Цель лекции. Научить строить модель задачи, в которой ключевые данные не могут быть точно определены. Показать, как выделить стохастические переменные, выбрать и построить для них закон распределения. Показать применение функций Mathcad для реализации метода Монте-Карло. Представить, как провести анализ результата.
В первой главе описаны основные этапы экономико-математического моделирования. После того, как математическая модель построена, выбирается программное обеспечение для ее реализации на компьютере, производится разработка и расчет компьютерной модели. Использование компьютеров дает возможность представить сложный экономический процесс посредством искусственных процессов-аналогов, которые можно реализовать на ЭВМ, и выполнить оптимизацию исследуемых параметров в режиме "имитации". Имитация - это компьютерный эксперимент, который проводится с моделью системы, а не с самой системой. Для этого выбираются специальные имитирующие компьютерные программы и технологии программирования. В процессе машинного эксперимента меняют те или иные показатели, т.е. изменяют состояние объекта и регистрируют его поведение в новых условиях. Математическую динамическую модель называют имитационной моделью. Имитационной моделью называют также специальный программный комплекс, который позволяет имитировать деятельность какого-либо сложного объекта [23, 24].
В этой главе рассмотрим задачи, в которых свойства изучаемого объекта точно не определены. Переменные модели - стохастические, их значения не могут быть точно установлены или предсказаны. Неопределенность стохастических переменных связана с недостаточностью информации о них. Неопределенность вероятностных переменных связана с вероятностным характером описываемых ими процессов. Не зная точных исходных данных, используя компьютерные технологии, мы имеем возможность непрерывно и случайным образом генерировать значения исходных величин и затем рассчитывать значения выходной переменной. Для оценки характеристик исследуемых совокупностей используется аппарат теории вероятности, теории случайных функций, понятие случайной величины [25].
Если входные переменные являются стохастическими, то и выходные зависимые переменные также будут стохастическими. При моделировании систем, содержащих вероятностные элементы, используются методы Монте-Карло [24, 26]. Это общее название группы методов решения задач, в которых реализуется построение вероятностных распределений возможных значений выходной стохастической переменной при изменении входных переменных, которые генерируются в виде случайных последовательностей. Стохастические переменные моделируются как случайные величины с определенным законом распределения вероятностей. При численном решении задач, включающих стохастические переменные, используется метод статистических испытаний, который заключается в моделировании случайных величин. На практике эти величины получают путем некоторых операций, результатами которых являются псевдослучайные числа с теми же свойствами, что и числа, получаемые путем случайной выборки. Экономические показатели (цены, прибыль, затраты и т.д) моделируются как случайные числа с каким-либо распределением. Повторяющиеся испытания реализуются путем генерации случайных совокупностей этих параметров. Статистические результаты получаются в результате обработки этих совокупностей. Вероятность того, что результаты отличаются от истинных не более чем на заданную величину, есть функция количества испытаний или размера сгенерированных выборок. Имеется большое число вычислительных алгоритмов, которые позволяют получить длинные последовательности псевдослучайных чисел. Для исследователя представляют интерес выводы, носящие характер статистических показателей, представленных в виде графиков или таблиц, в которых каждому варианту исследуемых параметров поставлены в соответствие определенные средние значения с набором характеристик их распределения.
В общем случае проведение имитационного моделирования происходит по общепринятой схеме, но поскольку переменные модели являются стохастическими, надо проводить анализ этих переменных. Для моделирования стохастических переменных, используются компьютерные технологии, с помощью которых случайным образом генерируются значения исходных величин и затем рассчитываются значения выходной переменной. Для оценки характеристик исследуемых совокупностей $$X$$ и $$Y$$ используется аппарат теории вероятности и теории случайных функций. Приведем основные этапы имитационного моделирования.
Прежде всего, надо четко определить цель моделирования. Когда цель определена, выделяются следующие этапы:
Результаты имитационного эксперимента могут использоваться для построения прогнозных моделей и сценариев. Рассмотрим реализацию метода Монте –Карло в программе Mathcad.
Рассмотрим технику имитационного моделирования методом Монте-Карло на примере исследования прибыли фирмы. Рассмотрим, например, рекламную деятельность фирмы.
Задача 5.1.
Фирма предполагает инвестировать сумму 2 млн. руб., используя денежные средства от рекламной деятельности. Предоставляются рекламные услуги по заказам клиентов. Количество и стоимость заказов - величины постоянно меняющиеся. Затраты составляют в среднем 20% от стоимости заказов. Необходимо оценить, какую прибыль может получить фирма за год в таких условиях, насколько она отличается от 2 млн. руб.
Постановка задачи
Цель задачи – рассчитать прибыль за год и оценить риск быть меньше 2 млн. руб. Разделим переменные на стохастические и постоянные и определим возможные границы их изменений. Стохастические переменные моделируем в виде случайных совокупностей с определенным законом распределения вероятностей. Выходной показатель – прибыль представляем в виде статистических показателей, гистограммы распределения, графиков.
Модель задачи
Определим основные параметры, описывающие задачу, введем обозначения:
Входные данные:
Стохастические переменные:
Постоянные параметры:
Проведен анализ по оценке деятельности фирмы за прошедший год, и на его основе сделаны предположения о численных значениях параметров в месяц (таблица 5.1) .
| Показатели (значения в месяц) | Вероятное значение | Пределы изменения | |
|---|---|---|---|
| Изменяемые | Количество заказов Q | 120 | |
| Ежемесячный процент изменения числа заказов dQ | От -5% до 8% | ||
| Стоимость заказа P(руб.) | 1800 | От 1400 до 2000 | |
| Постоянные. | Процент затрат F% от стоимости заказа | 20% |
По оценкам стоимость заказа будет меняться в пределах от 1000 до 2000 руб, с вероятным значением 1800 руб. Количество заказов будет определяться как сумма количества заказов $$Q$$ в предшествующем месяце и его изменения $$dQ$$, которое флуктуирует между 5% уменьшения и 8% увеличения. Для расчета принимается среднее количество заказов в месяц за пошедший год $$Q_0=120$$. Тогда имеем
$$Q_i=Q_{i-1}+dQ_i,\; i=\overline{1,12}$$
Выходные показатели. Прибыль фирмы $$GS$$ за год - сумма месячных прибылей с учетом процента затрат. Прибыль за месяц $$G$$ - стохастическая переменная определяется как произведение случайных величин количества заказов в месяц $$Q$$ и стоимости заказа $$P$$.
$$G_i=Q_i\cdot P_i,\; i=\overline{1,12}$$
$$GS=\sum_{i}^{}G_i\cdot (1-F)$$
Выбор законов распределения вероятностей стохастических переменных.
Необходимо учесть вероятностный характер моделируемого показателя. Аппроксимируем $$dQ$$ и $$P_i$$ случайными числами с каким-либо законом вероятности. Выбор законов распределения вероятностей исходных данных определяет сценарии развития ситуаций – различные варианты решения задачи. Рассмотрим следующий вариант распределения ключевых переменных: изменение количества заказов в течение $$dQ$$ – равномерное распределение, стоимость заказа - нормальное распределение.
Компьютерная имитация ключевых параметров модели. Для генерации случайных совокупностей используем средства Mathcad. Для генерации случайных величин с заданным распределением существуют функции из категории Random numbers .
Анализ полученных результатов. Статистический анализ результатов сделаем, используя статистические функции Mathcad из категории Statistics. Все полученные результаты проанализируем, делая численные оценки прибыли и построим наилучший и наихудший сценарий.
В качестве первого сценария исследования прибыли выбираем следующее распределение входных данных.
Нормальное распределение случайной величины характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием $$\mu$$ и среднее квадратичным отклонением ?. Определяем вероятности возможных значений стоимостей заказов (см. таблицу 5.2) и рассчитываем среднее значение $$PM$$ и среднее квадратичное отклонение $$DP $$ по формулам:
| Р (руб) | Вероятность p |
|---|---|
| 1400 | 0,25 |
| 2000 | 0,25 |
| 1800 | 0,5 |
$$PM=P_1\cdot p_1+P_2\cdot p_2+P_3\cdot p_3$$
$$DP=\sqrt{(P_1-PM)^2 p_1+(P_2-PM)^2 p_2+(P_3-PM^2)p_3)^2}$$, где $$P_1 , P_2,P_3$$ –значения $$P$$ , $$p_1, p_2, p_3$$ –вероятности (таблица 5.2).
Проведем компьютерную имитацию значений параметров модели. Какой размер выборки выбрать для имитации? Целью имитационного моделирования является исследование множества реализаций случайной величины с целью определения её статистических характеристик и распределения этой случайной величины. Чем больше значений содержит случайная выборка, тем выше будет точность оценки интересующих нас характеристик. Введем количество реализаций как переменную $$k$$ и сформируем случайные выборки $$dQ(k)$$ и $$P(k)$$ как функции количества реализаций. Изменение количества заказов $$dQ(k)_i$$ построим, используя функцию $$runif (m, a, b)$$, которая создает вектор k случайных величин, имеющих равномерное распределение на интервале $$[a,b],\; a <\; b$$. Стоимость заказа $$P_i$$ будет генерироваться как случайная совокупность с нормальным распределением с помощью функции $$rnorm(k,m,d)$$, которая генерирует вектор $$k$$ случайных величин, имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием $$m$$ и дисперсией $$d$$.
Листинг решения показан ниже. Массивы значений $$Q(k)_i$$ и $$P(k)_i$$ по месяцам $$i$$ формируются в блоке программирования. При вычислении прибыли используется команда векторизации, которая перемножает элементы матриц. Массив $$GS(k)$$, сформированный в блоке программирования, представляет совокупность $$k$$ реализаций возможных значений исследуемого показателя - прибыли и отражает его случайную природу.
Входные данные
$$ORIGIN:=1$$
Количество заказов:
$$Q0:=120,\; Q1:=-0.05,\; Q2:=0.08$$
Стоимость: $$P1:=\begin{pmatrix} 1400\\ 1800\\ 2000 \end{pmatrix}$$
Вероятность: $$p1:=\begin{pmatrix} 0.25\\ 0.50\\ 0.25\end{pmatrix}$$
Затраты: $$f:=0.20$$
Решение:
среднее значение стоимости:
$$PM:=\sum_{i=1}^{3}(P1_i\cdot p1_i)$$
$$PM=1.75\times 10^3$$
среднее квадратичное отклонение стоимости:
$$DP:=\sqrt{\sum_{i=1}^{3}[(P1_i-PM)^2\cdot p1_i]}$$
$$DP=217.945$$
$$k$$ – количество реализаций – размер случайной совокупности
Изменение количества заказов в месяц – равномерное распределение: $$dQ(k):=runif(k,Q1,Q2)$$
Массив количества заказов по месяцам: $$Q(k):=for \; i\in 1..11$$, $$\begin{array}{|lc} (Q_1) \leftarrow Q0+Q0\cdot dQ(k) \\ (Q_{i+1}) \leftarrow \overrightarrow{(Q_i\cdot dQ(k))} \\ Q \end{array}$$
Массив стоимости заказа по месяцам: $$ P(k):=for \; i\in 1..12$$, $$\begin{array}{|lc} P_i \leftarrow rnorm(k,PM,DP) \\ P \end{array}$$
$$G1$$ - прибыль в месяц, $$fG$$ – затраты, $$G$$ – массив суммарной прибыли за год
$$G(k):=\begin{array}{|lc} for \; i\in 1..11 \\ \begin{array}{|lc} G1_i \leftarrow \overrightarrow{[(P(k)_i)\cdot Q(k)_i]} \\ fG_i \leftarrow G1_i\cdot f \\ G2_i \leftarrow G1_i-fG_i \end{array} \\ G \leftarrow \sum_{i=1}^{12}G2_i \\ G \end{array}$$
Для статистического и вероятностного анализа надо построить распределение и рассчитать статистические характеристики: среднее, максимальное и минимальное значения, среднеквадратичное отклонение, коэффициент вариации. Статистические показатели результирующей прибыли рассчитываются по статистическим функциям $$mean(), \;min(), \;max(),\; stdev(),\; var$$.
Расчет вероятности того, что прибыль будет меньше определенного значения, проводится по функции распределения – категория Probability Distribution.
Частотное распределение строится с использованием функции $$histogram(bin, х)$$ (категория Statistics), которая строит матрицу гистограммы для bin сегментов разбиения интервала и вектора х случайных данных. Гистограмма прибыли построена для 500 сегментов разбиения интервала. Если сделать предположение, в соответствии с центральной предельной теоремой, что прибыль имеет нормальное распределение, можно провести расчет вероятности того, что прибыль будет меньше определенного значения, по функции распределения $$pnorm(mean, stdev,)$$. Рассчитанная вероятность события для прибыли принять значение меньше 2000000 составляет 1,3%
Возможное значение суммарной прибыли для:
1000 реализаций: $$k1:=1000$$
$$G(k1):=\begin{array}{|c|c|} \hline 1 \\ \hline 1 2.193\cdot10^6 \\ \hline 2 2.288\cdot10^6 \\ \hline 3 2.535\cdot10^6 \\ \hline 4 2.283\cdot10^6 \\ \hline 5 2.268\cdot10^6 \\ \hline 6 2.218\cdot10^6 \\ \hline 7 2.093\cdot10^6 \\ \hline 8 2.205\cdot10^6 \\ \hline 9 2.287\cdot10^6 \\ \hline 10 2.16\cdot10^6 \\ \hline 11 2.257\cdot10^6 \\ \hline 12 2.189\cdot10^6 \\ \hline 13 2.328\cdot10^6 \\ \hline 14 2.212\cdot10^6 \\ \hline 15 2.277\cdot10^6 \\ \hline 16 ... \\ \hline \end{array}$$
10000 реализаций: $$k2:=10000$$
$$G(k2):=\begin{array}{|c|c|} \hline 1 \\ \hline 1 2.125\cdot10^6 \\ \hline 2 2.178\cdot10^6 \\ \hline 3 2.233\cdot10^6 \\ \hline 4 2.182\cdot10^6 \\ \hline 5 2.171\cdot10^6 \\ \hline 6 2.167\cdot10^6 \\ \hline 7 2.186\cdot10^6 \\ \hline 8 2.219\cdot10^6 \\ \hline 9 2.199\cdot10^6 \\ \hline 10 2.281\cdot10^6 \\ \hline 11 2.281\cdot10^6 \\ \hline 12 2.313\cdot10^6 \\ \hline 13 2.317\cdot10^6 \\ \hline 14 2.247\cdot10^6 \\ \hline 15 2.233\cdot10^6 \\ \hline 16 ... \\ \hline \end{array}$$
Статистические показатели
1000 реализаций:
$$R:=G(1000)$$
$$mean(R)=2.22\times 10^6$$ - среднее
$$min(R)=1.916\times 10^6$$ - минимальное
$$max(R)=2.541\times 10^6$$ - максимальное
$$var(R)=1.019\times 10^{10}$$ - дисперсия
$$stdev(R)=1.01\times 10^5$$ - среднеквадратичное отклонение
$$Covar(R)=\frac{stdev(R)}{mean(R)}$$ - коэффициент ковариации
$$Covar(R)=0.045$$
10000 реализаций:
$$R1:=G(10000)$$
$$mean(R1)=2.225\times 10^6$$ - среднее
$$min(R1)=1.871\times 10^6$$ - минимальное
$$max(R1)=2.754\times 10^6$$ - максимальное
$$var(R1)=1.051\times 10^{10}$$ - дисперсия
$$stdev(R1)=1.025\times 10^5$$ - среднеквадратичное отклонение
$$Covar(R1)=0.046$$ - коэффициент ковариации
(рис 5.1) Гистограмма распределения для 10000 реализаций
$$j:=500$$
$$GGI:=histogram(j,G(10000))$$
$$GGI:=\begin{array}{|c|c|} \hline 1 \\ \hline 1 1.87\cdot10^6 \\ \hline 2 1.871\cdot10^6 \\ \hline 3 1.873\cdot10^6 \\ \hline 4 1.874\cdot10^6 \\ \hline 5 1.875\cdot10^6 \\ \hline 6 1.877\cdot10^6 \\ \hline 7 1.878\cdot10^6 \\ \hline 8 1.88\cdot10^6 \\ \hline 9 1.881\cdot10^6 \\ \hline 10 1.883\cdot10^6 \\ \hline 11 1.884\cdot10^6 \\ \hline 12 1.885\cdot10^6 \\ \hline 13 1.887\cdot10^6 \\ \hline 14 1.888\cdot10^6 \\ \hline 15 ... \end{array}$$
$$\max(CGI^{\{2\}})=71$$, $$moda\; CGI=2.264\cdot10^6$$
$$R:=G(10000)$$
$$RS:=mean(R)$$, $$RD:=stdev(R)$$
$$RS=2.222\times 10^6$$, $$RD=1.014\times 10^5$$
$$pnorm(2000000,RS,RD)=0.0141$$
Вероятность прибыли быть меньше 2000000 составляет 1,3%
$$pnorm(2100000,RS,RD)=0.1137$$
Вероятность прибыли быть меньше 2100000 составляет 11%
Вся информация результатов исследования прибыли для сценария распределения входных стохастических переменных показана в предыдущем разделе, где представлены решение задачи и результаты моделирования для входных данных из таблицы 5.1 и двух случайных совокупностей: 10000 и 5000 реализаций. Как видно, 1000 и 10000 реализаций дают очень близкие результаты по числовым характеристикам. Как правило, требуется знать наилучший и наихудший сценарии возможных событий. Статистические показатели для ожидаемой прибыли: минимальное значение - наихудшее ($$1.85\cdot 10^6$$ руб.), максимальное значение - наилучшее ($$2.7 \cdot 10^6$$ руб) , среднее – ожидаемое значение ($$2.22\cdot 10^6$$ руб) , представленные для двух случайных выборки, включающих 1000 и 10000 реализации модели практически не отличаются. Разброс значений относительно среднего (коэффициент вариации) составляет 5%. Риск получить прибыль, отличную от суммы 2447629 тыс.руб. равен 3%. Средняя прибыль $$\pm5\%$$ включает значения от 2321055 до 2574204 (руб.). Вероятность попадания прибыли в этот интервал около 68%. С риском в 68% прибыль будет находиться в пределах от 2321055 руб. до 2574204 руб. Вероятность прибыли быть меньше 2,3 млн. около 12%. Это и составляет риск получения прибыли меньше 2,3 млн.
| Показатели | Среднее значение | Среднеквадратичное отклонение | Максимальное значение | минимальное значение | коэффициент вариации |
|---|---|---|---|---|---|
| Прибыль фирмы (руб) | $$2.22\cdot 10^6$$ | $$0.102\cdot 10^6$$ | $$2.75\cdot 10^6$$ | $$1.85\cdot 10^6$$ | $$4,6\%$$ |
В лекции рассмотрены основные этапы имитационного моделирования. Изложен метод Монте Карло. Техника имитационного моделирования методом Монте-Карло представлена на примере исследования прибыли фирмы. Исследована оценка вероятности для предполагаемой прибыли принять значение меньше заданного. Построена имитационная модель в Mathcad. Задача решена с использованием специальных функций Mathcad для работы со случайными величинами. Все данные представлены в матричном виде. Применены методы программирования. Результаты представлены в виде статистических показателей и функций распределения.
Имитационное моделирование - техника численных экспериментов, с помощью которых можно получить эмпирические оценки степени влияния различных факторов - исходных величин, которые точно не определены, на зависящие от них результаты - показатели.
Имитационная модель - специальный программный комплекс, который позволяет имитировать деятельность какого-либо сложного объекта.
Стохастические переменные - переменные, значения которых не могут быть точно установлены или предсказаны.
Метод Монте-Карло - группа методов решения задач, в которых реализуется построение вероятностных распределений возможных значений выходной стохастической переменной при изменении входных переменных, которые генерируются в виде случайных последовательностей с заданными вероятностными характеристиками.
Компьютерная имитация - математическая модель, оперирующая сложной системой динамических уравнений и реализованная на ЭВМ.
Имитационный эксперимент – проведение серии имитационных расчетов в системном масштабе времени и по разработанному алгоритму.
Компьютерный эксперимент - эксперимент над математической моделью объекта исследования на ЭВМ, который состоит в том что, по одним параметрам модели вычисляются другие ее параметры и на этой основе делаются выводы о свойствах объекта, описываемого математической моделью.
Вероятностное распределение - закон, описывающий область значений случайной величины и соответствующих им вероятностей.
Статистические показатели – количественные характеристики вероятностного распределения случайной величины.
Цель лекции. Научить строить модель задачи, в которой ключевые данные не могут быть точно определены. Показать, как выделить стохастические переменные, выбрать и построить для них закон распределения. Показать применение функций Mathcad для реализации метода Монте-Карло. Представить, как провести анализ результата.
В первой главе описаны основные этапы экономико-математического моделирования. После того, как математическая модель построена, выбирается программное обеспечение для ее реализации на компьютере, производится разработка и расчет компьютерной модели. Использование компьютеров дает возможность представить сложный экономический процесс посредством искусственных процессов-аналогов, которые можно реализовать на ЭВМ, и выполнить оптимизацию исследуемых параметров в режиме "имитации". Имитация - это компьютерный эксперимент, который проводится с моделью системы, а не с самой системой. Для этого выбираются специальные имитирующие компьютерные программы и технологии программирования. В процессе машинного эксперимента меняют те или иные показатели, т.е. изменяют состояние объекта и регистрируют его поведение в новых условиях. Математическую динамическую модель называют имитационной моделью. Имитационной моделью называют также специальный программный комплекс, который позволяет имитировать деятельность какого-либо сложного объекта [23, 24].
В этой главе рассмотрим задачи, в которых свойства изучаемого объекта точно не определены. Переменные модели - стохастические, их значения не могут быть точно установлены или предсказаны. Неопределенность стохастических переменных связана с недостаточностью информации о них. Неопределенность вероятностных переменных связана с вероятностным характером описываемых ими процессов. Не зная точных исходных данных, используя компьютерные технологии, мы имеем возможность непрерывно и случайным образом генерировать значения исходных величин и затем рассчитывать значения выходной переменной. Для оценки характеристик исследуемых совокупностей используется аппарат теории вероятности, теории случайных функций, понятие случайной величины [25].
Если входные переменные являются стохастическими, то и выходные зависимые переменные также будут стохастическими. При моделировании систем, содержащих вероятностные элементы, используются методы Монте-Карло [24, 26]. Это общее название группы методов решения задач, в которых реализуется построение вероятностных распределений возможных значений выходной стохастической переменной при изменении входных переменных, которые генерируются в виде случайных последовательностей. Стохастические переменные моделируются как случайные величины с определенным законом распределения вероятностей. При численном решении задач, включающих стохастические переменные, используется метод статистических испытаний, который заключается в моделировании случайных величин. На практике эти величины получают путем некоторых операций, результатами которых являются псевдослучайные числа с теми же свойствами, что и числа, получаемые путем случайной выборки. Экономические показатели (цены, прибыль, затраты и т.д) моделируются как случайные числа с каким-либо распределением. Повторяющиеся испытания реализуются путем генерации случайных совокупностей этих параметров. Статистические результаты получаются в результате обработки этих совокупностей. Вероятность того, что результаты отличаются от истинных не более чем на заданную величину, есть функция количества испытаний или размера сгенерированных выборок. Имеется большое число вычислительных алгоритмов, которые позволяют получить длинные последовательности псевдослучайных чисел. Для исследователя представляют интерес выводы, носящие характер статистических показателей, представленных в виде графиков или таблиц, в которых каждому варианту исследуемых параметров поставлены в соответствие определенные средние значения с набором характеристик их распределения.
В общем случае проведение имитационного моделирования происходит по общепринятой схеме, но поскольку переменные модели являются стохастическими, надо проводить анализ этих переменных. Для моделирования стохастических переменных, используются компьютерные технологии, с помощью которых случайным образом генерируются значения исходных величин и затем рассчитываются значения выходной переменной. Для оценки характеристик исследуемых совокупностей $$X$$ и $$Y$$ используется аппарат теории вероятности и теории случайных функций. Приведем основные этапы имитационного моделирования.
Прежде всего, надо четко определить цель моделирования. Когда цель определена, выделяются следующие этапы:
Результаты имитационного эксперимента могут использоваться для построения прогнозных моделей и сценариев. Рассмотрим реализацию метода Монте –Карло в программе Mathcad.
Рассмотрим технику имитационного моделирования методом Монте-Карло на примере исследования прибыли фирмы. Рассмотрим, например, рекламную деятельность фирмы.
Задача 5.1.
Фирма предполагает инвестировать сумму 2 млн. руб., используя денежные средства от рекламной деятельности. Предоставляются рекламные услуги по заказам клиентов. Количество и стоимость заказов - величины постоянно меняющиеся. Затраты составляют в среднем 20% от стоимости заказов. Необходимо оценить, какую прибыль может получить фирма за год в таких условиях, насколько она отличается от 2 млн. руб.
Постановка задачи
Цель задачи – рассчитать прибыль за год и оценить риск быть меньше 2 млн. руб. Разделим переменные на стохастические и постоянные и определим возможные границы их изменений. Стохастические переменные моделируем в виде случайных совокупностей с определенным законом распределения вероятностей. Выходной показатель – прибыль представляем в виде статистических показателей, гистограммы распределения, графиков.
Модель задачи
Определим основные параметры, описывающие задачу, введем обозначения:
Входные данные:
Стохастические переменные:
Постоянные параметры:
Проведен анализ по оценке деятельности фирмы за прошедший год, и на его основе сделаны предположения о численных значениях параметров в месяц (таблица 5.1) .
| Показатели (значения в месяц) | Вероятное значение | Пределы изменения | |
|---|---|---|---|
| Изменяемые | Количество заказов Q | 120 | |
| Ежемесячный процент изменения числа заказов dQ | От -5% до 8% | ||
| Стоимость заказа P(руб.) | 1800 | От 1400 до 2000 | |
| Постоянные. | Процент затрат F% от стоимости заказа | 20% |
По оценкам стоимость заказа будет меняться в пределах от 1000 до 2000 руб, с вероятным значением 1800 руб. Количество заказов будет определяться как сумма количества заказов $$Q$$ в предшествующем месяце и его изменения $$dQ$$, которое флуктуирует между 5% уменьшения и 8% увеличения. Для расчета принимается среднее количество заказов в месяц за пошедший год $$Q_0=120$$. Тогда имеем
$$Q_i=Q_{i-1}+dQ_i,\; i=\overline{1,12}$$
Выходные показатели. Прибыль фирмы $$GS$$ за год - сумма месячных прибылей с учетом процента затрат. Прибыль за месяц $$G$$ - стохастическая переменная определяется как произведение случайных величин количества заказов в месяц $$Q$$ и стоимости заказа $$P$$.
$$G_i=Q_i\cdot P_i,\; i=\overline{1,12}$$
$$GS=\sum_{i}^{}G_i\cdot (1-F)$$
Выбор законов распределения вероятностей стохастических переменных.
Необходимо учесть вероятностный характер моделируемого показателя. Аппроксимируем $$dQ$$ и $$P_i$$ случайными числами с каким-либо законом вероятности. Выбор законов распределения вероятностей исходных данных определяет сценарии развития ситуаций – различные варианты решения задачи. Рассмотрим следующий вариант распределения ключевых переменных: изменение количества заказов в течение $$dQ$$ – равномерное распределение, стоимость заказа - нормальное распределение.
Компьютерная имитация ключевых параметров модели. Для генерации случайных совокупностей используем средства Mathcad. Для генерации случайных величин с заданным распределением существуют функции из категории Random numbers .
Анализ полученных результатов. Статистический анализ результатов сделаем, используя статистические функции Mathcad из категории Statistics. Все полученные результаты проанализируем, делая численные оценки прибыли и построим наилучший и наихудший сценарий.
В качестве первого сценария исследования прибыли выбираем следующее распределение входных данных.
Нормальное распределение случайной величины характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием $$\mu$$ и среднее квадратичным отклонением ?. Определяем вероятности возможных значений стоимостей заказов (см. таблицу 5.2) и рассчитываем среднее значение $$PM$$ и среднее квадратичное отклонение $$DP $$ по формулам:
| Р (руб) | Вероятность p |
|---|---|
| 1400 | 0,25 |
| 2000 | 0,25 |
| 1800 | 0,5 |
$$PM=P_1\cdot p_1+P_2\cdot p_2+P_3\cdot p_3$$
$$DP=\sqrt{(P_1-PM)^2 p_1+(P_2-PM)^2 p_2+(P_3-PM^2)p_3)^2}$$, где $$P_1 , P_2,P_3$$ –значения $$P$$ , $$p_1, p_2, p_3$$ –вероятности (таблица 5.2).
Проведем компьютерную имитацию значений параметров модели. Какой размер выборки выбрать для имитации? Целью имитационного моделирования является исследование множества реализаций случайной величины с целью определения её статистических характеристик и распределения этой случайной величины. Чем больше значений содержит случайная выборка, тем выше будет точность оценки интересующих нас характеристик. Введем количество реализаций как переменную $$k$$ и сформируем случайные выборки $$dQ(k)$$ и $$P(k)$$ как функции количества реализаций. Изменение количества заказов $$dQ(k)_i$$ построим, используя функцию $$runif (m, a, b)$$, которая создает вектор k случайных величин, имеющих равномерное распределение на интервале $$[a,b],\; a <\; b$$. Стоимость заказа $$P_i$$ будет генерироваться как случайная совокупность с нормальным распределением с помощью функции $$rnorm(k,m,d)$$, которая генерирует вектор $$k$$ случайных величин, имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием $$m$$ и дисперсией $$d$$.
Листинг решения показан ниже. Массивы значений $$Q(k)_i$$ и $$P(k)_i$$ по месяцам $$i$$ формируются в блоке программирования. При вычислении прибыли используется команда векторизации, которая перемножает элементы матриц. Массив $$GS(k)$$, сформированный в блоке программирования, представляет совокупность $$k$$ реализаций возможных значений исследуемого показателя - прибыли и отражает его случайную природу.
Входные данные
$$ORIGIN:=1$$
Количество заказов:
$$Q0:=120,\; Q1:=-0.05,\; Q2:=0.08$$
Стоимость: $$P1:=\begin{pmatrix} 1400\\ 1800\\ 2000 \end{pmatrix}$$
Вероятность: $$p1:=\begin{pmatrix} 0.25\\ 0.50\\ 0.25\end{pmatrix}$$
Затраты: $$f:=0.20$$
Решение:
среднее значение стоимости:
$$PM:=\sum_{i=1}^{3}(P1_i\cdot p1_i)$$
$$PM=1.75\times 10^3$$
среднее квадратичное отклонение стоимости:
$$DP:=\sqrt{\sum_{i=1}^{3}[(P1_i-PM)^2\cdot p1_i]}$$
$$DP=217.945$$
$$k$$ – количество реализаций – размер случайной совокупности
Изменение количества заказов в месяц – равномерное распределение: $$dQ(k):=runif(k,Q1,Q2)$$
Массив количества заказов по месяцам: $$Q(k):=for \; i\in 1..11$$, $$\begin{array}{|lc} (Q_1) \leftarrow Q0+Q0\cdot dQ(k) \\ (Q_{i+1}) \leftarrow \overrightarrow{(Q_i\cdot dQ(k))} \\ Q \end{array}$$
Массив стоимости заказа по месяцам: $$ P(k):=for \; i\in 1..12$$, $$\begin{array}{|lc} P_i \leftarrow rnorm(k,PM,DP) \\ P \end{array}$$
$$G1$$ - прибыль в месяц, $$fG$$ – затраты, $$G$$ – массив суммарной прибыли за год
$$G(k):=\begin{array}{|lc} for \; i\in 1..11 \\ \begin{array}{|lc} G1_i \leftarrow \overrightarrow{[(P(k)_i)\cdot Q(k)_i]} \\ fG_i \leftarrow G1_i\cdot f \\ G2_i \leftarrow G1_i-fG_i \end{array} \\ G \leftarrow \sum_{i=1}^{12}G2_i \\ G \end{array}$$
Для статистического и вероятностного анализа надо построить распределение и рассчитать статистические характеристики: среднее, максимальное и минимальное значения, среднеквадратичное отклонение, коэффициент вариации. Статистические показатели результирующей прибыли рассчитываются по статистическим функциям $$mean(), \;min(), \;max(),\; stdev(),\; var$$.
Расчет вероятности того, что прибыль будет меньше определенного значения, проводится по функции распределения – категория Probability Distribution.
Частотное распределение строится с использованием функции $$histogram(bin, х)$$ (категория Statistics), которая строит матрицу гистограммы для bin сегментов разбиения интервала и вектора х случайных данных. Гистограмма прибыли построена для 500 сегментов разбиения интервала. Если сделать предположение, в соответствии с центральной предельной теоремой, что прибыль имеет нормальное распределение, можно провести расчет вероятности того, что прибыль будет меньше определенного значения, по функции распределения $$pnorm(mean, stdev,)$$. Рассчитанная вероятность события для прибыли принять значение меньше 2000000 составляет 1,3%
Возможное значение суммарной прибыли для:
1000 реализаций: $$k1:=1000$$
$$G(k1):=\begin{array}{|c|c|} \hline 1 \\ \hline 1 2.193\cdot10^6 \\ \hline 2 2.288\cdot10^6 \\ \hline 3 2.535\cdot10^6 \\ \hline 4 2.283\cdot10^6 \\ \hline 5 2.268\cdot10^6 \\ \hline 6 2.218\cdot10^6 \\ \hline 7 2.093\cdot10^6 \\ \hline 8 2.205\cdot10^6 \\ \hline 9 2.287\cdot10^6 \\ \hline 10 2.16\cdot10^6 \\ \hline 11 2.257\cdot10^6 \\ \hline 12 2.189\cdot10^6 \\ \hline 13 2.328\cdot10^6 \\ \hline 14 2.212\cdot10^6 \\ \hline 15 2.277\cdot10^6 \\ \hline 16 ... \\ \hline \end{array}$$
10000 реализаций: $$k2:=10000$$
$$G(k2):=\begin{array}{|c|c|} \hline 1 \\ \hline 1 2.125\cdot10^6 \\ \hline 2 2.178\cdot10^6 \\ \hline 3 2.233\cdot10^6 \\ \hline 4 2.182\cdot10^6 \\ \hline 5 2.171\cdot10^6 \\ \hline 6 2.167\cdot10^6 \\ \hline 7 2.186\cdot10^6 \\ \hline 8 2.219\cdot10^6 \\ \hline 9 2.199\cdot10^6 \\ \hline 10 2.281\cdot10^6 \\ \hline 11 2.281\cdot10^6 \\ \hline 12 2.313\cdot10^6 \\ \hline 13 2.317\cdot10^6 \\ \hline 14 2.247\cdot10^6 \\ \hline 15 2.233\cdot10^6 \\ \hline 16 ... \\ \hline \end{array}$$
Статистические показатели
1000 реализаций:
$$R:=G(1000)$$
$$mean(R)=2.22\times 10^6$$ - среднее
$$min(R)=1.916\times 10^6$$ - минимальное
$$max(R)=2.541\times 10^6$$ - максимальное
$$var(R)=1.019\times 10^{10}$$ - дисперсия
$$stdev(R)=1.01\times 10^5$$ - среднеквадратичное отклонение
$$Covar(R)=\frac{stdev(R)}{mean(R)}$$ - коэффициент ковариации
$$Covar(R)=0.045$$
10000 реализаций:
$$R1:=G(10000)$$
$$mean(R1)=2.225\times 10^6$$ - среднее
$$min(R1)=1.871\times 10^6$$ - минимальное
$$max(R1)=2.754\times 10^6$$ - максимальное
$$var(R1)=1.051\times 10^{10}$$ - дисперсия
$$stdev(R1)=1.025\times 10^5$$ - среднеквадратичное отклонение
$$Covar(R1)=0.046$$ - коэффициент ковариации
(рис 5.1) Гистограмма распределения для 10000 реализаций
$$j:=500$$
$$GGI:=histogram(j,G(10000))$$
$$GGI:=\begin{array}{|c|c|} \hline 1 \\ \hline 1 1.87\cdot10^6 \\ \hline 2 1.871\cdot10^6 \\ \hline 3 1.873\cdot10^6 \\ \hline 4 1.874\cdot10^6 \\ \hline 5 1.875\cdot10^6 \\ \hline 6 1.877\cdot10^6 \\ \hline 7 1.878\cdot10^6 \\ \hline 8 1.88\cdot10^6 \\ \hline 9 1.881\cdot10^6 \\ \hline 10 1.883\cdot10^6 \\ \hline 11 1.884\cdot10^6 \\ \hline 12 1.885\cdot10^6 \\ \hline 13 1.887\cdot10^6 \\ \hline 14 1.888\cdot10^6 \\ \hline 15 ... \end{array}$$
$$\max(CGI^{\{2\}})=71$$, $$moda\; CGI=2.264\cdot10^6$$
$$R:=G(10000)$$
$$RS:=mean(R)$$, $$RD:=stdev(R)$$
$$RS=2.222\times 10^6$$, $$RD=1.014\times 10^5$$
$$pnorm(2000000,RS,RD)=0.0141$$
Вероятность прибыли быть меньше 2000000 составляет 1,3%
$$pnorm(2100000,RS,RD)=0.1137$$
Вероятность прибыли быть меньше 2100000 составляет 11%
Вся информация результатов исследования прибыли для сценария распределения входных стохастических переменных показана в предыдущем разделе, где представлены решение задачи и результаты моделирования для входных данных из таблицы 5.1 и двух случайных совокупностей: 10000 и 5000 реализаций. Как видно, 1000 и 10000 реализаций дают очень близкие результаты по числовым характеристикам. Как правило, требуется знать наилучший и наихудший сценарии возможных событий. Статистические показатели для ожидаемой прибыли: минимальное значение - наихудшее ($$1.85\cdot 10^6$$ руб.), максимальное значение - наилучшее ($$2.7 \cdot 10^6$$ руб) , среднее – ожидаемое значение ($$2.22\cdot 10^6$$ руб) , представленные для двух случайных выборки, включающих 1000 и 10000 реализации модели практически не отличаются. Разброс значений относительно среднего (коэффициент вариации) составляет 5%. Риск получить прибыль, отличную от суммы 2447629 тыс.руб. равен 3%. Средняя прибыль $$\pm5\%$$ включает значения от 2321055 до 2574204 (руб.). Вероятность попадания прибыли в этот интервал около 68%. С риском в 68% прибыль будет находиться в пределах от 2321055 руб. до 2574204 руб. Вероятность прибыли быть меньше 2,3 млн. около 12%. Это и составляет риск получения прибыли меньше 2,3 млн.
| Показатели | Среднее значение | Среднеквадратичное отклонение | Максимальное значение | минимальное значение | коэффициент вариации |
|---|---|---|---|---|---|
| Прибыль фирмы (руб) | $$2.22\cdot 10^6$$ | $$0.102\cdot 10^6$$ | $$2.75\cdot 10^6$$ | $$1.85\cdot 10^6$$ | $$4,6\%$$ |
В лекции рассмотрены основные этапы имитационного моделирования. Изложен метод Монте Карло. Техника имитационного моделирования методом Монте-Карло представлена на примере исследования прибыли фирмы. Исследована оценка вероятности для предполагаемой прибыли принять значение меньше заданного. Построена имитационная модель в Mathcad. Задача решена с использованием специальных функций Mathcad для работы со случайными величинами. Все данные представлены в матричном виде. Применены методы программирования. Результаты представлены в виде статистических показателей и функций распределения.
Имитационное моделирование - техника численных экспериментов, с помощью которых можно получить эмпирические оценки степени влияния различных факторов - исходных величин, которые точно не определены, на зависящие от них результаты - показатели.
Имитационная модель - специальный программный комплекс, который позволяет имитировать деятельность какого-либо сложного объекта.
Стохастические переменные - переменные, значения которых не могут быть точно установлены или предсказаны.
Метод Монте-Карло - группа методов решения задач, в которых реализуется построение вероятностных распределений возможных значений выходной стохастической переменной при изменении входных переменных, которые генерируются в виде случайных последовательностей с заданными вероятностными характеристиками.
Компьютерная имитация - математическая модель, оперирующая сложной системой динамических уравнений и реализованная на ЭВМ.
Имитационный эксперимент – проведение серии имитационных расчетов в системном масштабе времени и по разработанному алгоритму.
Компьютерный эксперимент - эксперимент над математической моделью объекта исследования на ЭВМ, который состоит в том что, по одним параметрам модели вычисляются другие ее параметры и на этой основе делаются выводы о свойствах объекта, описываемого математической моделью.
Вероятностное распределение - закон, описывающий область значений случайной величины и соответствующих им вероятностей.
Статистические показатели – количественные характеристики вероятностного распределения случайной величины.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.