Свойства отношений

Рассмотрим $$R$$ - бинарное отношение из $$А$$ в $$А$$ (бинарное отношение на множестве $$А$$).

Отношение $$R$$ обладает свойством рефлексивности, если:

$$R = \{<x, x> | для\ любого\ элемента\ x \in A \} $$

Отношение $$R$$ обладает свойством симметричности, если:

$$R = \{<x, y> | при\ условии,\ что\ пара\ <y, x > |in R \}$$

Отношение $$R$$ обладает свойством транзитивности, если:

$$R = \{<x, y> | при\ условии,\ что\ пары\ <x, z>\ и\ <z, y > |in R \}$$

Отношение $$R$$ называется отношением эквивалентности, если оно симметрично, рефлексивно и транзитивно.

Заметьте, отношение "имеет брата" не является ни рефлексивным, ни симметричным, ни транзитивным. Отношение "имеет брата или сестру" является симметричным отношением, но не является ни рефлексивным, ни транзитивным.

Рассмотрим отношение равенства на множестве целых чисел. Это отношение является отношением эквивалентности - оно симметрично, рефлексивно и транзитивно.

Отношение "больше" на множестве целых чисел обладает свойством транзитивности, но не является ни рефлексивным, ни симметричным. Из того, что $$5 > 3$$ и $$3 > 1$$ по свойству транзитивности следует, что $$5 > 1$$.

Отношения и арность

Бинарное отношение – это отношение арности 2, - оно связывает элементы двух множеств. Нетрудно определить отношение произвольной арности $$n$$, которое связывает элементы $$n$$ множеств.

Отношением$$ R$$ арности n называется подмножество декартова произведения $$n$$ множеств:

$$R \subseteq A1 \times A2 \times A3... \times A_n$$

Пример:

Определим отношение "семья" арности 3 – тернарное отношение на декартовом произведении множеств $$P \times P \times 2^P$$ для множества P из предыдущих примеров. Содержательно, первый элемент тройки задает отца семьи, второй – мать, третий – это множество детей в семье.

Для нашего примера тернарное отношение "семья" включает три элемента:

$$\{<Петр, Анна, \{Николай, Антон, Елена\}>, <Сергей, Татьяна, \{Любовь, Нина, Василий\}>, <Василий, Елена, \{Николай, Владимир\}>\}$$

Особый случай представляет отношение арности 1. Наше общее определение отношения говорит, что отношение арности 1 – это подмножество множества $$А$$. Содержательно, отношение арности 1 задает некоторое свойство элементов множества $$А$$. Например, на множестве целых чисел можно выделить подмножество нечетных чисел, или подмножество простых чисел. Эти подмножества можно рассматривать как отношения арности 1. На множестве $$P$$, которое неоднократно фигурировало в наших примерах, можно выделить подмножество со свойством "быть школьником", которое в нашем примере может состоять из двух элементов \{Владимир, Николай\} - детей Елены и Василия.

Графическое представление отношения

Графическое представление отношения наглядно, поскольку здесь явным образом показана связь между элементами, изображаемая в виде дуги со стрелкой. Чаще всего оно используется для демонстрации бинарного отношения с небольшим числом элементов. Приведу пример такого представления для отношения "иметь брата", сохраняя лишь несколько элементов этого отношения: