Символьные вычисления

Цель лекции. Дать представление о символьных преобразованиях в MathCAD и научить производить типичные операции высшей математики: дифференцирование, интегрирование, решение уравнений с использованием символьных операций.

2.1 Символьные вычисления помощью команд меню

Программа MathCAD снабжена специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых производятся аналитические вычисления [5], [6]. Символьные операции можно выполнять двумя способами: непосредственно в командном режиме (используя команды меню) и с помощью операторов символьного преобразования (используя палитру инструментов Symbolics Символы ) [4], [7].

Рассмотрим символьные вычисления с командами меню. Аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного, выделенного в данный момент, выражения. На них не влияют формулы, находящиеся в документе MathCAD выше этого выделенного выражения (например, операторы присваивания значений каким-либо переменным). Этот способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного использования, не сохраняя сам ход вычислений. (рис 2.1) Меню символьных средств Symbolics

С помощью пункта Symbolics (Символы) главного меню вызывается падающее меню символьных средств (Рис.2.1), из них часть содержит свои подменю.

Режим отображения вычислений (рис 2.2) Окно Evaluatin style (стиль вычислений)

Внизу, установив флажок в прямоугольниках, можно ввести еще два режима:

Выполнение символьной операции:

Дифференцирование математических выражений

Команда меню Symbolics/ Variable/Differentiate (Символы/переменная/дифференцировать) дифференцирует выражение относительно выделенной переменной (Рис.2.4) [5].

Порядок действий:

Возвращает производную выражения по той переменной, которая выделена курсором. Для вычисления производных высшего порядка нужно повторить вычисление необходимое число раз. Ниже приведен фрагмент документа с вычислением производной.

Интегрирование математических выражений

Команда меню Symbolics/Variable/Integrate (Символы/переменная/интегрировать) интегрирует выражения по выделенной переменной (Рис.2.5).

Порядок действий

Действия с матрицами: ввести матрицу, выделить, щелкнуть команду в меню Simbolics/Matrix/ и соответствующую команду.

2.2.Символьные операции с оператором символьного вывода

Мощное и удобное средство символьных операций - оператор символьного вывода. Используя этот оператор, можно дифференцировать, интегрировать в символьном виде и производить другие операции. Этот способ более нагляден, так как позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять символьные вычисления в документах MathCAD. Следует иметь в виду, что оператор символьного вывода учитывает все предыдущее содержимое документа и выдает результат с его учетом. Не всякое выражение поддается аналитическим преобразованиям. В случае, если задача не имеет аналитического решения, либо она оказывается слишком сложной для символьного процессора, то в качестве результата выводится само выражение.

Оператор и символьные операции можно вызвать из панели инструментов ) или (рис 2.6)

Выполнение символьной операции

Символьные операции с ключевыми словами

До определённой степени можно управлять способом символьных вычислений. Для всестороннего контроля над символьными преобразованиями нужно использовать ключевые слова (keywords) панели Symbolic. Ключевые слова символьных преобразований представлены в таблице 2.1

Выполнение символьной операции с ключевым словом:

Команды панели Symbolic

Дифференцирование и интегрирование

Примеры символьного дифференцирования и интегрирования (вычисления тройного интеграла и определенного интеграла с параметрами а,b) показаны ниже. Аналогичным образом в символьном виде можно вычислить производные любого порядка, суммы, произведения.

Не все интегралы, тем более двойные и тройные, MathCAD может вычислить в символьном виде. Если MathCAD не может совершить операцию, он выводит первоначальное выражение.

$$\frac{d}{dx}{[\frac{1}{\sin{(x)^2}(1-\cos{(x)})}]}\to\frac{-2}{\sin{(x)^3}(1-\cos{(x)})}\cdot \cos{(x)}-\frac{1}{\sin{(x)}(1-\cos{(x)})^2}$$

$$\int{\frac{1}{\sin{(x)^2}(1-\cos{(x)})}}dx\to\frac{1}{4}\cdot \tan{(\frac{1}{2}x)}-\frac{1}{12\tan{(\frac{1}{2}x)^3}}-\frac{1}{2\tan{(\frac{1}{2}x)}}$$

Вычисление пределов

Замечательные пределы

Преобразование выражений

Упрощение выражений. Для выполнения операции преобразования необходимо выбрать соответствующее ключевое слово Simplify (Упрощение), Factor (разложение на множители) или Expand (расширение выражений) на панели Символика. Пример команд Simplify, Expand, Factor приведен ниже.

$$\sin{(x)^2}+\cos{(x)^2} simplify \to 1$$

$$\frac{a^2-b^2}{(a+b)(a-b)} simplify \to 1$$

$$\frac{-5}{x}+\frac{5}{x-1}-\frac{5}{(x-1)^2}+\frac{6}{(x-1)^3}-\frac{4}{(x-1)^4} simplify \to \frac{(x^2-5)}{[x(x-1)^4]}$$

$$\sin{(5x)} expand,2 \to 16\sin{(x)}\cos{(x)^4}-12\sin{(x)}\cos{(x)^2}+\sin{(x)}$$

$$(a+b)^5 expand,2 \to a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$

$$-4(\cos{(2\alpha)}+\cos{(4\alpha)}) expand,2 \to 2-4\cos{(2\alpha)}-8\cos{(\alpha)^4}+8\cos{(\alpha)^2}$$

$$x^2-y^2 factor,2 \to (x-y)(x+y)$$

$$[(a)^2-2ab+b^2] factor,2 \to (a-b)^2$$

$$\sum_n{x-n} factor,2 \to n(x-1)$$

$$x^3-1 factor,2 \to (x-1)(x^2+x+1)$$

Разложение по степеням переменной. Команда Collect разлагает выражение по степеням указанной в этой команде переменной, если такое представление возможно. Пример использования команды Collect приведен ниже.

$$(a+b)^5 collect,a \to a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$

$$(x-a)(x-b)(x-c) collect,x \to x^3+(-a-b-c)x^2+[ab-(-a-b)c]x-abc$$

$$(a+b+c)^2 collect,a \to a^2+(2b+2c)a+(b+c)^2$$

$$(a+b+c)^2 collect,b \to b^2+(2a+2c)b+(a+c)^2$$

$$(a+b+c)^2 collect,c \to c^2+(2a+2b)c+(a+b)^2$$

Подстановка значений переменных в выражение и вычисление этого выражения. Используется слово Substitute. Пример использования команды Substitute приведен ниже.

$$ax^2+bx+c subsctitute,x=5 \to 25a+5b+c$$

$$ax^2+bx+c \begin{vmatrix} subsctitute,c=3 \\ subsctitute,x=5 \end{vmatrix} \to 25a+5b+3$$

$$ax^2+bx+c \begin{vmatrix} subsctitute,x=5 \\ subsctitute,c=4 \\ subsctitute,b=11 \end{vmatrix} \to 25a+59$$

$$ax^2+bx+c \begin{vmatrix} subsctitute,x=5 \\ subsctitute,c=3 \\ subsctitute,b=4 \\ subsctitute,a=3 \end{vmatrix} \to 98$$

Решение уравнений

Ключевое слово Solve позволяет решать уравнения и системы линейных и нелинейных уравнений. При решении уравнений с нулевой правой частью надо ввести выражение, ключевое слово Solve, переменную, относительно которой решается уравнение. Пример решения приведен ниже.

$$x^2+ax+b solve,x \to \begin{bmatrix} \frac{-1}{2}a+\frac{1}{2}(a^2-4b)^{(\frac{1}{2})} \\ \frac{-1}{2}a-\frac{1}{2}(a^2-4b)^{(\frac{1}{2})} \end{bmatrix} $$

$$e^x-a solve,x \to \ln{(a)}$$

Если уравнения имеют правую часть, используется логическое равенство с панели Boolean. Система уравнений и переменные, относительно которых система решается, вводятся как элементы матрицы (см. ниже).

$$\left(\begin{array}{c} x+y=2\\ 2x-y=1 \end{array}\right) solve, \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \to (1,1)$$

При решении уравнений с определенной точностью вводится ключевое слово float (см. ниже).

$$\left(\begin{array}{c} z+t=16\\ 2z-t=28.5 \end{array}\right) \begin{vmatrix} solve, \left(\begin{array}{c} z \\ t \end{array}\right) \\ float,3 \end{vmatrix} \to (14.8, 1.17)=(14.800, 1.170)$$

Основные итоги

В лекции представлены символьные вычисления в различных вариантах: с помощью команд меню, оператора символьного вывода, ключевых слов символьного процессора. На примерах показано дифференцирование и интегрирование математических выражений, вычисление пределов, решение уравнений, различные преобразования алгебраических выражений.

Задания для самостоятельного выполнения

Ключевые термины

Matrix (Матрицы) - панель операций с матрицами.

Evaluating – панель, содержащая знаки равенств и выполнения операций.

Symbolic (символы) - панель для символьных операций.

Solve (решить) – оператор символьного решения уравнений.

Calculus - панель операций математического анализа.

Boolean - панель логических операций.