Отношения

Понятие "отношение" ввел Аристотель в книге "Категории" ранее упомянутого труда "Органон". Если рассматривать некоторые сущности, некоторые объекты, то они могут быть связаны между собой, находиться в некотором отношении. Выше мы говорили об отношении "принадлежит", связывающим элемент и множество, об отношении "содержит", связывающим множество и его подмножество.

Начнем рассмотрение отношений с частного случая бинарного отношения – отношения на двух множествах. Рассмотрим два множества $$А$$ и $$В$$. Рассмотрим бинарное отношение $$R$$ на этих множествах. Содержательно, отношение $$R$$ устанавливает какие элементы из $$А$$ связаны с элементами из $$В$$, другими словами, отношение $$R$$ устанавливает, какая пара $$<x, y>$$, где $$x$$ – элемент $$А$$, $$y$$ – элемент $$В$$, принадлежит отношению.

Дадим математически строгое определение отношения и поясним на примерах его суть.

Бинарное отношение $$R$$ на множествах $$А$$ и $$В$$ задает подмножество декартова произведения $$А \times B$$:

$$R \subseteq A \times B$$

Пример:

Рассмотрим отношение "владеет", устанавливающее связь между машинами и их владельцами. Пусть $$А = \{Петр, Сергей, Дмитрий, Анна\}$$, $$В = \{авто1, авто2, авто 3, авто4\}$$. Зададим теперь отношение $$R$$ (отношение "владеет") явно перечислив его элементы:

$$R = \{<Петр, авто2>, <Анна, авто2>, <Сергей, авто1>, <Сергей, авто4> \}$$

Содержательно, это отношение устанавливает, что Петр и Анна – оба владеют одной машиной – авто2, Сергей является владельцем двух машин, Дмитрий машины не имеет, а авто3 не имеет владельца.

Пример:

Рассмотрим некоторое множество людей $$P$$, связанных родственными отношениями. У Петра и Анны два сына – Михаил и Антон – и дочь – Елена. У Сергея и Татьяны две дочери – Любовь и Нина – и сын Василий. У Елены и Василия родилось два сына – Николай и Владимир. Рассмотрим бинарное отношение $$x$$ "имеет брата" $$y$$, где $$x$$ и $$y$$ - элементы множества $$P$$.

Перечислим элементы отношения "имеет брата", заданного на декартовом произведении - $$P \times P: \{<Михаил, Антон>, <Антон, Михаил>, <Елена, Михаил>, <Елена, Антон>, <Любовь, Василий>, <Нина, Василий>, <Николай, Владимир>, <Владимир, Николай> \}$$

Перечислим элементы отношения "имеет старшего брата", заданного на декартовом произведении - $$P \times P: \{<Антон, Михаил>, <Елена, Михаил>, <Любовь, Василий>, <Нина, Василий>, <Владимир, Николай> \}$$

Отношение $$R$$ часто рассматривают как отношение, действующее из $$А$$ в $$В$$. Отношение имеет область определения и область значений.

Областью определения отношения $$R$$ называется множество $$S_R = \{x \in A |\ существует\ элемент\ y \in B,\ такой,\ что\ пара\ <x, y> \in R \} $$

Областью значений отношения $$R$$ называется множество $$G_R = \{y \in B |\ существует\ элемент\ x \in A,\ такой,\ что\ пара\ <x, y> \in R \}$$

Если $$R$$ – некоторое отношение из $$А$$ в $$В$$, то можно определить обратное отношение $$R^{-1}$$ из $$В$$ в $$А$$:

$$R^{-1} = \{<y, x > |\ существует\ пара\ <x, y> \in R \} $$

Пример:

Вернемся к множеству $$P$$ из предыдущего примера. Обратным отношением к отношению "имеет брата" является отношение "имеет брата или сестру". Оно состоит из тех же пар элементов, но взятых в обратном порядке.

Обратным отношением к отношению "имеет старшего брата" является отношение "имеет младшего брата или сестру".