говорит о том, что эксперт затрудняется в ответе на вопрос, принадлежит ли $$x_3$$ множеству $$B$$ или не принадлежит. Если $$\mu_B(x)>0.5$$, то эксперт склонен отнести $$x$$ к множеству $$B$$, если же $$\mu_B(x)< 0.5$$, то не склонен.

Функцией принадлежности нечеткого множества $$B$$ называют функцию $$\mu_B(x)$$, которая

устанавливает значения степени принадлежности нечеткому множеству $$B$$ каждого из элементов универсального множества $$U$$ и принимает значения на отрезке $$[0,1]$$.

позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству $$B$$.

Такую функцию называют функцией принадлежности нечеткому множеству $$B$$. - Максимальное значение функции принадлежности $$\mu_B(x)$$, присутствующее в множестве - верхняя грань - называется супремум. Функция принадлежности отражает субъективный взгляд специалиста на задачу, вносит индивидуальность в ее решение.

Характеристическую функцию $$\mu_A(x)$$ обычного множества $$A$$ можно рассматривать как функцию принадлежности этому множеству, но в отличие от нечеткого множества, $$\mu_A(x)$$ принимает лишь два значения: 0 или 1.

Нечетким множеством $$В$$ называют пару $$(U, \mu_B(u))$$, где $$U$$ — универсальное множество, $$\mu_B(u)$$ — функция принадлежности нечеткого множества $$B$$.

Несущим множеством или носителем нечеткого множества $$B$$ называют подмножество множества $$U$$, состоящее из элементов, на которых $$\mu_B(u)>0$$.

Точкой перехода нечеткого множества $$A$$ называют элемент множества $$U$$, на котором $$\mu_A(u)=0.5$$.

В рассматриваемом примере, где $$U=?1, 2,…, 10?$$, $$A$$ — множество чисел, меньших 7, $$B$$ — множество чисел, немного меньших 7, субъективно выбираем значения для множества $$B$$, которые будут составлять функцию принадлежности $$\mu_B(x)$$. В таблице 6.1 представлены функции принадлежности $$\mu_A(x)$$ и $$\mu_B(x)$$ для $$A$$ и $$B$$.

$$x(x\notin U)$$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$$\mu_A(x)$$	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
$$\mu_B(x)$$	0	0	0,5	0,6	0,8	0,9	0	0	0	0

Часто используется более компактная запись конечных или счетных нечетких множеств. Так, вместо приведенного выше табличного представления подмножеств $$A$$ и $$B$$, эти подмножества можно записать следующим образом:

$$A = 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6;\; B = 0,5/3+0,6/4+0,8/5+0,9/6$$

В приведенных равенствах указаны значения функции принадлежности для соответствующих элементов множества $$U$$, знак quot;+quot; означает объединение одноэлементных подмножеств $$U$$, для которых значения функции принадлежности больше нуля. Такое объединение называют несущим множеством или носителем соответствующего нечеткого множества. Так, несущее множество для $$B$$ состоит из чисел: $$\{3, 4, 5, 6\}$$.

Нечеткое множество $$A$$ записывают в виде (1.2), если $$U$$, и в виде (1.3), если $$U$$ непрерывно.

Общая форма записи нечеткого подмножества для случаев, когда U дискретно имеет вид:

$$B=\sum_{i=1}^{n}\mu_B(u_i)/u_i,\; (u_i \in U)$$

В общем случае нечеткое множество B с непрерывным носителем U обозначается

$$B=\int_{U}^{}\mu_B(u_i)/u$$

В выражениях (6.3) и (6.4), как правило, указываются лишь элементы несущего множества. Использование символа интеграла не означает интегрирования, но предполагает, объединение по всем элементам несущего множества $$U$$. Знак интеграла показывает, что несущее множество является частью числовой оси.

Элемент множества $$U$$, на котором значение функции принадлежности равно 0.5, называют точкой перехода. Точкой перехода для множества $$B$$ в рассмотренном выше примере является $$x=3$$. Точка перехода – это точка, о которой мнение эксперта можно выразить словами quot;неизвестноquot;, quot;не определеноquot; и т.п. Если функция принадлежности нечеткого множества достигает 1, то множество называют нормальным, если не достигает — субнормальным. Поскольку в разобранном примере ни одно из значений $$\mu_B(x)$$ не достигло своего возможного максимального значения – 1, то $$B$$ – нечеткое субнормальное множество. Субнормальное множество можно нормировать, разделив все значения функции принадлежности на ее наибольшее значение. Множество $$B$$ после нормирования примет следующий вид: $$B_{ii}=\frac{5}{9}/3+\frac{2}{3}/4+\frac{8}{9}/5+1/6$$.

Удобно представление нечетких множеств в виде графиков функций принадлежности $$\mu_B(x)$$ (рис.6.1).

(рис 6.1) Функции принадлежности обычного множества и нечеткого множества B

6.3. Методы построения функций принадлежности

Важным и трудным вопросом теории нечетких множеств является вопрос о методах построения функции принадлежности $$\mu (x)$$ - главной характеристики нечеткого множества. В каждом отдельном случае построения функции принадлежности формулируются свои требования и обоснования к выбору именно такого построения.

Фактически нечеткое множество - это множество упорядоченных пар вида lt;?(x/xgt;, где x принимает некоторое информативное значение, а ?(x$$\mu (x)$$ представляет собой степень принадлежности $$x$$ к чему-либо: 0 - не принадлежит, 1 - принадлежит на все 100%.

Один из методов построения функций принадлежности – методы экспертных оценок. Если имеются дискретные значения по ряду параметров, для представления можно использовать таблицы или матрицы.

Рассмотрим примеры построения нечетких множеств средствами программы MathCad.

Пример 6.1. Построим нечеткие множества следующего вида: элементы множества ряд чисел $$\?1, 2,…, 10\?$$, функция принадлежности - $$\mu (x)$$ – случайные числа на отрезке $$[0,1]$$. Построим множества в виде матриц: первый столбец матрицы – элементы множества, второй столбец – значения функции принадлежности $$\mu (x)$$. Промоделируем $$\mu (x)$$ с помощью датчика случайных чисел, используем функцию $$round()$$, которая округляет число до одного десятичного знака. Представим все полученные множества графически. (рис.6.2):

$$ORIGIN:=1$$

$$i:=1..10$$

$$X_{i,1}:=i,\; Y_{i,1}:=i$$

$$X_{i,2}:=round(rnd(1),1), \; Y_{i,2}:= round(rnd(1),1)$$

$$X:=\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 2 \\ \hline 1 1 0 \\ \hline 2 2 0.2 \\ \hline 3 3 0.6 \\ \hline 4 4 0.4 \\ \hline 5 5 0.8 \\ \hline 6 6 0.2 \\ \hline 7 7 0.7 \\ \hline 8 8 0.3 \\ \hline 9 9 0.1 \\ \hline 10 10 0.1 \\ \hline \end{array}$$

$$Y:=\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 2 \\ \hline 1 1 1 \\ \hline 2 2 0.1 \\ \hline 3 3 0 \\ \hline 4 4 0.5 \\ \hline 5 5 0.6 \\ \hline 6 6 0.2 \\ \hline 7 7 0.5 \\ \hline 8 8 0.1 \\ \hline 9 9 0.8 \\ \hline 10 10 0.5 \\ \hline \end{array}$$

$$\mu X:=X^{\{2\}}}$$, $$\mu Y:=Y^{\{2\}}}$$

(рис 6.2) Нечеткие множества X и Y в виде матриц

Если параметры меняются непрерывно, функция принадлежности задается математической функцией. Существует ряд типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Наибольшее распространение получили: треугольная, трапециевидная я и гауссова функции принадлежности.

Треугольная функция принадлежности

Определяется тройкой чисел $$(a,b,c)$$, и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

$$\mu1(x)= \left\{ \begin{array}{lc} 1-\frac{b-x}{b-a},\; a\le x \le b \\ 1-\frac{x-b}{c-b},\; b\le x \le c \\ 0,\; остальные случаи \end{array} \right\ $$

При $$(b-a)=(c-b)$$ имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки $$(a,b,c)$$.

Трапециевидная функция принадлежности

Для задания необходима четверка чисел $$(a,b,c,d)$$:

$$\mu2(x)= \left\{ \begin{array}{lc} 1-\frac{b-x}{b-a},\; a\le x \le b \\ 1, \; b\le x \le c \\ 1-\frac{x-c}{d-x},\; c\le x \le d \\ 0,\; остальные случаи \end{array} \right\ $$

При $$(b-a)=(d-c)$$ трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.

Пример 6.2

Построим в MathCad нечеткие множества $$AX1$$ и $$AX2$$, заданных на универсальном множестве $$U$$ действительных чисел $$x\subset [0,10]$$, c треугольными функциями принадлежности $$AF1(x)$$ и $$AF2(x)$$ (Рис.6.3): Используем условную функцию из блока программирования. Функция $$AF2(x)$$ симметричная: $$(b1-a1)=(c1-b1)$$. Функция $$AF1(x)$$ несимметричная: $$(b-a)\ne (c-b)$$

Пример 6.3

Построим в MathCad нечеткие множества $$AXt1$$ и $$AXt2$$, заданных на универсальном множестве $$U$$ действительных чисел $$x\subset [0,10]$$, c трапециевидными функциями принадлежности $$AFt1(x)$$ и $$AFt2(x)$$, Используем условную функцию из блока программирования (рис.6.4). Функция $$AF2(x)$$ симметричная $$:(b1-a1)=(c1-b1)$$. Функция $$AF1(x)$$ несимметричная $$(b-a)\ne (c-b)$$

$$a:=1, \; b:=2, \; c:=5$$

$$a1:=2, \; b1:=6, \; c1:=10$$

$$F1(x):=1-\frac{(b-x)}{b-a}$$, $$F21(x):=1-\frac{(b1-x)}{b1-a1}$$

$$F2(x):=1-\frac{(x-b)}{b-a}$$, $$F22(x):=1-\frac{(x-b1)}{c1-b1}$$

$$AF1(x):=\begin{array}{|lc} F1(x)\; if\; a\le x \le b \\ F2(x)\; if\; b\le x \le (c) \\ 0\; otherwise \end{array}$$, $$AF2(x):=\begin{array}{|lc} F21(x)\; if\; a1\le x \le b21\\ F22(x)\; if\; b1\le x \le (c1) \\ 0\; otherwise \end{array}$$

(рис 6.3) Треугольные функции принадлежности

$$a:=1, \; b:=2, \; c:=5, \; d:=9$$

$$a1:=2, \; b1:=6, \; c1:=10, \; d1:=10$$

$$Ft1(x):=1-\frac{(b-x)}{b-a}$$, $$Ft21(x):=1-\frac{(b1-x)}{b1-a1}$$

$$Ft2(x):=1-\frac{(x-c)}{d-c}$$, $$Ft22(x):=1-\frac{(x-c1)}{d1-c1}$$

$$AFt1(x):=\begin{array}{|lc} Ft1(x)\; if\; a\le x \le b \\ 1\; if b\le x \le c \\ Ft2(x)\; if\; c\le x \le d \\ 0\; otherwise \end{array}$$, $$AFt2(x):=\begin{array}{|lc} Ft21(x)\; if\; a1\le x \le b1\\ 1\; if b1 \le x \le c1 \\ Ft22(x)\; if\; c1\le x \le d1 \\ 0\; otherwise \end{array}$$

(рис 6.4) Трапециевидные функции принадлежности

6.4 Множества Α–уровня

Множеством $$\alpha$$–уровня нечеткого множества $$(U,\mu A)$$ называют обычное множество, состоящее из всех тех элементов универсального множества $$U$$, для которых выполняется неравенство $$\mu A \ge \alpha$$.

Множества $$\alpha$$–уровня широко используются при оперировании с нечеткими множествами. Это одно из важных понятий теории нечетких множеств.

Рассмотрим следующий пример. Пусть $$A$$ – нечеткое множество, $$A = 0,1/1+0,3/2+0,4/5+0,7/6+0,8/9+1/10$$. Выберем $$\alpha \in \{0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9\}$$. Составим множества $$\alpha$$–уровня для всех возможных значений $$\alpha$$:

$$A^{0,1}=\{1,2,5,6,9,10\}$$

$$A^{0,3}=\{2,5,6,9,10\}$$

$$A^{0,5}=\{6,9,10\}$$

$$A^{0,7}=\{6,9,10\}$$

$$A^{0,9}=\{10\}$$

Построим множества$$A=\mu_A A^{\alpha}$$. Это нечеткие множества.

$$A^{\%0,1}=0.1\cdot A^{0,1}=0.1/1+0.1/2+0.1/5+0.1/6+0.1/9+0.1/10$$, функция принадлежности $$\mu_{A^{\%0,1}}\equiv 0.1$$.

Аналогично

$$A^{\%0,3}=0.3\cdot A^{0,3}=0.3/1+0.3/2+0.3/5+0.3/6+0.3/9+0.3/10$$, $$\mu_{A^{\%0,3}}\equiv 0.3$$

$$A^{\%0,5}=0.5\cdot A^{0,5}=0.5/6+0.5/9+0.5/10$$, $$\mu_{A^{\%0,5}}\equiv 0.5$$

$$A^{\%0,7}=0.7\cdot A^{0,7}=0.7/6+0.7/9+0.7/10$$, $$\mu_{A^{\%0,7}}\equiv 0.7$$

$$A^{\%0,9}=0.9\cdot A^{0,9}=0.9/10$$, $$\mu_{A^{\%0,9}}\equiv 0.9$$

Составим нечеткое множество $$\tilde{A}$$, выполнив последовательно два действия:

объединим множества $$A^{\%0,1}, A^{\%0,3}, A^{\%0,5}, A^{\%0,7}, A^{\%0,9}$$: $$A^{\%0,1}+A^{\%0,3}+ A^{\%0,5}+ A^{\%0,7}+ A^{\%0,9}=0.1\cdot A^{0,1}+0.3\cdot A^{0,3}+ 0.5\cdot A^{0,5}+ 0.7\cdot A^{0,7} + 0.9\cdot A^{0,9}=0.1/1+0.1/2+0.1/5+0.1/6+0.1/9+0.1/10+0.3\cdot A^{0,3}=0.3/1+0.3/2+0.3/5+0.3/6+0.3/9+0.3/10+0.5\cdot A^{0,5}=0.5/6+0.5/9+0.5/10+0.7\cdot A^{0,7}=0.7/6+0.7/9+0.7/10+0.9/10=0.1/1+(0.1\vee 0.3)/2 + (0.1\vee 0.3)/5+ (0.1 \vee 0.3 \vee 0.5 \vee 0.7)/6+(0.1 \vee 0.3 \vee 0.5\vee 0.7)/9 + (0.1 \vee 0.3 \vee 0.5 \vee 0.7 \vee 0.9)/10$$

Из значений функции принадлежности, соединенных знаками логических сумм, выберем наибольшее (супремум) и будем считать его значением функции принадлежности нечеткого множества $$\tilde{A}$$ на соответствующем элементе несущего множества: $$\tilde{A}=0.1/1+0.3/2+0.3/5+0.7/6+0.7/9+0.9/10$$.

В данном случае $$\tilde{A} \ne A$$, так как $$\mu_A(5)=0.4\ne \mu_{\tilde{A}}(5)=0.3; \; \mu_A(9)=0.8\ne \mu_{A^\%}(9)=0.7$$. Однако если бы множество значений $$\alpha$$ включало все значения функции принадлежности множества $$A$$, то множества $$A$$ и $$\tilde{A}$$ совпали бы.

Рассмотрим нечеткое множество $$A$$, носителем которого является отрезок числовой оси $$x\in [1,3]$$, а функция принадлежности имеет вид

$$\mu_A(x)=\frac{1}{2}(1+\cos(\pi x))$$

График показан на рис. 6.4. Множеством $$\alpha$$–уровня является отрезок $$[x_1, x_2]$$, концы которого определяются из уравнения $$\mu_A(x)=\frac{1}{2}(1+\cos(\pi x))=\alpha,\; x\in [1,3]$$

Решением такого уравнения будут два числа: $$x_1=2-\frac{1}{\pi}\arcos(2\alpha-1)$$ и $$x_2=2+\frac{1}{\pi}\arcos(2\alpha-1)$$.

Следовательно, $$A^{\%}=\alpha\cdot [\left(2-\frac{1}{\pi}\arccos(2\alpha-1)\right)\left(2+\frac{1}{\pi}\arccos(2\alpha-1)\right)]$$.

Разложение множества $$A$$ по множествам уровня имеет вид: $$A=\int_{0}^{1}\alpha [\left(2-\frac{1}{\pi}\arccos(2\alpha-1)\right),\left(2+\frac{1}{\pi}\arccos(2\alpha-1)\right)]$$

Ниже приведен график множества $$\alpha$$?уровня $$A^{\alpha}=[x_1,x_2]$$ для нечеткого множества $$A$$ с функцией принадлежности $$\mu_A(x)=\frac{1}{2}(1+\cos(\pi x))$$.

(рис 6.5) Множество альфа-уровня для нечеткого множества А с заданной функцией принадлежности

Разбив отрезок $$[0,1]$$ на подходящее число частей, получают приближенное разложение нечеткого множества.

Разобьем отрезок $$[0,1]$$ на десять частей, получим дискретный набор значений $$\alpha \in \{0; 0.1; 0.2 ; ... 1\}=\{\frac{n}{10}\},\; (n=0,1,...,10)$$. Тогда приближенное разложение множества $$A$$ по множествам уровня примет следующий вид: $$A\approx \sum_{n=0}^{10}\frac{n}{10}[\left(2-\frac{1}{\pi}\arccos\left(\frac{n-5}{5}\right)\right),\left(2+\frac{1}{\pi}\arccos\left(\frac{n-5}{5}\right\right)]$$

Операции над α-уровнями

Пусть $$A, B, С$$ – нечеткие множества со своими функциями принадлежности, Если $$A, B, С $$ представить в виде разложения по $$\alpha$$-уровням, то интервалы достоверности у этих множеств будут соответственно (рис.6.6):

на уровне $$?_1 - [a_{н1}, a_{к1}], [b_{н1}, b_{к1}], [с_{н1}, с_{к1}]$$, где $$a_н, b_н, c_н$$ – начало интервала, $$a_к, b_к, c_к$$ – конец интервала,

на уровне $$?_n – [a_{нn}, a_{кn}], [b_{нn}, b_{кn}], [с_{нn}, с_{кn}]$$.

(рис 6.6) Множество альфа-ровней для нечетких множеств A,B,C

Арифметические операции над нечеткими множествами сводятся к операциям над интервалами соответствующего $$\alpha$$-уровня. Операция сложения выглядит следующим образом:

Сложение: $$[с_{нn}, с_{кn}] = [a_{нn}, a_{кn}] + [b_{нn}, b_{кn}]= [a_{нn} + b_{нn}, a_{кn} + b_{кn}]$$

Вычитание: $$[с_{нn}, с_{кn}] = [a_{нn}, a_{кn}] – [b_{нn}, b_{кn}]= [a_{нn} – b_{нn}, a_{кn} – b_{кn}]$$

Умножение: $$[с_{нn}, с_{кn}] = [a_{нn}, a_{кn}] \cdot [b_{нn}, b_{кn}]= [a_{нn}\cdot b_{нn}, a_{кn}\cdot b_{кn}]$$

Деление: $$[с_{нn}, с_{кn}] = [a_{нn}, a_{кn}] / [b_{нn}, b_{кn}]= [a_{нn} / b_{кn}, a_{кn} / b_{нn}]$$

Возведение в степень^ $$[с_{нn}, с_{кn}] = [a_{нn}, a_{кn}]^i = [a_{нn}^i, a_{кn}^i]$$

6.5 Операции над нечеткими множествами

Рассмотрим операции над нечеткими множествами.

Дополнение. Пересечение. Объединение.

Пусть дано множество $$A=\{a_1,a_2,K,a_k\}$$ и два его нечетких подмножества: $$X=\{x,\mu_1(x)\}, \; Y=\{y,\mu_2(y)\},\; x,y \in A$$

Дополнением нечеткого множества $$A=\sum_{U}^{}\mu_A(u_i)/u_i$$ называют множество

$$\overline{A}=\sum_{U}^{}(1-\mu_A(u_i))/u_i$$

Пересечением нечетких множеств $$A=\sum_{U}^{}\mu_A(u_i)/u_i$$ и $$B=\sum_{U}^{}\mu_B(u_i)/u_i$$ называют нечеткое множество

$$A\cap B=\sum_{U}^{}\min(\mu_A(u_i),\mu_B(u_i))/u_i$$

Объединением нечетких множеств $$A=\sum_{U}^{}\mu_A(u_i)/u_i$$ и $$B=\sum_{U}^{}\mu_B(u_i)/u_i$$ называют нечеткое множество

$$A\cup B=\sum_{U}^{}\max(\mu_A(u_i),\mu_B(u_i))/u_i$$

Продемонстрируем операции над множествами средствами программы MathCad.

Пример 6.5

Приводим листинги операций дополнения, пересечения, объединения для нечетких множеств в виде матриц примера 6.1. (рис.6.7, рис. 6.8):

Дополнения нечетких множеств. $$E$$ – единичная матрица.

$$E_{i,1}:=2\cdot I, \; E_{i,2}:=1, \; EX:=E-X, \; EY:=E-Y$$

$$E:=\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 2 \\ \hline 1 2 1 \\ \hline 2 4 1 \\ \hline 3 6 1 \\ \hline 4 8 1 \\ \hline 5 10 1 \\ \hline 6 12 1 \\ \hline 7 14 1 \\ \hline 8 16 1\\ \hline 9 18 1 \\ \hline 10 20 1 \\ \hline \end{array}$$, $$EX:=\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 2 \\ \hline 1 1 1 \\ \hline 2 2 0.8 \\ \hline 3 3 0.4 \\ \hline 4 4 0.5 \\ \hline 5 5 0.2 \\ \hline 6 6 0.8 \\ \hline 7 7 0.3 \\ \hline 8 8 0.7\\ \hline 9 9 0.9 \\ \hline 10 10 0.9 \\ \hline \end{array}$$, $$EY:=\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 0 \\ \hline 1 1 0 \\ \hline 2 2 0.9 \\ \hline 3 3 1 \\ \hline 4 4 0.5 \\ \hline 5 5 0.4 \\ \hline 6 6 0.8 \\ \hline 7 7 0.5 \\ \hline 8 8 0.9\\ \hline 9 9 0.2 \\ \hline 10 10 0.5 \\ \hline \end{array}$$

(рис 6.7) Дополнения нечетких множеств X и Y. E – единичная матрица $$XuY_{i,1}:=I,\; XnY_{i,1}:=i$$ $$XuY_{i,2}:=\max (X_{i,2},Y_{i,2}),\; XnY_{i,2}:=\min (X_{i,2},Y_{i,2})$$

$$XuY:=\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 2 \\ \hline 1 1 1 \\ \hline 2 2 0.2 \\ \hline 3 3 0.6 \\ \hline 4 4 0.5 \\ \hline 5 5 0.8 \\ \hline 6 6 0.2 \\ \hline 7 7 0.7 \\ \hline 8 8 0.3\\ \hline 9 9 0.8 \\ \hline 10 10 0.5 \\ \hline \end{array}$$, $$XnY:=\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 0 \\ \hline 1 1 0 \\ \hline 2 2 0.1 \\ \hline 3 3 0 \\ \hline 4 4 0.4 \\ \hline 5 5 0.6 \\ \hline 6 6 0.2 \\ \hline 7 7 0.5 \\ \hline 8 8 0.1\\ \hline 9 9 0.1 \\ \hline 10 10 0.1 \\ \end{array}$$

(рис 6.8) Пересечение и объединение нечетких множеств X и Y

Пример 6.6

Приводим листинги операций дополнения, пересечения, объединения для нечетких множеств примера 6.2 с треугольными функциями принадлежности. (рис.6.9, рис. 6.10,6.11 )

Дополнение множеств $$AF1d(x):=1-AF1(x), \; AF2d(x):=1-AF2(x)$$

(рис 6.9) Дополнение нечетких множеств с треугольными функциями принадлежности

Объединение и пересечение множеств $$AF1\cup AF2(x):=\max(AF1(x),AF2(x))$$

(рис 6.10) Объединение нечетких множеств с треугольными функциями принадлежности

Пересечение множеств $$AF1\cap AF2(x):= \min(AF1(x),AF2(x))$$

(рис 6.11) Пересечение нечетких множеств с треугольными функциями принадлежности

Расстояние между множествами

Чтобы определить расстояние между элементами множества $$U$$, надо наложить метрику на это множество. Рассмотрим следующие метрики. Математическим прообразом реального трехмерного пространства является пространство Евклида. Пространство Евклида обозначают обычно $$Rz$$. Для линейных дискретных пространств, особенностью которых является то, что координаты векторов могут принимать лишь дискретные значения, известно пространство Хемминга. Если рассмотреть функции принадлежности всех множеств на универсальном множестве $$U$$, то они образуют функциональное множество всех функций, определенных на $$U$$, и принимающих значения на отрезке $$[0, 1]$$. Метрика на множестве $$X$$ — это функция $$\rho (x,y)$$, сопоставляющая каждой паре элементов $$x, y\in X$$ действительное число по правилу выбранного пространства.

Чтобы найти расстояние между множествами $$X$$ и $$Y$$ используются метрики, представленные в таблице 6.2:

Некоторые виды метрик функциональных пространств

Вид метрики	Вид множества
	$$U $$– дискретное множество,$$n$$ число его элементов	$$U=[a, b]$$ — непрерывное множество
Линейное расстояние (расстояние Хемминга)	$$\rho(\mu_A,\mu_b)=\sum_{i=1}^{n}|\mu_A(x_i)-\mu_B(x_i)|$$	$$\rho(\mu_A,\mu_b)=\int_{a}^{b}|\mu_A(x)-\mu_B(x)|dx$$
Евклидово расстояние	$$\rho(\mu_A,\mu_b)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(\mu_A(x_i)-\mu_B(x_i))^2}$$	$$\rho(\mu_A,\mu_b)=\sqrt{\int_{a}^{b}(\mu_A(x)-\mu_B(x))^2dx}$$

Пример. 6.7

Для нечетких множеств $$X$$ и $$Y$$ примера 6.1. построим расстояние между множествами в среде MathCad. Обозначим $$rXYx$$ – расстояние по Хеммингу, $$rXYe$$ - расстояние по Евклиду (см. рис. 6.2):

$$rXYx:=\sum_{i=1}^{10}|X_{i,2}-Y_{i,2}|$$, $$rXYx=3.1$$

$$rXYe:=\sqrt{\sum_{i=1}^{10}(X_{i,2}-Y_{i,2})^2}$$, $$rXYe=1.204$$

Определение понятия "обычное множество, ближайшее к нечеткому"

Обычным множеством, ближайшим к нечеткому множеству $$A$$ с функцией принадлежности $$\mu_A(u)\;(u\in U)$$, называют подмножество $$A_0$$ множества $$U$$, характеристическая функция которого имеет вид:

$$\mu_{A_0}= \left\{ \begin{array}{lc} 1, \; если \; \mu_A>0.5 \\ 0, \; если \; \mu_A<0.5 \\ 1 \; или\; 0, \; если \; \mu_A=0.5 \end{array} \right\ $$

Геометрический смысл понятия "обычное множество $$A_0$$, ближайшее к нечеткому множеству $$A$$" иллюстрирует рис. 6.12.

(рис 6.12) Множество, ближайшее к нечеткому

Значения $$|\mu_A-\mu_{A_0}|$$ при различном расположении точек графиков функций:

$$ullet$$ - функция $$\mu_A$$, $$\bigcirc$$ - функция $$\mu_A0$$

Как видно на рисунке, справедливы неравенства

$$|\mu_A-\mu_{A_0}|<0.5, \; если \; |\mu_A>0.5| \; или \; |\mu_A<0.5|$$

$$|\mu_A-\mu_{A_0}|=0.5, \; если \; |\mu_A=0.5| $$ независимо от того $$\mu_A=1$$ или $$\mu_A=0$$

Если $$A$$ — обычное множество, то оно является ближайшим к самому себе. Это следует непосредственно из определения.

Пример 6.8

Для множеств $$X$$ и $$Y$$ примера 6.1 построим в MathCad множества $$X0$$ и $$Y0$$ – ближайшие к нечетким, воспользуемся встроенной функцией

if (условие, результат1, результат2)

результат 1 – если условие выполнено, результат 2 в противном случае.

$$X0,\; Y0$$ – множества ближайшие к нечетким $$X$$ и $$Y$$

$$X0_{i,1}:=i$$, $$Y0_{i,1}:=i$$

$$X0_{i,2}:=if(X_{i,2}>0.5,1,0)$$, $$Y0_{i,2}:=if(Y_{i,2}>0.5,1,0)$$

$$X0= \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 2 \\ \hline 1 1 1 \\ \hline 2 2 1 \\ \hline 3 3 1 \\ \hline 4 4 0 \\ \hline 5 5 0 \\ \hline 6 6 0\\ \hline 7 7 1 \\ \hline 8 8 0 \\ \hline 9 9 0 \\ \hline 10 10 1 \\ \hline \end{array} $$, $$Y0= \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 2 \\ \hline 1 1 0 \\ \hline 2 2 0 \\ \hline 3 3 1 \\ \hline 4 4 0 \\ \hline 5 5 1 \\ \hline 6 6 0\\ \hline 7 7 1 \\ \hline 8 8 0 \\ \hline 9 9 1 \\ \hline 10 10 0 \\ \hline \end{array} $$

6.6 Меры нечеткости

Пусть $$U$$ — универсальное множество. Очевидно, что "самое четкое" его подмножество — это обычное множество, функция принадлежности (характеристическая функция) которого принимает значения 0 или 1. "Самое нечеткое" подмножество — это множество, состоящее из точек перехода, в которых функция принадлежности принимает значение 0,5: $$\mu(u)\equiv 0,5$$. Мера нечеткости, размытости нечеткого множества $$A$$ определяется как расстояние от этого множества до ближайшего к нему обычного множества $$A_0$$, независимо от того, какая метрика (линейная или евклидова) при этом использована. Обозначим эту величину $$d(A)$$:

$$d(A)=\rho(\mu_A,\mu_{A_0})\; (u_i \in U)$$

При этом, выполняются следующие соотношения

$$d(A) = 0$$ тогда и только тогда, когда $$A$$ – обычное множество;

$$d(A)$$ принимает максимальное значение тогда и только тогда, когда $$\mu(u)\equiv 0,5$$.

Если имеются два нечетких множества $$A$$ и $$B$$ и при любом $$u\; (u\in U)$$, функции принадлежности связаны соотношениями:

$$ \left\{ \begin{array}{lc} \mu_A(u)\le\mu_B(u),\; если \; \mu_B(u)<0,5 \\ \mu_A(u)\ge\mu_B(u),\; если \; \mu_B(u)>0,5 \\ \mu_A(u) - любое, \; если \; \mu_B(u)=0,5 \end{array} \right\ $$,

тогда $$d(A)\le d(B)$$.

Симметричность относительно точки перехода, в которой функции принадлежности принимают значение 0,5. Если $$\mu_B(u_0)=1–\mu_A(u_0)$$, тогда $$d(A)=d(B)$$.

Чтобы с помощью $$\rho(\mu_A\mu_{A_0})$$ можно было сравнивать нечеткие множества, имеющие различные носители, надо нормировать $$\rho(\mu_A\mu_{A_0})$$, потребовав, чтобы для любого множества мера нечеткости не превышала какой-то определенный порог, например, 1. Нормированное расстояние$$\rho(\mu_A\mu_{A_0})$$ между нечетким множеством $$A$$ и ближайшим к нему обычным множеством называют индексом нечеткости и обозначают $$I_A$$.

В таблице 6.3 приведены основные формулы вычисления индекса нечеткости. $$A_0$$ — обычное множество, ближайшее к нечеткому множеству $$A$$, $$\mu_{A_0}(x)$$ – характеристическая функция множества $$A_0$$, вычисляемая по формуле (6.7) .

Основные формулы вычисления индексов нечеткости множеств

Вид метрики	Вид множества
	$$U$$ – дискретное множество, $$n$$ число его элементов	$$U=[a,b]$$ — непрерывное множество
Линейное расстояние Хемминга	$$I_A^L=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}|\mu_A(x_i)-\mu_{A_0}(x_i)|$$	$$I_A^L=\frac{2}{b-a}\int_{a}^{b}|\mu_A(x)-\mu_{A_0}(x)|dx$$
Евклидово расстояние	$$I_A^E=\frac{2}{\sqrt{n}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(\mu_A(x_i)-\mu_{A_0}(x_i))^2}$$	$$I_A^E=\frac{2}{\sqrt{b-a}}\sqrt{\int_{a}^{b}(\mu_A(x)-\mu_{A_0}(x))dx}$$

Пример 6.9

Для множеств $$X$$ и $$Y$$ примера 6.1 рассчитаем в MathCad индексы нечеткости, $$IXe\; IYe$$, используя метрику Евклида и $$IXx \;IYx$$ по метрике Хемминга..

Индексы нечеткости по Евклиду и по Хеммингу для множеств $$X$$ и $$Y$$:

$$IXx:=\frac{2}{10}\left(\sum_{i=1}^{10}|X_{i,2}-X0_{i,2}|\right)$$, $$IYx:=\frac{2}{10}\left(\sum_{i=1}^{10}|Y_{i,2}-Y0_{i,2}|\right)$$

$$IXx:=\frac{2}{\sqrt{10}}\sqrt{\sum_{i=1}^{10}\left(X_{i,2}-X0_{i,2})^2\right)$$, $$IYx:=\frac{2}{\sqrt{10}}\sqrt{\sum_{i=1}^{10}{\left(Y_{i,2}-Y0_{i,2}\right)^2}$$

$$IXx=0.68, \; IYx=0.38$$

$$IXe=0.716,\; IYe=0.434$$

6.7 Экспертные оценки методом нечетких множеств

В процессе принятия решений по вопросам управления организациями достаточно часто прибегают к методу экспертных оценок. Суть метода состоит в следующем: эксперты анализируют проблему, давая количественную оценку характеристикам объектов, в дальнейшем полученные результаты обрабатываются, и на основании анализа мнений группы экспертов принимается решение проблемы.

В такой процедуре возникает, по крайней мере, две проблемы, связанные между собой.

Первая - при оценке объектов эксперты обычно расходятся во мнениях по решаемой проблеме. В связи с этим возникает необходимость оценить степень согласия экспертов количественно. Получение количественной меры согласованности позволяет более обосновано интерпретировать причины расхождений. Вторая - выбор лучшей альтернативы из имеющихся на основе агрегации результатов или, как говорят, свертки с учетом веса мнения эксперта или весомости критерия. Для получения более адекватных оценок в данном анализе можно использовать аппарат теории нечетких множеств. Автором Назаровым Д.М. разработана методика для решения таких задач.

Методика Назарова

Если имеется универсальное множество U, элементы которого имеют неоднозначную составляющую, можно построить нечеткое подмножество $$A$$ множества $$U$$ и рассмотреть его характеристическую функцию $$\mu A(u0)$$. Если $$\mu A(u0)$$ близко к значению 1 или 0, то вклад элемента $$u0$$ в нечеткость множества $$A$$ мал. И наоборот, если $$\mu A(u0)$$ близко к значению 0,5 (значительно отличается как от 1, так и от 0), то его вклад в нечеткость $$A$$ будет значителен. Таким образом, вклад в нечеткость каждого элемента множества определяется близостью или отдаленностью значения функции принадлежности на этом элементе к числам 1 и 0, а мера нечеткости всего множества определяется как сумма вкладов каждого его элемента. Чтобы сравнивать нечеткие множества, имеющие различные носители, надо их нормировать. Представляя имеющиеся данные в виде нормированных нечетких множеств, можно анализировать их с использованием индексов нечеткости. Для вычисления индекса нечеткости $$IA$$, надо построить ближайшее к нечеткому множество $$A0$$ с функцией принадлежности $$\mu A(u0)$$ (см. 6.6) и рассчитать нормированное расстояние по Хэммингу $$\rho (\mu A \mu A0)$$ (см. 6.7).

Таким образом, чтобы ответить на вопрос: "Какое из двух множеств "более нечетко"?", надо вычислить и сравнить индексы нечеткости этих множеств. "Более нечетким" является то множество, которое имеет больший индекс нечеткости.

Рассмотрим предложенную методику на примере задачи.

Задача 6.1

Пусть имеются данные экспертных оценок по ряду вопросов. Были поставлены 10 вопросов, 30 экспертов давали оценки по 10- бальной системе. Требуется обработать результаты анкетирования на предмет согласованности оценок. По каким вопросам были даны наиболее согласованные оценки. С другой стороны, какие эксперты были более определенны в своих оценках. Для решения используем методику Назарова.

Постановка задачи

Неоднозначность оценок вызвана с одной стороны, может быть, нечеткой постановкой вопросов, с другой, стороны, у каждого эксперта свое видение проблемы. Учитывая неоднозначность оценок экспертов, будем рассматривать массив данных как множество $$U$$, для которого построим нечеткое подмножество $$A$$ с характеристической функцией $$\mu_A$$. Проведем анализ нечеткого множества $$A$$ по методике Назарова. Для этого рассчитаем индексы нечеткости множеств оценок экспертов и сравним их. При этом, задача распадается на две:

Задача 6.1.1

Определить индексы нечеткости множеств оценок всех экспертов по каждому вопросу и, тем самым, выявить самые неоднозначные вопросы, при ответе на которые мнения экспертов максимально расходились.

Задача 6.1.2

Определить индексы нечеткости множеств оценок по всем вопросам каждого эксперта и выявить, какой эксперт давал наиболее неоднозначные ответы,

Решение задачи 6.1.1.

Представим решение в системе MathCad. Используем матричное представление данных.

Представляем множество оценок $$A$$ в виде матрицы $$X$$. Имеем массив оценок по 10- бальной системе: по 10 вопросам (столбцы) 30 экспертов (строки).

Оценки 30 экспертов: $$i:=1..30, \; j:=1..10$$

$$X=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\\ \hline 1 6 7 8 7 9 7 9 7 6 7 \\ \hline 2 10 6 6 8 8 7 8 6 9 8 \\ \hline 3 10 10 8 8 9 9 10 8 7 9\\ \hline 4 8 9 6 7 8 9 8 9 9 8 9 \\ \hline 5 8 9 8 7 8 8 9 7 8 9\\ \hline 6 7 7 9 8 10 7 9 7 9 7\\ \hline 7 9 7 9 9 6 9 8 8 10 8\\ \hline 8 8 9 8 10 9 7 9 8 6 8\\ \hline 9 8 9 9 9 6 7 7 7 9 8\\ \hline 10 7 6 9 9 8 6 9 8 8 9\\ \hline 11 8 8 9 8 9 7 7 8 6 6\\ \hline 12 10 10 7 8 9 8 8 9 8 8\\ \hline 13 7 8 7 8 8 8 9 8 9 8\\ \hline 14 10 9 9 7 7 6 9 7 6 9\\ \hline 15 8 8 8 7 9 9 9 7 7 9\\ \hline 16 8 6 9 6 7 10 9 8 8 8 \\ \hline \end{array}$$

Построим функцию принадлежности $$\mu_A$$. нечеткого множества оценок $$A$$ при ответах экспертов на каждый вопрос следующим образом:

Подсчитаем частоту различных оценок при ответе на каждый вопрос:

$$k:=1..10$$

$$Z_{j,k}:=\sum_{i=1}^{30}[[(X^{\{j\}}_i)]=k]$$

Матрица частоты оценок $$Z$$:

$$Z^T=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\\ \hline 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0\\ \hline 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0\\ \hline 6 2 6 4 7 3 4 1 4 6 4\\ \hline 7 7 5 8 8 6 10 4 10 9 9\\ \hline 8 11 9 8 6 9 4 8 9 7 10\\ \hline 9 3 6 9 5 9 10 13 6 6 7\\ \hline 10 7 4 1 4 3 2 4 1 2 0\\ \hline \end{array}$$

Подсчитаем доли различных оценок при ответе на каждый вопрос. Таким образом, мы выявим степени принадлежности каждой оценки к множеству оценок по рассматриваемому вопросу. Для этого значения каждой ячейки предыдущей таблицы разделим на 30 – по количеству экспертов (Рис.6.14).

$$G:=\frac{1}{30}\cdot Z^T$$

Нечеткое множество экспертных оценок $$G$$:

$$G=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\\ \hline 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0\\ \hline 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0\\ \hline 6 0.067 0.2 0.133 0.233 0.1 0.133 0.033 0.133 0.2 0.133\\ \hline 7 0.233 0.167 0.267 0.267 0.2 0.333 0.133 0.333 0.3 0.3\\ \hline 8 0.367 0.3 0.267 0.2 0.3 0.133 0.267 0.3 0.233 0.333\\ \hline 9 0.1 0.2 0.3 0.167 0.3 0.333 0.433 0.2 0.2 0.233\\ \hline 10 0.233 0.133 0.033 0.133 0.1 0.067 0.133 0.033 0.067 0\\ \hline \end{array}$$

Нормируем значения предыдущей таблицы, разделим их на максимальное значение по каждому столбцу. При этом максимальное значение степени принадлежности каждой оценки нечеткому множеству оценок при ответе экспертов на каждый вопрос станет равным единице, и мы получим значения функции принадлежности оценок.

$$H_j:=\max (G{\{j\}})$$

$$H^T=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\\ \hline 1 0.367 0.3 0.3 0.267 0.3 0.333 0.433 0.333 0.3 0.333 \\ \hline \end{array}$$

$$L_{k,j}:=\frac{G_{k,j}}{(H^T)_{1,j}}$$

Нормированное нечеткое множество экспертных оценок $$L$$:

$$L=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\\ \hline 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0\\ \hline 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0\\ \hline 6 0.182 0.667 0.444 0.875 0.333 0.4 0.077 0.4 0.667 0.4\\ \hline 7 0.636 0.556 0.889 1 0.667 1 0.308 1 1 0.9\\ \hline 8 1 1 0.889 0.75 1 0.4 0.615 0.9 0.778 1\\ \hline 9 0.273 0.667 1 0.625 1 1 1 0.6 0.667 0.7\\ \hline 10 0.636 0.444 0.111 0.5 0.333 0.2 0.308 0.1 0.222 0\\ \hline \end{array}$$

Нами получено нечеткое множество оценок экспертов по каждому вопросу $$L=\mu_A$$ Построим четкое множество, ближайшее к рассматриваемому нечеткому множеству - $$\mu_{A_0}$$ = $$L0$$. Применим условную функцию $$if()$$.

$$L0_{k,j}:=if(L_{k,j}>0.5,1,0)$$

Множество $$L0$$, ближайшее к рассматриваемому нечеткому множеству:

$$L0=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\\ \hline 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0\\ \hline 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0\\ \hline 6 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0\\ \hline 7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1\\ \hline 8 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1\\ \hline 9 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1\\ \hline 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0\\ \hline \end{array}$$

Рассчитаем индекс нечеткости по линейной метрике (расстояние по Хэммингу) по формуле : $$I_A^L=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}|\mu_A(x_i)-\mu_{A_0}(x_i)|$$.

Для этого:

Вычислим модули отклонений элементов нечеткого множества оценок от ближайшего к нему четкого множества: $$L1=|L-L0|$$

Найдем суммы по каждому столбцу: $$L2_j=\sum_{k=1}^{10}L1_{k,j}$$

Транспонируем и рассчитаем индекс нечеткости $$L3_j=\frac{2}{10}L2^T$$

$$L1_{k,j}:=|L_{k,j}-L0_{k,j}|$$ - отклонения – расстрояние по Хэмингу

$$L1=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 7 8 9 \\ \hline 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ \hline 6 0.182 0.333 0.444 0.215 0.333 0.4 0.077 0.4 0.333 \\ \hline 7 0.364 0.444 0.111 0 0.333 0 0.308 0 0\\ \hline 8 0 0 0.111 0.25 0 0.4 0.385 0.1 0.222\\ \hline 9 0.273 0.333 0 0.375 0 0 0 0.4 0.333\\ \hline 10 0.364 0.444 0.111 0.5 0.333 0.2 0.308 0.1 ...\\ \hline \end{array}$$

$$L2_j:=\sum_{k=1}^{10}L1_{k,j}$$ - сумма по каждому столбцу

$$L2^T=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 7 8 9 \\ \hline 1 1.182 1.556 0.778 1.25 1 1 1.077 1 ... \\ \hline \end{array}$$

$$L3:=\frac{2}{10}\cdot L2^T$$ - индексы нечетности

$$L3=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\\ \hline 1 0.236 0.311 0.156 0.25 0.2 0.2 0.215 0.2 0.222 0.16 \\ \hline \end{array}$$

Результат. Построим график и проведем анализ. Для этого сравним индексы нечеткости. Найдем максимальное и минимальное значение индексов нечеткости. Как видно, 2 вопрос вызвал максимальное расхождение в оценках. Возможно, вопрос был поставлен некорректно или невнятно. На 3 вопрос даны наиболее определенные ответы. При этом, следует заметить, что в общем уровень несогласованности для всех вопросов близок.

Анализы ответов на вопросы по индексам нечеткости:

$$L3=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\\ \hline 1 0.236 0.311 0.156 0.25 0.2 0.2 0.215 0.2 0.222 0.16 \\ \hline \end{array}$$

$$\min(L3)=0.156,\; \max(L3)=0.311, \; m1:=\min(L3), \; m2:=\max(L3)$$

По 2 вопросу наибольшее расхождение, согласованные ответы по 3 вопросу

(рис 6.13) Индексы нечеткости каждой из 10 оценок всех экспертов

Решение Задачи 6.1.2

Для исследования нечеткости ответов по всем вопросам каждого эксперта имеем тот же массив оценок, но по 30 экспертам (столбцы), которые давали ответы на 10 вопросов (строки) по 10- бальной системе.

Матрица данных $$X1$$ представляет транспонированную матрицу данных $$X$$: 30 экспертов отвечают на 10 вопросов

$$X1:=X^T$$

$$(X1)=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 \\ \hline 1 6 10 10 8 8 7 9 8 8 7 8 10 7 10 8 \\ \hline 2 7 6 10 9 9 7 7 9 9 6 8 10 8 9 8 \\ \hline 3 8 6 8 6 8 9 9 8 9 9 9 7 7 9 8 \\ \hline 4 7 8 8 7 7 8 9 10 9 7 8 8 8 7 7 \\ \hline 5 9 8 9 8 8 10 6 9 6 8 9 9 8 7 9\\ \hline 6 7 7 9 9 8 7 9 7 7 6 7 8 7 6 9 \\ \hline 7 9 8 10 8 9 9 8 9 7 9 7 8 9 9 9\\ \hline 8 7 6 8 9 7 7 8 8 7 8 8 9 8 7 7\\ \hline 9 6 9 7 8 8 9 10 6 9 8 6 8 9 6 7\\ \hline 10 7 8 9 9 9 7 8 8 8 9 6 8 8 9 9\\ \hline \end{array}$$

Решение Задачи 6.2.2

Для решения надо выполнить те же действия:

Используя матрицу данных $$X1$$, построить функцию принадлежности $$\mu_A$$. нечеткого множества $$A$$ оценок каждого эксперта по всем вопросами.

Оценить ее по индексам нечеткости

Алгоритм решения тот же самый. Если транспонировать матрицу X1, можно использовать все операторы, но с учетом другого размера матрицы: $$i=10$$ и $$j=30$$.

Результат решения задачи 6.2.2 .

Получены следующие индексы нечеткости.

Анализ экспертов по индексам нечеткости

$$L3=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13\\ \hline 1 0.067 0.1 0.16 0.16 0.2 0.2 0.2 0.133 0.3 0.2 ... \\ \hline \end{array}$$

$$\min(L3)=0.067,\; \max(L3)=0.3, \; m1:=\min(L3), \; m2:=\max(L3)$$

Эксперты 11, 16, 24, 29 дали наиболее размытые оценки.

Эксперты 3 и 18 отвечали наиболее согласованно и определенно.

(рис 6.14) Индексы нечеткости оценок каждого эксперта по всем вопросам

Как видно, 4 эксперта (11,16,24,29) выделяются наименьшей определенностью своих оценок, два эксперта (3 и 18), напротив, дали согласованные оценки. На этих экспертов можно обратить внимание. На общем уровне согласованность близка.

6.8 Оценка инвестиционного проекта

В лекции 2 описаны методы оценки эффективности инвестиционных проектов, определения их финансовых показателей и проведены расчеты средствами MathCad для детерминированных данных. В случае, если входные параметры точно не определены, можно рассматривать их как стохастические переменные и решить задачу методом Монте Карло (см. лекцию 5). Применим метод нечетких множеств для оценки инвестиций.

Задача.6.2

Пусть начальная инвестиция инвестиционного проекта составляет около 3 млн. руб. Предполагается, что срок реализации проекта составит 2 года, в каждый из которых он будет в среднем приносить 2 млн. руб. Исследовать проект на основе чистой современной стоимости и внутренней доходности. Можно ли принять такой проект?

Постановка задачи

Одним из основных показателей оценки эффективности инвестиционного проекта является показатель $$NPV$$ - чистая дисконтированная стоимость. (см. Лекция 2, выражение (2.30):

$$NVP:=-I+\sum_{i=1}^{n}\frac{V_i}{(1+r)^i}$$

здесь $$I$$ – объем первоначальных инвестиций; $$V_i$$ – оборотное сальдо поступлений и платежей (прибыль) в $$i$$-том периоде; $$n$$ - число периодов; $$r$$ – ставка дисконтирования в $$i$$-том периоде. Будем считать, что прибыль каждый год одинакова $$V_1= V_2$$.

Если все показатели проекта детерминированы, решение рассматриваемой задачи аналогично решению задачи 2.7 (лекция 2). Для нашего случая используем метод нечетких множеств.

Модель задачи

Построим модель решения задачи. Поскольку по условию показатели проекта нельзя определить точно, зададим их как нечеткие параметры. Исходя из выражения (6.11), определим переменные, которые представим в нечеткой форме. Это начальная инвестиция $$I$$, прибыль $$V$$, ставка дисконтирования $$r$$. Будем считать, что эти показатели меняются на интервале от $$a$$ до $$b$$ в соответствующих пределах. Зададим для них функции принадлежности в виде треугольных функций. Создадим множества $$\alpha$$–уровня. Выбрав 10 уровней $$\alpha$$ на отрезке $$[0,1]$$, построим приближенное разложение нечетких множеств $$I, V, r$$. Используя операции над $$\alpha$$–уровнями, найдем $$NPV$$ и получим приближенное разложение нечеткого множества $$NPV $$ по тем же уровням $$\alpha$$.

Решение

Для начальной инвестиции $$I$$ и ежегодной прибыли $$V$$ их приближенные значения даны в условии. Чтобы определить пределы ставок дисконтирования, найдем внутреннюю доходность нашего проекта - ставку дисконтирования, для которой значение чистой текущей стоимости $$NPV$$ равно нулю. Такая задача средствами Mathcad решена в лекции 2 (задача… ). Для средних значений показателей $$I$$ и $$V$$ внутренняя доходность $$irr=21,5\%$$. Для ставок дисконтирования < 21,5% проект является прибыльным, поскольку чистая дисконтированная стоимость NPV>0 . Для ставки дисконтирования $$r=21,5\%$$ , дисконтированные доходы от проекта равны инвестиционным затратам. Это максимально возможная ставка дисконта, при которой можно инвестировать средства без каких-либо потерь.

$$ORIGIN:=1$$

$$i:=1..10$$

Начальная инвестиция: $$I:=3$$

Прибыль в год: $$V:=2$$

Срок (годы): $$n:=2$$

$$NVP(I,V,x):=-I+\sum_{i=1}^{n}\frac{V}{(1+x)^i}$$

$$NVP(I,V,x)\equiv 0\; \begin{array}{|lc} solve, x \\ assume, x\ge 0 \end{array} \to \frac{\sqrt{7}}{3}-\frac{2}{3}=0.215 $$

Внутренняя доходность: $$irr:=0.125$$

$$NVP(I,V,0.1)=0.471$$

$$NVP(I,V,0.15)=0.251$$

$$NVP(I,V,0.2)=0.056$$

(рис 6.15) Чистая дисконтированная стоимость NPV и внутренняя доходность irr

Функции принадлежности

Построим функции принадлежности для $$I, V, r$$. Используем пример 6.2. этой лекции (см. рис. 6.3).

Начальная инвестиция $$I$$. Предполагается, что, скорее всего к началу проекта получим 3 млн. руб., но в зависимости от условий, можем получить от 2,9 до 3,1 млн. руб. Задаем множество в виде тройки $$I = (2,9; 3; 3,1)$$.

Функция принадлежности начальной инвестиции

$$a:=2.9 \; b:=3 \; c:=3.1$$

$$F1I(x):=1-\frac{(b-x)}{b-a}$$, $$F2I(x):=1-\frac{(x-b)}{c-b}$$

$$I(x):= \begin{array}{|lc} F1I(x) \; if \; a\le x \le b \\ F2I(x) \; if \; b\le x \le c \\ 0 \; otherwise \end{array} $$

(рис 6.16) Функция принадлежности начальной инвестиции I

Прибыль $$V_1=V_2= V$$.. Предполагается, что, скорее всего прибыль в каждый год составит около 2 млн. руб., однако, может колебаться в пределах от 1,3 до 2,7 млн. руб. Задаем множество в виде тройки $$V= (2,9; 3; 3,1)$$

Функция принадлежности ежегодной прибыли

$$a1:=1.3 \; b1:=2 \; c1:=2.7$$

$$F1V(x):=1-\frac{(b1-x)}{b1-a1}$$, $$F2V(x):=1-\frac{(x-b1)}{c1-b1}$$

$$V(x):= \begin{array}{|lc} F1V(x) \; if \; a1\le x \le b1 \\ F2V(x) \; if \; b1\le x \le c1 \\ 0 \; otherwise \end{array} $$

(рис 6.17) Функция принадлежности прибыли V

Ставка дисконтирования $$r$$. Выберем ставку в пределах от 12% до 21%. С вероятным значением 17%. Задаем множество в виде тройки $$r = (0,12; 0,17; 0,21)$$

Функция принадлежности ставки дисконтирования

$$a1:=0.12 \; b1:=0.17 \; c1:=0.21$$

$$F1r(x):=1-\frac{(b1-x)}{b1-a1}$$, $$F2r(x):=1-\frac{(x-b1)}{c1-b1}$$

$$r(x):= \begin{array}{|lc} F1r(x) \; if \; a1\le x \le b1 \\ F2r(x) \; if \; b1\le x \le (c1) \\ 0 \; otherwise \end{array} $$

(рис 6.18) Функция принадлежности ставки дисконтирования r

Разложение по α-уровням

Выберем 10 уровней $$\alpha$$ на отрезке $$[0,1]$$ : $$\alpha \in \?0;0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9; 1\?$$. Найдем нечеткие переменные $$I, V, r$$ для ?-уровней. Рассчитаем границы множеств $$I, V, r $$ при заданном значении ? - интервалы достоверности. Представим методику расчета для инвестиции $$I$$.

Инвестиция I. Зададим $$\alpha$$ в виде индексной переменной $$\alpha_i, \; i$$ - номер сечения. Для расчета интервала достоверности при заданном значении $$\alpha_i$$ надо решить уравнение вида:

$$I(x)_i= \alpha_i$$

где $$I(x)_i$$ – значение функции принадлежности для $$\alpha_i$$ - значение $$\alpha $$-уровня. Решением будет $$I\alpha_i$$ - два значения – левый и правый конец сечения функции принадлежности $$I(x)$$. Интервал достоверности I?i, представим виде матрицы c элементами $$I\alpha_{ij}, \; j=1,2$$. Первый столбец $$j=1$$ – левая граница, второй столбец $$j=2$$ – правая граница функции принадлежности. Расчеты в Mathcad проведем с использованием символьной операции $$solve $$ (решение уравнения) в матричном представлении. К матрице $$I\alpha$$ добавим столбец значений $$\alpha_i$$ . Для этого используем функцию Mathcad $$augment()$$. Получим матрицу $$I\alpha \alpha$$ с тремя столбцами.

$$ORIGIN:=1$$

$$i:=1..111 \; j:=1..2$$

$$h:=0.1 \; \alpha_i:=0+(i-1)\cdot h$$

$$I\alpha_{i,1}:=F1I(x)=\alpha_i solve\to 0.1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0.1 \\ 0.2 \\ 0.3 \\ 0.4 \\ 0.5 \\ 0.6 \\ 0.7 \\ 0.8\\ 0.9 \\ 1.0 \end{pmatrix}+2.9 $$

$$I\alpha_{i,2}:=F2I(x)=\alpha_i solve\to 3.1-0.1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0.1 \\ 0.2 \\ 0.3 \\ 0.4 \\ 0.5 \\ 0.6 \\ 0.7 \\ 0.8\\ 0.9 \\ 1.0 \end{pmatrix}_i $$

Матрица интервалов достоверности $$I\alpha$$ начальной инвестиции:

$$I\alpha=\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 2 \\ \hline 1 2.9 3.1 \\ \hline 2 2.91 3.09 \\ \hline 3 2.92 3.08 \\ \hline 4 2.93 3.07 \\ \hline 5 2.94 3.06 \\ \hline 6 2.95 3.05 \\ \hline 7 2.96 3.04 \\ \hline 8 2.97 3.03 \\ \hline 9 2.98 3.02 \\ \hline 10 2.99 3.01 \\ \hline 11 3 3 \\ \hline \end{array}$$

$$\alpha=\begin{array}{|c|c|} \hline 1\\ \hline 1 0 \\ \hline 2 0.1 \\ \hline 3 0.2 \\ \hline 4 0.3 \\ \hline 5 0.4 \\ \hline 6 0.5\\ \hline 7 0.6 \\ \hline 8 0.7 \\ \hline 9 0.8 \\ \hline 10 0.9 \\ \hline 11 1\\ \hline \end{array}$$

Матрица $$I\alpha\alpha$$ начальной инвестиции с значениями $$\alpha$$

$$I\alpha\alpha:=augment(I\alpha,\alpha)$$

$$I\alpha\alpha=\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 2 3\\ \hline 1 2.9 3.1 0 \\ \hline 2 2.91 3.09 0.1 \\ \hline 3 2.92 3.08 0.2 \\ \hline 4 2.93 3.07 0.3 \\ \hline 5 2.94 3.06 0.4 \\ \hline 6 2.95 3.05 0.5\\ \hline 7 2.96 3.04 0.6 \\ \hline 8 2.97 3.03 0.7 \\ \hline 9 2.98 3.02 0.8 \\ \hline 10 2.99 3.01 0.9 \\ \hline 11 3 3 1\\ \hline \end{array}$$