Цель лекции. Научить строить графики функций в разных системах координат с помощью различных технологических приемов. Показать способы форматирования и настройки разных типов графиков и диаграмм.
MathCAD предоставляет широкие возможности для построения графиков. Графические построения являются универсальными и легкими в использовании. Программа позволяет строить графики на плоскости и в трехмерном пространстве. Можно использовать декартовы и полярные координаты на плоскости, сферическую и цилиндрическую систему координат в пространстве.
Панель Математика содержит панель инструментов графики. Для построения графиков используются шаблоны. Большинство параметров графического процессора, необходимых для построения графиков, по умолчанию задается автоматически. Поэтому для начального построения графика того или иного вида достаточно задать тип графика. На панели Graph (Графика) или в меню Insert/ Graph (Вставка/Графика) содержится список из семи основных типов графиков.
(рис 3.1) Панель Графика
Для вывода шаблона двухмерной графики в декартовой системе координат служит кнопка декартов график на панели Graph [3, 8]. Она выводит в текущее положение курсора шаблон графиков в декартовых координатах (Рис.3.2). Незаполненный шаблон графика - пустой прямоугольник с шаблонами данных в виде темных маленьких прямоугольников, расположенных около осей абсцисс и ординат будущего графика.
(рис 3.2) Шаблон графика в декартовых координатах
В средние шаблоны данных надо поместить имя функции F(x) оси абсцисс x. Если строятся графики нескольких функций в одном шаблоне, то для их разделения следует использовать запятые. Крайние шаблоны данных служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, т. е. они задают масштабы графика. Если оставить эти шаблоны незаполненными, то масштабы по осям графика будут устанавливаться автоматически. Масштабы, могут оказаться неудобными для представления целиком всего графика в максимальном размере. Рекомендуется всегда вначале использовать автоматическое масштабирование, а затем изменять масштабы на более подходящие. Для построения графика достаточно вывести курсор за пределы графического объекта.
Для построения графика функции надо написать функцию, выбрать интервалы построения графика по оси X и Y и обозначить параметры графика. При этом следует учитывать область допустимых значений существования функции или область определения. Если функция задана формулой, то область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл. График функции может быть представлен в различных системах координат. Наиболее употребительна прямоугольная координатная система – декартова. На плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве, наряду с декартовыми, цилиндрические и сферические системы координат.
Пример 3.1. Построить графики функций : $$\sin{(x)}$$, $$\cos{(x)}$$, $$1/x$$. Функция $$1/x$$ не существует в точке $$x=0$$. Но график строится и никаких дополнительных действий предпринимать не нужно. В отличие от построения графиков поверхности. Но эту проблему рассмотрим ниже.
(рис 3.3) Листинг решения примера 3.1. Построение графика в разных масштабах: а) автоматический режим x: (-10;10) y: (-5;5)
(рис 3.4) Листинг решения примера 3.1. Построение графика в разных масштабах: б) изменение масштабаx x: (0;1) y: (-1;1); в) x : (0;10); y :(-1;1).
(рис 3.5) Листинг решения примера 3.1. Построение графика в разных масштабах: в) изменение масштабаx x : (0;10); y :(-1;1).
Параметры изображения (цвет и толщина линий, координатная сетка, разметка осей, надписи на графиках и др.) можно изменить, вызвав команду меню Format/Graph/X-Y Plot (Формат/График/декартов график) или щелкнув дважды по полю графика. Появится окно Formatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование выбранного графика), в котором устанавливаются настройки в соответствующих вкладках (Рис.3.7).
(рис 3.7) Окно форматирования декартова графика
MathCAD обеспечивает следующие возможности устанавливать границы на осях координат:
При включенном режиме Авто масштаб MathCAD устанавливает границу на каждой оси соответствующей первому главному делению, выходящему за пределы значений данных
При выключенном режиме Авто масштаб MathCAD устанавливает границы на осях точно равными пределам данных.
Чтобы добавить горизонтальную или вертикальную линию к графику:
Функция может быть задана разными формулами на разных участках изменения аргумента. При задании функции можно использовать условную функцию.
Построить график функции Y(x), заданной следующим образом:
Y=ln(x), x>0 Y=1/x, x<=0
Используем условную функцию if(cond, x, y)
Условная функция возвращает x , если условие cond есть true, возвращает y, если условие есть false. Условий может быть несколько.
На графике (Рис.3.8) нанесена риска x=0
$$y1(x):=\ln{(x)}$$, $$x>0$$
$$y2(x):=\frac{1}{x}$$, $$x\le0$$
$$Y(x):=if(x>0,y1(x),y2(x))$$
(рис 3.8) Листинг построения графика примера 3.2
Условную функцию удобно использовать при построении области определения функции. Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. С помощью условной функции можно показать график области допустимых значений .
Построить область определения функции $$Y(x):=\sqrt{(x^2+2x-20)(7x-1)}$$
Ведем функцию $$g(x)=(x^2+2x-20)(7x-1)$$
тогда $$Y(x):=\sqrt{g(x)}$$
Область допустимых значений $$Y(x) : g(x) \le 0$$
Строим функцию S(x), используя условную функцию
$$S(x):=if(g(x)\ge 0,Y(x),0)$$
Строим график функции S(x) (Рис.3.9)
(рис 3.9) Листинг построения графика примера 3.3
Часто бывает необходимо построить график по точкам. Для этого аргумент и функция вводятся как индексные переменные от номера точки, номер точки – ранжированная переменная.
Построить график функции $$y=x\sin{(2x)^2}$$ по 15 точкам, x меняется от 0 до 1,5 с шагом = 0,1:
$$i:=0..15$$, $$x_i:=\frac{i}{10}$$, $$y_i:=x_i\sin{(2x_i)^2}$$
$$i= \begin{array}{|c|ccccc|} \hline 0 \\ \hline 1 \\ \hline 2 \\ \hline 3 \\ \hline 4 \\ \hline 5 \\ \hline 6 \\ \hline 7 \\ \hline 8 \\ \hline 9 \\ \hline 10 \\ \hline 11 \\ \hline 12 \\ \hline 13 \\ \hline 14 \\ \hline 15 \\ \hline \end{array} $$
$$x_i= \begin{array}{|c|ccccc|} \hline 0 \\ \hline 0.1 \\ \hline 0.2 \\ \hline 0.3 \\ \hline 0.4 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.6 \\ \hline 0.7 \\ \hline 0.8 \\ \hline 0.9 \\ \hline 1 \\ \hline 1.1 \\ \hline 1.2 \\ \hline 1.3 \\ \hline 1.4 \\ \hline 1.5 \\ \hline \end{array} $$
$$y_i= \begin{array}{|c|ccccc|} \hline 0 \\ \hline 3.947\cdot10^{-3} \\ \hline 0.03 \\ \hline 0.096 \\ \hline 0.206 \\ \hline 0.354 \\ \hline 0.521 \\ \hline 0.68 \\ \hline 0.799 \\ \hline 0.854 \\ \hline 0.827 \\ \hline 0.719 \\ \hline 0.548 \\ \hline 0.345 \\ \hline 0.157 \\ \hline 0.03 \\ \hline \end{array} $$
(рис 3.10) Листинг построения графика примера 3.4
Можно ввести x и y, как векторы. В этом случае на графике в соответствующих ячейках указываются только имена переменных (Рис.3.11).
$$i:=0..15$$, $$x_i:=\frac{i}{10}$$, $$y_i:=x_i\sin{(2x_i)^2}$$
$$X:= \left(\begin{array}{c} x_0\\ x_4\\ x_6\\ x_10\\ x_12\\ x_14 \end{array}\right) $$
$$Y= \left(\begin{array}{c} y_0\\ y_4\\ y_6\\ y_10\\ y_12\\ y_14 \end{array}\right) $$
(рис 3.11) Листинг построения графика примера 3.4. На графике введены точки как значения векторов
В ряде случаев для задания функций используются параметрически заданные уравнения. Например, пусть функции x=x(t), y=y(t), непрерывны при t из (a, b) и устанавливают зависимость (x,y) точки плоскости от значения параметра t. Таким образом, задается на плоскости кривая в параметрической форме. Х=f1(t) и у=f2(t).
Построить график функции, заданной в виде:
$$x(h)=h^3$$ $$y(h)=h^2$$ при $$h\ge0$$
В случае построения графика параметрически заданной кривой в шаблоне функции необходимо указать y(h), вместо независимой переменной x под осью абсцисс необходимо соответственно задать x(h) (Рис.3.12).
$$x(h):=h^3$$, $$y(h):=h^2$$, $$h\ge0$$
(рис 3.12) Листинг построения графика примера 3.5
В MathCAD полярные графики рисуются с использованием стандартных преобразований $$x = r cos(\theta)$$ и $$y = r sin(\theta)$$. Предполагается, что r и $$\theta$$ могут принимать и положительные, и отрицательные значения. Типичный полярный график показывает зависимость выражения для радиуса от угла.
Полярный график строится с использованием шаблона полярного графика на панели Графика. Выражение для функции и угла вводятся в соответствующие шаблоны графика. Можно построить несколько графиков на одном и том же чертеже. Все выражения должны использовать одну и ту же переменную. Угол вводится в радианах (по умолчанию) или в градусах (указываются единицы – deg).
$$r(\theta):=1+\cos{(\theta)}$$
(рис 3.13) График в полярных координатах. В шаблонах для радиуса: r: (0;2)
Используется команда меню Format/Graph/Plar Plot (Формат/Графика/Полярный график) или двойной щелчок на графике. Окно форматирования такое же, как и для декартовых графиков.
По умолчанию устанавливаются верхние и нижние границы на радиальной оси. Для линейного масштаба верхняя граница — максимальное значение радиуса, нижняя граница — ноль. Чтобы вручную установить максимальное значение на радиальной оси, щёлкнуть на числе в верхнем поле ввода и впечатать новое число.
Так же, как и для декартовых графиков, можно использовать индексную переменную, отобразить в полярных координатах один вектор значений относительно другого.
Построить график функций $$r1=2\sin{(\phi)}$$, $$r2=4sin{(\phi)}$$ в полярных координатах с разным шагом по углу, разной сеткой (Рис.3.14, Рис.3.15).
a) $$r1(\phi):=2\sin{(\phi)}$$
$$r2(\phi):=4\sin{(\phi)}$$
(рис 3.14) Листинг построения графиков примера 3.12
b) $$r1(\phi):=2\sin{(\phi)}$$
$$r2(\phi):=4\sin{(\phi)}$$
$$\phi:=0,\frac{\pi}{5},..,2\pi$$
(рис 3.15) Листинг построения графиков примера 3.12
c) $$i:=0..90$$
$$\phi_i:=i\cdot deg$$
$$r1_i:=2\sin{(\phi_1)}$$
$$r2_i:=4\sin{(\phi_2)}$$
(рис 3.16) Листинг построения графиков примера 3.16
Если кривая задана уравнением $$y=f(x),\ a < x < b $$, то длина кривой $$L $$вычисляется
$$L=\int_a^b{\sqrt{1+(\frac{d}{dx}f(x))^2}}dx$$
Если кривая задана параметрически, $$x=x(t),\ y=y(t)$$ на интервале $$b < t < a, $$ длина кривой L вычисляется
$$L1:=\int_a^b{\sqrt{(\frac{d}{dt}x(t))^2+(\frac{d}{dt}y(t))^2}dt$$
$$X=r(\varphi)cos(\varphi)$$, $$y=r(\varphi)sin \varphi$$ . Переменные x и y параметрические функции от $$\varphi$$. Тогда длина кривой в полярных координатах имеет вид:
$$\int_\alpha^\beta{\sqrt{(\frac{d}{d\phi}x(\phi))^2+(\frac{d}{d\phi}y(\phi))^2}d\phi =\int_\alpha^\beta{\sqrt{(\frac{d}{d\phi}r(\phi)\cos{(\phi)}-r(\phi)\sin{(\phi)})^2+(\frac{d}{d\phi}r(\phi)\sin{(\phi)}+r(\phi)\cos{(\phi)})^2}}d\phi $$
$$\int_\alpha^\beta{\sqrt{r(\phi)^2+(\frac{d}{d\phi}r(\phi))^2}d\phi$$
Вычислить длину кривой, заданной уравнением $$Y(x):=\mid x^2-\mid x\mid-2\mid$$.
На Рис.3.13 показано вычисление длин участков кривой и всей кривой для x [-4;4]. Точки пересечения определяются с помощью трассировки. Длина кривой вычисляется по формуле (3.1.)
$$Y(x):=|x^2-|x|-2|$$
(рис 3.17) Листинг для примера 3.7
$$L1:=\int\limits_{-4}^{-2} \sqrt{1+{(\frac{d}{dx}Y(x))^2}}dx=10.209$$
$$L1:=\int\limits_0^2 \sqrt{1+{(\frac{d}{dx}Y(x))^2}}dx=3.4$$
$$L:=L1+L2=13.609$$
Построить график функции $$y(\varphi)$$, заданной в виде:
$$r(\phi):=\sqrt{5\cos{(3\phi)}}$$, если $$5\cos{(3\phi)}\ge0$$
$$y(\phi):=r(\phi)$$ , если $$5\cos{(3\phi)}\le0$$
Вычислить длину кривой для $$\varphi [0, 2 \pi]$$.
Функцию $$y(\varphi)$$ вводим, используя условную функцию. График строится в полярных координатах (Рис.3.18). В таблицах выведены значения аргумента – угла и функции. Длина кривой рассчитана по формуле (3.3).
$$r(\phi):=\sqrt{5\cos{(3\phi)}}$$, $$\phi=0,0.1,...,2\pi$$
$$y(\phi):=if(5\cos{(3\phi)}\ge0,r(\phi),0.5)$$
$$\phi=\begin{array}{|c|}\hline 0 \\ \hline 0.1 \\ \hline 0.2 \\ \hline 0.3 \\ \hline 0.4 \\ \hline 0.5\\ \hline 0.6 \\ \hline 0.7 \\ \hline 0.8 \\ \hline 0.9 \\ \hline 1 \\ \hline 1.1 \\ \hline 1.2\\ \hline 1.3 \\ \hline 1.4 \\ \hline ... \\ \hline \end{array}$$
$$y(\phi)=\begin{array}{|c|}\hline 2.236 \\ \hline 2.186 \\ \hline 2.031 \\ \hline 1.763 \\ \hline 1.346 \\ \hline 0.595\\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5\\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline ... \\ \hline \end{array}$$
(рис 3.18) Листинг для примера 3.8
$$L:=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{y(\phi)^2+{(\frac{d}{d\phi}y(\phi))^2}}d\phi=16.108$$
При задании функции двух переменных, любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие по определенному закону единственное число – значение функции F(x,y). Множество D называется областью определения функции. Пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, координата z=F(x,y) . При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M. Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора r , исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = F(r), причем аргументами функции являются координаты вектора r .
График функции двух переменных есть множество точек (x,y, F(x,y)). График представляет собой некоторую поверхность. График функции двух переменных F(x,y) строится с использованием шаблона графика поверхности на панели Графика. Для построения графика поверхности можно использовать различные способы [3]. Если надо только посмотреть общий вид поверхности, MathCAD автоматически строит график.
Для построения графика:
При автоматическом построении графика независимые переменные x и y принимают значения из промежутка [-5,5].
Построим график функции $$F(x,y)=(x-1)^5+(y-1)^5$$ (Рис.3.19).
$$F(x,y):=(x-1)^5+(y-1)^5$$
(рис 3.19) Листинг построения графика поверхности примера 3.9
Чтобы изменить заданные по умолчанию параметры графиков, надо выделить график и, активизировать двойным щелчком левой кнопкой мыши. Появится диалоговое окно 3-D Plot Format (Форматирование трехмерных графиков) (Рис.3.20).
(рис 3.20) Окно 3-D Plot Format (Форматирование трехмерных графиков)
Диалоговое окно 3-D Plot Format содержит девять закладок и множество флажков для выбора режима построения графика.
Вкладка General "Общее".
Раздел View "Вид" показывает углы, под которыми наблюдается построенный график поверхности.
Поле Rotation определяет угол поворота вокруг оси Z в плоскости X-Y. Значение в поле Tilt задает угол наклона линии взгляда к плоскости X-Y. Поле Zoom позволяет увеличить (уменьшить) графическое изображение в число раз, равное цифре, указанной в поле.
Раздел "Стиль оси" определяет стиль изображения размеров графика:
Раздел Frames (Границы) определяет обрамление графика:
После изменения параметра щелкните по кнопке Применить. Для возвращения в документ нажмите клавишу ОК.
Вкладка Axes (Ось) позволяет изменять внешний вид осей координат
На вкладке QuickPlot Data (Рис.3.21) можно установить другие пределы изменения независимых переменных x и y, установить количество линий сетки, определить систему координат: декартову, сферическую, цилиндрическую.
(рис 3.21) Окно 3-D Plot Format. Вкладка QuickPlot Data
Для представления графика в разных системах координат достаточно щелкнуть соответствующий переключатель Coordinat System (Рис.3.21). На рисунках 3.22 и Рис.3.23 показаны графики функции примера 3.9. в сферической и цилиндрической системе координат
$$F(x,y):=(x-1)^5+(y-1)^5$$
(рис 3.22) . График примера 3.9. при установке сферических координат
$$F(x,y):=(x-1)^5+(y-1)^5$$
(рис 3.23) График примера 3.9. при установке цилиндрических координат
Вкладка Appearance (Внешний вид) позволяет изменять для каждого графика вид и цвет заливки поверхности (область Fill Options); вид, цвет и толщину дополнительных линий на графике (область Line Options); наносить на график точки данных (опция Draw Points области Point Options), менять их вид, размер и цвет.
Важная опция Calomap окрашивает график: максимальные значения в красный, наименьшие – в синий цвет как в спектре видимого света..
Вкладка Lighting (Освещение). При включении опции Enable Lighting (Наличие подсветки) позволяет выбрать цветовую схему для освещения, "установить" несколько источников света, выбрав для них цвет освещения и определив его направление.
Вкладка Backplanes (Основание) позволяет изменить внешний вид плоскостей, ограничивающих область построения: цвет, нанесение сетки, определение ее цвета и толщины, прорисовка границ плоскостей
Вкладка Advansed (Дополнительно)позволяет установить параметры печати и изменить цветовую схему для окрашивания поверхности нрафика, а также указать направление смены окраски (вдоль оси Ox, Oy или Oz). Включение опции Enable Fog (Наличие Тумана) делает график нечетким, слегка размытым (полупрозрачным). При включении опции Perspective (Перспектива) появляется возможность указать в соответствующем поле расстояние до наблюдателя.
В автоматическом режиме (по умолчанию) MathCAD строит график в интервале изменения переменных x и y: (-5;5). Если в этой области функция не является непрерывной (имеет разрыв), график не строится. Можно перестроить пределы изменения x и y в окне форматирования. Можно задать пределы изменения x и y аналитически, в нужной области рассмотрения графика и построить сетку с нужными параметрами. Рассмотрим построение графиков различными способами.
Построить график поверхности функции $$F(x,y)=\ln{[(x-8)(y-10)]}$$ разными способами.
1 способ. "Быстрый" график" (Рис.3.24).
Для построения графика:
$$F(x,y):=\ln[(x-8)(y-10)]$$
(рис 3.24) Листинг построения графика поверхности примера 3.10
2 способ. Использование сетки. Построить график $$W(x,y)=\ln{[(x-8)(y-10)]}$$ Fпо 20 точкам. Переменная x меняется от 8 д и о 10 , y меняется, от 10 до 12.
Для построения графика в определенной области изменения независимых переменных с определенным шагом надо задать узловые точки $$x_i$$, $$y_j$$, как индексные переменные по точкам. Затем сформировать матрицу значений функции в точках в виде: $$A_{i,j}=W(x_i,y_j)$$.
График строится не от значений x и y, а от номера точки.
$$W(x,y):=\ln[(x-8)(y-10)]$$
$$N:=20$$, $$i:=0..N$$, $$j:=0..N$$
$$a1:=8.2$$, $$a2:=10$$, $$x_i:=a1+\frac{i}{N}(a2-a1)$$
$$b1:=10.2$$, $$b2:=12$$, $$x_i:=b1+\frac{j}{N}(b2-b1)$$
$$A2_{i,j}:=W(x_i,y_j)$$
Значение функции $$W(x,y)$$ в крайних точках сетки:
$$x_0=8.2$$, $$y_0=10.2$$
$$x_{20}=10$$, $$y_{20}=12$$
$$W(x_{20},y_{20})=1.386$$
(рис 3.25) Листинг построения графика поверхности примера 3.10 при задании сетки
3 способ. Использование функции CreateMesh() . Встроенная функция в MathCAD для построения графика поверхности. Создает массив, представляющий х-, у- и z-координаты параметрической поверхности, заданной функцией F(). Создает сетку на поверхности определенной функции F() с параметрами , заданными аргументами.
M=CreateMesh (F, x0, x1, y0, y1, xgrid, ygrid, fmap),
F- функция,
x0, x1, y0, y1 – диапазон изменения переменных x и y,
xgrid, ygrid – количество точек переменной х и количество точек переменной y (размеры сетки переменных), количество точек можно задать один раз.
fmap – векторная функция от трех аргументов, задающая преобразование координат, определяет систему координат: декартову, сферическую или цилиндрическую. Если параметр присутствует, то график будет построен в указанной системе координат. Для графика в декартовой системе этот аргумент можно не вводить.
Имеются две встроенные графические функции, которые могут использоваться в аргументах fmap: sph2xyz и syl2xyz.
cyl2xyz – функция преобразования координат из цилиндрической системы в декартову;
ph2xyz – функция преобразования координат из сферической системы в декартову.
На pис.3.26 показано построение графика функции примера с применением CreateMesh() . Указаны границы изменения x – от 8,2 до 10, границы изменения y, – от 10,2 до 12 количество точек сетки – 20 для x и для y. График строится от значений x и y.
$$W(x,y):=\ln[(x-8)(y-10)]$$
$$M:=CreateMesh(W,8.2,10,10.2,12,20,20)$$
(рис 3.26) Листинг построения графика поверхности примера 3.10 с использованием функции CreateMesh()
Если не указать параметры сетки, функция CreateMesh по умолчанию создает сетку на поверхности с диапазоном изменения переменных от -5 до 5 и с сеткой 20x20 точек. M=CreateMesh (W) (Рис.3.27).
$$W1(x,y):=\ln[(x-8)(y-10)]$$
$$M:=CreateMesh(W1)$$
(рис 3.27) Листинг построения графика поверхности примера 3.10 с использованием функции CreateMesh() (параметры по умолчанию)
При построении трехмерных поверхностей и объемных фигур можно использовать параметрическое задание описывающих их функций. При этом все три координаты задаются как функции от двух параметров u и v – X(u,v), Y(u,v), Z(u,v). Поверхности задаются значениями координат всех точек. При этом в шаблоне графики указываются три матрицы, хранящие массивы этих координат, X, Y Z.
x(u,v), y(u,v) и y(u,v). Ввести как индексные переменные.На pис.3.28 показано построение объемной фигуры по точкам. (50 точек). Фигура задана параметрически, параметры – углы $$\theta$$ и $$\varphi$$. Координаты x,y,z вводятся как индексированные переменные, индексы – ранжированные переменные.
$$N:=50$$, $$i:=0..N$$, $$j:=0..N$$
$$\phi(i):=\frac{i \cdot 10}{N}-5$$
$$\theta(j):=j\frac{2\pi}{N}-5$$
$$X_{i,j}:=\sin{(\phi(i))}(1+0.2\theta(j))$$
$$Y_{i,j}:=0.2\sin{(\phi(i))}\cos{(\theta(j))}$$
$$Z_{i,j}:=\cos{(\phi(i))}(1+0.2\theta(j))$$
(рис 3.28) Листинг примера. 3.11. Поверхность задана параметрически
Поверхность может быть задана в векторной форме. В этом случае функция вводится в виде матрицы, элементы которой – функции параметров, как и сама поверхность. На pис.3.27 показано построение объемной фигуры примера 3.11, заданной в виде матрицы от параметров - углов $$\theta$$ и $$\varphi$$. Количество линий сетки можно изменить в окне форматирования 3-D Plot Format, вкладка QuickPlot Data .
$$G(\phi,\theta):=\begin{bmatrix} \sin{(\phi(i))}(1+0.2\theta(j)) \\ 0.2\sin{(\phi(i))}\cos{(\theta(j))} \\ \cos{(\phi(i))}(1+0.2\theta(j)) \end{bmatrix}$$
(рис 3.29) Листинг примера. 3.11. Функция задана в векторной параметрической форме
Трехмерный график можно представить в виде пространственной кривой. Пространственные кривые задаются, как правило, параметрически, и параметр является непрерывной действительной величиной. Рассмотрим два способа построения.
Построить пространственную кривую, у которой координаты определены следующим образом: $$x=\cos{(3t)}$$, $$y=\sin{(3t)}$$, $$z=e^{t/10}$$.
1 способ. Кривая в пространстве задается аналогично параметрическому заданию поверхности (пример 3.11).
t в виде ранжированной переменной, для t выбирается номер точки (0-100).x, y, z как индексированные переменные параметра t. На графике показаны максимальные минимальные значения
$$t:=0..100$$
$$x_t:=\cos{(3t)}$$, $$y_t:=\sin{(3t)}$$, $$z_t:=e^{\frac{t}{10}}$$
(рис 3.30) Листинг примера 3.12. Параметрическое задание кривой
2 способ. (Рис.3.31). Векторная форма. Функция задается в виде матрицы-вектора. Для построения графика используется функция CreateSpace()
CreateSpace (R , t0, t1, tgrid, fmap): встроенная функция , создающая массив представляющий х-, у- и z-координаты параметрической пространственной кривой, заданной функцией R() ; и сетку точек на кривой, определенной функцией R() с параметрами , заданными аргументами ,
t0 и t1 – диапазон изменения параметровй, tgrid – размер сетки переменной, fmap – функция отображения аналогично функции CreateMesh() (необязательный параметр). Аргумент t выбирается из указанного интервала: t0=0 t1=10, сетка tgrid=100 точек. Создает сетку точек на кривой.
$$x1(t):=\cos{(3t)}$$, $$y1(t):=\sin{(3t)}$$, $$z1(t):=e^{\frac{t}{10}}$$
$$R(t):=\begin{pmatrix} x1(t) \\ y1(t) \\ z1(t) \end{pmatrix}$$
$$M:=CreateMesh(R,0,10,100)$$
(рис 3.31) Листинг примера 3.12. Векторное задание кривой. Использование CreateSpace()
Представлены методы построения графиков функций одной переменной и двух переменных в различных системах координат. На многих примерах показаны различные варианты задания функции, определяющие график: обычным образом (аргументы –скаляры), параметрически, а также в виде матриц и ранжированных переменных. Рассмотрены различные способы построения: автоматическое построение, с построением сетки, с использованием функций CreateMesh() и CreateSpace(). Описаны способы форматирования и настройки графика.
Graph - панель графики.
Formatting Currently Selected X-Y Plot – окно форматирования двумерного графика.
trace - опция форматирования, позволяющая ет точно определить значение функции в любой точки графика.
if(cond, x, y) - условная функция.
параметрическое задание функции - устанавливается зависимость (x,y) точки плоскости от значения параметра t.
полярный график - график функции r(q), заданной в полярных координатах, где полярный радиус r зависит от полярного угла q.
3-D Plot Format - окно форматирования трехмерного графика.
CreateMesh () - встроенная функция в MathCAD, создающая массив, представляющего х-, у- и z-координаты поверхности, заданной функцией F(); и сетку на поверхности определенной функции F() с параметрами , заданными аргументами.
CreateSpace ()- встроенная функция в MathCAD создающая массив представляющий х-, у- и z-координаты параметрической пространственной кривой, заданной функцией R() ; и сетку точек на кривой, определенной функцией R() с параметрами , заданными аргументами .
Surface Plot - опция панели Graph для построения графика поверхности
3D Scatter Plot - опция панели Graph для построения 3-D точечного графика.
Цель лекции. Научить строить графики функций в разных системах координат с помощью различных технологических приемов. Показать способы форматирования и настройки разных типов графиков и диаграмм.
MathCAD предоставляет широкие возможности для построения графиков. Графические построения являются универсальными и легкими в использовании. Программа позволяет строить графики на плоскости и в трехмерном пространстве. Можно использовать декартовы и полярные координаты на плоскости, сферическую и цилиндрическую систему координат в пространстве.
Панель Математика содержит панель инструментов графики. Для построения графиков используются шаблоны. Большинство параметров графического процессора, необходимых для построения графиков, по умолчанию задается автоматически. Поэтому для начального построения графика того или иного вида достаточно задать тип графика. На панели Graph (Графика) или в меню Insert/ Graph (Вставка/Графика) содержится список из семи основных типов графиков.
(рис 3.1) Панель Графика
Для вывода шаблона двухмерной графики в декартовой системе координат служит кнопка декартов график на панели Graph [3, 8]. Она выводит в текущее положение курсора шаблон графиков в декартовых координатах (Рис.3.2). Незаполненный шаблон графика - пустой прямоугольник с шаблонами данных в виде темных маленьких прямоугольников, расположенных около осей абсцисс и ординат будущего графика.
(рис 3.2) Шаблон графика в декартовых координатах
В средние шаблоны данных надо поместить имя функции F(x) оси абсцисс x. Если строятся графики нескольких функций в одном шаблоне, то для их разделения следует использовать запятые. Крайние шаблоны данных служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, т. е. они задают масштабы графика. Если оставить эти шаблоны незаполненными, то масштабы по осям графика будут устанавливаться автоматически. Масштабы, могут оказаться неудобными для представления целиком всего графика в максимальном размере. Рекомендуется всегда вначале использовать автоматическое масштабирование, а затем изменять масштабы на более подходящие. Для построения графика достаточно вывести курсор за пределы графического объекта.
Для построения графика функции надо написать функцию, выбрать интервалы построения графика по оси X и Y и обозначить параметры графика. При этом следует учитывать область допустимых значений существования функции или область определения. Если функция задана формулой, то область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл. График функции может быть представлен в различных системах координат. Наиболее употребительна прямоугольная координатная система – декартова. На плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве, наряду с декартовыми, цилиндрические и сферические системы координат.
Пример 3.1. Построить графики функций : $$\sin{(x)}$$, $$\cos{(x)}$$, $$1/x$$. Функция $$1/x$$ не существует в точке $$x=0$$. Но график строится и никаких дополнительных действий предпринимать не нужно. В отличие от построения графиков поверхности. Но эту проблему рассмотрим ниже.
(рис 3.3) Листинг решения примера 3.1. Построение графика в разных масштабах: а) автоматический режим x: (-10;10) y: (-5;5)
(рис 3.4) Листинг решения примера 3.1. Построение графика в разных масштабах: б) изменение масштабаx x: (0;1) y: (-1;1); в) x : (0;10); y :(-1;1).
(рис 3.5) Листинг решения примера 3.1. Построение графика в разных масштабах: в) изменение масштабаx x : (0;10); y :(-1;1).
Параметры изображения (цвет и толщина линий, координатная сетка, разметка осей, надписи на графиках и др.) можно изменить, вызвав команду меню Format/Graph/X-Y Plot (Формат/График/декартов график) или щелкнув дважды по полю графика. Появится окно Formatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование выбранного графика), в котором устанавливаются настройки в соответствующих вкладках (Рис.3.7).
(рис 3.7) Окно форматирования декартова графика
MathCAD обеспечивает следующие возможности устанавливать границы на осях координат:
При включенном режиме Авто масштаб MathCAD устанавливает границу на каждой оси соответствующей первому главному делению, выходящему за пределы значений данных
При выключенном режиме Авто масштаб MathCAD устанавливает границы на осях точно равными пределам данных.
Чтобы добавить горизонтальную или вертикальную линию к графику:
Функция может быть задана разными формулами на разных участках изменения аргумента. При задании функции можно использовать условную функцию.
Построить график функции Y(x), заданной следующим образом:
Y=ln(x), x>0 Y=1/x, x<=0
Используем условную функцию if(cond, x, y)
Условная функция возвращает x , если условие cond есть true, возвращает y, если условие есть false. Условий может быть несколько.
На графике (Рис.3.8) нанесена риска x=0
$$y1(x):=\ln{(x)}$$, $$x>0$$
$$y2(x):=\frac{1}{x}$$, $$x\le0$$
$$Y(x):=if(x>0,y1(x),y2(x))$$
(рис 3.8) Листинг построения графика примера 3.2
Условную функцию удобно использовать при построении области определения функции. Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. С помощью условной функции можно показать график области допустимых значений .
Построить область определения функции $$Y(x):=\sqrt{(x^2+2x-20)(7x-1)}$$
Ведем функцию $$g(x)=(x^2+2x-20)(7x-1)$$
тогда $$Y(x):=\sqrt{g(x)}$$
Область допустимых значений $$Y(x) : g(x) \le 0$$
Строим функцию S(x), используя условную функцию
$$S(x):=if(g(x)\ge 0,Y(x),0)$$
Строим график функции S(x) (Рис.3.9)
(рис 3.9) Листинг построения графика примера 3.3
Часто бывает необходимо построить график по точкам. Для этого аргумент и функция вводятся как индексные переменные от номера точки, номер точки – ранжированная переменная.
Построить график функции $$y=x\sin{(2x)^2}$$ по 15 точкам, x меняется от 0 до 1,5 с шагом = 0,1:
$$i:=0..15$$, $$x_i:=\frac{i}{10}$$, $$y_i:=x_i\sin{(2x_i)^2}$$
$$i= \begin{array}{|c|ccccc|} \hline 0 \\ \hline 1 \\ \hline 2 \\ \hline 3 \\ \hline 4 \\ \hline 5 \\ \hline 6 \\ \hline 7 \\ \hline 8 \\ \hline 9 \\ \hline 10 \\ \hline 11 \\ \hline 12 \\ \hline 13 \\ \hline 14 \\ \hline 15 \\ \hline \end{array} $$
$$x_i= \begin{array}{|c|ccccc|} \hline 0 \\ \hline 0.1 \\ \hline 0.2 \\ \hline 0.3 \\ \hline 0.4 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.6 \\ \hline 0.7 \\ \hline 0.8 \\ \hline 0.9 \\ \hline 1 \\ \hline 1.1 \\ \hline 1.2 \\ \hline 1.3 \\ \hline 1.4 \\ \hline 1.5 \\ \hline \end{array} $$
$$y_i= \begin{array}{|c|ccccc|} \hline 0 \\ \hline 3.947\cdot10^{-3} \\ \hline 0.03 \\ \hline 0.096 \\ \hline 0.206 \\ \hline 0.354 \\ \hline 0.521 \\ \hline 0.68 \\ \hline 0.799 \\ \hline 0.854 \\ \hline 0.827 \\ \hline 0.719 \\ \hline 0.548 \\ \hline 0.345 \\ \hline 0.157 \\ \hline 0.03 \\ \hline \end{array} $$
(рис 3.10) Листинг построения графика примера 3.4
Можно ввести x и y, как векторы. В этом случае на графике в соответствующих ячейках указываются только имена переменных (Рис.3.11).
$$i:=0..15$$, $$x_i:=\frac{i}{10}$$, $$y_i:=x_i\sin{(2x_i)^2}$$
$$X:= \left(\begin{array}{c} x_0\\ x_4\\ x_6\\ x_10\\ x_12\\ x_14 \end{array}\right) $$
$$Y= \left(\begin{array}{c} y_0\\ y_4\\ y_6\\ y_10\\ y_12\\ y_14 \end{array}\right) $$
(рис 3.11) Листинг построения графика примера 3.4. На графике введены точки как значения векторов
В ряде случаев для задания функций используются параметрически заданные уравнения. Например, пусть функции x=x(t), y=y(t), непрерывны при t из (a, b) и устанавливают зависимость (x,y) точки плоскости от значения параметра t. Таким образом, задается на плоскости кривая в параметрической форме. Х=f1(t) и у=f2(t).
Построить график функции, заданной в виде:
$$x(h)=h^3$$ $$y(h)=h^2$$ при $$h\ge0$$
В случае построения графика параметрически заданной кривой в шаблоне функции необходимо указать y(h), вместо независимой переменной x под осью абсцисс необходимо соответственно задать x(h) (Рис.3.12).
$$x(h):=h^3$$, $$y(h):=h^2$$, $$h\ge0$$
(рис 3.12) Листинг построения графика примера 3.5
В MathCAD полярные графики рисуются с использованием стандартных преобразований $$x = r cos(\theta)$$ и $$y = r sin(\theta)$$. Предполагается, что r и $$\theta$$ могут принимать и положительные, и отрицательные значения. Типичный полярный график показывает зависимость выражения для радиуса от угла.
Полярный график строится с использованием шаблона полярного графика на панели Графика. Выражение для функции и угла вводятся в соответствующие шаблоны графика. Можно построить несколько графиков на одном и том же чертеже. Все выражения должны использовать одну и ту же переменную. Угол вводится в радианах (по умолчанию) или в градусах (указываются единицы – deg).
$$r(\theta):=1+\cos{(\theta)}$$
(рис 3.13) График в полярных координатах. В шаблонах для радиуса: r: (0;2)
Используется команда меню Format/Graph/Plar Plot (Формат/Графика/Полярный график) или двойной щелчок на графике. Окно форматирования такое же, как и для декартовых графиков.
По умолчанию устанавливаются верхние и нижние границы на радиальной оси. Для линейного масштаба верхняя граница — максимальное значение радиуса, нижняя граница — ноль. Чтобы вручную установить максимальное значение на радиальной оси, щёлкнуть на числе в верхнем поле ввода и впечатать новое число.
Так же, как и для декартовых графиков, можно использовать индексную переменную, отобразить в полярных координатах один вектор значений относительно другого.
Построить график функций $$r1=2\sin{(\phi)}$$, $$r2=4sin{(\phi)}$$ в полярных координатах с разным шагом по углу, разной сеткой (Рис.3.14, Рис.3.15).
a) $$r1(\phi):=2\sin{(\phi)}$$
$$r2(\phi):=4\sin{(\phi)}$$
(рис 3.14) Листинг построения графиков примера 3.12
b) $$r1(\phi):=2\sin{(\phi)}$$
$$r2(\phi):=4\sin{(\phi)}$$
$$\phi:=0,\frac{\pi}{5},..,2\pi$$
(рис 3.15) Листинг построения графиков примера 3.12
c) $$i:=0..90$$
$$\phi_i:=i\cdot deg$$
$$r1_i:=2\sin{(\phi_1)}$$
$$r2_i:=4\sin{(\phi_2)}$$
(рис 3.16) Листинг построения графиков примера 3.16
Если кривая задана уравнением $$y=f(x),\ a < x < b $$, то длина кривой $$L $$вычисляется
$$L=\int_a^b{\sqrt{1+(\frac{d}{dx}f(x))^2}}dx$$
Если кривая задана параметрически, $$x=x(t),\ y=y(t)$$ на интервале $$b < t < a, $$ длина кривой L вычисляется
$$L1:=\int_a^b{\sqrt{(\frac{d}{dt}x(t))^2+(\frac{d}{dt}y(t))^2}dt$$
$$X=r(\varphi)cos(\varphi)$$, $$y=r(\varphi)sin \varphi$$ . Переменные x и y параметрические функции от $$\varphi$$. Тогда длина кривой в полярных координатах имеет вид:
$$\int_\alpha^\beta{\sqrt{(\frac{d}{d\phi}x(\phi))^2+(\frac{d}{d\phi}y(\phi))^2}d\phi =\int_\alpha^\beta{\sqrt{(\frac{d}{d\phi}r(\phi)\cos{(\phi)}-r(\phi)\sin{(\phi)})^2+(\frac{d}{d\phi}r(\phi)\sin{(\phi)}+r(\phi)\cos{(\phi)})^2}}d\phi $$
$$\int_\alpha^\beta{\sqrt{r(\phi)^2+(\frac{d}{d\phi}r(\phi))^2}d\phi$$
Вычислить длину кривой, заданной уравнением $$Y(x):=\mid x^2-\mid x\mid-2\mid$$.
На Рис.3.13 показано вычисление длин участков кривой и всей кривой для x [-4;4]. Точки пересечения определяются с помощью трассировки. Длина кривой вычисляется по формуле (3.1.)
$$Y(x):=|x^2-|x|-2|$$
(рис 3.17) Листинг для примера 3.7
$$L1:=\int\limits_{-4}^{-2} \sqrt{1+{(\frac{d}{dx}Y(x))^2}}dx=10.209$$
$$L1:=\int\limits_0^2 \sqrt{1+{(\frac{d}{dx}Y(x))^2}}dx=3.4$$
$$L:=L1+L2=13.609$$
Построить график функции $$y(\varphi)$$, заданной в виде:
$$r(\phi):=\sqrt{5\cos{(3\phi)}}$$, если $$5\cos{(3\phi)}\ge0$$
$$y(\phi):=r(\phi)$$ , если $$5\cos{(3\phi)}\le0$$
Вычислить длину кривой для $$\varphi [0, 2 \pi]$$.
Функцию $$y(\varphi)$$ вводим, используя условную функцию. График строится в полярных координатах (Рис.3.18). В таблицах выведены значения аргумента – угла и функции. Длина кривой рассчитана по формуле (3.3).
$$r(\phi):=\sqrt{5\cos{(3\phi)}}$$, $$\phi=0,0.1,...,2\pi$$
$$y(\phi):=if(5\cos{(3\phi)}\ge0,r(\phi),0.5)$$
$$\phi=\begin{array}{|c|}\hline 0 \\ \hline 0.1 \\ \hline 0.2 \\ \hline 0.3 \\ \hline 0.4 \\ \hline 0.5\\ \hline 0.6 \\ \hline 0.7 \\ \hline 0.8 \\ \hline 0.9 \\ \hline 1 \\ \hline 1.1 \\ \hline 1.2\\ \hline 1.3 \\ \hline 1.4 \\ \hline ... \\ \hline \end{array}$$
$$y(\phi)=\begin{array}{|c|}\hline 2.236 \\ \hline 2.186 \\ \hline 2.031 \\ \hline 1.763 \\ \hline 1.346 \\ \hline 0.595\\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5\\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline ... \\ \hline \end{array}$$
(рис 3.18) Листинг для примера 3.8
$$L:=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{y(\phi)^2+{(\frac{d}{d\phi}y(\phi))^2}}d\phi=16.108$$
При задании функции двух переменных, любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие по определенному закону единственное число – значение функции F(x,y). Множество D называется областью определения функции. Пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, координата z=F(x,y) . При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M. Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора r , исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = F(r), причем аргументами функции являются координаты вектора r .
График функции двух переменных есть множество точек (x,y, F(x,y)). График представляет собой некоторую поверхность. График функции двух переменных F(x,y) строится с использованием шаблона графика поверхности на панели Графика. Для построения графика поверхности можно использовать различные способы [3]. Если надо только посмотреть общий вид поверхности, MathCAD автоматически строит график.
Для построения графика:
При автоматическом построении графика независимые переменные x и y принимают значения из промежутка [-5,5].
Построим график функции $$F(x,y)=(x-1)^5+(y-1)^5$$ (Рис.3.19).
$$F(x,y):=(x-1)^5+(y-1)^5$$
(рис 3.19) Листинг построения графика поверхности примера 3.9
Чтобы изменить заданные по умолчанию параметры графиков, надо выделить график и, активизировать двойным щелчком левой кнопкой мыши. Появится диалоговое окно 3-D Plot Format (Форматирование трехмерных графиков) (Рис.3.20).
(рис 3.20) Окно 3-D Plot Format (Форматирование трехмерных графиков)
Диалоговое окно 3-D Plot Format содержит девять закладок и множество флажков для выбора режима построения графика.
Вкладка General "Общее".
Раздел View "Вид" показывает углы, под которыми наблюдается построенный график поверхности.
Поле Rotation определяет угол поворота вокруг оси Z в плоскости X-Y. Значение в поле Tilt задает угол наклона линии взгляда к плоскости X-Y. Поле Zoom позволяет увеличить (уменьшить) графическое изображение в число раз, равное цифре, указанной в поле.
Раздел "Стиль оси" определяет стиль изображения размеров графика:
Раздел Frames (Границы) определяет обрамление графика:
После изменения параметра щелкните по кнопке Применить. Для возвращения в документ нажмите клавишу ОК.
Вкладка Axes (Ось) позволяет изменять внешний вид осей координат
На вкладке QuickPlot Data (Рис.3.21) можно установить другие пределы изменения независимых переменных x и y, установить количество линий сетки, определить систему координат: декартову, сферическую, цилиндрическую.
(рис 3.21) Окно 3-D Plot Format. Вкладка QuickPlot Data
Для представления графика в разных системах координат достаточно щелкнуть соответствующий переключатель Coordinat System (Рис.3.21). На рисунках 3.22 и Рис.3.23 показаны графики функции примера 3.9. в сферической и цилиндрической системе координат
$$F(x,y):=(x-1)^5+(y-1)^5$$
(рис 3.22) . График примера 3.9. при установке сферических координат
$$F(x,y):=(x-1)^5+(y-1)^5$$
(рис 3.23) График примера 3.9. при установке цилиндрических координат
Вкладка Appearance (Внешний вид) позволяет изменять для каждого графика вид и цвет заливки поверхности (область Fill Options); вид, цвет и толщину дополнительных линий на графике (область Line Options); наносить на график точки данных (опция Draw Points области Point Options), менять их вид, размер и цвет.
Важная опция Calomap окрашивает график: максимальные значения в красный, наименьшие – в синий цвет как в спектре видимого света..
Вкладка Lighting (Освещение). При включении опции Enable Lighting (Наличие подсветки) позволяет выбрать цветовую схему для освещения, "установить" несколько источников света, выбрав для них цвет освещения и определив его направление.
Вкладка Backplanes (Основание) позволяет изменить внешний вид плоскостей, ограничивающих область построения: цвет, нанесение сетки, определение ее цвета и толщины, прорисовка границ плоскостей
Вкладка Advansed (Дополнительно)позволяет установить параметры печати и изменить цветовую схему для окрашивания поверхности нрафика, а также указать направление смены окраски (вдоль оси Ox, Oy или Oz). Включение опции Enable Fog (Наличие Тумана) делает график нечетким, слегка размытым (полупрозрачным). При включении опции Perspective (Перспектива) появляется возможность указать в соответствующем поле расстояние до наблюдателя.
В автоматическом режиме (по умолчанию) MathCAD строит график в интервале изменения переменных x и y: (-5;5). Если в этой области функция не является непрерывной (имеет разрыв), график не строится. Можно перестроить пределы изменения x и y в окне форматирования. Можно задать пределы изменения x и y аналитически, в нужной области рассмотрения графика и построить сетку с нужными параметрами. Рассмотрим построение графиков различными способами.
Построить график поверхности функции $$F(x,y)=\ln{[(x-8)(y-10)]}$$ разными способами.
1 способ. "Быстрый" график" (Рис.3.24).
Для построения графика:
$$F(x,y):=\ln[(x-8)(y-10)]$$
(рис 3.24) Листинг построения графика поверхности примера 3.10
2 способ. Использование сетки. Построить график $$W(x,y)=\ln{[(x-8)(y-10)]}$$ Fпо 20 точкам. Переменная x меняется от 8 д и о 10 , y меняется, от 10 до 12.
Для построения графика в определенной области изменения независимых переменных с определенным шагом надо задать узловые точки $$x_i$$, $$y_j$$, как индексные переменные по точкам. Затем сформировать матрицу значений функции в точках в виде: $$A_{i,j}=W(x_i,y_j)$$.
График строится не от значений x и y, а от номера точки.
$$W(x,y):=\ln[(x-8)(y-10)]$$
$$N:=20$$, $$i:=0..N$$, $$j:=0..N$$
$$a1:=8.2$$, $$a2:=10$$, $$x_i:=a1+\frac{i}{N}(a2-a1)$$
$$b1:=10.2$$, $$b2:=12$$, $$x_i:=b1+\frac{j}{N}(b2-b1)$$
$$A2_{i,j}:=W(x_i,y_j)$$
Значение функции $$W(x,y)$$ в крайних точках сетки:
$$x_0=8.2$$, $$y_0=10.2$$
$$x_{20}=10$$, $$y_{20}=12$$
$$W(x_{20},y_{20})=1.386$$
(рис 3.25) Листинг построения графика поверхности примера 3.10 при задании сетки
3 способ. Использование функции CreateMesh() . Встроенная функция в MathCAD для построения графика поверхности. Создает массив, представляющий х-, у- и z-координаты параметрической поверхности, заданной функцией F(). Создает сетку на поверхности определенной функции F() с параметрами , заданными аргументами.
M=CreateMesh (F, x0, x1, y0, y1, xgrid, ygrid, fmap),
F- функция,
x0, x1, y0, y1 – диапазон изменения переменных x и y,
xgrid, ygrid – количество точек переменной х и количество точек переменной y (размеры сетки переменных), количество точек можно задать один раз.
fmap – векторная функция от трех аргументов, задающая преобразование координат, определяет систему координат: декартову, сферическую или цилиндрическую. Если параметр присутствует, то график будет построен в указанной системе координат. Для графика в декартовой системе этот аргумент можно не вводить.
Имеются две встроенные графические функции, которые могут использоваться в аргументах fmap: sph2xyz и syl2xyz.
cyl2xyz – функция преобразования координат из цилиндрической системы в декартову;
ph2xyz – функция преобразования координат из сферической системы в декартову.
На pис.3.26 показано построение графика функции примера с применением CreateMesh() . Указаны границы изменения x – от 8,2 до 10, границы изменения y, – от 10,2 до 12 количество точек сетки – 20 для x и для y. График строится от значений x и y.
$$W(x,y):=\ln[(x-8)(y-10)]$$
$$M:=CreateMesh(W,8.2,10,10.2,12,20,20)$$
(рис 3.26) Листинг построения графика поверхности примера 3.10 с использованием функции CreateMesh()
Если не указать параметры сетки, функция CreateMesh по умолчанию создает сетку на поверхности с диапазоном изменения переменных от -5 до 5 и с сеткой 20x20 точек. M=CreateMesh (W) (Рис.3.27).
$$W1(x,y):=\ln[(x-8)(y-10)]$$
$$M:=CreateMesh(W1)$$
(рис 3.27) Листинг построения графика поверхности примера 3.10 с использованием функции CreateMesh() (параметры по умолчанию)
При построении трехмерных поверхностей и объемных фигур можно использовать параметрическое задание описывающих их функций. При этом все три координаты задаются как функции от двух параметров u и v – X(u,v), Y(u,v), Z(u,v). Поверхности задаются значениями координат всех точек. При этом в шаблоне графики указываются три матрицы, хранящие массивы этих координат, X, Y Z.
x(u,v), y(u,v) и y(u,v). Ввести как индексные переменные.На pис.3.28 показано построение объемной фигуры по точкам. (50 точек). Фигура задана параметрически, параметры – углы $$\theta$$ и $$\varphi$$. Координаты x,y,z вводятся как индексированные переменные, индексы – ранжированные переменные.
$$N:=50$$, $$i:=0..N$$, $$j:=0..N$$
$$\phi(i):=\frac{i \cdot 10}{N}-5$$
$$\theta(j):=j\frac{2\pi}{N}-5$$
$$X_{i,j}:=\sin{(\phi(i))}(1+0.2\theta(j))$$
$$Y_{i,j}:=0.2\sin{(\phi(i))}\cos{(\theta(j))}$$
$$Z_{i,j}:=\cos{(\phi(i))}(1+0.2\theta(j))$$
(рис 3.28) Листинг примера. 3.11. Поверхность задана параметрически
Поверхность может быть задана в векторной форме. В этом случае функция вводится в виде матрицы, элементы которой – функции параметров, как и сама поверхность. На pис.3.27 показано построение объемной фигуры примера 3.11, заданной в виде матрицы от параметров - углов $$\theta$$ и $$\varphi$$. Количество линий сетки можно изменить в окне форматирования 3-D Plot Format, вкладка QuickPlot Data .
$$G(\phi,\theta):=\begin{bmatrix} \sin{(\phi(i))}(1+0.2\theta(j)) \\ 0.2\sin{(\phi(i))}\cos{(\theta(j))} \\ \cos{(\phi(i))}(1+0.2\theta(j)) \end{bmatrix}$$
(рис 3.29) Листинг примера. 3.11. Функция задана в векторной параметрической форме
Трехмерный график можно представить в виде пространственной кривой. Пространственные кривые задаются, как правило, параметрически, и параметр является непрерывной действительной величиной. Рассмотрим два способа построения.
Построить пространственную кривую, у которой координаты определены следующим образом: $$x=\cos{(3t)}$$, $$y=\sin{(3t)}$$, $$z=e^{t/10}$$.
1 способ. Кривая в пространстве задается аналогично параметрическому заданию поверхности (пример 3.11).
t в виде ранжированной переменной, для t выбирается номер точки (0-100).x, y, z как индексированные переменные параметра t. На графике показаны максимальные минимальные значения
$$t:=0..100$$
$$x_t:=\cos{(3t)}$$, $$y_t:=\sin{(3t)}$$, $$z_t:=e^{\frac{t}{10}}$$
(рис 3.30) Листинг примера 3.12. Параметрическое задание кривой
2 способ. (Рис.3.31). Векторная форма. Функция задается в виде матрицы-вектора. Для построения графика используется функция CreateSpace()
CreateSpace (R , t0, t1, tgrid, fmap): встроенная функция , создающая массив представляющий х-, у- и z-координаты параметрической пространственной кривой, заданной функцией R() ; и сетку точек на кривой, определенной функцией R() с параметрами , заданными аргументами ,
t0 и t1 – диапазон изменения параметровй, tgrid – размер сетки переменной, fmap – функция отображения аналогично функции CreateMesh() (необязательный параметр). Аргумент t выбирается из указанного интервала: t0=0 t1=10, сетка tgrid=100 точек. Создает сетку точек на кривой.
$$x1(t):=\cos{(3t)}$$, $$y1(t):=\sin{(3t)}$$, $$z1(t):=e^{\frac{t}{10}}$$
$$R(t):=\begin{pmatrix} x1(t) \\ y1(t) \\ z1(t) \end{pmatrix}$$
$$M:=CreateMesh(R,0,10,100)$$
(рис 3.31) Листинг примера 3.12. Векторное задание кривой. Использование CreateSpace()
Представлены методы построения графиков функций одной переменной и двух переменных в различных системах координат. На многих примерах показаны различные варианты задания функции, определяющие график: обычным образом (аргументы –скаляры), параметрически, а также в виде матриц и ранжированных переменных. Рассмотрены различные способы построения: автоматическое построение, с построением сетки, с использованием функций CreateMesh() и CreateSpace(). Описаны способы форматирования и настройки графика.
Graph - панель графики.
Formatting Currently Selected X-Y Plot – окно форматирования двумерного графика.
trace - опция форматирования, позволяющая ет точно определить значение функции в любой точки графика.
if(cond, x, y) - условная функция.
параметрическое задание функции - устанавливается зависимость (x,y) точки плоскости от значения параметра t.
полярный график - график функции r(q), заданной в полярных координатах, где полярный радиус r зависит от полярного угла q.
3-D Plot Format - окно форматирования трехмерного графика.
CreateMesh () - встроенная функция в MathCAD, создающая массив, представляющего х-, у- и z-координаты поверхности, заданной функцией F(); и сетку на поверхности определенной функции F() с параметрами , заданными аргументами.
CreateSpace ()- встроенная функция в MathCAD создающая массив представляющий х-, у- и z-координаты параметрической пространственной кривой, заданной функцией R() ; и сетку точек на кривой, определенной функцией R() с параметрами , заданными аргументами .
Surface Plot - опция панели Graph для построения графика поверхности
3D Scatter Plot - опция панели Graph для построения 3-D точечного графика.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.